Kommen wir nun zur Zinsrechnung. Die Idee ist simpel und zwar Zinsen mit Z abgekürzt erhöhen ein Kapital K üblicherweise in Jahren. Das heißt also, wir haben einen gewissen Zinssatz und dieser erhöht eben das Kapital K.
das Kapital, zum Beispiel, wenn wir mal 10% nehmen als Zinsen, oder als Zinssatz besser gesagt, dann erwarten wir, dass unser Kapital jährlich um ein Zehntel des Kapitals ansteigt. Das heißt, unsere Formel lautet also z ist gleich k mal p durch 100. Gegebenenfalls multiplizieren wir das nochmal n, wenn wir zum Beispiel das über mehrere Jahre hinweg betrachten. Bei gleichbleibendem Zinssatz versteht sich. Die Formel können wir natürlich auch umstellen.
Häufig brauchen Sie die auch in anderer Variante. Das heißt, Sie müssen zum Beispiel, oder Sie wollen wissen, wie ist der Prozentsatz oder wie war das Kapital. Aber das ist eine ganz einfache lineare Gleichung. die können Sie entsprechend sofort umstellen, beispielsweise nach k. Das heißt, wir multiplizieren mit 100 und teilen durch p und wissen dann, was k ist.
Oder wenn wir zu p wollen, dann müssen wir entsprechend durch k teilen und mal 100 nehmen und schon wissen wir, was p ist. Wenn wir das nicht auf Jahre betrachten wollen, sondern zum Beispiel auf Monate oder sogar auf Tage, dann müssen wir leichte Anpassungen vornehmen an der Formel. Und beispielsweise, wenn wir jetzt sagen, wir wollen nur wissen, was nach sieben Monaten passiert, und angenommen, wir könnten es nach sieben Monaten... abbrechen und es blieb alles wie abgesprochen, dann würden wir natürlich auch nur 7 Zwölftel der Zinsen erhalten, weil wir nur 7 von 12 Monaten es angelegt haben.
Und dann lautet es wie folgt, die Zinsen entsprechen also dann Kapital, mal wieder unseren Prozentsatz P durch 100. Und jetzt müssen wir nochmal die Anzahl an Monate, zum Beispiel 7 durch 12, entsprechend multiplizieren. Bei Tagen sieht es genauso aus. Dann müssen wir das entsprechend nicht mit M durch 12, sondern T durch 360 teilen. 360 Tage hat das Bankjahr, deswegen hier 360 entsprechend als Nenner. Ein Beispiel dazu.
Wir haben ein Kapital von 1500 Euro und legen es bei einem Zinssatz von 2,5% auf. Prozent an und wir fragen uns jetzt, wie lange müssen wir warten, bis wir 12,50 Euro als Zinsen bekommen. Und das machen wir jetzt entsprechend mit unserer letzten Formel, nach wie vielen Tagen. Das heißt also, wir stellen die Formel hier nach Tage um. Das bedeutet also, wir müssen eigentlich nur entsprechend Z mal 100 mal 360 rechnen und dann noch durch K und P entsprechend teilen.
Jetzt setze ich ein, 12,50 Euro mal 100 mal 360. durch 1.500 Euro mal die 2,5%. Und ich erhalte dann entsprechend 120 Tage an der Stelle. Solange müssten wir also dann warten, um die 12,50 Euro zu erhalten. So, kommen wir...
Nun zum Zinseszins. Hierbei, das ist ja das eigentlich üblichere Modell, wir legen etwas an, die Summe vergrößert sich und mit Zinseszins vergrößert sich das dann noch weiter, weil ja auch die Zinsen, die wir zubekommen haben, wieder verzinst werden und so weiter wird das dann immer mehr anwachsen. Beispiel hierzu, wir haben 15.000 Euro angelegt und wollen das über zwei Jahre anlegen, und zwar bei Zinssatz von 2%, mit Zinseszinsen natürlich jetzt in dem Fall. Schauen wir mal, was nach einem Jahr passiert.
Da passiert erstmal mit den Zinseszinsen noch gar nichts, weil wir kriegen jetzt erstmal nur einmal Zinsen, nämlich 15.000 plus, die Zinsen entsprechen jetzt hier 15.000 mal 0,02, das heißt, da kriegen wir 300 Euro an Zinsen hinzu. Zinseszins daher. Jetzt legen wir ja nicht mehr 15.000 an, sondern jetzt dürfen wir 15.300 anlegen. Das heißt, 15.300 plus 15.300 mal 0,02 ergibt dann 15.606. Das heißt also, ohne Zinseszins hätten wir nur 15.600 bekommen, weil dann hätten wir jährlich ja 300 Euro mehr bekommen.
Aber durch den Zinseszins haben wir jetzt schon 6 Euro nochmal dazu bekommen. verallgemeinert. Schauen wir uns das mal Hier an, wir haben ein Startkapital K0 und das Kapital nach i Jahren bezeichnen wir mit Ki.
So schauen wir uns mal nach einem Jahr an. K1 ist ja dann einfach nur das Startkapital mal unser 1 plus p durch 100, wie wir das auch hier eben gemacht haben. Nur hier ist es entsprechend ausmultipliziert. Also das hier entspricht ja genau K0.
plus K0 mal P durch 100, das ist exakt das Gleiche. Im zweiten Jahr, da haben wir dann den Fall mit dem Zinseszins. Und zwar erstmal für sich betrachtet ist K2 wieder die Wiederholung vom letzten Mal. Das heißt, ich nehme jetzt mein Kapital nach einem Jahr und erhalte einen Zins.
