PNC प्रश्नों के प्रकार और समाधान

हेलो एडिवन गुड मॉर्निंग कैसे हैं आप सब लोग एम आई विजिबल एंड ओडिवल क्लियरली अ येस बिलकुल टाइम पे राधे तो रननिती के इस सीरीज में थोड़ा सा कारवा और आगे बढ़ेगा और आज के इस पर्टिकुलर सेशन बच्चो पी एन सी जो है उसके क्वेस्टेंस हम देखने वाले हैं जो भी अभी रिसेंडली पूछे गए हैं डिफिकल्ट लगता है तो वह जनरली क्या करते हैं यह चैप्टर को छोड़ जाते हैं पर आप देखोगे कि पीएनसी का जो डिफिकल्ट वाला पार्ट उससे तो बहुत ज्यादा क्वेश्चन वह ऐसे पूछे नहीं जाते हैं जीमेन में जो अगर आपके बेसिक्स ठीक है आवाज भारी आ रहा है एक बार ओडियो जरा चेक करना बाकी को ठीक आ रही है आवाज या कुछ प्रोबलम है तो एक बार बता दीजिए ताकि उसके बाद सेशन स्टार्ट करें अब ठीक आ रही है आवाज एक बार चेक करके बता दीजिए गु� ओके ओके, तो स्टार्ट किया जाए, रेडी है सभी कोपी पैन के साथ, सभी के सभी क्या कोपी पैन के साथ में रेडी है, देखो बेसिक्स का मतलब है कि फंडामेंटल काउंटिंग, आना पी एन सी में बहुत सारे क्वेस्टेंस जे इमेन में पूछे जाते हैं, वो जनरली है ओके तो चलिए स्टार्ट करते फिर आज के पर्स क्वेश्चन के साथ देखो जरा तो सबसे पहले देखो जी में जो एक क्वेश्चन पूछे जाते हैं वह रेंक से रिलेटेड क्वेश्चन पूछे जाते हैं और रेंक में भी दो टाइप के rank से related question जो वो किस तरीके के पुछे जाते हैं, दो type के question जो वो अभी पुछे जा रहे हैं, एक आपको कोई word दे दिया और उसकी rank find करनी है, अब rank जो है उसका मतलब क्या है, कि अगर उस word के सारे letters को jumble करके बहुत सारे जैसे words बनाए जा सकते हैं, तो उसमें कोई एक particular जो word है, वो कौन सी position पर आएगा, that is basically rank of that particular word, right? वो पुछे जा रहे हैं कि उसकी exactly rank नहीं find करनी, जैसे अगर मान लिजे कि कोई एक word है उसमें total 6 letter हैं और सारे different हैं तो total उससे 720 words वो बनाए जा सकते हैं with or without meaning right तो अब आपसे ऐसा पूछ लिया जाएगा कि उसमें 650th number पे कौन सा word जो वो आएगा तो ये दो तरीके की problem जो वो पूछी जाती हैं चलो तो अब देखो जैसे अ जैसे आपको tough word जो है इसकी rank यहाँ पे बच्चो find करनी है tough word जो है उसकी rank find करनी है तो एक way तो क्या हो गया कि आप सबसे पहले इसमें देखें कि alphabetical order में सबसे पहला कौन सा आ रहा है उससे कितने words बनेंगे फिर उसके बाद में alphabetical order में कौन आ रहा है बहुत जल्दी जो वो question को solve कर पाएंगे तो उसको जरा समझना उसको जरा समझना कि दूसरा वेज वो क्या है देखो जरा सबसे पहले हम क्या करते हैं कि यह जो टॉफ वर्ड है जिस वर्ड की रेंक आपको फाइंड करने उसको ऐसे का ऐसा बच्चो लिख लीजिए यह वर्ड तो आपके पास में टॉफ और यहाँ पर आपको नजर आ रह तो आप देखेंगे सबसे बहले G आता है उसके बाद H आता है उसके बाद O आएगा उसके बाद T आता है और उसके बाद U आता है तो पहला काम जो हुआ आपका क्या होगा है इसकी numbering करना सेकेट अब देखें क्या है आप यहां से left to right सलिए और देखें कि यहां पर जो भी number लिखा हुआ है इसके right hand side में इससे छोटे number जो हो कितने आ रहे हैं, जैसे यहाँ पे 4 लिखा हुआ है, तो 4 से छोटे number जो हो कितने आ रहे हैं, देखो 1, 2 and 3, तो यहाँ पे मैंने लिख दिया 3, फिर 3 से छोटे number देखो कितने आ रहे हैं, 1 और 2, तो यहाँ पे लिख दिया 2, फिर 5 से छोट 2 factorial, 3 factorial and 4 factorial. यह आपने लिखा, अब आपको simply क्या करना है, इनको आपस में multiply करते वे चलना, और सबको add करते ना है. Multiply करते चलना, सबको add करते ना है, और last में 1 add करोगे, तो आपके पास में आपका final answer आजाएगा. 3 into 4 factorial, plus 2 into 3 factorial, plus 2 into 2 factorial, यह देखो 0 मिल ला है यह भी आपके पास में 0 मिल ला है और लास्ट में कितना है 1 ठीक है तो यह देखो जरा इसको कैलकुलेट कर लेते हैं इस ट्वेंटी फोर इंटू थ्री सेवन्टी टू प्लस ट्वेल प्लस फोर एंड प्लस वन तो यह कितना आ रहे हैं 84, 88 एंड 89 तो कि इस तरीके से यह चोटी जो आपको समझ में आई आप जल्दी से क्वेश्चन जो इसको सोल कर पाएंगे क्या यह पहली वह वैराइटी हो गई बेटा जिसके अंदर आपको लेटर जो रिपीट नहीं हो रहे होंगे अब देखो लेटर जो रिपीट हो रहे हो तो दोनों चीजें समझ लीजिए हो सकता आपकी सिर्फ में ही रेंक का जो सवाल वह फस जाए अन� चले आगे फिर चलो आइए जरा सेकिन और देख लीजिए पोल वोल भी स्टार्ट करेंगे भी पोल भी स्टार्ट करेंगे ये देखो जैमेन अभी रिसेंटली 2024 में पुछा गया था और यहाँ पर जिस वर्ड की यहाँ पर देखो जिस वर्ड की रेंक आपको बच्चों फा तो चलिए इसके अंदर देखो आपको क्या करना होता है इसको भी समझ लो ध्यान से अगेन कुछ एक step जो हो तो वापस से same है जब आपके पास letters repeat हो रहे होते या फिर नहीं हो रहे होते चलो येस बेटा अंकित बिलकुल बरमोस से हो तुम आना देखो तो अब देखो यहां से क्या करना है इसको वापस से पहला आपका step क्या था कि जो word जिसकी rank find करनी है उसको as it is लिख दीजिए तो यहाँ रहा है g उसके बाद t w इन टी एंड वाइट यह हमने वर्ल्ड जो लिख दिया जी 20 सेकेंड स्टेप बच्चों क्या था इसकी नंबरिंग करना एलफाबेटिकल ओर्डर में तो चलिए इसकी नंबरिंग जो वह कर देते हैं तो सबसे पहले एलफाबेटिकल ओर्डर में कौन आएगा इन उसके बाद कौन आएगा जी उसके बाद कौन आएगा उसके बाद कौन आ अब देखो टी दो आ रहे हैं, तो ऐसा नहीं है कि एक टी जो हो चार नंबर पहेगा, और दूसरा टी जो हो पाँच नंबर पहेगा, ऐसा नहीं है, टी जो हो तो भी दोनों ही सेम ही position पहेगे, तो इसलिए हमने दोनों पर क्या लिखते हैं, यहाँ पर 4, और यहाँ पर य लेटर जो है उसके right hand side में देखेंगे कि उससे छोटे कितने आ रहे हैं तो जैसे यहाँ पर 2 लिखा है तो 2 से छोटे देखो कितना है एक 1 ही आएगा तो यहाँ पर मैंने लिख दिया 1 उसके बाद में 4 से छोटे देखो कितने है एक यह 4 से छोटा है एक यह 3 है तो 2 लिटर आ रहे हैं 1 से छोटे कितने है 0, 3 से छोटे कितने है 0, 4 से छोटे कितने है 0, 6 से छोटे कितने है 0 और उसके बाद जो next step था वो क्या था यहाँ पे हमने बोला था कि 0 factorial लिख दीजिए, 1 factorial, 2 factorial 3 factorial, 4 factorial, 5 factorial and 6 factorial. यहां तक की कहानी जो वो तो बिल्कुल same है, जब letters repeat नहीं हो रहे थे, तो वहां पे भी हमने यही किया था, जब repeat हो रहे थो यहां पे भी. अब इसके अंदर देखो बच्चो, जो change आएगा, वो क्या आएगा? अब आपको इसको divide भी करना देखो, इस letter पे खड़े हो, तो इसके right hand side में देखिए, कि कितने letters जो वो repeat हो रहे हैं उसी से divide कर दीजिए और जिस letter के respect में हम देख रहे हैं उसी के उसको भी आपको include करना है जैसे इस letter को include करते हुए इसके right hand side में कोई letter कितनी बार repeat हो रहा है ती जो वो देखो दो बार repeat हो रहा है इसके अलावा और कोई भी चीज जो repeat नहीं हो रहा है तो इसका मतलब दो letter अगर repeat हो रहे हैं तो two factorial जो उसको से divide कर देंगे फिर अगर मैं T पे कड़ा हूँ तो T को भी include करना है, तो एक T देखो यहाँ आ रहा है, एक T यहाँ पे आ रहा है, तो इसको भी आप 2 factorial से divide कर दीजिए, अब अगर मैं W पे कड़ा हूँ तो इसके right hand side में देखो, अब कोई भी letter repeat नहीं हो रहा है, क्योंकि एक T जो वो पीछे तो देखिए जरा 1 into में 6 factorial divided by 2 factorial plus 2 into में 5 factorial divided by 2 factorial plus में 3 into में 4 factorial ये सबका सबकुछ जो वो 0 मिल चुका और ये लो last के अंदर तो ये देखो यहां से कितना गए 720 divided by 2 that is 360 plus ये कितना मिलेगा 120 ये कितना मिलेगा बच्चो तो यह आप देख पा रहे हैं कि कितना आसानी से आप क्वेश्चन को सोल कर पाएंगे अगर यह वाला मैथड जो वह अगर आप सीख गए तो बहुत जल्दी जो है आप क्वेश्चन को सोल कर पाएंगे राइट मजा आ रहे हैं येस तो मजा लेते रहे हैं और इस तरीके के चीजे मैं आपको सिखाता रहूंगा तो आप टेंशन मत लीजिए, अगर पी एन सी के थोड़े बहुत बेसिक्स भी आपको आते हैं तो आप क्वेस्टन जोब उसको जरूर ठीक करके आओगे, तो आई होग कि ये दोनों बातें जो आपको अच्छे से क्लि शोल करना है तो मैं पोल स्टार्ट कर देता हूँ उसमें जल्दी से शोल कीजिए बच्चो इसको जल् आज दूर में यह से तीबाब बिल्कुल रहमान बिल्कुल कस्मीरी बालक होना तुम ठीक है इस बार आपको रेंग नहीं फाइंड करने इस बात का जानक नहीं इस बार आपको रेंग नहीं फाइंड करनी है इस बार आपको बोला गया कि यह जो वर्ड है और इसके letters को जब से जंबल करके जो words बनाएंगे, उनमें 50th word जो आपको find करना है, हो गया है सबका, चलिए, आईए जरा करते हैं देखते हैं इसको, देखो, सबसे पहले, देखो words जो बनाएंगे, जो ये words बनाएंगे, इसके बारे में जरा समझियेगा थोड़ी सी चीजे, कि जो वर्ष बनाते तो इसका अलग कि जो एलफाबेटिकल ओर्डर में सबसे पहले लेटर आएगा उससे स्टार्ट होने वर्ष आएगी तो सबसे पहले देखो इसके अंदर कौन आ रहा है बी यानि आपने जो फर्स्ट पोजिशन है उसपे बी को बच्चा आ रहा है फिक्स कर दिया फर्स्ट जो पोजिशन है उसपे आपने क्या कहे दिया बी को फिक्स कर दिया अब आपके पास में टोटल चार पोजिशन और ब यहाँ पे 2 वे से यहाँ पे 1, यहाँ पे 24, इसका मतलब क्या है कि 20 दे स्टार्ट होने वाले टोटल 24 वर्ड्स बनाई जा सकते हैं जिसके अंदर इन सारे लेटर्स का यूज़ हो सोरी ऐसा आ गया है अब देखो बी के बाद जो यहाँ पे कोण आ रहा है ऐसा नहीं कि बी के बाद सिर्फ दूसरा बी आ रहा है चलिए उसके बाद एच हेच को अगर हमने फिक्स कर दिया तो अब आपके पास में 4 लेटर बने बी जे ओ अब ये जो 4 लेटर है 4 लेटर से टोटल किनने वर्ष बन सकते है 4 फैक्टोरियल बट उसमें से 2 जो वो एक जैसे है तो अलाइक होने की वज़े से डिवाइड कर दिया तो ये लीजिये 24 बाई 2 जो वो किनना आगे 12 अभी देखो 24 वर्ष यानि total 36 words आपके पास बन चुके, आपको कहां तक पहुंचना है, 50 तक, तो चलिए B के बाद H आ गया, H के बाद कौन आएगा, J, तो J को मैंने fix कर दिया, और J से start होने वाले words के अगर मैं बात करूँगा, तो यहाँ पे ये भी क्या होंगे बच्चो, 4 factorial divided by 2 factorial, this is 12, तो यानि बी से स्टार्ट होने वाले वर्ड सबसे पहले हैंगे फिर उसके बाद एट से स्टार्ट होने वाले उसके बाद जे से स्टार्ट होने वाले अगला लेटर कोन है ओ तो अब फोटी एट वर्ड जो वो यहाँ पे बन चुके है अब अगर मैं आप से पूछू कि फोटी नाइन्थ वर्ड जो वो क्या होगा तो आप बोलेंगे ये सर वो ओ से स्टार्ट होगा बिलकुल सही बात है उसके बाद में एलफो बेटिकल ओडर में लिखे तो पहले द क्योंकि उसे start होने वाले सारे words आएंगे उसके बाद bb को भी मैंने ऐसा रखा और j और h जो है उसकी location को हमने क्या कर दिया interchange तो यह ऐसा करने से देखे जरा क्या option c आपको मिल रहा है yes sir तो यह इसका right answer है option c देखते जरा किन्ने बच्चों ने ठीक किया है ओहो काफी सारे students ने इसको ठीक किया है कुछ बच्चे ने तो 6 second में कर दिया पता नहीं या हो सकता है इसने पहले कर रखा हो ठीक है चलिए आगे बटे फिर नेक्स्ट क्वेस्टन पर चले चलो जरा नेक्स्ट क्वेस्टन देखो इसी तरीके का दूतरा सवाल है इस बार किसके वर्ष को देखो आपको यहाँ पर अरेंज करना है आपको बताना है कि 350th position जब इसके वर्ष को जंबल, letters को जंबल करके words बनाएंगे, तो 350th, 15th position जो है, उस पे कौन सा word आएगा, यह आपको, sir answer side में लिखा, हाँ, बला answer से क्या फर्क पड़ रहा है, तुम चीटिंग थोड़ी करोगे, तुम तो अच्छे बच्चे हो न, चीटिंग थोड़ी करोगे, क्या ही मिलेगा त� अब इसके बाद में total यहाँ पे 6 letters थे तो 5 positions और बची, अब 5 positions से और सारे के सारे letters जो है वो क्या है डिफरेंट है, तो 120 words जो हो यहाँ से बन रहे हो, एके बाद देखो alphabetical order में बेटा कोन आएगा G, तो यह लीजे मैंने G को fix कर दिया, G को fix कर दिया तो वापस से अब यहाँ कि 120 और ले लिए तब तो 360 जो बन चुके होंगे इसलिए आपको क्या करना देखो एक हो गया जी हो गया और उसके बाद में कौन आएगा एंड अगर मैं सिर्फ और सिर्फ बेटा एन को फिक्स करूंगा तब तो 120 वर्ष बन जाएंगे और 120 बन गए तो 360 बन जाएगा लेकिन अपने को तो 315 तक ही पहुंचना है तो इसका बताएगा एन के बाद आपको भी एक लेटर और जो है उसको फिक्स करना पड़ेगा तो इसके बाद में देखो कौन आएगा, alphabetical order में A आएगा, तो मैंने A को fix कर दिया, अब total 4 आपके पास में और letter बचे, उनको arrange करने के तरीके 4 factorial, यानि 24, तो 240 और 264 words जो वो यहाँ तक बन चुके हैं, चलिए, अब मैं बोलू कि A को, N, A से start होने वाले सारे words आगे, अब A के फिर से चार letter और बचेंगे उसको रेंज करने के तरीके, 4 factorial 24 words ये बन गए, चलिए फिर से देखो, alphabetical order में हम बात कर रहे हैं, n के बाद a आ चुका है, g आ चुका है, अब कौन-कौन और बच गए, p, u, r, उसमें सबसे पहले कौन आएगा बेटा, p ही आएगा, तो ये पी से स्टार्ट होने वाले वर्ड्स आ गए ये भी कितने मिलेंगे 4, 24 तो देखो कितने वर्ड्स यहां तक बन चुके है 240 थे 240 और 60 300 और 312 वर्ड्स जो वो बन चुके है 312 वर्ड्स जो वो बन चुके है इस बात का ध्यान रखेंगे 312 वर्ड्स बन चुके है अब अगला जो वर्ड होगा N होगा और P के बाद में कौन होगा R यह ऐसा है अब अपने को बताना है कि इसके बाद में third position जो उस पर कोन आएगा तो मैं अब देखो यहाँ पर क्या कर रहा हूँ nr के बाद में n अगर कर दिया तो मैंने अब एक यहाँ पर देखो a fix कर दिया एक g fix कर दिया अब यह मैंने 4 letter पहले 2 fix की तो अब 4 कर दिये तो अब देखो अगला कौन बचा n r a g अगर यह fix हो गया तो एक p बचा एक u बचा तो इसका अगला जो word होगा वो आएगा p u अब अगर मैं फिर से ऐसी चीज करूँ n r ए जी और यह लीजिए यूपी तो यह आपके पास में 313 वर्ड है यह आपके पास में 314 वर्ड बट आपको जो चाहिए वह क्या चाहिए इसके जस्ट बाद वाला वर्ड चाहिए तो इसके जस्ट बाद वाले वर्ड में देखो क्या है का एन जो था वह एजिटिस था आर जो था वह एजिटिस था ए जो था वह एजिटिस था अब बेसिकली तीन लेटर्स को आपको इधर-उधर करना तो पहले जी आ चुका है अब अगला को आएगा पी आएगा फिर अगला कोन आएगा जी आएगा और फिर यू तो इस आर थ्री हंड़े फिप्टीन तो वर्ड यानि basic counting जो उसके अंदर करनी है अब देखो अगर किसी को माल लीजिए कि PNC आती है नहीं आती है उससे क्या फिर बढ़ रहा है यहाँ पे basic counting जो है वो आपको करनी है तो I think कि आपको इस चीज जो क्लियर होगी कि किस तरीके से ring find करेंगे या किसी particular position वाला word अगर आपको find करना तो उसको कैसे find किया जाएगा ठीक है क्या? क्लियर है ये चीज? जल्दी बता दीजिये, आगे बटे तो ये फर्स्ट वाराइटी के क्वेस्टन हो गए जो पी एंसी के अंदर पूछे जाते हैं, रेंक से रिलेटेड आईए जरा नेक्स्ट क्वेस्टन पे बात करते हैं, सर रिपीट, क्या रिपीट करना बेटा इसमें देखो, यहां तक हमने पहले देखे सारे के सारे तो यहां प अभी मैं दो लेटर फिक्स करता जा रहा था यहाँ पे भी अगर मालो मैं N और R को फिक्स करता तो फिर से 24 वर्ड बन जाते यानि वो तो 315 से उपर चला जाता तो इसलिए मैंने को एक ओर वर्ड एक ओर लेटर जो है उसको फिक्स करने की ज़रूरत थी 3 को अरेंज करने के तरीके 3 फैक्टोरियल तो 312 यहाँ तक बन चुके थे 6 और बन जाते तो 318 आ जाते इसका मतलब एक ओर जो हुआ आपको फिक्स करने की ज़रूरत पड़ेगी तो ये इस तरीके से बच्चो question