Heute beschäftigen wir uns mit... Summen, Produktzeichen und Gleichungen, wobei wir zunächst einmal mit den Summen und den Produktzeichen anfangen werden. Diese stellen in ziemlich allen Studiengängen hier der Hochschule einen wichtigen Punkt dar, denn sie werden sehr häufig versuchen, komplexe Ausdrücke durch einfache Schreibweisen kompakter darzustellen und entsprechend damit dann auch leichter umgehen zu können. Die Summen und Produktzeichen sind dabei ein sehr beliebtes Beispiel.
des Hilfsmittels. Sie kommen in vielen Formeln vor. Deswegen sollten wir uns damit beschäftigen. Vielleicht hat ja der eine oder die andere von Ihnen ja bereits in der Schule, zum Beispiel im Physikunterricht, mit Summenzeichen zu tun gehabt. Wir versuchen das hier auf ein Niveau zu bringen, dass Sie alle ganz gut in das Studium starten können.
Zunächst einmal, worum geht es? Nun, umständlich wäre es, wenn wir Ausdrücke wie zum Beispiel 1 plus 2 plus 3 plus 4 plus 5 und so weiter und so fort vielleicht bis 1000 oder 10.000 aufschreiben müssten in dieser Art und Weise. Die Pünktchenschreibweise ist ja so ein bisschen naiv gewissermaßen, sehr vereinfacht. Sie gibt nicht präzise an, wie es weitergeht.
Theoretisch könnte ja hiernach auch irgendwie eine 7, eine 9 oder irgendeine negative Zahl kommen. Das ist nicht klar. Ja, man geht natürlich, wenn wir das...
Also auch schreiben davon aus, dass jetzt hier 6, 7, 8 und so weiter kommen würden. Dafür muss man aber eben davon ausgehen, dass das Muster absolut eindeutig aus den vorhergehenden zu erkennen ist. Auch sowas 1 plus 3 plus 5 plus 7 plus 9. Wir haben ein Muster erkannt.
Hier würden wir erwarten, als nächstes kommt die nächste ungerade Zahl, also die 11. Ist zumindest sehr plausibel. Ähnlich geht es dann auch mit der Multiplikation. Das heißt, eine lange Kette von Produkten.
3 mal 6 mal 9 mal 12 mal 15 und so weiter, würde jetzt auch relativ umständlich sein, das so aufzuschreiben. Vor allen Dingen, wenn Sie in Formeln arbeiten, wo dann Variablen vorkommen, dann werden Sie irgendwann nichts mehr erkennen können. Sie können dann nicht wirklich gut vereinfachen oder das überhaupt gut beschreiben, um was es da geht.
Deswegen ist diese Schreibweise zwar so auf dem Schmierblatt ganz in Ordnung oder auch erstmal zu sehen, was passiert überhaupt. Aber um wirklich präzise arbeiten zu können, Da kommen wir nicht um eine Summe oder Produktstrahlweise drumherum. Schauen wir uns also an, wie diese aussieht. Das Groß-Sigma, das ist das Symbol, was hier angeschrieben ist.
Das steht einfach für S, für eine Summe. Und das ist erstmal die Grundlage, das schreiben wir auf. Dann unten drunter kommt der sogenannte Laufindex.
In diesem Fall ist es jetzt ein I. Und dahinter gleich dem Startwert. Also zum Beispiel I gleich 1. Oben kommt jetzt in diesem Fall die 99, ist der sogenannte Endwert.
Das heißt, wir würden sagen, die Summe läuft von I gleich 1 bis 99. Das kennen Sie vielleicht, wenn Sie Informatik hatten in der Schule. Dann gibt es da die Vorschleifen, die laufen genauso von i gleich 1 bis irgendwo hin. Und die Idee ist die absolut selbe wie hier bei den Summen.
Nämlich, jetzt muss ja noch gesagt werden, was mache ich damit? Nun, die Zahl i läuft von 1 bis 99, also 1, 2, 3, 4 und so weiter. Und sie wird immer wieder hier eingesetzt. Das heißt, in diesen Ausdruck, in den Summationsausdruck 2 mal i plus 1, würden wir also starten, indem wir die... 1 einsetzen, 2 mal 1 plus 1. Dann, weil wir als Grundlage eine Summe haben, kommt jedes Mal, nachdem wir eine Einsetzung vorgenommen haben, also nachdem wir den Summationsausdruck ausgewertet haben, kommt ein Plus und wir werten ihn mit der nächsten Zahl, also mit der 2 aus.
Dann wieder ein Plus, dann wieder nächste Auswertung. Das machen wir, bis wir beim Ende angekommen sind, bei der 99. Mit Beispielen gleich werde ich das noch verständlicher vermitteln. Ganz allgemein würde man das so aufschreiben, eine Summe von i gleich s für einen Startwert bis irgendein beliebiger Endwert n über einen Summationsausdruck a von i schreiben wir auf, indem wir anfangen, in den Ausdruck a von i zunächst einmal den Startwert s einzusetzen.
Dann kommt immer wieder ein Plus, weil wir ja eine Summe aufschreiben. Wir setzen s auf einen Wert höher, also s plus 1, s plus 2 und so weiter, bis wir beim Endwert angekommen sind. soweit die allgemeine Formulierung. dazu. Wir haben ja auch das Thema Produktzeichen, da sieht das ganz genauso aus.
