Sì quindi abbiamo capito che un oscillatore armonico smorzato nel caso reale Che cosa vuol dire nel caso reale quello in cui B è diverso da Zer e quindi questo coefficiente gamma è diverso da Zer cioè quando ci sono perdite con un regime o con un altro regime quello che succede è che se l'oscillatore è in moto Prima o poi si ferma no Quindi con un regime di tipo oscillatorio o con un regime di tipo smorzata esponenzialmente prima o poi se io sono sufficientemente paziente faccio come l'indiano che aspetta lungo il fiume prima o poi passa al morto del nemico No cioè prima o poi Allora questo si si dice dicendo che c'ha si ha un regime transitorio Che cosa vuol dire che l'oscillatore si muove per un po' di tempo e poi si ferma in più o meno tempo a seconda di quante sono le perdite d'accordo adesso noi ci vogliamo occupare di quello che succede quando io ho un oscillatore che invece viene continuamente sollecitato no immaginate un papà che porta la figlia al parco o un fratello che porta la sorella o la cuginetta o una babysitter che porta un bambino lo mette sull'altalena che è un oscillatore perché è un pendolo e lo comincia a spingere No allora io lo so che a seconda di Qual è la frequenza con cui spingo questa alta Lena posso fare in modo che le l'ampiezza delle oscillazioni cresca No ma so anche che se Mia figlia si sta oscillando sull'altalena e applico la questa forza non con la fase giusta no l'alt Lena si ferma Cioè se la spingo quando sta venendo verso di me la rallento no Quindi sono interessato a studiare Eh Cosa succede quando ho un oscillatore armonico forzato d'accordo allora quindi che cosa vogliamo studiare Vogliamo studiare il caso in cui abbiamo Eh una molla di costante elastica K una massa M la molla è vincolata sono voglio studiare il caso in cui ho Quando studio F = Massa per accelerazione ho il caso in cui qui la forza complessiva che agisce sul mio oscillatore sia data sia da una forza di natura elastica più una forza di reazione viscosa che è il caso che noi abbiamo studiato fino adesso più una cosiddetta forzante esterna Cè una forza che dall'esterno forza l'oscillatore e questo deve essere uguale a Massa per accelerazione no E suppongo che questa forzante sia una funzione del tempo no Quindi sia una funzione del tempo allora se faccio esattamente gli stessi passaggi che ho fatto prima e quindi la forza elastica è Men KX * X la forza di reazione viscosa è questa più avrò questa forante esterna deve essere uguale Massa per accelerazione avrò questo tipo di equazione posso fare la stessa cosa che ho fatto prima e dire Va bene suppongo di avere un oscillatore che può oscillare solo lungo una direzione la direzione X no Quindi riduco il problema e ho che - KX - b v più questa forza che applico dall'esterno deve essere uguale a Massa per accelerazione e faccio esattamente gli stessi passaggi che ho fatto prima Cioè sposto questi termini dall'altra parte e scrivo accelerazione e velocità in termini di derivata della posizione e trovo che m è derivata seconda di X rispetto al tempo due volte + B derivata di x rispetto al tempo + k * x deve essere uguale a questa forza che io applico dall'esterno no Allora vedete che ottengo questa equazione qui allora di nuovo [Musica] faccio esattamente un passaggio simile a quello di prima Cioè divido per la massa qui c'ho B Su M divido qua per la massa e qui ho forza esterna diviso la massa e trovo un'equazione differenziale cioè derivata seconda di X rispetto al tempo due volte più un coefficiente B Su M DX su DT più om0 xe essere uguale la forza esterna diviso la massa Allora che cosa mi aspetto no mi aspetto che se la forza f t continua ad agire nel tempo l'oscillatore continuerà a mui no adesso la forza potrà causare il fatto che l'oscillatore aumenti di ampiezza o diminuisca d'ampiezza però comunque lui continuerà a muoversi quindi mi aspetto che se mi siedo lungo il fiume ad aspettare che l'oscillatore si fermi Posso aspettare anche tantissimo tempo Non succede niente Allora questa è l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico forzato e ci dovrei mettere anche e smorzato perché abbiamo tenuto conto che continua ad essere smorzato Quest adesso che differenza c'è rispetto all'equazione differenziale che abbiamo studiato prima non è omogenea cioè questa equazione differenziale c'ha un termine Noto dipendente dal tempo che non la rende omogenea adesso qual è la soluzione di un'equazione differenziale di questo tipo qua in analisi matematica la soluzione è sempre la somma di due funzioni una che è la soluzione associata Che vuol dire la soluzione dell'equazione dove F di T la metto a 0 Ma è quello che abbiamo fatto un'ora fa no che mi dà il transitorio più una soluzione particolare dell'equazione adesso Noi la soluzione dell'equazione omogenea l'abbiamo già trovata e abbiamo visto che dopo un certo tempo va a zero no E quindi io dico questa cosa dico Va bene dopo un certo tempo la soluzione dell'equazione omogenea associata è andata a zero la soluzione complessiva rimarrà solamente come la parte di soluzione particolare perché quella dell' omogenea Zero Che vuol dire che quando il papà arriva al parchetto e mette la bambina