जो उसको किया जाएगा चलिए next question जो आइस को कीजे जल्दी से आपके लिए पोल जो है वो available करा देत कि एक आफिब जनता का आ रहा है तो आप देखते हैं ज़रा क्या बोला जा रहा है कि यहाँ पर एक वर्ड आपको दे रहा बेटा इंडिपेंडेंस और इस पर के अंदर आपको बोला गया है कि ऐसे कितने वर्ड बनेंगे जिसके अंदर सारे वोवल्स जो है वो एक साथ आ रहे होंगे तो वोवल्स जो है उ तो जो भी आपके पास में ऐसा बोला चाहता है कि letters एक साथ आ रहे हैं उन सारे letters को आप एक मान लेजिए अब ये आपको पाँच letters नहीं नजर आने चाहिए एक ही letters जो वो नजर आना चाहिए इसके अलावा देखो कौन बचा n बचा d बचा p बचा n बचा d बचा n बचा तो इसका बाद देखो जरा टोटल number of letters जो वो यहाँ पर कितने है, तो total number of letters अगर मैं count करूँगा तो 3 और 4 यहाँ पर है 7, 7 letters यहाँ पर है, यहाँ पर क्या 5 letters है, नहीं, 5 नहीं आने चाहिए आपको, यह एक है, तो 7 plus 1 जो वो टोटल कितने है, 8 letters हो गए, 8 को arrange करने के तरीके अब देखो इन 8 में कुछ एक जैसे भी है, जैसे n जो है वो यहाँ पे देखिए 3 बार repeat हो रहा है, तो इसकी वज़े से 3 factorial, फिर यह d जो है यहाँ पे 2 बार repeat हो रहा है, तो उसकी वज़े से 2 factorial, अब यह वो वेश जो हो सारे एक साथ आने चीज़ी है, बट एक साथ में दे� फैक्टोरियल ठीक है तो अब इसको कैलकुलेट कर लेते हैं यह देखो आप 720 इसको ऐसा लिख देना 720 इंटू एट इंटू सेवन डिवाइडेड पाई सिक्स इंटू टू इस ट्वेल्ड और यहां से फाइव तो यह देखिए कितना मिल गया आपको सिक्स ना कैलकुलेशन देखो कैसे रहे हो वह भी देखते जाओ तो सिक्स इंटू फाइव 300 और यह लीजिए 56 तो यह आगे सिक्स इंटू 318 एंड डबल जी रो तो 16000 800 यानि कि ए ओप्शन जो वो बच्चो आपके पास में क्या होगा इसका राइट आंसर ठीक है तो ये ओहो काफी ज़्यादा बच्चों ने यह वाला क्वेस्टन जो सही किया है फेवरेट क्वेस्टन है का तुम लोगों का यह हाँ फेवरेट क्वेस्टन है चलिए आगे ब� आपको पाँच नंबर्स दे रहे हैं ना, नंबर्स वाले क्वेश्चन जो वो भी काफी सारे जो वो अभी आजकल ट्रेंडिंग में ये भी काफी सारे क्वेश्चन इस तरीके के पूछे जाते हैं, जिसके अंदर आपको कुछ एक डिजिट्स जो वो दे दी जाती हैं औ अरे रोहित देख लेंगे बेटा अभी तुम खुद को तो देखो पहले थोड़ा सवाल पे ध्यान दो यार क्या लीडर बोर्ड देखो देख लेंगे वो भी आना देख लेंगे अभी क्वेस्टेंस पे फोकस करते हैं चलिए तो देखो साथ हजार से बड़े इंटीजर्स 5 digit अगर मैं numbers बनाता हूँ, 5 digit numbers, तो क्या मैं ऐसा बोल सकता हूँ कि 5 digit के तो भी जितने भी numbers होंगे, वो सारे के सारे 7000 से बड़े होंगे, क्योंकि main problem है आपके पास 4 digit वाले में, 5 digit के तो जितने भी numbers होंगे, सारे के सारे ही जो वो क्या होंगे, 7000 से बड़े होंगे, तो 5 digit क चार डिजिट के वो नमबर्स बनाने हैं जो कि 7000 से बड़े होने चाहिए और इन 5 डिजिट का यूज करके बनाने चाहिए तो एक बात बताईए जरा ये वाली जो फर्स्ट पोजिशन है क्या यहाँ पर कभी भी 7 आ सकता है क्या और 8 आ सकता है क्या नहीं ये दोनों अश्री अब 4 digit का number है तो वो तो 6000 something होगा तो 7000 से छोटा हैगा similar way में 3 और 5 से भी start होने वाले जो भी यहाँ पे numbers होंगे वो सारे 7000 से छोटे हैं यानि इस position को fill करने के बेटा दो ही तरीके हैं या तो यहाँ पे 7 आजाए या फिर यहाँ पे 8 दो तरीके हैं अब दो में से कोई सा भी एगर एक digit यहाँ पे आ गया अब चाहे इन यहाँ पे digit किसी भी तरीके से आए वो number हमेशा ही बेटा क्या होगा 7000 से बड़ा तो एक digit यहाँ पे fix हो चुकी है repetition allowed नहीं है total 4 digit और बची है तो यहाँ पे 4 तरीके से कोई आएगी यहाँ पे 3 तरीके से यहाँ पे 2 तरीके तो यह देखो जरा कितना आ रहा 48 तो total words जो वो यहाँ पे कितने बन रहे होंगे 168 यानि B option जो है वो आपके पास में क्या होगा बच्चे, इसका right answer, आसान question है देखो, तो ऐसा नहीं है कि J-Main में PNC के सारे questions जो वो tough आते हैं, बड़े ही, ओ sorry मैंने गलती से sorry A पे mark कर दिया था, B होगा, तो B जो 75% student ने सही किया है, आना गलती से A पे जो मैंने mark कर दिया, right, चलिए आगे शर्नी यह कर दिया हां वह गलती से हो जाता है तो नो सर रेंक गया टेंशन बदलो रेंक तुम्हारा कहीं नहीं गया रेंक जो जैम आएगा उसका ध्यान रखो तुम्हारा वाला ठीक है कोई दिक्कर नहीं संभाल लेंगे आइए जरा देखो यह बड़ा ही प्यारा सा एलिमेंट से अब आपको इसके नंबर ओफ नोन एमटी सबसेट्स बताने हैं तो यहां पर टोटल किन्न एलिमेंट्स है अब आपको क्वेश्चन जा रहा है उसके अंदर ऐसा बोला जा रहा है कि ऐसे सबसेट्स आपको बताने हैं जिनके एलिमेंट्स का जब मैं सम करूं तो वो थ्री से डिविजिबल होने चाहिए तो इसका बताओ सबसेट में बेटा है एक element भी हो सकता है, दो element भी हो सकता है, तीन भी हो सकता है, चार, पांच, सेर, साथ कितने भी हो सकते हैं, तो सारे cases जो वो आपको बनाने पड़ेगे, जैसे मैं ऐसा बोलू कि पहले तो ये जो numbers हैं, इनको थोड़ा सा observe कर लीजिए क सुबह इतनी अच्छी अच्छा मौसम हो रखा नींद वाला, सिदा पेपर देने जाने की प्रैक्टिस करो तुम तो, तो मैं कुछ करने की क्या ही जरूरत है, तो आइए जरा, तो यहाँ पे देखो मैं बोल रहा हूँ कि जो नंबर्स आपके पास में, वो नंबर्स क एक number जो वो 3 lambda plus 1 type का होगा, और एक number जो 3 lambda plus 2, क्योंकि अगर मैं 3 के respect में बेटा देखूँगा, तो इस दुनिया में 3 ही type के number है, या तो वो 3 से divisible होगा, या 3 से divide करूँगा, तो remainder 1 आएगा, या फिर 3 से divide करूँगा, तो remainder 2 आएगा, यही possibility है, चलिए, तो अब देखो जो र 7, 10 और remainder 2 वाले देखो कौन है 2, 5 and 11 यह इस तरीके से 7 number जो इनको में category में इनको divide कर दिया अब देखो क्या है अब मैं ऐसा बोलना हूँ कि जो आपको number of non-empty subset जो बनाने है तो आप उसके अंदर देखे कि total कितने elements है case 1, case 1 जैसे अगर मालों मा बोल दू one element ऐसे सबसेट्स कितने बनेंगे जिसके अंदर एक ही एलिमेंट हो और वो थ्री से डिविजिबल होना चाहिए तो ऐसा तो एक ही बिलना होगा तो यहां से टोटल एक सबसेट्स जो वो बन गया आगे बढ़ते हैं चलिए केस टू में बच्चों मैंने बोल दिया टू कि यहां से दो ऐसे elements आपको select करने हैं, जिनका sum जो वो 3 से divisible होना चाहिए, तो एक बात सोची बेटा, अगर आप एक number यहां से ले, और दूसरा number यहां से ले, तो उनका sum देखो कितना आ रहा है, 6 lambda plus 3 sum आ रहा है, और 6 lambda plus 3 क्या 3 से divisible है, जी सर divisible है, इसका मतलब इन तीनों में से आप कोई एक number ले लीजे, 1, 7, 10 में से, उसके तरीके कितने 3C1, और एक number इन तीनों में से ले लीजिए, तो उसके वे किन्ने 3C1, तो ये total यहां से किन्ने आगे, 9, यानि दो element वाले total किन्ने subset बन गए, 9, चलिए आगे बढ़ते हैं फिर, next देखते हैं case 3, 3 elements, इसका मतलब क्या हो गया, कि 3 element, ऐसे कोन-कोन से आप 3 element जो बच्चों ले सक अगर मान लो आपने एक नंबर यहां से ले लिया और उन तीनों 3 lambda plus 3 lambda 9 lambda and plus 3. तो क्या 9 lambda plus 3 जो वो 3 से divisible है क्या? जी सर है. इसका मतलब जो पहला है उसमें से आप एक element ले लीजिए. जो दूसरी category है उसमें से एक element. जो तीसरी category है उसमें से एक element. क्या और कोई ऐसी possibility है जहां से अगर आप 3 element लो तो वो divisible हो? जी सर है कैसे? अगर आपने तीनो एलिमेंट जो वो अगर यहीं से ले लिए, तो उनका सम जो है वो भी तो 3 से डिविजिबल है, तो तीनो में से 3 सेलेक्ट करने के, या फिर तीनो एलिमेंट जो आप यहां से भी ले सकते हैं, तो चलिए तीनो एलिमेंट आप यहां से भी ले सकते ह सेलेक्ट करने के कितने तरीके होंगे और इस तरीके से सेलेक्ट करना कि उनका सम जो वो क्या हो जाए बच्चो थ्री से डिविजीबल तो वापिस से देखिए कि चार एलिमेंट कैसे कर सकते हैं अगर मैं ऐसा बोल लो कि दो एलिमेंट आप देखो यहां से ले लीजिए या फिर ऐसा हो सकता है कि एक डिजिट यहां से ले लीजिए और बाकी के तीन डिजिट वो यहां से ले लीजिए तो 1C1 इंटू में 3C3 और देखो क्या possibility हो सकती है चार लेटर्स को select करने की अगर मैं ऐसा बोलूं कि आप मान लो कि दो लेटर जो वो यहां से select कर लो और ऐसे case में क्या उन चारों का समझो वो त्री से डिविजिबल होगा क्या तो आपको दिख रहा होगा कि वो नहीं होगा अच्छा अगर आप लीजिए कि यहां से तीन ले लो यहां से एक ले लो तो डिविजिबल होगा क्या नहीं होगा अगर एक यहां से ले लो तीन यहां से calculation बच्चो देखते जाना, calculation जो है उसको ध्यान से देखते वे चलना, आना calculation को ध्यान से देखते वे चलना, चलिए case, next case, अब मैं बोल लाओ कि 5 element अगर हो, 5 element जो वो अगर हो तब क्या होगा, चलिए, तो अब देखो, 5 element जो है, वो कैसे हम लेंगे, इस बात को समझना, क्या कह रहे हैं आप नीचे वाले दोनों से दो ले फोर वाले में दो लेंगे तो हो रहा है क्या कहां हो रहा है दो लेंगे तो यह देखो 6 लैमडा प्लस 2 होगा और यहां से किना हैगा 6 लैमडा प्लस 4 आएगा क्या यस हो रहा वो भी हो रहा है मतलब 2 यहां से ले लीजिए और 2 यहां से ले लीजिए तो 3C2 तो यह किन आजाएगा यह भी मिलना आपके पास 11 यह भी आजाएगा फिर अगर बात करें 5 एलिमेंट की तो 5 एलिमेंट में देखो क्या होगा वापिस से आप ऐसा चोची है कि 2 एलिमेंट यहां से ले लो 2 यहां से ले लो तो 1C1 नेक्स्ट आएगा 3C2 और नेक्स्ट आएगा आपके पास में 3C2 तो 9 यह होगे और कोई तरीका है क्या अगर मान ले जि आप 3 element यहां से ले ले, 2 यहां से ले ले, तो क्या वो 3 से divisible होगा क्या? नहीं होगा, अगर 3 यहां से ले ले, 2 यहां से ले ले, तो क्या वो divisible होगा क्या? नहीं होगा, तो I think इसके अंदर 9 case जो यहां पे आपको बन लेगो, ठीक है, चलिए फिर next बात कर तो 6 elements देखो कैसे select कर सकते हैं या तो आप तीनों ये कर लीजिए या फिर तीनों जो ये कर लीजिए तो 3C3 मलब तीनों आपको करने पड़ेगे 3C3 इंटू में 3C3 ये कितना आगे आप बन और यहां से एक ही आएगा फिर case 7 सातो element 7 element तो yes अगर माल लीजिए मैं सातो के है तो यह सारे केसिस बनेंगे तो टोटल आपको पूछा गया था टोटल सबसेट कितने बनेंगे दे 9 plus 1, 10 और ये 9 plus 1, 10 10, 20 20 और 22, 42 प्लस का 143 So this will be our final answer ठीक है क्या? I hope ये आपको clear हो गया होगा नहीं समझा, तो बेटा एक बार दुबारा से देखना वीडियो जब खतम हो जाए तो इतना डिटेल में तो बताई ये यार सारी चीज़ें चलिए बढ़ते हैं फिर next question पे, आईए जारा, यहाँ पर देखो इस तरीके के questions को कैसे जो वो deal किया जाता है इसको समझना, ऐसा बोला जारा है कि the total number of positive integral solutions of x, y, z such that x into y into z is equals to 24, x into y into z 24 बोला है, 24 को बेटा factorize कर दीजिये, तो 2 की power 3 into मैं क्या बोल सकता हूँ इसको 3, इसका मतलब देखो यह जो तीन नंबर x, y, and z है वो या तो 2 का multiple होगा या फिर 3 का multiple होगा ऐसा बोल सकते हैं तो क्या मैं इसको देखो ऐसा बोल सकता हूँ कि x जो है उसको सपोज आपने बोल दिया कुछ है 2 की पावर में alpha 1 into में 3 की पावर में beta 1 ऐसा बोल दिया y को एक बार के लिए बोल दीजिए 2 की power alpha 2 into 3 की power beta 2 और z को हमने बोल दिया 2 की power alpha 3 into 3 की power beta 3 क्योंकि 2 या 3 के multiple की form में आएगी तो अब देखो अगर यहाँ पे मैं डाल लो तो 2 की power में आ रहा है alpha 1 plus alpha 2 plus alpha 3 into 3 की power में आ रहा है beta 1 plus beta 2 plus beta 3 और यह किसके एक बार 2 की power 3 into 3 ऐसा लिख सकते हैं इसको, अब ज़रह एक बात सोचो यहां से, अगर हमने इसको ऐसा लिख दिया, तो अब यह जो 2 की पावर है, एलफा 1 प्लस एलफा 2 प्लस एलफा 3, यह 2 की पावर बेटा किसकी एकवल आनी चाहिए, 3 की एकवल, यानि एलफा 1 प्लस एलफा 2 प्लस एलफ यहां तक आई होगी कि किसी को कोई दिक्कत नहीं होगी बोलो अब alpha 1 plus alpha 2 plus alpha 3 को 3 है यानि कि alpha 1 alpha 2 alpha 3 को sorry सेलेक्ट करने के जो total number of ways है वो क्या होगे alpha 1 alpha 2 alpha 3 जो वो यहाँ पे है क्या इनकी value देखो क्या हो सकती है alpha 1, alpha 2, alpha 3 जो है इनकी value क्या हो सकते है यह आपको समझना है क्या मैं ऐसा बोल सकता हूँ कि यह non-negative number से इसकी value 0, 1, 2, 3 इस तरीके से कुछ हो सकती है तो इसके जो number of non-negative integral solution होते हैं वो क्या होते है जैसे अगर यह एक equation है x1 plus x2 plus x3 से लेके xr is equals to x अगर आपसे पूछा जाए कि इसके number of non-negative integral solutions कितने होंगे, तो आपका जवाब होगा n plus r minus 1, c r minus 1, right, ऐसा हैगा, तो यहाँ पे भी देखो n की value 3 है, r की value 3 है, minus 1, c 3, minus 1, तो 5 c 2, 5 c 2 is 10, यहाँ से देखो n की value 1 है, r की value 3 है, और यह वापस है, तो 3 c 2, this is 3, तो total numbers कितने बने इसको सेलेक्ट करने के वेज ट्रेन है, इंटू में इसको सेलेक्ट करने के वेज थ्री है, तो ये कितना मिल गया, आपके पास में थर्टी, तो डी ऑप्शन जो बच्चो आपके पास में इसका क्या होगा, राइट आंसर, ठीक है क्या, सेट है मामला, आगे बड़े, चलिए इसमें बोला है the sum of all the four digits distinct numbers that can be formed with the digits 1, 2, 2 and 3 इसको समझना जा रहा है ध्यान से, आना sum जो पूछा जाता है क्योंकि इसके अंदर आप options भी देख रहे हैं कि कितना बड़ा सा number आ रहा है क्या कहना चाहिए पहले तो सवाल का मतलब समझ दीजिए इसने बोला है कि ये जो चार डिजिट आपको दे रहे हैं कि 1, 2, 3 इनसे पहली बात तो यह बताए कि 4 डिजिट के टोटल आप कितने नंबर बना सकते हैं, तो आपका जवाब होगा सिर 4 factorial divided by 2 factorial 12, यानि आपसे यह पूछना चाहरा है कि यह जो 12 नंबर आपके पास में बन रहे होंगे, इन सारे नंबर का सम जो है वो कितना होगा, इन सारे नं� अगर मैं ऐसा बोलूं कि suppose आपने unit place जो है उस पे अगर मालों एक बार के लिए 2 जो उसको fix कर दिया, 4 digit के number बनेंगे उसमें मालों कि आपने यहाँ पे 2 को fix कर दिया, यहाँ आप चाहो तो first वाली position जो यहाँ पे मालेंगे unit place पे आपने 2 को fix कर दिया, तो ऐसे total कितने numbers बनें अरेंज करने के तरीके 3 factorial, अगर मैं आपसे पूछू कि 1 जो है वो first position पे कितनी बार आएगा, तो 1 को fix कर दिया तो आप total किन दे numbers और बनेगे, तो अब बनेगे 3 factorial by 2 factorial, this is equals to 3, ध्यान से समझना बड़ा ही प्यारा concept है, इसके बाद अगर हम बात करें, यहाँ पे 3 जो हो किन द इसका मतलब क्या हुआ ध्यान से समझेगा कि इसका मतलब क्या हुआ कि जो टोटल 12 नंबर से आपके पास में बन रहे हैं मतलब समझना इसका क्या मतलब है कि टोटल इन 4 डिजिट्स का यूज करके जो 12 नंबर आपके पास में बन रहे हैं जो 12 नंबर से आपके पास में बनें तीन नंबर ऐसे होंगे जिनमें unit place में one आ रहा होगा और तीन नंबर ही ऐसे होंगे जिनमें unit place में three आ रहा होगा अब जैसे मैंने unit place के लिए बोला वही सेम चीज जो हो टेन्स place के लिए होगी वही सेम चीज बेटा hundred place के लिए होगी और वही सेम चीज जो हो टेन्स place में sorry thousand place म तो 6 number ऐसे जिसमें 2 आ रहा है, 3 