Introducción a la Integración por Partes

¿Cuándo se utiliza la Integración por Partes?

• Se utiliza cuando el integrando (lo que vamos a integrar) está formado por un producto o una división que se puede escribir como producto.
  • Ejemplo: (x^2 \log{x} ) (producto) y ejemplo de división ( \frac{5}{x} = 5 \cdot \frac{1}{x}).

Fórmula de la Integración por Partes

• La fórmula general es: [ \int u, dv = uv - \int v, du ]
• Frase para recordar la fórmula: Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme.
  • La primera letra de cada palabra corresponde a un elemento de la fórmula:
    • Una (u)
    • Día (d)
    • Vi (v)
    • Vaca (v)
    • Sin (-)
    • Cola (integral)
    • Vestida (v)
    • De (d)
    • Uniforme (u)

Identificación de "u" y "dv"

• Palabra para recordar el orden de selección: ILATE

  • Inversa (e.g., (\arcsin, \arccos))
  • Logaritmo (e.g., (\log{x}, \log_{10}{x}))
  • Algebraica (e.g., (x^2, 3x))
  • Trigonométricas (e.g., (\sin{x}, \cos{x}))
  • Exponencial (e.g., (e^x, a^x))

• La primera función en el orden ILATE es seleccionada como "u" y la segunda como "dv".

Ejemplo de Uso

1. Dado el integrando: (\int x^2 \log x , dx)

   • Identificar "u" y "dv":
     • u: (\log{x}) (logarítmica)
     • dv: (x^2 dx) (algebraica)

2. Derivar e integrar:

   • (du = \frac{1}{x} dx) (derivada de (\log{x}))
   • (v = \frac{x^3}{3}) (integral de (x^2 dx))

3. Reemplazar en la fórmula: [ \int x^2 \log{x}, dx = \left( \log{x} \cdot \frac{x^3}{3} \right) - \int \left( \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \right)

4. Simplificar la integral resultante y resolver.

   • ( \int x^2 \log{x}, dx = \frac{x^3}{3} \log{x} - \int \frac{x^2}{3} dx)
   • ( \int \frac{x^2}{3} dx = \frac{x^3}{9} )
   • Resultado final: ( \frac{x^3}{3} \log{x} - \frac{x^3}{9} + C )

Ejercicios de Práctica

Para practicar, identifica "u" y "dv" y formula la integral por partes:

1. ( \int x e^x dx )
   • u: ( x ) (algebraica)
   • dv: ( e^x dx ) (exponencial)
2. ( \int x \cos x dx )
   • u: ( x ) (algebraica)
   • dv: ( \cos x dx ) (trigonométrica)
3. ( \int x \log x dx )
   • u: ( \log x ) (logarítmica)
   • dv: ( x dx ) (algebraica)

Recuerda: Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme.

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