[Musica] Ciao ragazzi in questo video vedremo Quali sono i principali Limiti notevoli e vedremo concretamente come utilizzarli all'interno degli esercizi cominciamo col dire che quelli che vengono chiamati Limiti notevoli non sono altro che delle forme indeterminate classiche particolarmente ricorrenti di cui uno si impara il risultato e che una volta imparate ci consentiranno come Vedremo di risolvere una quantità vastissima di altri limiti i limiti notevoli fondamentali sono sostanzialmente due e poi come Vedremo da questi se ne possono ricavare degli altri conseguenti Il primo è il limite per x tendente a 0 di seno di x FR x e questa Se fate l'analisi preliminare sarebbe una forma indeterminata del tipo 0 fr0 Ecco si dimostra che questo limite è uguale ad 1 dall'altra parte abbiamo invece il limite per x tendente all'infinito Non importa se più o meno infinito tanto il risultato è lo stesso di 1 + 1 su X il tutto elevato alla x e questo limite che si presenta Come forma indeterminata 1 elevato all infinito da come risultato E che sarebbe Vi ricordo il numero di Nepero che possiamo stimare grezz con 2,718 se vogliamo averne un'approssimazione al Millesimo e che vi ricordo come Pi greco È uno di quei numeri irrazionali trascendenti di uso comune in matematica a partire da questi due Limiti notevoli possiamo poi ricavarne altri quattro che sono davvero molto molto frequenti e che sono Se volete conseguenza diretta di questi Diamogli un'occhiata e vediamo anche in che modo possono essere ricavati a partire dai precedenti In modo tale da cominciare a familiarizzare con l'utilizzo dei due limiti notevoli fondamentali all'interno degli esercizi Il primo è il limite per x tendente a 0 della tangente di x FR X che facendo una rapida analisi preliminare si rivela essere una forma indeterminata 0 fr0 questo limite può essere risolto facilmente se riscriviamo la tangente di x come rapporto tra il seno di x e il coseno di X perché vedete a questo punto che cosa ci è saltato fuori ci è saltato fuori un Sen X su X che è una quantità che quando X tende a 0 tende ad 1 e questo ce lo dice il nostro amico limite notevole e poi abbiamo l'altro pezzettino l'1 / cos X che quando X tende a 0 tende ad un anche lui e questo Ragazzi accade perché il coseno è una funzione che per X tendente a 0 tende ad 1 e segui quindi che il risultato di questo limite è 1 l'altro limite fondamentale che si dimostra sempre a partire da Sen X FR x è il limite per x tendente a 0 di 1 - coseno X tutto FR x ^ 2 e anche questo se facciamo una rapida analisi preliminare si presenta Come forma indeterminata del tipo 0/0 ora se vogliamo cercare di ricondurre questo limite a limite per x che tende a 0 di sen X su X dobbiamo in qualche modo far saltar fuori la funzione seno che per il momento vedete non compare e la mossa vincente da fare in questo caso è quella di moltiplicare e dividere per 1 + coseno X naturalmente qualcuno di voi magari si starà chiedendo E perché diavolo moltiplicare e dividere per la stessa quantità 1 + coseno di X l'idea è che se procediamo in questo modo al numeratore della frazione ci compare la quantità 1 - coseno qu X che è uguale ricordando la relazione fondamentale della goniometria che diceva che seno al quadr X + coseno al quad x è UG 1 a seno quad x e quindi vedete possiamo riscrivere la nostra frazione come seno quad X FR X qu 2 il tutto che Moltiplica 1 / 1 + coseno x e se adesso andiamo ad analizzare a che cosa tendono questi due pezzettini vedete che il primo qui seno quad X Divo X qu non è altro che il quadrato del nostro limite notevole e quindi se il limite notevole Tendeva ad 1 il suo quadrato tenderà ad 1 al