number ऐसे जिसमें 1 आ रहा है, 3 number ऐसे जिसमें 3 आ रहा है, भई 6 position पे 2 आ रहा है तो सबका sum कितना हो गया है, 2 plus 2 यानि 6 into 2, 3 position पे 1 आ रहा है तो 1 plus 1, 3 position पे 3, अब यही काम जो है, वो unit position पे होगा तो 1 से multiply कर दिया tens position के लिए आपने tens से कर दिया 100 के लिए 100 से कर दिया और ये 100 से ये क्या है सर ये जो आपने अभी किया है ये क्या है ये देखो बेटा simple है जैसे अगर मान लो मैं ऐसा बोलू कि 5, 50, 5, 8, 2 है और यहाँ पे मान लीजिए कि आपने 3, 1, 3 जो उसको add किया तो ये देखो कितना बनता 5 ये कितना आता 9 और ये कितना आता 8 कि आपने यह फर्स्ट वाला किया 3 प्लस 25 जो सेकेंड पोजीशन पर जो नंबर सा रहे थे उनको आपने एड किया और फिर उसको टेंस से मल्टिप्लाई कर दिया यहां वालों को आपने एड किया और फिर उसको आपने हंड्रेट से मल्टिप्लाई कर दिया तो इसको आप देखेंगे तो यह भी कितना बन रहा होगा 895 जो बन रहा होगा इसका बता यहां पर भी हमने क्या किया कि जो बारा नंबर थे उसमें यूनिट प्लेस में जितने भी नंबर आ रहे हैं उनको लिखा फिर जो 10th place पे जो digits आ रही थी उनके sum को हमने 10th से multiply कर दिया, 100th place पे जो आ रही थी उसको 100 से और 1000 वाले को ऐसे, तो ये उन सारे numbers का total समा जाएगा, ये देखो किना है, 6 x 2, 12, 3, 15, और नो, 24, 24 x me, this, sorry, 4 बार आएगा, भावनाओं बैके बहुत जाएद वाले लिख 26664 यानि option A जो है वो इसका right hand मज़ा आया क्या? क्या ये सबको clear हो गया है? मज़ा आया क्या? जल्दी बोलो क्या अगर आगे से sum का सवाल आएगा अगर आपके उसमें shift में तो क्या उसको सही कर पाओगे? पक्का सही करेंगे? शाबाज बहुत अच्छे चलो आगे बढ़ते हैं फिर next सवाल की तरफ चलिए ये आपको एक बार poll करवा दू आपसे चलिए कीजिए सवाल को जल्दी से सोल अच्छा ओ इंटीजर टाइप पोल है क्या? आ तो चली एक बार दुबार इंटीज़र टाइप का पोल करवा देते हैं, चलिए, अब कीजिए, ये जैमेंट 2021 में बच्चों ये सवाल जो पूछा गया था, the number of three digit even numbers formed by the digits this this, if the repetition of, अहो ये तो बहुत जादा आसान सवाल हो गया, काफी जादा आसान सवाल हो गया ये तो, इसको तो सबी के सबी बच्चे कर सकते हैं आना सबका अंसर ठीक है तो आइए जरह देखते हैं क्या बोला जा रहा है इसमें, the number of 3 digit even numbers आपको बताने है, तो even number क्या होगा भी, जिनकी unit digit जो आपके पास में क्या आ रही होगी, 0, 2, 4, 6, 8 इस तरीके से आ रही होगी, और 3 digit का आपको number जो हो चाहिए, तो चलिए देखो 3 digit का अगर number चाहि अगर पहले 0 को fix कर दिया तो ऐसे even numbers कितने बनेगे अगर 0 को fix कर दिया तो देखो 3 और 2, 5 digit और बची है तो पहली position में 5 तरीके से कोई एक आएगा दूसरी पे 4 यानि यह आगे 20 अब दूसरे में बोल लो कि यहाँ पे देखो 4 भी आ सकता है और 6 भी आ सकता है तो इन दोनों में से अगर कोई एक आएगा तो इस पे आने की possibility होगी 2 अब देखो first position में क्योंकि repetition allowed नहीं है तो एक तो जो digit यहाँ पे आ चुकी है, क्या वो digit यहाँ आ सकती है, क्या नहीं आ सकती है, और साथ में इस position पे क्या 0 आ सकता, नहीं, यानि इस वाली पे देखो कौन बचा, 0 नहीं आ सकता, 1 आ सकता है, 3 आ सकता है, 7 आ सकता है, 4 और 6 में से कोई एक आएगा, यानि 4 possibility है, तो अगर ये total जो आपके पास में थी कितने 3, 2, 5, 6 digits थी उसमें से एक यहाँ use कर ली एक यहाँ तो 4 possibilities और बची तो यहाँ आगे 32 तो total आपके पास में कितने numbers बच्चों बन रहोगे 52 तो यही क्या होगा इसका right answer काफी students का यह वाला ठीक है बहुत अच्छे देख चलिए बढ़ते हैं next सवाल की तरब यहाँ पर देखो बच्चों सवाल में क्या बोला जा रहा है आपको जेइ मेन 2024 का सवाल है ऐसा बोला के कि there are 4 men and 5 women in group A ये देखो कोई group A है आपके पास में group A इसके अंदर group A जो इसके अंदर बच्चों देखो क्या हो रहा है 4 men है और 5 जो वो women है एक आपके पास में group B एक group B जो वो आपके पास में group B में देखो कोई है एंड फाइब मैन यहां पर इस बार जो उल्टा हो गया फाइब मैन है एंड फोर जो वो क्या है वीमन है येस आगे बढ़ते हैं इफ फोर परसन्स आर सेलेक्टेड फ्रॉम इच ग्रूप देन दे नंबर ओफ वेज ओफ सेलेक्टिंग फोर मैन एंड फोर वीमन इस आपका यहां से भी आपको 4 person select करने है और यहां से भी जो वो 4 person select करने है लेकिन जो finally आपके पास में 8 person आ रहे होंगे उसके अंदर 4 men होने चाहिए और 4 women होने चाहिए तो देखो कैसे कर सकते हैं अगर मान लिजिए कि मैंने पहले group से 3 men को select कर लिया तो एक woman जो है उसको select करना प अब ऐसे case में अगर मान लो मैंने यहां से 3 men select कर लिये हैं तो 1 man अब यहां से select करना पड़ेगा और 3 जो वो women select करने पड़ेगी एक case तो यह हो गया plus अगला case क्या है अगर मान लीजिए मैंने यहां से 2 men select कर लिया और 2 ही women select की तो यहां से भी क्या करना पड़ेगा 2 men और 2 women ज तीन men select करने पड़ेगी और एक जो वो women select करने पड़ेगी एक ऐसा भी हो सकता है कि यहाँ से आपने चार men select कर लिए तो यहाँ से चारो women select करने पड़ेगी एक ऐसा हो सकता है कि यहाँ से अगर आपने चारो women select कर ली तो यहाँ से चार men जो वो select करने पड़ेगी यह पाँच क बोली है, clear है फंडा? चलिए तो अब इसके देखो कितने ways होंगे, यह हम I think बता सकते हैं, जैसे यहाँ से, चार man में से तीन man को select करने के ways, 4C3, पाँच में से एक को select करने के, फिर यहाँ से देखो, चार में से दो को select करने के ways, 4C2, 6, 5 में से दो, 5C2, 10, फिर देखो, चार में से एक man को select करने के तरीके, 4, 5 में से तीन को 10, फिर चार man को select करने का एक तरीका, बस और 4 women को select करने के 5 तरीके क्योंकि 5C4 similar way में यहाँ पे लिख दीजिए 5 में से 1 man को select करने के तरीके 5 3 women को select करने के तरीके 4 यहाँ से 2 men यानि 5C2 10 4C2 6 3 men 5C3 10 4C1 ऐसा 4 women को select करने का एक तरीका और यह लीजिए अब देखो यह पहला जो इनको multiply कर दे तो यह 20 आ रहा है और यह यहाँ से 20, तो 20 का square आ गया, फिर next वाला जो देखो 60 का square, next वाला देखो 40 का square, next वाला 1, और next वाला जो 5 का square, यह बच्चो आपके पास में क्या जाएगा इसका final answer, तो यहाँ से 400, plus 3600, plus 1600, और plus का यह लीज़े 26, तो 4500, और यह लीज़े 562, यह अपने पास में बच्चों total number of ways हो जाएंगे जिसकी help से आप यहां से group 1 और group 2 से मिला के total 4 men और 4 women select कर सकते हैं जिसमें से पहले group से आपको 4 लोगों को लेना है और जो दूसरा group है उससे भी 4 लोगों को clear चलिए आगे बढ़ते हैं यह देखिए ज़रद next एक question जो है वो आपके पास में circular arrangement का question है देखिए तो इस बार सर्कुलर टेबल है या हम ऐसा बोलते कि राउंड टेबल है तो आपको उन साथ में देखो नो टू गर्ल्स सिट टूगेजर गर्स जो कोई भी दो गर्स साथ में नहीं आनी चाहिए यानि गर्स जो उनको गैप में बैठाना है तो जो साथ लड़के हैं उनको बच्चों यहां पर इस पर round table जो उसमें बैठा दीजिए, अब circular permutation आपको बता है, कि एक circular arrangement में, अगर n objects को arrange करना है, तो उसके तरीके कितने होते हैं, n minus 1 factorial, तो boys को arrange करने के ways हो गए, 6 factorial, यहां से देखो, total जो है, इस position पे, suppose इस position पे, इस position पे, 3, 4, 5, 6, 7, यह सब्सक्राइब जो बैठ चुके अब गल्स के लिए टोटल यहां पर गैप्स कितने क्योंकि यह टोटल यहां पर साथ लोग बैठे हैं तो गैप देखो कितने क्रिएट होंगे एक गैप दो गैप तीन गैप चार गैप पाँच गैप सिक्स गैप एंड यह सेवन गैप य और जो circular arrangement होता है उसमें उतने ही gap create होगे तो यहाँ पे total 7 gap है लेकिन girls जो वो कितनी है 5 ही है तो यह जो 7 gap है या फिर जो 7 positions है उन में से आपको कितनी requirement है आपको requirement जो बच्चो 5 की requirement है तो आपने कोई 5 positions उसको select कर लिया अब 5 को select करके उन girls को अपस में arrange करने के कितने तरीके होंगे 5 factorial तो अब देखो इसको arrange इस तरीके से करना तो एक 6 factorial का आप क्या लिख सकते हैं, 6 into 5, 6 into 5 factorial, एक 5 factorial पहले से था, 7C5 जो वो बच्चों किन्ना होगा, 21, so this is 121 into my 5 factorial का square, 126, तो B option जो बच्चों क्या होगा, इसका right answer होगा, clear? चलिए move on to next question इसमें ज़रा बताइए बच्चो क्या करेंगे क्या बोला जा रहा है यहाँ पे the total number of words with or without meaning that can be formed out of the letters of the word distribution taken four at a time अब देखो यार इस तरीके के questions को भी समझ लीजिए क्या pattern होता है जैसे इस दो टाइप के question है एक तो मान लिजिए आपके पास में कोई word दे रखा है और ऐसा बोल दिया जाएगी इस word के कोई 4 letter का use करके total कितने words बना सकते हैं और अगर माल लीजिए कि वहाँ पे letters हो सारे के सारे कैसे different है सारे के सारे letters हैं कि different है तब तो कोई problem नहीं है उसमें तो हम simply अगर मालों कि 10 letters हैं और वो 10 के 10 different हैं तो क्या बोलेंगे कि 10 में से कोई 4 select कर लीजिए 10 C 4 और उनको arrange करने के तरीके किने 4 factorial बट ऐसा कब करेंगे जब सारे के सारे 10 letters हो कि आओ distinct हो अब यहाँ पर कुछ identical भी है कुछ alike letters जो वो आपके पास आ रहे हैं सबसे पहले तो देखेंगे कि क्या हो रहा है जैसे I, 3 times I आ रहा है तो यह I, I हो गया, उसके बाद मैं और देखो कौन को रिपीट हो रहा है, D जो रिपीट हो रहा है क्या नहीं हो रहा है, D को मैंने यहाँ पर लिख दिया, उसके बाद S भी रिपीट नहीं हो र फिर B repeat हो रहा है क्या नहीं, B को हमने यहाँ पर लिख दिया, फिर U repeat हो रहा है क्या नहीं हो रहा है, इसको भी हमने यहाँ पर लिख दिया, T आई चुका अलड़ी, O भी repeat नहीं हो रहा है, और N जो वो भी repeat नहीं हो रहा है, यह इस तरीके से आपके पास है, अब देखो जान तो अब देखो वो जो चार लेटर है वो कैसे हो सकते है उस बात को समझिए चार लेटर जो हो बच्चो कैसे हो सकते है चार लेटर में ऐसा हो सकता है कि पहली बात तो चारो एक जैसे हो जाए बट वो तो possibility नहीं है क्योंकि चार एक जैसे तो लेटर है नहीं है तो ऐसा हो सकता है कि दो लेटर जो वो अलाइक हो जाए और बाकी के दो जो वो अलाइक हो जाए, यानि जो चार लेटर उसमें से दो एक जैसे और बाकी बच्चे वे दोनों एक जैसे, एक ऐसा हो सकता है कि दो जो वो अलाइक हो जाए, यानि दो एक जैसे और बाकी के दो बच् इसमें से अगर आपको 3 एक जैसे लेटर सेलेक्ट करने और एक डिफरेंट तो इसके किनने तरीके होगे तो देखो 3 लेटर एक जैसे सेलेक्ट करने का तो एक ही तरीका है कौन सा कि आपको तीनों आई लेने पड़ेगे तो यह हो गया 1 इंटू अब जो डिफरेंट हो तो देखो यहां से टोटल जैसे 3, 2, 5, 2, 7 लेटर ही हैं और एक लेटर यह बच गया 8 तो 8 में से कोई सा भी एक लेटर को सेलेक्ट करने के वेज 8C पर यह है सा फिर देखे 2 अलाइक में क्या करेंगे बहीय तू अलाइक का भी तो एक ही ओप्शन है इसका तो मतलब सिंपल सी बात है कि दो I आपको लेने पड़ेगे और दो T लेने पड़ेगे तब ही तो टू अलाइक होगा अगला देखो टू अलाइक टू डिफरेंट या तो दो I आप ले सकते हो या फिर दो T ले सकते हो तू C वाँ तो अब टोटल देखो किनने लेटर्स और बचे तो एड सीट अगला है four different, तो four different में का मतलब हो गया है कि आप I A की ले सकते हो ती A की ले सकते हो, इसका लोग अब ये तीनों I जो हैं, वो as a one letter जो है वो treat होगा, तो अब total देखो 7 letter ये है, 8 letter ये है, 9 letter ये है, तो 9 में से 4 letter को select करने के ways ना हैं सीपो, ये तो letters को select करने के ways हो गए, आपको 3 एक जैसे है और एक अलग है तो इससे किनने बर्स बनेंगे 4 factorial divided by जो 3 एक जैसे है उसकी जैसे 3 factorial अगर 2 like है तो 4 letter से किनने 4 factorial divided by 2 factorial इसमें क्या होगा 2 alike है तो फिर से 4 factorial divided by 2 factorial यहाँ पे 4 और different है तो यह किनना जाएगा 4 factorial तो यहाँ से देखो 8 into 2 32 24 x 4, 6, यह आएगा 2 x 2 खतम, 24 x 28, यह आएगा 672, और यह यहां से देखो कितना मिलना है, 9 c 4, यानि 9 x 8 x 7 x 6, divided by 4, 3, 2, और यह लीजे इधर 4 x 24, इससे यह खतम, तो यह कितना आ रहा है? 72 x 42 ठीक है जो इन सबको एड कर देंगे तो आपका final answer जो वो आ जाएगा ठीक है इनको सबको एड कर देना final answer अरेंजमेंट करने है अरेंजमेंट तो बेटा करनी पड़ेगी न तबी तो words आएगे वरणा ये जो पहला जो मैंने लिखा है इस वाले color में ये तो सारे के सारे letters को select क यहाँ पर J main 2024 का यह question है इसमें बोला जा रहा है इस बार देखो क्या बोला है कि 5 employee हैं उनको 4 office में बैठाना है और इसका word का मतलब क्या है indistinguishable का मतलब है कि उनको आप एक जैसा मानिए कि जो चार office है उनको आप एक जैसा मानिए तो ऐसे कितने तरीके हैं जिससे इन पाच लोगों को इन चार office में बैठाया जा सकता है और यह बोल रहा है कि किसी में zero भी हो सकता है किसी में जो वो zero भी ह कि किसी एक office में मान लिए जिये कि आपने 5 लोगों को बैठा दिया और बाकी के 3 में 0, 0 आ गया तो इसका कितना तरीका एक तरीका ऐसा हो सकता है कि किसी एक office में आपने 4 लोगों को बैठा आ किसी एक office में एक को और बाकी दो में 0, 0 अब देखो ये करने के तरीके कितने होंगे 5 लोग है तो उन 5 लोगों में से कौन से चार लोग एक साथ बैठेंगे और कौन से एक अलग बैठेगा तो उसको सेलेक्ट करने के वेज कितने 5C4 तो पांच तरीके यहां से आगे अच्छा अगर दो ओफिस खाली हैं तो ऐसा भी तो हो सकता है ना कि एक में तीन बैठ जाएं एक में दो बैठ जाएं तो इस अब मैं बोल रहा हूँ कि तीन offices में उनको बैठा तो सिर्फ एक खाली रहे, तो ऐसा हो सकता है कि एक में मालो तीन बैठ जाए, एक में एक बैठ जाए, एक में जीरो, ऐसा भी हो सकता है कि दो में दो बैठ जाए, एक में एक, एक में जीरो, ये और यहां से 5 को देखो फिर से 2 ग्रूप में बादना 2 factorial, तो यह कितना आ रहा है आपके पास में, और यह 2 एक जैसे आ रहे हैं, अलाइक उसकी जैसे 1 upon 2 factorial, यहां पे भी 2 अलाइक आ रहे हैं, उसकी जैसे 1 upon 2 factorial, तो यह देखो कितना मिलेगा, 120 बट्टे 12, यानि 10 यहां से अब एक ऐसा हो सकता है ना कि चारो ही offices में वो लोग बैठे तो उसका एक तरीका है दो एक तो इसको किनने वेश से कर सकते हैं 5 factorial by 2 factorial और ये लीजे 3 factorial तो यहाँ से किना रहा है 10 इनका sum का sum कर दीजे तो ये देखो कितना मिल रहा है 20 और 30 50 और एक ही क्या तानी 51 वेश और किसी भी office के अंदर कितने भी लोग जो वो बैठाई जा सकते हैं clear चलिए next question यहाँ पर देखी है एक और JEMIN 2024 तो आप देख पा रहे हैं कि JEMIN 2024 के कितने सारे सवाल मैंने आपको कराए दिये कोई भी ऐसा बहुत मुश्किल सवाल है क्य और देरा फाइड पीवन पीड़ पीड� तो number of triangles that can be formed using all the vertices, ये तो I think आसान सवाल है, triangle बच्चों कैसे जो यहाँ पे