Und jetzt setze ich für K1 ein, was ich weiß, nämlich, das ist nämlich K0 mal 1 plus... p durch 100 ist. Und damit erfahre ich, k2 kann ich auch in Abhängigkeit vom Startkapital schreiben als k0 mal 1 plus p durch 100 mal 1 plus p durch 100. Und das hier kann ich ja zusammenführen zu k0 mal 1 plus p durch 100 zum Quadrat. Wir können uns auch hier oben noch eine kleine 1 dran schreiben.
Das heißt, hier habe ich bei k1, habe ich k0 mal 1 plus p durch 100 hoch 1. Bei k2 habe ich k0 mal 1 plus p durch 100 hoch 2. Das heißt also, die Zahl, die hier unten ist, scheint immer oben in den Exponenten reinzukommen. Das könnten wir natürlich auch beweisen und verallgemeinern. Jetzt im Rahmen des Vorkurs machen wir das nicht, sondern wir akzeptieren, dass man dieses Muster sieht und glauben diesem Muster an der Stelle auch.
Und wenn wir dem Muster folgen, ergibt sich damit diese bekannte Formel, nämlich das Kapital nach n Jahren ist das Startkapital mal 1 plus p durch 100 hoch n. Und jetzt sehen Sie auch, Gleich einige Gründe, warum wir im Vorkurs die verschiedensten Arten anschauen, mit Bruchrechnung, Prozentrechnung, Wurzeln, Logarithmus, die verschiedensten Themen. Die kommen nämlich alle jetzt wieder zusammen, weil sie müssen in der Lage sein, mit solchen Formeln zu arbeiten und die auch dahin umzustellen, wie sie sie gerade brauchen. Die Formeln werden ja eher im Studium noch etwas komplizierter als jetzt das hier.
Und das machen wir jetzt einfach mal beispielhaft. Wir schauen uns mal an, was passiert denn, wenn wir nicht... K N wissen wollen, sondern wir wollen wissen, wie sieht das Startkapital aus.
Das ist noch einfacher Bruchrechnung. Hier müssen wir einfach nur durch das hier teilen. Das heißt, es ist K N durch 1 plus P durch 100 hoch N. Allerdings, wenn wir jetzt wissen wollen, wie es mit dem Prozentwert aussieht und wir haben den Kapitalwert am Anfang, am Ende und wollen wissen, wie viel Prozent müssen wir anlegen bei den Zinseszinsen, dann müssen wir also nach P oder P durch 100 umstellen. Und dazu...
müssen wir zunächst einmal teilen wir Kn durch K0. Und jetzt haben wir aber noch dieses hoch N. Das heißt, wir müssen, um an das Innere ranzukommen, die Ente-Wurzel ziehen aus Kn durch K100 und dann noch diese 1 hier abziehen. So weit dann einmal kommt auch die Wurzel hinzu.
Das heißt also Potenzgesetze. Oder eben noch interessanter, wenn wir uns dafür interessieren, ich möchte gerne wissen, wie viele Jahre dauert es. und ich möchte nach n umstellen, dann sehen wir, dass n steht da oben im Exponenten und an den Exponenten kommen wir nur bei dem Logarithmus ran.
Das heißt also, wir betrachten zunächst einmal den Ausdruck, in dem wir kn durch k0 teilen und danach haben wir das gesuchte n im Exponenten, das heißt wir müssen den Logarithmus zur Basis 1 plus p durch 100 von kn durch k0 nehmen. Jetzt kennen wir aber auch Basiswechsel, das heißt, das können wir auch vernünftig umschreiben, dass wir nicht hier immer mit diesem Logarithmus zu so einer merkwürdigen Basis arbeiten, sondern einfach ganz normal mit dem natürlichen Logarithmus, nämlich, was oben bleibt oben, unten bleibt unten, wie ich immer gesagt habe. Das heißt also, wir erhalten ln von kn durch k0 geteilt durch ln von 1 plus p durch 100. Das könnten wir jetzt noch ein klein bisschen hier oben umschreiben mit Logarithmusgesetzen, wir können es aber auch an der Stelle einfach so stehen lassen.
Wenn wir uns eine Formel merken, können wir alle anderen ziemlich leicht daraus ableiten und dann entsprechend das, was wir suchen, durch Einsetzen herausfinden. Zum Schluss noch eine Anmerkung. Das war jetzt hier alles unter dem Fall, dass sich der Zinssatz nicht ändert im Laufe der Jahre.
Aber es kann ja gut sein, dass man einen Vertrag abschließt, wo sich der Zinssatz im Laufe der Zeit ändert. Und wenn das passiert, dann geht eine andere Formel, und zwar dann geht hier das Produktzeichen ein. Dann haben wir Kn ist K0 mal 1 plus Pi durch 100. Ist also sehr ähnlich zu dem, wir können an der Stelle nur deswegen hoch N schreiben, weil wir jedes Mal das Gleiche dran multiplizieren.
Wenn wir aber jährlich was anderes machen, also Pi, sind halt die verschiedenen Prozentwerte vom ersten, vom zweiten, vom dritten und vierten und so weiter, ja. Und bei der Formel können wir dann eben unterschiedliche Prozentwerte dann dort einfließen lassen.