quadr che se volete è direttamente 1 mentre l'altro pezzettino 1 / 1 + coseno X quando la x tende a 0 tenderà ad 1/2 dato che il coseno Come dicevamo prima è una funzione che per X tendente a 0 tende ad 1 A questo punto non ci resta che fare questa Ardita moltiplicazione per concludere che il risultato del limite è un mezzo Vediamo adesso un paio di esempi di esercizi dove bisogna utilizzare direttamente i due limiti che ci siamo appena ricavati e che io vi consiglio di imparare a memoria al pari dei due limiti notevoli fondamentali perché sono talmente frequenti che tanto vale veramente impararsi una volta per tutte e poi utilizzarli all'interno degli esercizi Supponiamo ad esempio di dover calcolare il limite per x tendente a 0 di due volte il seno di x+ 4 volte di X il tutto diviso per X coseno di x + 2 volte Sen x e anche questa dopo una rapida analisi preliminare si dimostra essere una forma indeterminata del tipo 0 FR 0 ora uno nota immediatamente che ci sono dei seni delle tangenti e vorrebbe cercare di riutilizzare Quindi il limite notevole con il seno e il limite notevole con la tangente Il problema è che non abbiamo le X al denominatore Vedete qui c'è il seno e la tangente però non le abbiamo fratto x come vorremmo E quindi che cosa possiamo fare per far comparire queste X al denominatore che per il momento non ci sono Beh possiamo ad esempio raccogliere al numeratore e al denominatore una x e naturalmente visto che i pezzettini con il seno e la tangente qui la x in origine non ce l'avevano se noi la raccogliamo dobbiamo compensare mettendogli laa al denominatore e a questo punto capite siamo felici perché sono spuntati esattamente i pezzettini che stavamo cer cando e di cui sappiamo fare il limite e una volta semplificate le X qui davanti e ricordando che il coseno quando X tende a 0 tende ad 1 Non ci resta che fare i calcoli e vedete che sopra ci viene un 2 * 1 + 4 * 1 che naturalmente fa 6 e sotto invece abbiamo un 1 + 2 * 1 che fa 3 e di conseguenza il risultato del limite sarà 2 Vediamo adesso un altro esempio proviamo a calcolare il limite per x tendente a 0 della radice quadr di coseno X - coseno quad X il tutto fratto 2x ^ 2 di nuovo se facciamo l'analisi preliminare anche questa si presenta come una forma indeterminata del tipo 0 FR 0 perché infatti quando X tende a 0 il coseno tende ad 1 e quindi qui ci viene un 1 - 1 che fa 0 e sotto abbiamo il 2x qu 2 che fa Zer anche lui ora dando un'occhiata è abbastanza chiaro che quello che c'è sotto radice assum miglia alla lontana a 1 - coseno X FR X qu 2 come facciamo quindi a far saltare fuori esattamente quel limite lì Beh possiamo ad esempio raccogliere al numeratore un coseno di X visto che abbiamo coseno e cos quadro e a questo punto fattorizzare quello che c'è sotto radice in coseno X FR 2 che Moltiplica esattamente il pezzettino che stavamo cercando lui abbiamo scoperto prima tende a 1/2 coseno di X FR 2 è una quantità che tende anch'essa a 1/2 e quindi svolgendo la moltiplicazione che ci è comparsa sotto radice possiamo concludere che il risultato del limite è √ 1/4 che è naturalmente uguale a 1/2 capite quindi ragazzi che una volta che uno si impara a memoria il limite notevole di partenza e le sue due dirette conseguenze risolvere molti altri limiti diventa a questo punto facile perché si tratta solo di riconoscere all'interno di questi altri limiti i pezzettini che noi conosciamo capito questo diamo un'occhiata agli altri due importantissimi limiti che discendono questa volta dal secondo limite notevole fondamentale il primo è il limite per x tendente a 0 del logaritmo naturale di 1 + x FR x e anche questo una volta che uno prova a