बन सकते हैं, एक तो ऐसा बन सकता है कि आप एक vertex वो इन पांच में से किसी एक point को select करके बना लो, एक इस में से select कर लो और एक इस में से, एक तो यह हो गया, और कैसे बन सकते हैं, ऐसा भी कि आपने माल लीजिए कि दो vertex जो वो यहां से select कर लिये और एक यहां से कर लिया या फिर दो यहां से कर लिया एक यहां से तो पाँच में से देखो दो को select करने के दो ways और छह में से आपको एक करना है फिर पाँच में से आपने मालो कि दो कर दिये और साथ में से आपने एक क एक बार ऐसा कर लीजिए कि साथ में से कोई दो कर दीजिए और बचावा एक जो आप यहां से भी कर सकते हैं और यहां से इनको सब को add कर देना final answer आ जाएगा ठीक है चलो next question यहाँ पर देखो क्या बोला जा रहा है इस question में यह भी J main 24 का सवाल है तो यह दाई जो आपको देखें और यह दाई जो आपको देखें औ उसको चार बार जो वो roll किया गया है तो बोला जा रहा है कि उन पे sum 16 आने के कितने ways होंगे तो ऐसा सोचिए कि माल लो कि वो die को आपने पहली बार में roll किया die जो उसको पहली बार में roll किया तो उसपे जो कोई number है उसको आपने note कर लिया और वो number हमने बोलते है कुछ x1 दूसरी पे कुछ number है वो x2 तीसरी पे number है x3 चोथी पे number है x4 और इनका sum का sum जो वो कितना आना चाहिए 16 अब देखो यहाँ पर यह जो x1, x2, x3, x4 हैं, यह क्या है basically? यह 6 से छोटे हो सकते हैं, और 1 से बड़े होंगे, बई x1, x2, x3, 1 से लेके 6 तक ही तो हो सकते हैं, इसका मतलब अब देखो आपको क्या find करना है, coefficient of x raised to power 16, multinomial theorem का use है, इन किस में x की power 1 हो सकता है, यानि dice पे 1 हो सकता है, 2 हो सकता है, 3 हो सकता है, 4 हो सकता है, 5 आ सकता है and 6 पहली dice पे भी यही same scene है दूसरी पे भी यही same scene तीसरी पे भी और चोती पे भी तो एक तो देखो x जो आप इसमें से सबमें से common ले लो तो x की power 6 बाहर आ गया अब अगर x की power 6 बाहर आ गया तो आपको 16 चीज़ था तो 6 तो अब आप ऐसा कर लीजिए coefficient of x की power 10 और चीज़ किसके अंदर 1 plus x plus x square plus x cube plus x की power 4 plus x की power 5 की power 4 चलो अब इसके अंदर इसको simplify कर लीजिए जीपी लिखिए a into में 1 minus r raise to power n upon 1 minus r की power 4 यानि 1 minus x की power 6 की power 4 1 minus x की power minus अब इसको open करें तो देखो C0 यानि की 1 minus C1 4X की power 6 अब देखो आगे जब हम चलेंगे तो 4C2 6X की power 12 ऐसा सा कुछ चलेगा और यहाँ पे तो आपको पता ना कि 1 minus X की power minus 4 जो इसके अंदर X की हमेशा जो power है वो बच्चों जो है वो आपके पास में कैसी होगी वो तो positive हो रही तो इसका लिए x की power 10 तभी आ सकता है, जब यहाँ वाला 1 जो वो x की power 10 से multiply हो रहा हो, और यह जो x की power 6 है बेटा, वो किस से multiply हो रहा हो, x की power 4 से multiply हो रहा हो, तभी तो x की power 10 जो वो आएगा, जी सर, चलो, तो अब देखो आपको यह बता होना चाहिए, कि 1-x की power-n का expansion क्या है, 1-x की power-n, 1 plus nc1x, plus n plus 1 c2 x square, plus n plus 2 c3 x cube, ऐसे चलता है, यानि coefficient of, x की power r, अगर मैंने इसके अंदर देखना है, तो वो देखो क्या होगा, n, sorry, n plus r minus 1, c r, यह coefficient होगा, देखो, यह x की power r का coefficient, तो अगर मैं बात करूँ, x की power 10 का coefficient आपको सबसे पहले चीज़ी है, तो x की power 10 का coefficient, n की value कितनी आगे, 4, r की value कितनी, 10, minus 1, c 10, यहां से x की power 10 मिलेगा, और देखो कैसे आएगा, जब x की power 6, यानि minus 4 x की power 6 जब multiply हो, तो minus 4 तो बाहर आगे, और इधर अब क्या चीज़ी आपको, x की power 4 का coefficient, तो वो क्या होगा, देखो, n तो 4 था, r इस बार आगे, 4, और यह लीजे, c, तो यहां से मिलना आपको 13C10 बोल दोया 13C3 दोनों सेम बाते हैं माइनस का 4 इंटू में 8-1, 7C4 तो यह देखो कितना आ रहा है 13, 12, 11, 6-4, 7, 6, 5, 3, 2 यह साथ तो यह 2 आ गया 26 इंटू में 11 आ रहा है माइनस यह खतम 3570144, 286-140, यह ऐसा आ रहा है क्या, तो यह कितना बच रहा है, 146 आ रहा है, answer 125 है, कुछ गडबर कर दिया है कि हमने calculation एक बार check कर लो जल्दे से, एक बार calculation को check कर लीजिए, सर x की power कौन बाहर आएगा, x की power 4 आएगा बाहर, ओ, ओके, सॉरी, x की power 4 आएगा, तो 4 आएगा तो 12 और बचेगा, ओके, x की power 12 बचेगा यहाँ पे, तो 12 आएगा तो x की power 12 चीज़िए, तो यहाँ पे भी 12 आजाएगा, यहाँ पे 12 आएगा, यहाँ पे 12, यह माइनस 4 के साथ में जो आएगा, x की पावर 6 है, और इदर से भी कितना चाहिए, x की पावर 6 है, तो यहाँ पे भी 6 आएगा, और साथ में एक ओर टम आएगी, यह 6 x की पावर 12 है, उदर से एक, तो प्लस का 6 और आएगा, तो 12 और 4, 16, इसको दुबारा से कर दो, 12 और 16 यारा, 15 c 5 आएगा, 6 x 4, यह 9 c 4 आएगा, ठीक है क्या? जल्दी बोलो क्लियर है मामला? इसको simplify कर लेना तो आपका final answer जो वो मिल जाएगा आपको ठीक है? तो ये इस तरीके के question जो वो भी पूछे जाते हैं multinomial theorem की हल से आप इनको आसाने से solve कर सकते हैं. चलिए आगे पढ़ते हैं next question यहाँ पर देखो क्या है? The number of triangles whose vertices are the vertices of a regular octagon. रेगुलर ओक्टागन का मतलब एक रेगुलर पोलीगन होगा जिसके अंदर टोटल 8 साइड्स आ रही होगी रही है, बट नन ओफ वो साइड्स इस ए साइड ओफ ओक्टागन, आना यानि ऐसे से देखो कोई एक सिच्वेशन है, आई थिंग 8 है, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8 साइड अब आपको triangle बनाना है तो पहली बात तो triangle जो उसके लिए आपको क्या चीज़े, 3 vertices चीज़े बट वो इस तरीके से लेने है कि कोई भी triangle की side जो है वो common नहीं आनी चीज़े, इसका मतलब basically हो गया कि आप कोई भी 2 लगातार जो वो नहीं ले सकते, तो अब basically सवा इस सरकल के अंदर टोटल 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, and 8 ये 8 points हैं आट में से बेटा आपको 3 points इस तरीके से select करने कि कोई भी 2 points जो वो consecutive नहीं होने चाहिए कोई भी 2 points जो वो क्या नहीं होने चाहिए consecutive नहीं होने चाहिए तो इसको कैसे करेंगे तो इसके लिए देखो क्या वे है कि आप सबसे पहले कोई भी एक वर्टेक्स सेलेक्ट कर लीजिए तो आठ में से एक वर्टेक्स को सेलेक्ट करना के जो नंबरों फेस होंगे वो कितने होंगे एट सी फ़र सबोल आपने मान लीजिए कि एक नंबर वर्टेक्स वो सेलेक्ट कर लिया ध्यान सी समझना कॉंसेप्ट एक नंबर को मान लीजिए सेलेक्ट कर लिया तो अब आप ये सेलेक्ट नहीं कर सकते ये नहीं क्योंकि अगर कोई भी दो आजुब वाले को सेलेक्ट कर लिये फिर तो एक साइड कोमन हो जाएगी ना तो इन दोनों को सेलेक और आपको कितने select करने हैं 2 तो अब ये 5 vertex जो है वो एक linear arrangement की तरह behave करेंगे कि एक line है linear arrangement है उसमें 5 object रखे हैं उनमें से आपको कोई 2 object select करने है इस तरीके से select करने है कि वो दोनों consecutive नहीं होने चाहिए तो 5 में से उन 2 को हटा दीजिये तो कितने बचेंगे 3, 3 के बीच में gap कितने create होगे 4 और उन 4 में से दो आपको select करने हैं, क्या यह answer होगा आपका, नहीं, कैसे देखो, जैसे माल लो कि एक पहला vertex आपने जो select किया था, वो 8C1 way से यह वाला select हो गया, अब मैं ऐसा बोलना हूँ, कि इन दोनों को select कर नहीं सकते, तो 4C2 way से एक बार के लिए माल लेते हैं, कि यह जैसे कितने number था अब बेटा ऐसा भी तो हो स कि जब आपने जो पहला vertex select किया था, 8C1 way से, वो suppose 4 number vertex select हो गया हो, और बाकि जब 4C2 way से 2 vertex select किये, तो वो 1 और 6 हो गया, तब भी तो same triangle बनेगा, यानि same triangle जो बेटा 3 बार बन रहा है, तो उसके लिए हमने क्या कर दिया, इसको 3 से divide कर दिया, तो यह आगे आपके पास में, 8 into में, 4C2 is 6 by 2 करेंगे, तो यह कितना आ रहा है, sorry यह 3 है, तो यह आज़ेगा 16, यानि कि C opposite वो इसका right answer है, yeah, चलिए move on to next question, यहाँ पर देखो बच्चों क्या बोला जा रहे है, the number of ways of five alphabets can be chosen from the alphabets of the word mathematics, where the chosen alphabets are not necessarily distinct, तो यह आपका homework रहेगा, इस तरीके का same सवाल बच्चों मैंने आपको already करवा दिया है, जैसे मैंने बोला था ना कि एक अभी वर्ड जो है वो किया था आई थिंग इंडिपेंडेंस वाले में किया था कि उसमें से चार लेटर नहीं उसमें तो वो वेल सारे साथ आ रहे थे कोई एक दूसरा किया था ना जिसमें चार लेटर सेलेक्ट करके वर्ड बनाने थे तो व लेटर अगर सिर्फ select करने है तो मतलब पास लेटर अगर select करने है तो पाँचो अलाइक हो सकते हैं बट पाँच तो खालाईंक इसमें होंगे नहीं फिर चार अलाइक एक different तीन अलाइक दो अलाइक इस तरीके से इसको solve किया जाएगा तो I hope यह आप कर लो� एंड एक वेशन पेपर इस डिवाइडेड इंटू थ्री सेक्शन एक वेशन पेपर है मैच का उसके अंदर तीन सेक्शन है एबीसी ए एबीसी एबीस इफर सेक्शन और हर एक सेक्शन में से कम चार क्वेस्टेंट उसको टेंट करने सेक्शन ए जो उसके अंदर आठ क्वेस्टेंट सेक्शन बी के अंदर बेटा चाय क्वेस्टेंट है और सेक्शन सीज उसके अंदर चाय क्वेस्टेंट तो बोला कि 15 क्वेस्टेंट अटेंट करने के टोटल कितने हो सकते तो आई थिंग बहुत ही आसान क्वेस्टेंट है यह भी मिनिमम चार तो करने जगह से तो सब्सक्राइब यहां से चार सवाल अटेंट उठाए यहां से 6 और यहां से 6 4 10 यहां से 5 एक ऐसा हो सकता है यहां से 4 यहां से 5 यहां से 6 सिर्फ cases बनाने और कुछ नहीं है अब इसमें से एक बढ़ाते जाओ जैसे इसमें से 5 तो अब इन दोनों में से मिला के कितने करने 10 तो ऐसा हो सकता है कि इसमें से 6 कर लिये इसमें से 4 यह 5 है इसमें से 4 कर लिये इसमें 6 एक case हो गया तीनों में से 5 और 5 हो गया अगला case क्या होगा, इसमें से 6, अब यहां से total कितने और करने है, 9 करने है, तो वो 9 कैसे कर सकते हो, 6, 3 हो जाए, 6, 5, 11, इदर से 4 हो जाए, इदर से 6, 4, 10, और 5, 15 हो जाए, इदर से 6, 3, 9, 6, 15 हो जाए, एक case, तो आप देख पारे कि यहां से बहुत सारे cases बन रहे हैं, यहा तो क्या इस तरीके से करना सही रहेगा क्योंकि अभी तो फिर 7 आएगा 8 आएगा तो ऐसा करना तो सही नहीं रहेगा बहुत लंबा वे हो जाएगा तो और चीज देखो आप क्या कर सकते हो कि जो इसने बोला कि at least 4 question जो वो तो सब में से select होने चाहिए तो आप पहले ऐसा कर लीजे ना कि 4-4 question जो वो तो 3-ो में से select कर लीजे तो 12 question select हो चुके ध्यान से समझेगा 4-4 question अगर आपने मालों कि 3-ो से select कर लिये तो इसका तक 12 question already select हो चुके अब जो तीन question है उनके लिए कोई restriction आपके पास में नहीं है वो तीनों question आप यहां से भी कर सकते हैं यहां से दो एक कर सकते हैं अब कैसे भी कर सकते हैं तो इस तरीके से अगर आप जाओगे तो बहुत जल्दी question जो उसको solve कर दें उसके बाद दूसरे वाले के लिए तीन option, तीसरे वाले के लिए तीन option, तो 27 से फिर इसको multiply कर देना है, ठीक है तो I think ये भी clear हो गए, चलिए next question, यहाँ पर देखो बच्चो ऐसा बोला जा रहा है कि the number of ways in which 21 identical apples can be distributed among 3 children such that each child gets at least 2 apples, तो उसी तरीके का सवाल है, कि या तो आप ऐसा बोल दीजे कि पहले 2-2 apples वो सभी को दे दो, सब को दे दिये, अब तीन बच्चे थे, अब सबोल पहले बच्चे को x1 apple मिल गए, दूसरे वाले को x2 apple मिल गए, और तीसरे वाले को x3 apple मिल गए, और दो जो हो तो आप already दे चुके हो न, दो apple तो already दे चुके हो तो 21 में से वो 6 कम हो गए, तो अब कितने बच्चे 15, अब यहाँ पर क कितने apple मिले वो, तो दो तो आप दे चुके already, तो अब किसी को 0 भी मिल सकता है, किसी को पूरे 15 भी मिल सकते हैं, तो इसका वाले number of non-negative integral solution चाहिए, तो n plus r minus 1, cr minus 1, तो यह आ रहा है 17 c2, यानि 17 into में 8, so this is 136, d option जो इसका क्या होगा, correct answer, ठीक है, ऐसे कर सकते हैं इ यहाँ पर देखो बोला जा रहा है कि the number of 7 digit odd numbers टोटल यहाँ पर आपके पास में 7 digit दे रखें और 7 digit का ही आपको क्या बनाना है odd number that can be formed using all the 7 digits this, this and this तो अब देखो अगर 7 digit का number बनाना है तो हम ऐसा बोल सकते हैं 3, 2, 5 और sorry 3, 2, 5, 2, 7 अब देखो अगर ओर नंबर बनाना है, इसका लोग इसे पोजिशन पे एक आ सकता है, तीन आ सकता है, पांच, तो अगर मालों मैंने फिक्स कर दिया, एक को फिक्स कर दिया एक बार के लिए, तो एक को अगर फिक्स कर दिया, तो ऐसे कितने ओर नंबर आपके तो ऐसे कितने बन रहे होंगे, तो 6 factorial, 2 जो वो 3 बार आ रहा है, उसके ज़रसे 2 factorial, बस अब और कोई जो है, sorry, 2 जो है वो आपके पास में 3 बार आ रहा था, तो उसके ज़रसे 3 factorial, अब 3 जो वो भी क्या 2 बार आएगा क्या नहीं, क्योंकि 3 एक बात तो अलग यहीं पर आ चुक ये 6, 5, 4, बटे 2, तो 60 यहां से बनेगे I think, और 60 यहां से बनेगे, तो ये total 240 जो वो, ठीक है, I hope कि आपको clear हो गया होगा, तो total 240 जो है वो आपके पास बन जाएंगे numbers, ठीक है, next है, देखो number of ways of arranging 8 identical books into 4 identical sets, तो आज का last question करते हैं, आज के session का last question करते हैं, आना, चलो इसमें वो लगे number of ways of arranging 8 identical books into 4 identical cells where any number of cells may remain empty ठीक है जी तो देखो अब इसके अंदर भी cases आपको बनाने पड़ेगे पहला मैं ऐसा बोलतू कि मान लोगे 3 cells जो है वो empty है 3 cells जो वो empty है total 4 आपके बास में self थी उसमें आपको 8 books जो उनको रखना है और 8 वो identical है अब उसमें मैंने बोल दिया कि अगर आप तीन जो है उसको अगर identical रख रहे हो, sorry तीन को अगर आप empty रख रहे हो, इसका मतलब किसी भी एक self में 8 book रख दी, तो इसका किन्दा तरीका हो गया आपके पास, एक तरीका, चलिए case 2, case 2 में बच्चों मैं ऐसा बोल लो कि दो self म अब दो self को अगर empty रख दिया, तो इसका लग बाकी दो जो self है, उसके अंदर आपको सारे इनको क्या करना, accommodate करना है, 8 books को, वो कैसे कर सकते हैं, उसको समझो, ऐसा हो सकता है कि 7 कर दिया एक में, एक में एक, दो में 0, और क्या हो सकता है, एक में 6 कर दिया, एक में 2, 0, क्योंकि किसी में भी 6 रखो, किसी में भी 2 रखो, इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ेगा किस में 6 है, किस में 2, क्योंकि ये दोनों क्या है, self जो हो सारी की सारी identical है, ऐसा हो सकता है कि एक में 5 रख दिय ऐसा हो सकते है एक में चार रख दिया एक में जीरो फिर तीन और पांच वाला case जो वो तो आई चुका है तो इसका वाला total यहाँ से देखो कितने case बन रहा है आपके पास चार case है मैं गया ठीक है क्या चलिए अब अगर मैं ऐसा बोल दू कि तीन जो उसको empty रख दो तीन self जो उनको sorry यह ठीक लिखा है तीन self वा दो सेल्व और किसी तरीके से नहीं बस हो गया अगर मालों मैं ऐसा बोल दूं कि एक सेल्व जो उसको एमटी रख दो तो एक सेल्व देखो कैसे एमटी हो सकता है उसकी चर्चा कर लेते हैं तो आठ है तो आपने सपोस ऐसा कर दिया 6 1 में डाल दी और 1 में डाल दी एंड 0 ऐसा किया जा सकता है यानि सिंपल बस काउंटिंग करनी और कु� इसके बाद ऐसा हो सकता है एक में 5 डाल दी एक में 2 ध्यान से देखते रहें ना कोई case जो वो छूट ना जाए कोई case छूट ना जाए ध्यान से देखना तो 5 वाला हो गया अब फिर मैं ऐसा बोलतू 4 3 7 1 8 ऐसा हो जाए या फिर 4 2 ऐसा हो जाए ऐसा भी हो सकता है इसके ला� 3, 6, 2, 8 हो गया ये भी और क्या हो सकता है 3, 1, 4 वाला हो गया और कोई case है के इसमें जल्दी बताओ और कोई case possible है क्या और फिर एक case ये भी बनेगा case 4 no self empty no self empty नो सेल्फ एमटी, तो यहाँ से टोटल देखो, दो, तीन, पाँच केस बन रहे हैं, और कोई केस भी बनेगा कि इसके अंदर, आई थिंग इतने ही बनेगे, अब चलिए इसके अंदर अगर देखो, सैटल करें कि इसके अंदर कौन-कौन से केस बनेगे, जब कोई भी जो वो ऐसे आ सकता है और 3, 2, 5, 2, 7, 1, 8 ऐसे आ सकता है और 1, 2, 4, 2, 6, 2, 8 ऐसे आ सकता है आई थिंग यही केसेज मनेंगे तो यह टोटल यहाँ से देखो 5 केस यहाँ से मन गए यहाँ से किन दे मन रहे थे 5 केस यहाँ से मिल गए तो 5, 10, 4, 14, 15 केस मनेंगे आई थिंग यहाँ से देखो तो राइट यह आपका पी एंसी था और कुछ है भूम वर्क भी दे दो आपको कुछ है भूम वर्क दे दो हूंगा इन सारे आप कॉमेंट सेक्शन में बताना कि क्या-क्या आंसर आएगा तो यह आपका हूं वर्क रहेगा एक यह आपका हूं वर्क रहेगा ना यह भी जो आपका homework रहेगा ठीक है तो यह तीन question जो है वो आपके homework रहेगे तो इनको आराम से solve कर रहा हूँ ओके बच्चो तो काफी आज के लिए तो I hope कि यह session जो है उसको आपने enjoy किया होगा और PNC के जो concepts है वो आपको clear हो गए होगे चीजे जो वो बहुत ज़्यादा difficult नहीं है अगर आप इसके fundamentals जो है वो भी अगर clear कर लेते हैं तो भी आप इसका question ठीक कर के आ जाएंगे, ओके, and wish you all a very happy new year, आराम से मस्त, बहुत ज़्यादा मस्ती नहीं करनी है, मतलब थोड़ा celebrate कर लेना, बट वापिस से पढ़ाई लिखाई में लग जाना, क्योंकि आपके exams जो है बाबाई, लव यू और ब