Da machen wir gleich ein Beispiel zu, da kommt halt statt jedes Mal Plus, kommt dann eben ein Malzeichen hin und wir nehmen ein anderes Symbol, um anzudeuten, dass es sich um ein Produktzeichen handelt. Aber das machen wir gleich in einem Beispiel. So, zunächst einmal noch ein Beispiel zu Summen. Und zwar, wir haben die Summe von i gleich 3 bis 5 über i² plus i minus 1. Das hier ist also der Summationsausdruck, der jedes Mal ausgewertet werden soll. Wir sollen ihn zunächst an der Stelle 3, das ist unser Startwert, auswerten.
Das heißt, ich setze für jedes i, was hier vorkommt, eine 3 ein. Also plus 3 minus 1. Diese Zahl rechne ich aus. Das wird dann die 11 sein.
Und damit wäre ich für den Teil mit i gleich 3 fertig. Jetzt gehe ich eine Zahl weiter, weil ich soll ja von 3 zu 5 immer Schritt für Schritt hochgehen. Die nächste Zahl nach 3 ist die 4. Also setze ich die 4 ein. plus 4 minus 1. Diesen Ausdruck rechne ich aus, da kommt 19 raus. Damit bin ich für i gleich 4 fertig.
Nun muss ich noch den Endwert einsetzen, die 5. 5 Quadrat plus 5 minus 1 rechne ich aus, kommt 29 raus. Und damit ist auch die 5 ausgewertet und ich bin fertig mit meiner Summe. Ja, wenn ich jetzt noch das konkrete Ergebnis haben möchte, rechne ich 11 plus 19 plus 29 und habe 59 als Gesamtwert.
Das heißt, der Wert der ganzen Summe ist 59 in diesem Fall. Bei Produkten läuft das quasi ganz genauso. Wir machen nur ein großes Pi-Symbol dorthin, das dann für Produkt steht. In diesem Fall läuft das Produkt von i gleich 0 bis 3 über den Ausdruck 2 hoch i. Und das heißt, wenn ich ihn jetzt ausschreiben möchte, ich fange mit dem Startwert 0 an, also 2 hoch 0. Jetzt mache ich natürlich kein Plus, sondern ein Mal, weil ich ein Produkt ausschreibe.
Also mal 2 hoch i. 1 jetzt. Ich gehe von der 0 einen Schritt nach oben auf die 1. Dann ist der nächste 2 hoch 2 und dann zum Schluss nochmal 2 hoch 3. So schreiben wir also Summen und Produkte aus. Der Laufindex, wir haben ihn jetzt die ganze Zeit i genannt, das ist nur ein Name.
Ich kann für i auch alles andere schreiben. Ich könnte zum Beispiel statt die Summe von i gleich 1 bis 5 über i², kann ich auch schreiben k gleich 1 bis 5 über k² oder t gleich 1 bis 5 über t². Sie können da eigentlich jeden beliebigen Namen nehmen. Das ist, wie Sie das auch sonst auch mit Variablen kennen, es sind ja nur abkürzende Schreibweisen und die kann man nennen, wie man möchte. Aber das i ist jetzt ein Buchstabe, der sehr beliebt ist bei Summen.
Grundsätzlich werden wir uns hauptsächlich auch auf Summen konzentrieren im Vorkurs und nur Produkte am Rande behandeln, weil Summen kommen wesentlich häufiger in Formeln vor als Produkte. Dann gibt es noch sogenannte Doppelsummen. Diese, wenn man die ausschreiben möchte, geht man am besten von innen nach außen vor.
Ich habe jetzt hier aufgeschrieben die Doppelsumme, also einmal die Summe von k gleich 1 bis 2. Und danach kommt die Summe von i gleich 9 bis 11 über den Ausdruck k hoch i. Wenn wir das jetzt ausschreiben möchten, dann fangen wir mit dem Inneren an und laufen von i gleich 9 bis 11. Die äußere Summe nehmen wir einfach mit, die schreiben wir ab. k gleich 1 bis 2. Und jetzt setzen wir ja nur noch die Zahlen ein, 9, 10 und 11 und machen jedes Mal ein Plus dazwischen.
Also habe ich k hoch 9 plus k hoch 10 plus k hoch 11. Dieser Teil in der Mitte entspricht also exakt der inneren Summe. Jetzt löse ich noch die Summe auf. Das wissen wir ja, wie das geht.
Wir setzen einfach jetzt nach und nach immer für k was ein. Das heißt, wir nehmen diesen Ausdruck und setzen erstmal die 1 jeweils für k ein. Das heißt, ich habe 1 hoch 9 plus 1 hoch 10 plus 1 hoch 11. Fertig.
Weil ich ein Summenzeichen habe, kommt hier ein Plus hin. Und jetzt setze ich den Endwert 2 ein. 2 hoch 9 plus 2 hoch 10 plus 2 hoch 11. Und wenn ich das Ganze jetzt ausrechnen würde, dann würde ich auch den konkreten Wert dieser Doppelsumme bekommen.
Ach so, eine Frage noch zum Schluss an Sie. Und zwar, wir haben die Summe 7 plus 14 plus 21 und so weiter bis 63. Versuchen Sie, das Muster zu erkennen und schreiben Sie es als eine Summe auf. So, schauen wir uns das mal an.
Also wir erkennen, das Muster ist offensichtlich hier 1 mal 7, 2 mal 7, 3 mal 7 und so weiter. Und ich bin hier bis 9 mal 7, das heißt meine Summe geht insgesamt von i gleich 1 bis 9. Und ich habe hier 7 mal i als Summationsausdruck. Nochmal eine kurze Probe.
Ich setze 1 ein, 7 mal 1 ist 7, passt. Danach kommt ein Plus. weil ich eine Summe ausschreibe.
Dann kommt, nächste Zahl wäre 7 mal 2 ist 14, 7 mal 3 ist 21 und 7 mal 9 ist 63.