Lezione sugli Oscillatori Armonici Smorzati e Forzati

Introduzione agli Oscillatori Armonici Smorzati

• Oscillatore armonico smorzato: caratterizzato da un coefficiente di smorzamento B diverso da zero.
• Regime transitorio: l'oscillatore si muove per un certo tempo e poi si ferma a causa delle perdite.

Oscillatori Forzati

• Quando un oscillatore è continuamente sollecitato, come un'altalena, la sua ampiezza di oscillazione può aumentare o diminuire in base alla frequenza della forza applicata.
• Importanza della fase: spingere l'oscillatore al momento giusto aumenta l'ampiezza, mentre non farlo può fermarlo.

Descrizione Matematica

• Consideriamo un oscillatore con una molla di costante elastica K e una massa M.
• La forza totale che agisce sull'oscillatore è la somma delle forze elastica, viscosa e forzante esterna.
• Equazione differenziale:
  [ m \frac{d^2x}{dt^2} + B \frac{dx}{dt} + Kx = F_{est} ]
• L'equazione non è omogenea a causa della forza esterna dipendente dal tempo._

Soluzione dell'Equazione Differenziale

• La soluzione totale è la somma di una soluzione omogenea (transitoria) e una particolare (forzante).
• Quando il transitorio si esaurisce, l'oscillatore continua a muoversi con la soluzione particolare.

Forza Elettrica Armonica

• Si assume che la forza esterna F sia sinusoidale:
  [ F_{est} = F_0 \sin(\Omega t) ]
• Si cerca una soluzione sinusoidale dell'oscillatore, con ampiezza e fase.
• Metodo dei numeri complessi: si usa l'identità di Eulero per facilitare i calcoli._

Comportamento dell'Oscillatore

• Quando l'oscillatore è forzato a una frequenza ( \Omega ), oscillerà a quella stessa frequenza ma con una certa ampiezza e fase.
• Ampiezza ( X_0 ) e fase dipendono dalla frequenza della forzante e dalle caratteristiche dell'oscillatore.

Risonanza

• Esiste una frequenza di risonanza ( \Omega_{max} ) dove l'ampiezza di oscillazione è massima.
• Se la frequenza della forzante supera un certo valore, l'ampiezza di oscillazione diminuisce.
• Comportamento dell'ampiezza in funzione della frequenza ha una forma campaniforme chiamata curva di risonanza._

Condizioni per la Risonanza

• Per osservare la risonanza, il coefficiente di smorzamento B deve essere piccolo rispetto a ( 2m\Omega_0 ).
• Se le perdite sono nulle, l'ampiezza tende a infinito, creando condizioni pericolose come nel caso dei ponti.

Progettazione Strutturale

• Importanza di progettare strutture (ponti, edifici) in modo che le frequenze di risonanza siano lontane dalle frequenze delle sollecitazioni esterne come i terremoti o il vento.
• Se una struttura è in risonanza, può oscillare e danneggiarsi.

Conclusione

• La risonanza è un fenomeno critico da considerare nella progettazione di sistemi meccanici per garantire la stabilità e la sicurezza.