3 into 4 factorial, plus 2 into 3 factorial, plus 2 into 2 factorial, यह देखो 0 मिल ला है यह भी आपके पास में 0 मिल ला है और लास्ट में कितना है 1 ठीक है तो यह देखो जरा इसको कैलकुलेट कर लेते हैं इस ट्वेंटी फोर इंटू थ्री सेवन्टी टू प्लस ट्वेल प्लस फोर एंड प्लस वन तो यह कितना आ रहे हैं 84, 88 एंड 89 तो कि इस तरीके से यह चोटी जो आपको समझ में आई आप जल्दी से क्वेश्चन जो इसको सोल कर पाएंगे क्या यह पहली वह वैराइटी हो गई बेटा जिसके अंदर आपको लेटर जो रिपीट नहीं हो रहे होंगे अब देखो लेटर जो रिपीट हो रहे हो तो दोनों चीजें समझ लीजिए हो सकता आपकी सिर्फ में ही रेंक का जो सवाल वह फस जाए अन� चले आगे फिर चलो आइए जरा सेकिन और देख लीजिए पोल वोल भी स्टार्ट करेंगे भी पोल भी स्टार्ट करेंगे ये देखो जैमेन अभी रिसेंटली 2024 में पुछा गया था और यहाँ पर जिस वर्ड की यहाँ पर देखो जिस वर्ड की रेंक आपको बच्चों फा तो चलिए इसके अंदर देखो आपको क्या करना होता है इसको भी समझ लो ध्यान से अगेन कुछ एक step जो हो तो वापस से same है जब आपके पास letters repeat हो रहे होते या फिर नहीं हो रहे होते चलो येस बेटा अंकित बिलकुल बरमोस से हो तुम आना देखो तो अब देखो यहां से क्या करना है इसको वापस से पहला आपका step क्या था कि जो word जिसकी rank find करनी है उसको as it is लिख दीजिए तो यहाँ रहा है g उसके बाद t w इन टी एंड वाइट यह हमने वर्ल्ड जो लिख दिया जी 20 सेकेंड स्टेप बच्चों क्या था इसकी नंबरिंग करना एलफाबेटिकल ओर्डर में तो चलिए इसकी नंबरिंग जो वह कर देते हैं तो सबसे पहले एलफाबेटिकल ओर्डर में कौन आएगा इन उसके बाद कौन आएगा जी उसके बाद कौन आएगा उसके बाद कौन आ अब देखो टी दो आ रहे हैं, तो ऐसा नहीं है कि एक टी जो हो चार नंबर पहेगा, और दूसरा टी जो हो पाँच नंबर पहेगा, ऐसा नहीं है, टी जो हो तो भी दोनों ही सेम ही position पहेगे, तो इसलिए हमने दोनों पर क्या लिखते हैं, यहाँ पर 4, और यहाँ पर य लेटर जो है उसके right hand side में देखेंगे कि उससे छोटे कितने आ रहे हैं तो जैसे यहाँ पर 2 लिखा है तो 2 से छोटे देखो कितना है एक 1 ही आएगा तो यहाँ पर मैंने लिख दिया 1 उसके बाद में 4 से छोटे देखो कितने है एक यह 4 से छोटा है एक यह 3 है तो 2 लिटर आ रहे हैं 1 से छोटे कितने है 0, 3 से छोटे कितने है 0, 4 से छोटे कितने है 0, 6 से छोटे कितने है 0 और उसके बाद जो next step था वो क्या था यहाँ पे हमने बोला था कि 0 factorial लिख दीजिए, 1 factorial, 2 factorial 3 factorial, 4 factorial, 5 factorial and 6 factorial. यहां तक की कहानी जो वो तो बिल्कुल same है, जब letters repeat नहीं हो रहे थे, तो वहां पे भी हमने यही किया था, जब repeat हो रहे थो यहां पे भी. अब इसके अंदर देखो बच्चो, जो change आएगा, वो क्या आएगा?

अब आपको इसको divide भी करना देखो, इस letter पे खड़े हो, तो इसके right hand side में देखिए, कि कितने letters जो वो repeat हो रहे हैं उसी से divide कर दीजिए और जिस letter के respect में हम देख रहे हैं उसी के उसको भी आपको include करना है जैसे इस letter को include करते हुए इसके right hand side में कोई letter कितनी बार repeat हो रहा है ती जो वो देखो दो बार repeat हो रहा है इसके अलावा और कोई भी चीज जो repeat नहीं हो रहा है तो इसका मतलब दो letter अगर repeat हो रहे हैं तो two factorial जो उसको से divide कर देंगे फिर अगर मैं T पे कड़ा हूँ तो T को भी include करना है, तो एक T देखो यहाँ आ रहा है, एक T यहाँ पे आ रहा है, तो इसको भी आप 2 factorial से divide कर दीजिए, अब अगर मैं W पे कड़ा हूँ तो इसके right hand side में देखो, अब कोई भी letter repeat नहीं हो रहा है, क्योंकि एक T जो वो पीछे तो देखिए जरा 1 into में 6 factorial divided by 2 factorial plus 2 into में 5 factorial divided by 2 factorial plus में 3 into में 4 factorial ये सबका सबकुछ जो वो 0 मिल चुका और ये लो last के अंदर तो ये देखो यहां से कितना गए 720 divided by 2 that is 360 plus ये कितना मिलेगा 120 ये कितना मिलेगा बच्चो तो यह आप देख पा रहे हैं कि कितना आसानी से आप क्वेश्चन को सोल कर पाएंगे अगर यह वाला मैथड जो वह अगर आप सीख गए तो बहुत जल्दी जो है आप क्वेश्चन को सोल कर पाएंगे राइट मजा आ रहे हैं येस तो मजा लेते रहे हैं और इस तरीके के चीजे मैं आपको सिखाता रहूंगा तो आप टेंशन मत लीजिए, अगर पी एन सी के थोड़े बहुत बेसिक्स भी आपको आते हैं तो आप क्वेस्टन जोब उसको जरूर ठीक करके आओगे, तो आई होग कि ये दोनों बातें जो आपको अच्छे से क्लि शोल करना है तो मैं पोल स्टार्ट कर देता हूँ उसमें जल्दी से शोल कीजिए बच्चो इसको जल् आज दूर में यह से तीबाब बिल्कुल रहमान बिल्कुल कस्मीरी बालक होना तुम ठीक है इस बार आपको रेंग नहीं फाइंड करने इस बात का जानक नहीं इस बार आपको रेंग नहीं फाइंड करनी है इस बार आपको बोला गया कि यह जो वर्ड है और इसके letters को जब से जंबल करके जो words बनाएंगे, उनमें 50th word जो आपको find करना है, हो गया है सबका, चलिए, आईए जरा करते हैं देखते हैं इसको, देखो, सबसे पहले, देखो words जो बनाएंगे, जो ये words बनाएंगे, इसके बारे में जरा समझियेगा थोड़ी सी चीजे, कि जो वर्ष बनाते तो इसका अलग कि जो एलफाबेटिकल ओर्डर में सबसे पहले लेटर आएगा उससे स्टार्ट होने वर्ष आएगी तो सबसे पहले देखो इसके अंदर कौन आ रहा है बी यानि आपने जो फर्स्ट पोजिशन है उसपे बी को बच्चा आ रहा है फिक्स कर दिया फर्स्ट जो पोजिशन है उसपे आपने क्या कहे दिया बी को फिक्स कर दिया अब आपके पास में टोटल चार पोजिशन और ब यहाँ पे 2 वे से यहाँ पे 1, यहाँ पे 24, इसका मतलब क्या है कि 20 दे स्टार्ट होने वाले टोटल 24 वर्ड्स बनाई जा सकते हैं जिसके अंदर इन सारे लेटर्स का यूज़ हो सोरी ऐसा आ गया है अब देखो बी के बाद जो यहाँ पे कोण आ रहा है ऐसा नहीं कि बी के बाद सिर्फ दूसरा बी आ रहा है चलिए उसके बाद एच हेच को अगर हमने फिक्स कर दिया तो अब आपके पास में 4 लेटर बने बी जे ओ अब ये जो 4 लेटर है 4 लेटर से टोटल किनने वर्ष बन सकते है 4 फैक्टोरियल बट उसमें से 2 जो वो एक जैसे है तो अलाइक होने की वज़े से डिवाइड कर दिया तो ये लीजिये 24 बाई 2 जो वो किनना आगे 12 अभी देखो 24 वर्ष यानि total 36 words आपके पास बन चुके, आपको कहां तक पहुंचना है, 50 तक, तो चलिए B के बाद H आ गया, H के बाद कौन आएगा, J, तो J को मैंने fix कर दिया, और J से start होने वाले words के अगर मैं बात करूँगा, तो यहाँ पे ये भी क्या होंगे बच्चो, 4 factorial divided by 2 factorial, this is 12, तो यानि बी से स्टार्ट होने वाले वर्ड सबसे पहले हैंगे फिर उसके बाद एट से स्टार्ट होने वाले उसके बाद जे से स्टार्ट होने वाले अगला लेटर कोन है ओ तो अब फोटी एट वर्ड जो वो यहाँ पे बन चुके है अब अगर मैं आप से पूछू कि फोटी नाइन्थ वर्ड जो वो क्या होगा तो आप बोलेंगे ये सर वो ओ से स्टार्ट होगा बिलकुल सही बात है उसके बाद में एलफो बेटिकल ओडर में लिखे तो पहले द क्योंकि उसे start होने वाले सारे words आएंगे उसके बाद bb को भी मैंने ऐसा रखा और j और h जो है उसकी location को हमने क्या कर दिया interchange तो यह ऐसा करने से देखे जरा क्या option c आपको मिल रहा है yes sir तो यह इसका right answer है option c देखते जरा किन्ने बच्चों ने ठीक किया है ओहो काफी सारे students ने इसको ठीक किया है कुछ बच्चे ने तो 6 second में कर दिया पता नहीं या हो सकता है इसने पहले कर रखा हो ठीक है चलिए आगे बटे फिर नेक्स्ट क्वेस्टन पर चले चलो जरा नेक्स्ट क्वेस्टन देखो इसी तरीके का दूतरा सवाल है इस बार किसके वर्ष को देखो आपको यहाँ पर अरेंज करना है आपको बताना है कि 350th position जब इसके वर्ष को जंबल, letters को जंबल करके words बनाएंगे, तो 350th, 15th position जो है, उस पे कौन सा word आएगा, यह आपको, sir answer side में लिखा, हाँ, बला answer से क्या फर्क पड़ रहा है, तुम चीटिंग थोड़ी करोगे, तुम तो अच्छे बच्चे हो न, चीटिंग थोड़ी करोगे, क्या ही मिलेगा त� अब इसके बाद में total यहाँ पे 6 letters थे तो 5 positions और बची, अब 5 positions से और सारे के सारे letters जो है वो क्या है डिफरेंट है, तो 120 words जो हो यहाँ से बन रहे हो, एके बाद देखो alphabetical order में बेटा कोन आएगा G, तो यह लीजे मैंने G को fix कर दिया, G को fix कर दिया तो वापस से अब यहाँ कि 120 और ले लिए तब तो 360 जो बन चुके होंगे इसलिए आपको क्या करना देखो एक हो गया जी हो गया और उसके बाद में कौन आएगा एंड अगर मैं सिर्फ और सिर्फ बेटा एन को फिक्स करूंगा तब तो 120 वर्ष बन जाएंगे और 120 बन गए तो 360 बन जाएगा लेकिन अपने को तो 315 तक ही पहुंचना है तो इसका बताएगा एन के बाद आपको भी एक लेटर और जो है उसको फिक्स करना पड़ेगा तो इसके बाद में देखो कौन आएगा, alphabetical order में A आएगा, तो मैंने A को fix कर दिया, अब total 4 आपके पास में और letter बचे, उनको arrange करने के तरीके 4 factorial, यानि 24, तो 240 और 264 words जो वो यहाँ तक बन चुके हैं, चलिए, अब मैं बोलू कि A को, N, A से start होने वाले सारे words आगे, अब A के फिर से चार letter और बचेंगे उसको रेंज करने के तरीके, 4 factorial 24 words ये बन गए, चलिए फिर से देखो, alphabetical order में हम बात कर रहे हैं, n के बाद a आ चुका है, g आ चुका है, अब कौन-कौन और बच गए, p, u, r, उसमें सबसे पहले कौन आएगा बेटा, p ही आएगा, तो ये पी से स्टार्ट होने वाले वर्ड्स आ गए ये भी कितने मिलेंगे 4, 24 तो देखो कितने वर्ड्स यहां तक बन चुके है 240 थे 240 और 60 300 और 312 वर्ड्स जो वो बन चुके है 312 वर्ड्स जो वो बन चुके है इस बात का ध्यान रखेंगे 312 वर्ड्स बन चुके है अब अगला जो वर्ड होगा N होगा और P के बाद में कौन होगा R यह ऐसा है अब अपने को बताना है कि इसके बाद में third position जो उस पर कोन आएगा तो मैं अब देखो यहाँ पर क्या कर रहा हूँ nr के बाद में n अगर कर दिया तो मैंने अब एक यहाँ पर देखो a fix कर दिया एक g fix कर दिया अब यह मैंने 4 letter पहले 2 fix की तो अब 4 कर दिये तो अब देखो अगला कौन बचा n r a g अगर यह fix हो गया तो एक p बचा एक u बचा तो इसका अगला जो word होगा वो आएगा p u अब अगर मैं फिर से ऐसी चीज करूँ n r ए जी और यह लीजिए यूपी तो यह आपके पास में 313 वर्ड है यह आपके पास में 314 वर्ड बट आपको जो चाहिए वह क्या चाहिए इसके जस्ट बाद वाला वर्ड चाहिए तो इसके जस्ट बाद वाले वर्ड में देखो क्या है का एन जो था वह एजिटिस था आर जो था वह एजिटिस था ए जो था वह एजिटिस था अब बेसिकली तीन लेटर्स को आपको इधर-उधर करना तो पहले जी आ चुका है अब अगला को आएगा पी आएगा फिर अगला कोन आएगा जी आएगा और फिर यू तो इस आर थ्री हंड़े फिप्टीन तो वर्ड यानि basic counting जो उसके अंदर करनी है अब देखो अगर किसी को माल लीजिए कि PNC आती है नहीं आती है उससे क्या फिर बढ़ रहा है यहाँ पे basic counting जो है वो आपको करनी है तो I think कि आपको इस चीज जो क्लियर होगी कि किस तरीके से ring find करेंगे या किसी particular position वाला word अगर आपको find करना तो उसको कैसे find किया जाएगा ठीक है क्या? क्लियर है ये चीज? जल्दी बता दीजिये, आगे बटे तो ये फर्स्ट वाराइटी के क्वेस्टन हो गए जो पी एंसी के अंदर पूछे जाते हैं, रेंक से रिलेटेड आईए जरा नेक्स्ट क्वेस्टन पे बात करते हैं, सर रिपीट, क्या रिपीट करना बेटा इसमें देखो, यहां तक हमने पहले देखे सारे के सारे तो यहां प अभी मैं दो लेटर फिक्स करता जा रहा था यहाँ पे भी अगर मालो मैं N और R को फिक्स करता तो फिर से 24 वर्ड बन जाते यानि वो तो 315 से उपर चला जाता तो इसलिए मैंने को एक ओर वर्ड एक ओर लेटर जो है उसको फिक्स करने की ज़रूरत थी 3 को अरेंज करने के तरीके 3 फैक्टोरियल तो 312 यहाँ तक बन चुके थे 6 और बन जाते तो 318 आ जाते इसका मतलब एक ओर जो हुआ आपको फिक्स करने की ज़रूरत पड़ेगी तो ये इस तरीके से बच्चो question जो उसको किया जाएगा चलिए next question जो आइस को कीजे जल्दी से आपके लिए पोल जो है वो available करा देत कि एक आफिब जनता का आ रहा है तो आप देखते हैं ज़रा क्या बोला जा रहा है कि यहाँ पर एक वर्ड आपको दे रहा बेटा इंडिपेंडेंस और इस पर के अंदर आपको बोला गया है कि ऐसे कितने वर्ड बनेंगे जिसके अंदर सारे वोवल्स जो है वो एक साथ आ रहे होंगे तो वोवल्स जो है उ तो जो भी आपके पास में ऐसा बोला चाहता है कि letters एक साथ आ रहे हैं उन सारे letters को आप एक मान लेजिए अब ये आपको पाँच letters नहीं नजर आने चाहिए एक ही letters जो वो नजर आना चाहिए इसके अलावा देखो कौन बचा n बचा d बचा p बचा n बचा d बचा n बचा तो इसका बाद देखो जरा टोटल number of letters जो वो यहाँ पर कितने है, तो total number of letters अगर मैं count करूँगा तो 3 और 4 यहाँ पर है 7, 7 letters यहाँ पर है, यहाँ पर क्या 5 letters है, नहीं, 5 नहीं आने चाहिए आपको, यह एक है, तो 7 plus 1 जो वो टोटल कितने है, 8 letters हो गए, 8 को arrange करने के तरीके अब देखो इन 8 में कुछ एक जैसे भी है, जैसे n जो है वो यहाँ पे देखिए 3 बार repeat हो रहा है, तो इसकी वज़े से 3 factorial, फिर यह d जो है यहाँ पे 2 बार repeat हो रहा है, तो उसकी वज़े से 2 factorial, अब यह वो वेश जो हो सारे एक साथ आने चीज़ी है, बट एक साथ में दे� फैक्टोरियल ठीक है तो अब इसको कैलकुलेट कर लेते हैं यह देखो आप 720 इसको ऐसा लिख देना 720 इंटू एट इंटू सेवन डिवाइडेड पाई सिक्स इंटू टू इस ट्वेल्ड और यहां से फाइव तो यह देखिए कितना मिल गया आपको सिक्स ना