sostituire 0 si presenta come una forma indeterminata del tipo 0 FR 0 ora la prima cosa da fare se vogliamo ricondurre questo limite al secondo limite notevole fondamentale che vi riscrivo qui da una parte così ce lo ricordiamo è quella di spostare questa X che sta al denominatore e metterla come esponente dell'argomento del logaritmo e questo Ragazzi è possibile in base a una di quelle proprietà dei logaritmi se non ve le ricordate bene Ho realizzato un video apposta su questo lo trovate all'interno del canale Quindi questa X che sta qui sotto che se volete è come se fosse un 1 su X moltiplicato davanti al logaritmo Lo possiamo spostare ad esponente e arrivati a questo punto ci tocca a cambiare variabile perché ci tocca cambiare variabile perché vedete Dove Nel limite notevole c'è 1 su X Noi abbiamo x e dove invece vorremmo X abbiamo questa volta 1 FR x e quindi come facciamo ad aggiustare la cosa Beh possiamo ad esempio chiamare la quantità 1 su X Y e cambiare variabile in questo modo dove avevamo 1 su X adesso otterremo Y dove invece c'era X cioè il reciproco di 1 su X otterremo questa volta 1 su Y e naturalmente quando X tende a 0 avremo che la nostra Y che è 1 FR X tenderà ad infinito e naturalmente arrivati qui siamo molto felici perché ci è saltato fuori esattamente il nostro amico limite notevole che sappiamo tendere a e e quindi possiamo concludere che il risultato del limite sarà il logaritmo naturale di e che naturalmente fa 1 capito questo vediamo a questo suo punto il suo amico altrettanto importante che è il limite per x tendente a 0 di ^ x - 1 il tutto FR x e anche questa se andiamo ad analizzarla si presenta Come forma indeterminata del tipo 0 fr0 perché infatti quando X tende a 0 qui ci verrebbe e all 0 che fa 1 - 1 e quindi 0 e sotto naturalmente 0 ora Questo limite si potrebbe dimostrare direttamente riconducendolo a quello di partenza Quindi al capos stipite Se volete Tuttavia volendo recuperare un po' del lavoro che abbiamo appena fatto nel dimostrare il limite precedente possiamo anche optare per una sostituzione più Ardita e chiamare direttamente e ^ x - 1 Y in questo modo se invertiamo questa relazione abbiamo che e ^ x è = 1 + Y e quindi X che era l'esponente sarà uguale al logaritmo naturale di 1 + Y Inoltre Notiamo che se x t a 0 anche Y che è UG a d ^ x - 1 tenderà a 0 e quindi se andiamo a sostituire ci verrà il limite per Y tendente a 0 di che cosa al posto di e x - 1 metteremo Y e al posto di X Come dicevamo il logaritmo naturale di 1 + Y Ma notate che quello che ci è saltato fuori è esattamente il limite precedente Upside Down cioè con il numeratore e il denominatore invertiti tra di loro e quindi forti del risultato che abbiamo ottenuto prima possiamo dire che questa quantità tende al reciproco di 1 che fa sempre 1 che è quindi anche il risultato del limite per concludere Volevo poi dirvi che a partire da questi due limiti che abbiamo appena dimostrato ne seguono subito altri due che sono il limite per x tendente a 0 di a ^ x - 1 FR X che fa il logaritmo naturale di a e il limite per x tendente a 0 del logaritmo in base a di 1 + X X il tutto fratto x che fa invece 1 fratto il logaritmo naturale di a questi due si trovano decisamente più raramente dei precedenti però ogni tanto saltano fuori e quindi può essere una buona idea memorizzarli nel prossimo video vedremo alcuni esercizi un pochino più avanzati con i limiti notevoli detto questo Ragazzi io vi saluto come sempre se avete trovato utile questa video lezione ricordatevi di mettere mi piace passate a trovarci sulla pagina Facebook e Date un'occhiata all'interno del canale dove troverete moltissimi altri video [Musica]