Overview
Bài giảng giới thiệu giải tích hàm nhiều biến, tập trung vào khái niệm hàm số nhiều biến, phép vi phân, đạo hàm riêng, cực trị và phương pháp Lagrange.
Giới thiệu chung
- Môn Giải tích 2 có 3 tín chỉ, đánh giá: điểm quá trình 40%, điểm thi 60%.
- Tài liệu tham khảo: Giáo trình Giải tích 2 HGTVT, Toán cao cấp A3, Giải tích toán học tập 2 (Liasko).
Hàm số nhiều biến
- Định nghĩa hàm số 2 biến: f(x, y) xác định trên miền D, giá trị z = f(x, y), D là miền xác định.
- Đồ thị hàm f(x, y) trong R³ là G = {(x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ D}.
- Các mặt cơ bản: Mặt cầu x² + y² + z² = a², ellipsoid, trụ, paraboloid, nón.
Liên tục và giới hạn
- Khoảng cách Euclid: (M, M₀) = sqrt((x₀ - x)² + (y₀ - y)²).
- Hàm f(x, y) liên tục tại (x₀, y₀) nếu lim₍ₓ,ᵧ₎→₍ₓ₀,ᵧ₀₎ f(x, y) = f(x₀, y₀).
Đạo hàm riêng và vi phân
- Đạo hàm riêng theo x tại (x₀, y₀): fₓ(x₀, y₀) = lim₍Δₓ→0₎ [f(x₀+Δₓ, y₀)-f(x₀, y₀)]/Δₓ.
- Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào, cố định biến còn lại.
- Vi phân toàn phần: df(x, y) = fₓ dx + fᵧ dy.
Hàm hợp và chuỗi đạo hàm riêng
- Đạo hàm hàm hợp: z = f(u(x, y)) ⇒ ∂z/∂x = f'(u)·∂u/∂x, ∂z/∂y = f'(u)·∂u/∂y.
- Nếu z = f(x(t), y(t)), thì dz/dt = fₓ dx/dt + fᵧ dy/dt.
- Nếu z = f(u(x, y), v(x, y)), áp dụng quy tắc chuỗi.
Đạo hàm riêng ẩn hàm
- Nếu F(x, y) = 0, thì y'(x) = -Fₓ/Fᵧ.
- Nếu F(x, y, z) = 0, thì zₓ = -Fₓ/F_z, zᵧ = -F_y/F_z.
Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao
- Đạo hàm riêng cấp 2: fₓₓ, fₓᵧ, fᵧₓ, fᵧᵧ.
- Định lí Schwarz: Nếu các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm, fₓᵧ = fᵧₓ.
- Vi phân cấp cao: d²f = fₓₓ dx² + 2fₓᵧ dxdy + fᵧᵧ dy².
Cực trị hàm nhiều biến
- Điểm dừng: fₓ = 0, fᵧ = 0 hoặc ít nhất một đạo hàm riêng không tồn tại.
- Điều kiện đủ: Tại điểm (x₀, y₀), đặt A = fₓₓ, B = fₓᵧ, C = fᵧᵧ.
- Nếu B² - AC < 0 và A > 0: cực tiểu.
- Nếu B² - AC < 0 và A < 0: cực đại.
- Nếu B² - AC > 0: không phải cực trị.
- Nếu B² - AC = 0: kiểm tra thêm.
Cực trị có điều kiện (Lagrange)
- Với ràng buộc φ(x, y) = 0, xây dựng hàm bổ trợ F(x, y, λ) = f(x, y) + λφ(x, y).
- Xét hệ: ∂F/∂x = 0, ∂F/∂y = 0, φ(x, y) = 0.
- Kiểm tra d²F tại điểm nghiệm để kết luận loại cực trị.
Key Terms & Definitions
- Hàm số nhiều biến — hàm phụ thuộc vào nhiều biến độc lập.
- Đạo hàm riêng — đạo hàm theo một biến, giữ các biến khác cố định.
- Vi phân toàn phần — tổng ảnh hưởng biến đổi của các biến tới hàm.
- Điểm dừng — điểm mà các đạo hàm riêng triệt tiêu hoặc không tồn tại.
- Phương pháp Lagrange — tìm cực trị có điều kiện bằng cách bổ sung hệ số λ.
Action Items / Next Steps
- Làm bài tập tính đạo hàm riêng và vi phân cho các hàm đã cho.
- Hoàn thành các ví dụ còn dang dở trong phần bài giảng.
- Đọc trước chương tiếp theo về tích phân hàm nhiều biến (nếu có).