कैलकुलेशन देखो कैसे रहे हो वह भी देखते जाओ तो सिक्स इंटू फाइव 300 और यह लीजिए 56 तो यह आगे सिक्स इंटू 318 एंड डबल जी रो तो 16000 800 यानि कि ए ओप्शन जो वो बच्चो आपके पास में क्या होगा इसका राइट आंसर ठीक है तो ये ओहो काफी ज़्यादा बच्चों ने यह वाला क्वेस्टन जो सही किया है फेवरेट क्वेस्टन है का तुम लोगों का यह हाँ फेवरेट क्वेस्टन है चलिए आगे ब� आपको पाँच नंबर्स दे रहे हैं ना, नंबर्स वाले क्वेश्चन जो वो भी काफी सारे जो वो अभी आजकल ट्रेंडिंग में ये भी काफी सारे क्वेश्चन इस तरीके के पूछे जाते हैं, जिसके अंदर आपको कुछ एक डिजिट्स जो वो दे दी जाती हैं औ अरे रोहित देख लेंगे बेटा अभी तुम खुद को तो देखो पहले थोड़ा सवाल पे ध्यान दो यार क्या लीडर बोर्ड देखो देख लेंगे वो भी आना देख लेंगे अभी क्वेस्टेंस पे फोकस करते हैं चलिए तो देखो साथ हजार से बड़े इंटीजर्स 5 digit अगर मैं numbers बनाता हूँ, 5 digit numbers, तो क्या मैं ऐसा बोल सकता हूँ कि 5 digit के तो भी जितने भी numbers होंगे, वो सारे के सारे 7000 से बड़े होंगे, क्योंकि main problem है आपके पास 4 digit वाले में, 5 digit के तो जितने भी numbers होंगे, सारे के सारे ही जो वो क्या होंगे, 7000 से बड़े होंगे, तो 5 digit क चार डिजिट के वो नमबर्स बनाने हैं जो कि 7000 से बड़े होने चाहिए और इन 5 डिजिट का यूज करके बनाने चाहिए तो एक बात बताईए जरा ये वाली जो फर्स्ट पोजिशन है क्या यहाँ पर कभी भी 7 आ सकता है क्या और 8 आ सकता है क्या नहीं ये दोनों अश्री अब 4 digit का number है तो वो तो 6000 something होगा तो 7000 से छोटा हैगा similar way में 3 और 5 से भी start होने वाले जो भी यहाँ पे numbers होंगे वो सारे 7000 से छोटे हैं यानि इस position को fill करने के बेटा दो ही तरीके हैं या तो यहाँ पे 7 आजाए या फिर यहाँ पे 8 दो तरीके हैं अब दो में से कोई सा भी एगर एक digit यहाँ पे आ गया अब चाहे इन यहाँ पे digit किसी भी तरीके से आए वो number हमेशा ही बेटा क्या होगा 7000 से बड़ा तो एक digit यहाँ पे fix हो चुकी है repetition allowed नहीं है total 4 digit और बची है तो यहाँ पे 4 तरीके से कोई आएगी यहाँ पे 3 तरीके से यहाँ पे 2 तरीके तो यह देखो जरा कितना आ रहा 48 तो total words जो वो यहाँ पे कितने बन रहे होंगे 168 यानि B option जो है वो आपके पास में क्या होगा बच्चे, इसका right answer, आसान question है देखो, तो ऐसा नहीं है कि J-Main में PNC के सारे questions जो वो tough आते हैं, बड़े ही, ओ sorry मैंने गलती से sorry A पे mark कर दिया था, B होगा, तो B जो 75% student ने सही किया है, आना गलती से A पे जो मैंने mark कर दिया, right, चलिए आगे शर्नी यह कर दिया हां वह गलती से हो जाता है तो नो सर रेंक गया टेंशन बदलो रेंक तुम्हारा कहीं नहीं गया रेंक जो जैम आएगा उसका ध्यान रखो तुम्हारा वाला ठीक है कोई दिक्कर नहीं संभाल लेंगे आइए जरा देखो यह बड़ा ही प्यारा सा एलिमेंट से अब आपको इसके नंबर ओफ नोन एमटी सबसेट्स बताने हैं तो यहां पर टोटल किन्न एलिमेंट्स है अब आपको क्वेश्चन जा रहा है उसके अंदर ऐसा बोला जा रहा है कि ऐसे सबसेट्स आपको बताने हैं जिनके एलिमेंट्स का जब मैं सम करूं तो वो थ्री से डिविजिबल होने चाहिए तो इसका बताओ सबसेट में बेटा है एक element भी हो सकता है, दो element भी हो सकता है, तीन भी हो सकता है, चार, पांच, सेर, साथ कितने भी हो सकते हैं, तो सारे cases जो वो आपको बनाने पड़ेगे, जैसे मैं ऐसा बोलू कि पहले तो ये जो numbers हैं, इनको थोड़ा सा observe कर लीजिए क सुबह इतनी अच्छी अच्छा मौसम हो रखा नींद वाला, सिदा पेपर देने जाने की प्रैक्टिस करो तुम तो, तो मैं कुछ करने की क्या ही जरूरत है, तो आइए जरा, तो यहाँ पे देखो मैं बोल रहा हूँ कि जो नंबर्स आपके पास में, वो नंबर्स क एक number जो वो 3 lambda plus 1 type का होगा, और एक number जो 3 lambda plus 2, क्योंकि अगर मैं 3 के respect में बेटा देखूँगा, तो इस दुनिया में 3 ही type के number है, या तो वो 3 से divisible होगा, या 3 से divide करूँगा, तो remainder 1 आएगा, या फिर 3 से divide करूँगा, तो remainder 2 आएगा, यही possibility है, चलिए, तो अब देखो जो र 7, 10 और remainder 2 वाले देखो कौन है 2, 5 and 11 यह इस तरीके से 7 number जो इनको में category में इनको divide कर दिया अब देखो क्या है अब मैं ऐसा बोलना हूँ कि जो आपको number of non-empty subset जो बनाने है तो आप उसके अंदर देखे कि total कितने elements है case 1, case 1 जैसे अगर मालों मा बोल दू one element ऐसे सबसेट्स कितने बनेंगे जिसके अंदर एक ही एलिमेंट हो और वो थ्री से डिविजिबल होना चाहिए तो ऐसा तो एक ही बिलना होगा तो यहां से टोटल एक सबसेट्स जो वो बन गया आगे बढ़ते हैं चलिए केस टू में बच्चों मैंने बोल दिया टू कि यहां से दो ऐसे elements आपको select करने हैं, जिनका sum जो वो 3 से divisible होना चाहिए, तो एक बात सोची बेटा, अगर आप एक number यहां से ले, और दूसरा number यहां से ले, तो उनका sum देखो कितना आ रहा है, 6 lambda plus 3 sum आ रहा है, और 6 lambda plus 3 क्या 3 से divisible है, जी सर divisible है, इसका मतलब इन तीनों में से आप कोई एक number ले लीजे, 1, 7, 10 में से, उसके तरीके कितने 3C1, और एक number इन तीनों में से ले लीजिए, तो उसके वे किन्ने 3C1, तो ये total यहां से किन्ने आगे, 9, यानि दो element वाले total किन्ने subset बन गए, 9, चलिए आगे बढ़ते हैं फिर, next देखते हैं case 3, 3 elements, इसका मतलब क्या हो गया, कि 3 element, ऐसे कोन-कोन से आप 3 element जो बच्चों ले सक अगर मान लो आपने एक नंबर यहां से ले लिया और उन तीनों 3 lambda plus 3 lambda 9 lambda and plus 3. तो क्या 9 lambda plus 3 जो वो 3 से divisible है क्या?

जी सर है. इसका मतलब जो पहला है उसमें से आप एक element ले लीजिए. जो दूसरी category है उसमें से एक element.

जो तीसरी category है उसमें से एक element. क्या और कोई ऐसी possibility है जहां से अगर आप 3 element लो तो वो divisible हो? जी सर है कैसे? अगर आपने तीनो एलिमेंट जो वो अगर यहीं से ले लिए, तो उनका सम जो है वो भी तो 3 से डिविजिबल है, तो तीनो में से 3 सेलेक्ट करने के, या फिर तीनो एलिमेंट जो आप यहां से भी ले सकते हैं, तो चलिए तीनो एलिमेंट आप यहां से भी ले सकते ह सेलेक्ट करने के कितने तरीके होंगे और इस तरीके से सेलेक्ट करना कि उनका सम जो वो क्या हो जाए बच्चो थ्री से डिविजीबल तो वापिस से देखिए कि चार एलिमेंट कैसे कर सकते हैं अगर मैं ऐसा बोल लो कि दो एलिमेंट आप देखो यहां से ले लीजिए या फिर ऐसा हो सकता है कि एक डिजिट यहां से ले लीजिए और बाकी के तीन डिजिट वो यहां से ले लीजिए तो 1C1 इंटू में 3C3 और देखो क्या possibility हो सकती है चार लेटर्स को select करने की अगर मैं ऐसा बोलूं कि आप मान लो कि दो लेटर जो वो यहां से select कर लो और ऐसे case में क्या उन चारों का समझो वो त्री से डिविजिबल होगा क्या तो आपको दिख रहा होगा कि वो नहीं होगा अच्छा अगर आप लीजिए कि यहां से तीन ले लो यहां से एक ले लो तो डिविजिबल होगा क्या नहीं होगा अगर एक यहां से ले लो तीन यहां से calculation बच्चो देखते जाना, calculation जो है उसको ध्यान से देखते वे चलना, आना calculation को ध्यान से देखते वे चलना, चलिए case, next case, अब मैं बोल लाओ कि 5 element अगर हो, 5 element जो वो अगर हो तब क्या होगा, चलिए, तो अब देखो, 5 element जो है, वो कैसे हम लेंगे, इस बात को समझना, क्या कह रहे हैं आप नीचे वाले दोनों से दो ले फोर वाले में दो लेंगे तो हो रहा है क्या कहां हो रहा है दो लेंगे तो यह देखो 6 लैमडा प्लस 2 होगा और यहां से किना हैगा 6 लैमडा प्लस 4 आएगा क्या यस हो रहा वो भी हो रहा है मतलब 2 यहां से ले लीजिए और 2 यहां से ले लीजिए तो 3C2 तो यह किन आजाएगा यह भी मिलना आपके पास 11 यह भी आजाएगा फिर अगर बात करें 5 एलिमेंट की तो 5 एलिमेंट में देखो क्या होगा वापिस से आप ऐसा चोची है कि 2 एलिमेंट यहां से ले लो 2 यहां से ले लो तो 1C1 नेक्स्ट आएगा 3C2 और नेक्स्ट आएगा आपके पास में 3C2 तो 9 यह होगे और कोई तरीका है क्या अगर मान ले जि आप 3 element यहां से ले ले, 2 यहां से ले ले, तो क्या वो 3 से divisible होगा क्या? नहीं होगा, अगर 3 यहां से ले ले, 2 यहां से ले ले, तो क्या वो divisible होगा क्या?

नहीं होगा, तो I think इसके अंदर 9 case जो यहां पे आपको बन लेगो, ठीक है, चलिए फिर next बात कर तो 6 elements देखो कैसे select कर सकते हैं या तो आप तीनों ये कर लीजिए या फिर तीनों जो ये कर लीजिए तो 3C3 मलब तीनों आपको करने पड़ेगे 3C3 इंटू में 3C3 ये कितना आगे आप बन और यहां से एक ही आएगा फिर case 7 सातो element 7 element तो yes अगर माल लीजिए मैं सातो के है तो यह सारे केसिस बनेंगे तो टोटल आपको पूछा गया था टोटल सबसेट कितने बनेंगे दे 9 plus 1, 10 और ये 9 plus 1, 10 10, 20 20 और 22, 42 प्लस का 143 So this will be our final answer ठीक है क्या? I hope ये आपको clear हो गया होगा नहीं समझा, तो बेटा एक बार दुबारा से देखना वीडियो जब खतम हो जाए तो इतना डिटेल में तो बताई ये यार सारी चीज़ें चलिए बढ़ते हैं फिर next question पे, आईए जारा, यहाँ पर देखो इस तरीके के questions को कैसे जो वो deal किया जाता है इसको समझना, ऐसा बोला जारा है कि the total number of positive integral solutions of x, y, z such that x into y into z is equals to 24, x into y into z 24 बोला है, 24 को बेटा factorize कर दीजिये, तो 2 की power 3 into मैं क्या बोल सकता हूँ इसको 3, इसका मतलब देखो यह जो तीन नंबर x, y, and z है वो या तो 2 का multiple होगा या फिर 3 का multiple होगा ऐसा बोल सकते हैं तो क्या मैं इसको देखो ऐसा बोल सकता हूँ कि x जो है उसको सपोज आपने बोल दिया कुछ है 2 की पावर में alpha 1 into में 3 की पावर में beta 1 ऐसा बोल दिया y को एक बार के लिए बोल दीजिए 2 की power alpha 2 into 3 की power beta 2 और z को हमने बोल दिया 2 की power alpha 3 into 3 की power beta 3 क्योंकि 2 या 3 के multiple की form में आएगी तो अब देखो अगर यहाँ पे मैं डाल लो तो 2 की power में आ रहा है alpha 1 plus alpha 2 plus alpha 3 into 3 की power में आ रहा है beta 1 plus beta 2 plus beta 3 और यह किसके एक बार 2 की power 3 into 3 ऐसा लिख सकते हैं इसको, अब ज़रह एक बात सोचो यहां से, अगर हमने इसको ऐसा लिख दिया, तो अब यह जो 2 की पावर है, एलफा 1 प्लस एलफा 2 प्लस एलफा 3, यह 2 की पावर बेटा किसकी एकवल आनी चाहिए, 3 की एकवल, यानि एलफा 1 प्लस एलफा 2 प्लस एलफ यहां तक आई होगी कि किसी को कोई दिक्कत नहीं होगी बोलो अब alpha 1 plus alpha 2 plus alpha 3 को 3 है यानि कि alpha 1 alpha 2 alpha 3 को sorry सेलेक्ट करने के जो total number of ways है वो क्या होगे alpha 1 alpha 2 alpha 3 जो वो यहाँ पे है क्या इनकी value देखो क्या हो सकती है alpha 1, alpha 2, alpha 3 जो है इनकी value क्या हो सकते है यह आपको समझना है क्या मैं ऐसा बोल सकता हूँ कि यह non-negative number से इसकी value 0, 1, 2, 3 इस तरीके से कुछ हो सकती है तो इसके जो number of non-negative integral solution होते हैं वो क्या होते है जैसे अगर यह एक equation है x1 plus x2 plus x3 से लेके xr is equals to x अगर आपसे पूछा जाए कि इसके number of non-negative integral solutions कितने होंगे, तो आपका जवाब होगा n plus r minus 1, c r minus 1, right, ऐसा हैगा, तो यहाँ पे भी देखो n की value 3 है, r की value 3 है, minus 1, c 3, minus 1, तो 5 c 2, 5 c 2 is 10, यहाँ से देखो n की value 1 है, r की value 3 है, और यह वापस है, तो 3 c 2, this is 3, तो total numbers कितने बने इसको सेलेक्ट करने के वेज ट्रेन है, इंटू में इसको सेलेक्ट करने के वेज थ्री है, तो ये कितना मिल गया, आपके पास में थर्टी, तो डी ऑप्शन जो बच्चो आपके पास में इसका क्या होगा, राइट आंसर, ठीक है क्या, सेट है मामला, आगे बड़े, चलिए इसमें बोला है the sum of all the four digits distinct numbers that can be formed with the digits 1, 2, 2 and 3 इसको समझना जा रहा है ध्यान से, आना sum जो पूछा जाता है क्योंकि इसके अंदर आप options भी देख रहे हैं कि कितना बड़ा सा number आ रहा है क्या कहना चाहिए पहले तो सवाल का मतलब समझ दीजिए इसने बोला है कि ये जो चार डिजिट आपको दे रहे हैं कि 1, 2, 3 इनसे पहली बात तो यह बताए कि 4 डिजिट के टोटल आप कितने नंबर बना सकते हैं, तो आपका जवाब होगा सिर 4 factorial divided by 2 factorial 12, यानि आपसे यह पूछना चाहरा है कि यह जो 12 नंबर आपके पास में बन रहे होंगे, इन सारे नंबर का सम जो है वो कितना होगा, इन सारे नं� अगर मैं ऐसा बोलूं कि suppose आपने unit place जो है उस पे अगर मालों एक बार के लिए 2 जो उसको fix कर दिया, 4 digit के number बनेंगे उसमें मालों कि आपने यहाँ पे 2 को fix कर दिया, यहाँ आप चाहो तो first वाली position जो यहाँ पे मालेंगे unit place पे आपने 2 को fix कर दिया, तो ऐसे total कितने numbers बनें अरेंज करने के तरीके 3 factorial, अगर मैं आपसे पूछू कि 1 जो है वो first position पे कितनी बार आएगा, तो 1 को fix कर दिया तो आप total किन दे numbers और बनेगे, तो अब बनेगे 3 factorial by 2 factorial, this is equals to 3, ध्यान से समझना बड़ा ही प्यारा concept है, इसके बाद अगर हम बात करें, यहाँ पे 3 जो हो किन द इसका मतलब क्या हुआ ध्यान से समझेगा कि इसका मतलब क्या हुआ कि जो टोटल 12 नंबर से आपके पास में बन रहे हैं मतलब समझना इसका क्या मतलब है कि टोटल इन 4 डिजिट्स का यूज करके जो 12 नंबर आपके पास में बन रहे हैं जो 12 नंबर से आपके पास में बनें तीन नंबर ऐसे होंगे जिनमें unit place में one आ रहा होगा और तीन नंबर ही ऐसे होंगे जिनमें unit place में three आ रहा होगा अब जैसे मैंने unit place के लिए बोला वही सेम चीज जो हो टेन्स place के लिए होगी वही सेम चीज बेटा hundred place के लिए होगी और वही सेम चीज जो हो टेन्स place में sorry thousand place म तो 6 number ऐसे जिसमें 2 आ रहा है, 3 number ऐसे जिसमें 1 आ रहा है, 3 number ऐसे जिसमें 3 आ रहा है, भई 6 position पे 2 आ रहा है तो सबका sum कितना हो गया है, 2 plus 2 यानि 6 into 2, 3 position पे 1 आ रहा है तो 1 plus 1, 3 position पे 3, अब यही काम जो है, वो unit position पे होगा तो 1 से multiply कर दिया tens position के लिए आपने tens से कर दिया 100 के लिए 100 से कर दिया और ये 100 से ये क्या है सर ये जो आपने अभी किया है ये क्या है ये देखो बेटा simple है जैसे अगर मान लो मैं ऐसा बोलू कि 5, 50, 5, 8, 2 है और यहाँ पे मान लीजिए कि आपने 3, 1, 3 जो उसको add किया तो ये देखो कितना बनता 5 ये कितना आता 9 और ये कितना आता 8 कि आपने यह फर्स्ट वाला किया 3 प्लस 25 जो सेकेंड पोजीशन पर जो नंबर सा रहे थे उनको आपने एड किया और फिर उसको टेंस से मल्टिप्लाई कर दिया यहां वालों को आपने एड किया और फिर उसको आपने हंड्रेट से मल्टिप्लाई कर दिया तो इसको आप देखेंगे तो यह भी कितना बन रहा होगा 895 जो बन रहा होगा इसका बता यहां पर भी हमने क्या किया कि जो बारा नंबर थे उसमें यूनिट प्लेस में जितने भी नंबर आ रहे हैं उनको लिखा फिर जो 10th place पे जो digits आ रही थी उनके sum को हमने 10th से multiply कर दिया, 100th place पे जो आ रही थी उसको 100 से और 1000 वाले को ऐसे, तो ये उन सारे numbers का total समा जाएगा, ये देखो किना है, 6 x 2, 12, 3, 15, और नो, 24, 24 x me, this, sorry, 4 बार आएगा, भावनाओं बैके बहुत जाएद वाले लिख 26664 यानि option A जो है वो इसका right hand मज़ा आया क्या? क्या ये सबको clear हो गया है?

