Limiti Notevoli

Introduzione ai Limiti Notevoli

• I limiti notevoli sono forme indeterminate classiche, molto ricorrenti.
• Impararli permette di risolvere una vasta gamma di limiti.

Limiti Notevoli Fondamentali

1. Limite di seno:
   [ \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1 ]

   • Forma indeterminata: 0/0.

2. Limite esponenziale:
   [ \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e ]

   • Forma indeterminata: 1^∞.
   • Dove ( e \approx 2,718 ).

Limiti Derivati dai Fondamentali

1. Limite della Tangente

• Tangente:
  [ \lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x} = 1 ]
  • Riscritto come ( \frac{\sin{x}}{\cos{x}} ).

2. Limite di (1 - Coseno)

• Limite:
  [ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{x^2} = \frac{1}{2} ]
  • Riconducibile a ( \frac{\sin^2{x}}{x^2(1 + \cos{x})} ).

Esempi di Esercizi

1. Esempio con Seno e Tangente

• Calcolare:
  [ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin{x} + 4x}{x\cos{x} + 2\sin{x}} ]
  • Risultato: 2.

2. Esempio con Radice e Coseno

• Calcolare:
  [ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos{x}} - \cos^2{x}}{2x^2} ]
  • Risultato: ( \frac{1}{2} ).

Altri Limiti Importanti

1. Limite del Logaritmo Naturale

• Limite:
  [ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 ]
  • Riconducibile al limite fondamentale.

2. Limite Esponenziale

• Limite:
  [ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 ]
  • Può essere dimostrato utilizzando il limite precedente.

Limiti Derivati

• Limiti meno comuni:
  • ( \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln{a} )
  • ( \lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1 + x)}{x} = \frac{1}{\ln{a}} )

Conclusione

• Memorare i limiti fondamentali e i derivati per facilitare la risoluzione dei limiti complessi.
• Prossimo video: esercizi avanzati sui limiti notevoli.