मज़ा आया क्या? जल्दी बोलो क्या अगर आगे से sum का सवाल आएगा अगर आपके उसमें shift में तो क्या उसको सही कर पाओगे? पक्का सही करेंगे? शाबाज बहुत अच्छे चलो आगे बढ़ते हैं फिर next सवाल की तरफ चलिए ये आपको एक बार poll करवा दू आपसे चलिए कीजिए सवाल को जल्दी से सोल अच्छा ओ इंटीजर टाइप पोल है क्या?

आ तो चली एक बार दुबार इंटीज़र टाइप का पोल करवा देते हैं, चलिए, अब कीजिए, ये जैमेंट 2021 में बच्चों ये सवाल जो पूछा गया था, the number of three digit even numbers formed by the digits this this, if the repetition of, अहो ये तो बहुत जादा आसान सवाल हो गया, काफी जादा आसान सवाल हो गया ये तो, इसको तो सबी के सबी बच्चे कर सकते हैं आना सबका अंसर ठीक है तो आइए जरह देखते हैं क्या बोला जा रहा है इसमें, the number of 3 digit even numbers आपको बताने है, तो even number क्या होगा भी, जिनकी unit digit जो आपके पास में क्या आ रही होगी, 0, 2, 4, 6, 8 इस तरीके से आ रही होगी, और 3 digit का आपको number जो हो चाहिए, तो चलिए देखो 3 digit का अगर number चाहि अगर पहले 0 को fix कर दिया तो ऐसे even numbers कितने बनेगे अगर 0 को fix कर दिया तो देखो 3 और 2, 5 digit और बची है तो पहली position में 5 तरीके से कोई एक आएगा दूसरी पे 4 यानि यह आगे 20 अब दूसरे में बोल लो कि यहाँ पे देखो 4 भी आ सकता है और 6 भी आ सकता है तो इन दोनों में से अगर कोई एक आएगा तो इस पे आने की possibility होगी 2 अब देखो first position में क्योंकि repetition allowed नहीं है तो एक तो जो digit यहाँ पे आ चुकी है, क्या वो digit यहाँ आ सकती है, क्या नहीं आ सकती है, और साथ में इस position पे क्या 0 आ सकता, नहीं, यानि इस वाली पे देखो कौन बचा, 0 नहीं आ सकता, 1 आ सकता है, 3 आ सकता है, 7 आ सकता है, 4 और 6 में से कोई एक आएगा, यानि 4 possibility है, तो अगर ये total जो आपके पास में थी कितने 3, 2, 5, 6 digits थी उसमें से एक यहाँ use कर ली एक यहाँ तो 4 possibilities और बची तो यहाँ आगे 32 तो total आपके पास में कितने numbers बच्चों बन रहोगे 52 तो यही क्या होगा इसका right answer काफी students का यह वाला ठीक है बहुत अच्छे देख चलिए बढ़ते हैं next सवाल की तरब यहाँ पर देखो बच्चों सवाल में क्या बोला जा रहा है आपको जेइ मेन 2024 का सवाल है ऐसा बोला के कि there are 4 men and 5 women in group A ये देखो कोई group A है आपके पास में group A इसके अंदर group A जो इसके अंदर बच्चों देखो क्या हो रहा है 4 men है और 5 जो वो women है एक आपके पास में group B एक group B जो वो आपके पास में group B में देखो कोई है एंड फाइब मैन यहां पर इस बार जो उल्टा हो गया फाइब मैन है एंड फोर जो वो क्या है वीमन है येस आगे बढ़ते हैं इफ फोर परसन्स आर सेलेक्टेड फ्रॉम इच ग्रूप देन दे नंबर ओफ वेज ओफ सेलेक्टिंग फोर मैन एंड फोर वीमन इस आपका यहां से भी आपको 4 person select करने है और यहां से भी जो वो 4 person select करने है लेकिन जो finally आपके पास में 8 person आ रहे होंगे उसके अंदर 4 men होने चाहिए और 4 women होने चाहिए तो देखो कैसे कर सकते हैं अगर मान लिजिए कि मैंने पहले group से 3 men को select कर लिया तो एक woman जो है उसको select करना प अब ऐसे case में अगर मान लो मैंने यहां से 3 men select कर लिये हैं तो 1 man अब यहां से select करना पड़ेगा और 3 जो वो women select करने पड़ेगी एक case तो यह हो गया plus अगला case क्या है अगर मान लीजिए मैंने यहां से 2 men select कर लिया और 2 ही women select की तो यहां से भी क्या करना पड़ेगा 2 men और 2 women ज तीन men select करने पड़ेगी और एक जो वो women select करने पड़ेगी एक ऐसा भी हो सकता है कि यहाँ से आपने चार men select कर लिए तो यहाँ से चारो women select करने पड़ेगी एक ऐसा हो सकता है कि यहाँ से अगर आपने चारो women select कर ली तो यहाँ से चार men जो वो select करने पड़ेगी यह पाँच क बोली है, clear है फंडा? चलिए तो अब इसके देखो कितने ways होंगे, यह हम I think बता सकते हैं, जैसे यहाँ से, चार man में से तीन man को select करने के ways, 4C3, पाँच में से एक को select करने के, फिर यहाँ से देखो, चार में से दो को select करने के ways, 4C2, 6, 5 में से दो, 5C2, 10, फिर देखो, चार में से एक man को select करने के तरीके, 4, 5 में से तीन को 10, फिर चार man को select करने का एक तरीका, बस और 4 women को select करने के 5 तरीके क्योंकि 5C4 similar way में यहाँ पे लिख दीजिए 5 में से 1 man को select करने के तरीके 5 3 women को select करने के तरीके 4 यहाँ से 2 men यानि 5C2 10 4C2 6 3 men 5C3 10 4C1 ऐसा 4 women को select करने का एक तरीका और यह लीजिए अब देखो यह पहला जो इनको multiply कर दे तो यह 20 आ रहा है और यह यहाँ से 20, तो 20 का square आ गया, फिर next वाला जो देखो 60 का square, next वाला देखो 40 का square, next वाला 1, और next वाला जो 5 का square, यह बच्चो आपके पास में क्या जाएगा इसका final answer, तो यहाँ से 400, plus 3600, plus 1600, और plus का यह लीज़े 26, तो 4500, और यह लीज़े 562, यह अपने पास में बच्चों total number of ways हो जाएंगे जिसकी help से आप यहां से group 1 और group 2 से मिला के total 4 men और 4 women select कर सकते हैं जिसमें से पहले group से आपको 4 लोगों को लेना है और जो दूसरा group है उससे भी 4 लोगों को clear चलिए आगे बढ़ते हैं यह देखिए ज़रद next एक question जो है वो आपके पास में circular arrangement का question है देखिए तो इस बार सर्कुलर टेबल है या हम ऐसा बोलते कि राउंड टेबल है तो आपको उन साथ में देखो नो टू गर्ल्स सिट टूगेजर गर्स जो कोई भी दो गर्स साथ में नहीं आनी चाहिए यानि गर्स जो उनको गैप में बैठाना है तो जो साथ लड़के हैं उनको बच्चों यहां पर इस पर round table जो उसमें बैठा दीजिए, अब circular permutation आपको बता है, कि एक circular arrangement में, अगर n objects को arrange करना है, तो उसके तरीके कितने होते हैं, n minus 1 factorial, तो boys को arrange करने के ways हो गए, 6 factorial, यहां से देखो, total जो है, इस position पे, suppose इस position पे, इस position पे, 3, 4, 5, 6, 7, यह सब्सक्राइब जो बैठ चुके अब गल्स के लिए टोटल यहां पर गैप्स कितने क्योंकि यह टोटल यहां पर साथ लोग बैठे हैं तो गैप देखो कितने क्रिएट होंगे एक गैप दो गैप तीन गैप चार गैप पाँच गैप सिक्स गैप एंड यह सेवन गैप य और जो circular arrangement होता है उसमें उतने ही gap create होगे तो यहाँ पे total 7 gap है लेकिन girls जो वो कितनी है 5 ही है तो यह जो 7 gap है या फिर जो 7 positions है उन में से आपको कितनी requirement है आपको requirement जो बच्चो 5 की requirement है तो आपने कोई 5 positions उसको select कर लिया अब 5 को select करके उन girls को अपस में arrange करने के कितने तरीके होंगे 5 factorial तो अब देखो इसको arrange इस तरीके से करना तो एक 6 factorial का आप क्या लिख सकते हैं, 6 into 5, 6 into 5 factorial, एक 5 factorial पहले से था, 7C5 जो वो बच्चों किन्ना होगा, 21, so this is 121 into my 5 factorial का square, 126, तो B option जो बच्चों क्या होगा, इसका right answer होगा, clear? चलिए move on to next question इसमें ज़रा बताइए बच्चो क्या करेंगे क्या बोला जा रहा है यहाँ पे the total number of words with or without meaning that can be formed out of the letters of the word distribution taken four at a time अब देखो यार इस तरीके के questions को भी समझ लीजिए क्या pattern होता है जैसे इस दो टाइप के question है एक तो मान लिजिए आपके पास में कोई word दे रखा है और ऐसा बोल दिया जाएगी इस word के कोई 4 letter का use करके total कितने words बना सकते हैं और अगर माल लीजिए कि वहाँ पे letters हो सारे के सारे कैसे different है सारे के सारे letters हैं कि different है तब तो कोई problem नहीं है उसमें तो हम simply अगर मालों कि 10 letters हैं और वो 10 के 10 different हैं तो क्या बोलेंगे कि 10 में से कोई 4 select कर लीजिए 10 C 4 और उनको arrange करने के तरीके किने 4 factorial बट ऐसा कब करेंगे जब सारे के सारे 10 letters हो कि आओ distinct हो अब यहाँ पर कुछ identical भी है कुछ alike letters जो वो आपके पास आ रहे हैं सबसे पहले तो देखेंगे कि क्या हो रहा है जैसे I, 3 times I आ रहा है तो यह I, I हो गया, उसके बाद मैं और देखो कौन को रिपीट हो रहा है, D जो रिपीट हो रहा है क्या नहीं हो रहा है, D को मैंने यहाँ पर लिख दिया, उसके बाद S भी रिपीट नहीं हो र फिर B repeat हो रहा है क्या नहीं, B को हमने यहाँ पर लिख दिया, फिर U repeat हो रहा है क्या नहीं हो रहा है, इसको भी हमने यहाँ पर लिख दिया, T आई चुका अलड़ी, O भी repeat नहीं हो रहा है, और N जो वो भी repeat नहीं हो रहा है, यह इस तरीके से आपके पास है, अब देखो जान तो अब देखो वो जो चार लेटर है वो कैसे हो सकते है उस बात को समझिए चार लेटर जो हो बच्चो कैसे हो सकते है चार लेटर में ऐसा हो सकता है कि पहली बात तो चारो एक जैसे हो जाए बट वो तो possibility नहीं है क्योंकि चार एक जैसे तो लेटर है नहीं है तो ऐसा हो सकता है कि दो लेटर जो वो अलाइक हो जाए और बाकी के दो जो वो अलाइक हो जाए, यानि जो चार लेटर उसमें से दो एक जैसे और बाकी बच्चे वे दोनों एक जैसे, एक ऐसा हो सकता है कि दो जो वो अलाइक हो जाए, यानि दो एक जैसे और बाकी के दो बच् इसमें से अगर आपको 3 एक जैसे लेटर सेलेक्ट करने और एक डिफरेंट तो इसके किनने तरीके होगे तो देखो 3 लेटर एक जैसे सेलेक्ट करने का तो एक ही तरीका है कौन सा कि आपको तीनों आई लेने पड़ेगे तो यह हो गया 1 इंटू अब जो डिफरेंट हो तो देखो यहां से टोटल जैसे 3, 2, 5, 2, 7 लेटर ही हैं और एक लेटर यह बच गया 8 तो 8 में से कोई सा भी एक लेटर को सेलेक्ट करने के वेज 8C पर यह है सा फिर देखे 2 अलाइक में क्या करेंगे बहीय तू अलाइक का भी तो एक ही ओप्शन है इसका तो मतलब सिंपल सी बात है कि दो I आपको लेने पड़ेगे और दो T लेने पड़ेगे तब ही तो टू अलाइक होगा अगला देखो टू अलाइक टू डिफरेंट या तो दो I आप ले सकते हो या फिर दो T ले सकते हो तू C वाँ तो अब टोटल देखो किनने लेटर्स और बचे तो एड सीट अगला है four different, तो four different में का मतलब हो गया है कि आप I A की ले सकते हो ती A की ले सकते हो, इसका लोग अब ये तीनों I जो हैं, वो as a one letter जो है वो treat होगा, तो अब total देखो 7 letter ये है, 8 letter ये है, 9 letter ये है, तो 9 में से 4 letter को select करने के ways ना हैं सीपो, ये तो letters को select करने के ways हो गए, आपको 3 एक जैसे है और एक अलग है तो इससे किनने बर्स बनेंगे 4 factorial divided by जो 3 एक जैसे है उसकी जैसे 3 factorial अगर 2 like है तो 4 letter से किनने 4 factorial divided by 2 factorial इसमें क्या होगा 2 alike है तो फिर से 4 factorial divided by 2 factorial यहाँ पे 4 और different है तो यह किनना जाएगा 4 factorial तो यहाँ से देखो 8 into 2 32 24 x 4, 6, यह आएगा 2 x 2 खतम, 24 x 28, यह आएगा 672, और यह यहां से देखो कितना मिलना है, 9 c 4, यानि 9 x 8 x 7 x 6, divided by 4, 3, 2, और यह लीजे इधर 4 x 24, इससे यह खतम, तो यह कितना आ रहा है? 72 x 42 ठीक है जो इन सबको एड कर देंगे तो आपका final answer जो वो आ जाएगा ठीक है इनको सबको एड कर देना final answer अरेंजमेंट करने है अरेंजमेंट तो बेटा करनी पड़ेगी न तबी तो words आएगे वरणा ये जो पहला जो मैंने लिखा है इस वाले color में ये तो सारे के सारे letters को select क यहाँ पर J main 2024 का यह question है इसमें बोला जा रहा है इस बार देखो क्या बोला है कि 5 employee हैं उनको 4 office में बैठाना है और इसका word का मतलब क्या है indistinguishable का मतलब है कि उनको आप एक जैसा मानिए कि जो चार office है उनको आप एक जैसा मानिए तो ऐसे कितने तरीके हैं जिससे इन पाच लोगों को इन चार office में बैठाया जा सकता है और यह बोल रहा है कि किसी में zero भी हो सकता है किसी में जो वो zero भी ह कि किसी एक office में मान लिए जिये कि आपने 5 लोगों को बैठा दिया और बाकी के 3 में 0, 0 आ गया तो इसका कितना तरीका एक तरीका ऐसा हो सकता है कि किसी एक office में आपने 4 लोगों को बैठा आ किसी एक office में एक को और बाकी दो में 0, 0 अब देखो ये करने के तरीके कितने होंगे 5 लोग है तो उन 5 लोगों में से कौन से चार लोग एक साथ बैठेंगे और कौन से एक अलग बैठेगा तो उसको सेलेक्ट करने के वेज कितने 5C4 तो पांच तरीके यहां से आगे अच्छा अगर दो ओफिस खाली हैं तो ऐसा भी तो हो सकता है ना कि एक में तीन बैठ जाएं एक में दो बैठ जाएं तो इस अब मैं बोल रहा हूँ कि तीन offices में उनको बैठा तो सिर्फ एक खाली रहे, तो ऐसा हो सकता है कि एक में मालो तीन बैठ जाए, एक में एक बैठ जाए, एक में जीरो, ऐसा भी हो सकता है कि दो में दो बैठ जाए, एक में एक, एक में जीरो, ये और यहां से 5 को देखो फिर से 2 ग्रूप में बादना 2 factorial, तो यह कितना आ रहा है आपके पास में, और यह 2 एक जैसे आ रहे हैं, अलाइक उसकी जैसे 1 upon 2 factorial, यहां पे भी 2 अलाइक आ रहे हैं, उसकी जैसे 1 upon 2 factorial, तो यह देखो कितना मिलेगा, 120 बट्टे 12, यानि 10 यहां से अब एक ऐसा हो सकता है ना कि चारो ही offices में वो लोग बैठे तो उसका एक तरीका है दो एक तो इसको किनने वेश से कर सकते हैं 5 factorial by 2 factorial और ये लीजे 3 factorial तो यहाँ से किना रहा है 10 इनका sum का sum कर दीजे तो ये देखो कितना मिल रहा है 20 और 30 50 और एक ही क्या तानी 51 वेश और किसी भी office के अंदर कितने भी लोग जो वो बैठाई जा सकते हैं clear चलिए next question यहाँ पर देखी है एक और JEMIN 2024 तो आप देख पा रहे हैं कि JEMIN 2024 के कितने सारे सवाल मैंने आपको कराए दिये कोई भी ऐसा बहुत मुश्किल सवाल है क्य और देरा फाइड पीवन पीड़ पीड� तो number of triangles that can be formed using all the vertices, ये तो I think आसान सवाल है, triangle बच्चों कैसे जो यहाँ पे बन सकते हैं, एक तो ऐसा बन सकता है कि आप एक vertex वो इन पांच में से किसी एक point को select करके बना लो, एक इस में से select कर लो और एक इस में से, एक तो यह हो गया, और कैसे बन सकते हैं, ऐसा भी कि आपने माल लीजिए कि दो vertex जो वो यहां से select कर लिये और एक यहां से कर लिया या फिर दो यहां से कर लिया एक यहां से तो पाँच में से देखो दो को select करने के दो ways और छह में से आपको एक करना है फिर पाँच में से आपने मालो कि दो कर दिये और साथ में से आपने एक क एक बार ऐसा कर लीजिए कि साथ में से कोई दो कर दीजिए और बचावा एक जो आप यहां से भी कर सकते हैं और यहां से इनको सब को add कर देना final answer आ जाएगा ठीक है चलो next question यहाँ पर देखो क्या बोला जा रहा है इस question में यह भी J main 24 का सवाल है तो यह दाई जो आपको देखें और यह दाई जो आपको देखें औ उसको चार बार जो वो roll किया गया है तो बोला जा रहा है कि उन पे sum 16 आने के कितने ways होंगे तो ऐसा सोचिए कि माल लो कि वो die को आपने पहली बार में roll किया die जो उसको पहली बार में roll किया तो उसपे जो कोई number है उसको आपने note कर लिया और वो number हमने बोलते है कुछ x1 दूसरी पे कुछ number है वो x2 तीसरी पे number है x3 चोथी पे number है x4 और इनका sum का sum जो वो कितना आना चाहिए 16 अब देखो यहाँ पर यह जो x1, x2, x3, x4 हैं, यह क्या है basically?

यह 6 से छोटे हो सकते हैं, और 1 से बड़े होंगे, बई x1, x2, x3, 1 से लेके 6 तक ही तो हो सकते हैं, इसका मतलब अब देखो आपको क्या find करना है, coefficient of x raised to power 16, multinomial theorem का use है, इन किस में x की power 1 हो सकता है, यानि dice पे 1 हो सकता है, 2 हो सकता है, 3 हो सकता है, 4 हो सकता है, 5 आ सकता है and 6 पहली dice पे भी यही same scene है दूसरी पे भी यही same scene तीसरी पे भी और चोती पे भी तो एक तो देखो x जो आप इसमें से सबमें से common ले लो तो x की power 6 बाहर आ गया अब अगर x की power 6 बाहर आ गया तो आपको 16 चीज़ था तो 6 तो अब आप ऐसा कर लीजिए coefficient of x की power 10 और चीज़ किसके अंदर 1 plus x plus x square plus x cube plus x की power 4 plus x की power 5 की power 4 चलो अब इसके अंदर इसको simplify कर लीजिए जीपी लिखिए a into में 1 minus r raise to power n upon 1 minus r की power 4 यानि 1 minus x की power 6 की power 4 1 minus x की power minus अब इसको open करें तो देखो C0 यानि की 1 minus C1 4X की power 6 अब देखो आगे जब हम चलेंगे तो 4C2 6X की power 12 ऐसा सा कुछ चलेगा और यहाँ पे तो आपको पता ना कि 1 minus X की power minus 4 जो इसके अंदर X की हमेशा जो power है वो बच्चों जो है वो आपके पास में कैसी होगी वो तो positive हो रही तो इसका लिए x की power 10 तभी आ सकता है, जब यहाँ वाला 1 जो वो x की power 10 से multiply हो रहा हो, और यह जो x की power 6 है बेटा, वो किस से multiply हो रहा हो, x की power 4 से multiply हो रहा हो, तभी तो x की power 10 जो वो आएगा, जी सर, चलो, तो अब देखो आपको यह बता होना चाहिए, कि 1-x की power-n का expansion क्या है, 1-x की power-n, 1 plus nc1x, plus n plus 1 c2 x square, plus n plus 2 c3 x cube, ऐसे चलता है, यानि coefficient of, x की power r, अगर मैंने इसके अंदर देखना है, तो वो देखो क्या होगा, n, sorry, n plus r minus 1, c r, यह coefficient होगा, देखो, यह x की power r का coefficient, तो अगर मैं बात करूँ, x की power 10 का coefficient आपको सबसे पहले चीज़ी है, तो x की power 10 का coefficient, n की value कितनी आगे, 4, r की value कितनी, 10, minus 1, c 10, यहां से x की power 10 मिलेगा, और देखो कैसे आएगा, जब x की power 6, यानि minus 4 x की power 6 जब multiply हो, तो minus 4 तो बाहर आगे, और इधर अब क्या चीज़ी आपको, x की power 4 का coefficient, तो वो क्या होगा, देखो, n तो 4 था, r इस बार आगे, 4, और यह लीजे, c, तो यहां से मिलना आपको 13C10 बोल दोया 13C3 दोनों सेम बाते हैं माइनस का 4 इंटू में 8-1, 7C4 तो यह देखो कितना आ रहा है 13, 12, 11, 6-4, 7, 6, 5, 3, 2 यह साथ तो यह 2 आ गया 26 इंटू में 11 आ रहा है माइनस यह खतम 3570144, 286-140, यह ऐसा आ रहा है क्या, तो यह कितना बच रहा है, 146 आ रहा है, answer 125 है, कुछ गडबर कर दिया है कि हमने calculation एक बार check कर लो जल्दे से, एक बार calculation को check कर लीजिए, सर x की power कौन बाहर आएगा, x की power 4 आएगा बाहर, ओ, ओके, सॉरी, x की power 4 आएगा, तो 4 आएगा तो 12 और बचेगा, ओके, x की power 12 बचेगा यहाँ पे, तो 12 आएगा तो x की power 12 चीज़िए, तो यहाँ पे भी 12 आजाएगा, यहाँ पे 12 आएगा, यहाँ पे 12, यह माइनस 4 के साथ में जो आएगा, x की पावर 6 है, और इदर से भी कितना चाहिए, x की पावर 6 है, तो यहाँ पे भी 6 आएगा, और साथ में एक ओर टम आएगी, यह 6 x की पावर 12 है, उदर से एक, तो प्लस का 6 और आएगा, तो 12 और 4, 16, इसको दुबारा से कर दो, 12 और 16 यारा, 15 c 5 आएगा, 6 x 4, यह 9 c 4 आएगा, ठीक है क्या? जल्दी बोलो क्लियर है मामला? इसको simplify कर लेना तो आपका final answer जो वो मिल जाएगा आपको ठीक है?

तो ये इस तरीके के question जो वो भी पूछे जाते हैं multinomial theorem की हल से आप इनको आसाने से solve कर सकते हैं. चलिए आगे पढ़ते हैं next question यहाँ पर देखो क्या है? The number of triangles whose vertices are the vertices of a regular octagon. रेगुलर ओक्टागन का मतलब एक रेगुलर पोलीगन होगा जिसके अंदर टोटल 8 साइड्स आ रही होगी रही है, बट नन ओफ वो साइड्स इस ए साइड ओफ ओक्टागन, आना यानि ऐसे से देखो कोई एक सिच्वेशन है, आई थिंग 8 है, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8 साइड अब आपको triangle बनाना है तो पहली बात तो triangle जो उसके लिए आपको क्या चीज़े, 3 vertices चीज़े बट वो इस तरीके से लेने है कि कोई भी triangle की side जो है वो common नहीं आनी चीज़े, इसका मतलब basically हो गया कि आप कोई भी 2 लगातार जो वो नहीं ले सकते, तो अब basically सवा इस सरकल के अंदर टोटल 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, and 8 ये 8 points हैं आट में से बेटा आपको 3 points इस तरीके से select करने कि कोई भी 2 points जो वो consecutive नहीं होने चाहिए कोई भी 2 points जो वो क्या नहीं होने चाहिए consecutive नहीं होने चाहिए तो इसको कैसे करेंगे तो इसके लिए देखो क्या वे है कि आप सबसे पहले कोई भी एक वर्टेक्स सेलेक्ट कर लीजिए तो आठ में से एक वर्टेक्स को सेलेक्ट करना के जो नंबरों फेस होंगे वो कितने होंगे एट सी फ़र सबोल आपने मान लीजिए कि एक नंबर वर्टेक्स वो सेलेक्ट कर लिया ध्यान सी समझना कॉंसेप्ट एक नंबर को मान लीजिए सेलेक्ट कर लिया तो अब आप ये सेलेक्ट नहीं कर सकते ये नहीं क्योंकि अगर कोई भी दो आजुब वाले को सेलेक्ट कर लिये फिर तो एक साइड कोमन हो जाएगी ना तो इन दोनों को सेलेक और आपको कितने select करने हैं 2 तो अब ये 5 vertex जो है वो एक linear arrangement की तरह behave करेंगे कि एक line है linear arrangement है उसमें 5 object रखे हैं उनमें से आपको कोई 2 object select करने है इस तरीके से select करने है कि वो दोनों consecutive नहीं होने चाहिए तो 5 में से उन 2 को हटा दीजिये तो कितने बचेंगे 3, 3 के बीच में gap कितने create होगे 4 और उन 4 में से दो आपको select करने हैं, क्या यह answer होगा आपका, नहीं, कैसे देखो, जैसे माल लो कि एक पहला vertex आपने जो select किया था, वो 8C1 way से यह वाला select हो गया, अब मैं ऐसा बोलना हूँ, कि इन दोनों को select कर नहीं सकते, तो 4C2 way से एक बार के लिए माल लेते हैं, कि यह जैसे कितने number था अब बेटा ऐसा भी तो हो स कि जब आपने जो पहला vertex select किया था, 8C1 way से, वो suppose 4 number vertex select हो गया हो, और बाकि जब 4C2 way से 2 vertex select किये, तो वो 1 और 6 हो गया, तब भी तो same triangle बनेगा, यानि same triangle जो बेटा 3 बार बन रहा है, तो उसके लिए हमने क्या कर दिया, इसको 3 से divide कर दिया, तो यह आगे आपके पास में, 8 into में, 4C2 is 6 by 2 करेंगे, तो यह कितना आ रहा है, sorry यह 3 है, तो यह आज़ेगा 16, यानि कि C opposite वो इसका right answer है, yeah, चलिए move on to next question, यहाँ पर देखो बच्चों क्या बोला जा रहे है, the number of ways of five alphabets can be chosen from the alphabets of the word mathematics, where the chosen alphabets are not necessarily distinct, तो यह आपका homework रहेगा, इस तरीके का same सवाल बच्चों मैंने आपको already करवा दिया है, जैसे मैंने बोला था ना कि एक अभी वर्ड जो है वो किया था आई थिंग इंडिपेंडेंस वाले में किया था कि उसमें से चार लेटर नहीं उसमें तो वो वेल सारे साथ आ रहे थे कोई एक दूसरा किया था ना जिसमें चार लेटर सेलेक्ट करके वर्ड बनाने थे तो व लेटर अगर सिर्फ select करने है तो मतलब पास लेटर अगर select करने है तो पाँचो अलाइक हो सकते हैं बट पाँच तो खालाईंक इसमें होंगे नहीं फिर चार अलाइक एक different तीन अलाइक दो अलाइक इस तरीके से इसको solve किया जाएगा तो I hope यह आप कर लो� एंड एक वेशन पेपर इस डिवाइडेड इंटू थ्री सेक्शन एक वेशन पेपर है मैच का उसके अंदर तीन सेक्शन है एबीसी ए एबीसी एबीस इफर सेक्शन और हर एक सेक्शन में से कम चार क्वेस्टेंट उसको टेंट करने सेक्शन ए जो उसके अंदर आठ क्वेस्टेंट सेक्शन बी के अंदर बेटा चाय क्वेस्टेंट है और सेक्शन सीज उसके अंदर चाय क्वेस्टेंट तो बोला कि 15 क्वेस्टेंट अटेंट करने के टोटल कितने हो सकते तो आई थिंग बहुत ही आसान क्वेस्टेंट है यह भी मिनिमम चार तो करने जगह से तो सब्सक्राइब यहां से चार सवाल अटेंट उठाए यहां से 6 और यहां से 6 4 10 यहां से 5 एक ऐसा हो सकता है यहां से 4 यहां से 5 यहां से 6 सिर्फ cases बनाने और कुछ नहीं है अब इसमें से एक बढ़ाते जाओ जैसे इसमें से 5 तो अब इन दोनों में से मिला के कितने करने 10 तो ऐसा हो सकता है कि इसमें से 6 कर लिये इसमें से 4 यह 5 है इसमें से 4 कर लिये इसमें 6 एक case हो गया तीनों में से 5 और 5 हो गया अगला case क्या होगा, इसमें से 6, अब यहां से total कितने और करने है, 9 करने है, तो वो 9 कैसे कर सकते हो, 6, 3 हो जाए, 6, 5, 11, इदर से 4 हो जाए, इदर से 6, 4, 10, और 5, 15 हो जाए, इदर से 6, 3, 9, 6, 15 हो जाए, एक case, तो आप देख पारे कि यहां से बहुत सारे cases बन रहे हैं, यहा तो क्या इस तरीके से करना सही रहेगा क्योंकि अभी तो फिर 7 आएगा 8 आएगा तो ऐसा करना तो सही नहीं रहेगा बहुत लंबा वे हो जाएगा तो और चीज देखो आप क्या कर सकते हो कि जो इसने बोला कि at least 4 question जो वो तो सब में से select होने चाहिए तो आप पहले ऐसा कर लीजे ना कि 4-4 question जो वो तो 3-ो में से select कर लीजे तो 12 question select हो चुके ध्यान से समझेगा 4-4 question अगर आपने मालों कि 3-ो से select कर लिये तो इसका तक 12 question already select हो चुके अब जो तीन question है उनके लिए कोई restriction आपके पास में नहीं है वो तीनों question आप यहां से भी कर सकते हैं यहां से दो एक कर सकते हैं अब कैसे भी कर सकते हैं तो इस तरीके से अगर आप जाओगे तो बहुत जल्दी question जो उसको solve कर दें उसके बाद दूसरे वाले के लिए तीन option, तीसरे वाले के लिए तीन option, तो 27 से फिर इसको multiply कर देना है, ठीक है तो I think ये भी clear हो गए, चलिए next question, यहाँ पर देखो बच्चो ऐसा बोला जा रहा है कि the number of ways in which 21 identical apples can be distributed among 3 children such that each child gets at least 2 apples, तो उसी तरीके का सवाल है, कि या तो आप ऐसा बोल दीजे कि पहले 2-2 apples वो सभी को दे दो, सब को दे दिये, अब तीन बच्चे थे, अब सबोल पहले बच्चे को x1 apple मिल गए, दूसरे वाले को x2 apple मिल गए, और तीसरे वाले को x3 apple मिल गए, और दो जो हो तो आप already दे चुके हो न, दो apple तो already दे चुके हो तो 21 में से वो 6 कम हो गए, तो अब कितने बच्चे 15, अब यहाँ पर क कितने apple मिले वो, तो दो तो आप दे चुके already, तो अब किसी को 0 भी मिल सकता है, किसी को पूरे 15 भी मिल सकते हैं, तो इसका वाले number of non-negative integral solution चाहिए, तो n plus r minus 1, cr minus 1, तो यह आ रहा है 17 c2, यानि 17 into में 8, so this is 136, d option जो इसका क्या होगा, correct answer, ठीक है, ऐसे कर सकते हैं इ यहाँ पर देखो बोला जा रहा है कि the number of 7 digit odd numbers टोटल यहाँ पर आपके पास में 7 digit दे रखें और 7 digit का ही आपको क्या बनाना है odd number that can be formed using all the 7 digits this, this and this तो अब देखो अगर 7 digit का number बनाना है तो हम ऐसा बोल सकते हैं 3, 2, 5 और sorry 3, 2, 5, 2, 7 अब देखो अगर ओर नंबर बनाना है, इसका लोग इसे पोजिशन पे एक आ सकता है, तीन आ सकता है, पांच, तो अगर मालों मैंने फिक्स कर दिया, एक को फिक्स कर दिया एक बार के लिए, तो एक को अगर फिक्स कर दिया, तो ऐसे कितने ओर नंबर आपके तो ऐसे कितने बन रहे होंगे, तो 6 factorial, 2 जो वो 3 बार आ रहा है, उसके ज़रसे 2 factorial, बस अब और कोई जो है, sorry, 2 जो है वो आपके पास में 3 बार आ रहा था, तो उसके ज़रसे 3 factorial, अब 3 जो वो भी क्या 2 बार आएगा क्या नहीं, क्योंकि 3 एक बात तो अलग यहीं पर आ चुक ये 6, 5, 4, बटे 2, तो 60 यहां से बनेगे I think, और 60 यहां से बनेगे, तो ये total 240 जो वो, ठीक है, I hope कि आपको clear हो गया होगा, तो total 240 जो है वो आपके पास बन जाएंगे numbers, ठीक है, next है, देखो number of ways of arranging 8 identical books into 4 identical sets, तो आज का last question करते हैं, आज के session का last question करते हैं, आना, चलो इसमें वो लगे number of ways of arranging 8 identical books into 4 identical cells where any number of cells may remain empty ठीक है जी तो देखो अब इसके अंदर भी cases आपको बनाने पड़ेगे पहला मैं ऐसा बोलतू कि मान लोगे 3 cells जो है वो empty है 3 cells जो वो empty है total 4 आपके बास में self थी उसमें आपको 8 books जो उनको रखना है और 8 वो identical है अब उसमें मैंने बोल दिया कि अगर आप तीन जो है उसको अगर identical रख रहे हो, sorry तीन को अगर आप empty रख रहे हो, इसका मतलब किसी भी एक self में 8 book रख दी, तो इसका किन्दा तरीका हो गया आपके पास, एक तरीका, चलिए case 2, case 2 में बच्चों मैं ऐसा बोल लो कि दो self म अब दो self को अगर empty रख दिया, तो इसका लग बाकी दो जो self है, उसके अंदर आपको सारे इनको क्या करना, accommodate करना है, 8 books को, वो कैसे कर सकते हैं, उसको समझो, ऐसा हो सकता है कि 7 कर दिया एक में, एक में एक, दो में 0, और क्या हो सकता है, एक में 6 कर दिया, एक में 2, 0, क्योंकि किसी में भी 6 रखो, किसी में भी 2 रखो, इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ेगा किस में 6 है, किस में 2, क्योंकि ये दोनों क्या है, self जो हो सारी की सारी identical है, ऐसा हो सकता है कि एक में 5 रख दिय ऐसा हो सकते है एक में चार रख दिया एक में जीरो फिर तीन और पांच वाला case जो वो तो आई चुका है तो इसका वाला total यहाँ से देखो कितने case बन रहा है आपके पास चार case है मैं गया ठीक है क्या चलिए अब अगर मैं ऐसा बोल दू कि तीन जो उसको empty रख दो तीन self जो उनको sorry यह ठीक लिखा है तीन self वा दो सेल्व और किसी तरीके से नहीं बस हो गया अगर मालों मैं ऐसा बोल दूं कि एक सेल्व जो उसको एमटी रख दो तो एक सेल्व देखो कैसे एमटी हो सकता है उसकी चर्चा कर लेते हैं तो आठ है तो आपने सपोस ऐसा कर दिया 6 1 में डाल दी और 1 में डाल दी एंड 0 ऐसा किया जा सकता है यानि सिंपल बस काउंटिंग करनी और कु� इसके बाद ऐसा हो सकता है एक में 5 डाल दी एक में 2 ध्यान से देखते रहें ना कोई case जो वो छूट ना जाए कोई case छूट ना जाए ध्यान से देखना तो 5 वाला हो गया अब फिर मैं ऐसा बोलतू 4 3 7 1 8 ऐसा हो जाए या फिर 4 2 ऐसा हो जाए ऐसा भी हो सकता है इसके ला� 3, 6, 2, 8 हो गया ये भी और क्या हो सकता है 3, 1, 4 वाला हो गया और कोई case है के इसमें जल्दी बताओ और कोई case possible है क्या और फिर एक case ये भी बनेगा case 4 no self empty no self empty नो सेल्फ एमटी, तो यहाँ से टोटल देखो, दो, तीन, पाँच केस बन रहे हैं, और कोई केस भी बनेगा कि इसके अंदर, आई थिंग इतने ही बनेगे, अब चलिए इसके अंदर अगर देखो, सैटल करें कि इसके अंदर कौन-कौन से केस बनेगे, जब कोई भी जो वो ऐसे आ सकता है और 3, 2, 5, 2, 7, 1, 8 ऐसे आ सकता है और 1, 2, 4, 2, 6, 2, 8 ऐसे आ सकता है आई थिंग यही केसेज मनेंगे तो यह टोटल यहाँ से देखो 5 केस यहाँ से मन गए यहाँ से किन दे मन रहे थे 5 केस यहाँ से मिल गए तो 5, 10, 4, 14, 15 केस मनेंगे आई थिंग यहाँ से देखो तो राइट यह आपका पी एंसी था और कुछ है भूम वर्क भी दे दो आपको कुछ है भूम वर्क दे दो हूंगा इन सारे आप कॉमेंट सेक्शन में बताना कि क्या-क्या आंसर आएगा तो यह आपका हूं वर्क रहेगा एक यह आपका हूं वर्क रहेगा ना यह भी जो आपका homework रहेगा ठीक है तो यह तीन question जो है वो आपके homework रहेगे तो इनको आराम से solve कर रहा हूँ ओके बच्चो तो काफी आज के लिए तो I hope कि यह session जो है उसको आपने enjoy किया होगा और PNC के जो concepts है वो आपको clear हो गए होगे चीजे जो वो बहुत ज़्यादा difficult नहीं है अगर आप इसके fundamentals जो है वो भी अगर clear कर लेते हैं तो भी आप इसका question ठीक कर के आ जाएंगे, ओके, and wish you all a very happy new year, आराम से मस्त, बहुत ज़्यादा मस्ती नहीं करनी है, मतलब थोड़ा celebrate कर लेना, बट वापिस से पढ़ाई लिखाई में लग जाना, क्योंकि आपके exams जो है बाबाई, लव यू और ब

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