sull'altalena nel transitorio comincia a metterla in oscillazione No la bambina si muoverà con un moto che è dovuto il moto del transitorio più il moto della particolare dopo un po' di tempo se io la la eccito con una fdt di caratteristiche diciamo costanti che succede che la bambina continuerà a oscillare seguendo solo la soluzione particolare e quella del transitorio è andata a zero Quindi a me adesso interessa studiare solo questa soluzione qua Ok adesso però c'è un piccolo problemino che è il seguente che la mia analisi matematica è molto ridotta Cioè io non so Risolvere equazioni differenziali dove f t è qualsiasi Eh una funzione logaritmica una radice di un logaritmo una tangente della radice di un logaritmo di qualsiasi cosa non lo so fare no io la soluzione di questa equazione qua la so trovare solo in casi molto semplici e qual è il caso più semplice possibile quello in cui la forzante è armonica è una funzione sinusoidale OK Cioè facciamo il caso semplice caso semplice la mia forzante dall'esterno è F 0 seno di Omega T cioè Supponiamo che io applichi una forza che è periodica di periodo T tale che la pulsazione sia Omega no vi ricordate Omega 2 pi su t e di ampiezza f0 e che non solo sia periodica ma sia una particolare funzione periodica la funzione seno quindi che sia armonica quindi F externa è armonica in questo caso particolare e allora io voglio studiare l'equazione differenziale in cui derivata seconda di X rispetto al tempo due volte più B Su M derivata di x rispetto al tempo + om0 qu X deve essere uguale a f0 Su M seno di Omega T voglio trovare una soluzione di questa equazione e voglio trovare una soluzione particolare ma allora non sono non c'ho l' nella al naso no secondo voi se io eccito un'altalena con una sinusoide a frequenza Omega come oscillerà l'altalena con che funzione oscillerà cioè la soluzione di che tipo sarà sarà una funzione che ha un'ampiezza oscillerà sinusoidalmente alla stessa pulsazione omega e tutt al più la la x di T sarà sfasata rispetto all'eccitazione cioè come si dice la risposta Sarà la stessa frequenza Ma tutta più sfasata con una certa ampiezza X con0 d'accordo questo non è peregrino No perché questo mi garantisce che quando Io disegnerò un amplificatore RF e manderò dentro un segnale a una certa frequenza se l'amplificatore lavorerà in regime lineare il segnale d'uscita sarà la stessa frequenza cioè perché qui la frequenza è la stessa perché l'equazione differenziale è lineare Ok quindi mi aspetto una linearità frequenza di ingresso uguale a quella di uscita se il mio amplificatore non sarà di classe A ma distorcer mettendo un segnale a frequenza Omega me ne escono altre frequenze quindi devo stare molto attento in quel caso e lo vedrete lo studierete quindi mi aspetto che la soluzione sia di questo tipo qua allora dico Va bene Devo determinare a e f qual è la cosa più semplice che devo fare prendo sta soluzione come ho fatto prima No ho detto la soluzione è e all Alfa T l'ho derivata una volta l'ho derivata due volte l'ho sostituita dentro e ho trovato le espressioni no Peccato che le funzioni trigonometriche sono delle gran bastarde E perché Perché quando la derivo una volta questa mi dà un coseno quando la derivo due volte mi dà un seno quando la sostituisco nell'equazione differenziale mi viene un'equazione in seni e coseni e Ma io il liceo le formule di prostaferesi le formule di Werner non le ho fatte la trigonometria non l'ho fatta no E quindi non viene un'equazione in seni e coseni e quando c'è un'equazione in seni e coseni non si capisce più niente No allora siccome l'ingegnere deve lavorare velocemente bisogna fornirgli un metodo per fare cose veloci No e il metodo Qual è il metodo dei numeri complessi no E cosa dice il metodo dei numeri complessi dice questa cosa facile che io conosco una identità di Eulero cioè io so che se ho un'esponenziale complessa e alla i Alfa Questa si scrive come il numero complesso coseno di Alfa più i volte seno dell'angolo Alfa ok Questo viene da Eulero d'accordo allora questo è vero Anche se alfa è una funzione del tempo allora guardate bene se ho i e all i omeg t questo è coseno di Omega t + i seno di Omega T vale anche per questo allora qua che cosa capisco capisco la seguente cosa dico Va bene io sono un ingegnere e devo essere pratico E allora dico questo sai che ti dico quando io ho la funzione seno di Omega t no io ingegnere me la scrivo come e a i omeg t cioè la scrivo in questa maniera e la uso in questa maniera basta che poi io alla fine mi ricordo di di quello che mi verrà come risultato di prendere la parte immaginaria vedete che seno di Omega T è la parte immaginaria di questo numero complesso qua allora che cosa faccio dico guarda la funzione di seno di Omega T la la scrivo in questa maniera qui ma io so che di questa Devo prendere solo la parte immaginaria ok Questo procedimento è la base della trasformata di F che voi farete più avanti Ok che già il professor Barbarossa che fa lezione qui gli altri giorni dopo le 14 Vi massacrerà il secondo anno allora guardate bene che cosa vuol dire vuol dire che la mia forza esterna che è f0 seno di Omega T io me la scrivo come f0 e ^ g omeg t me la scrivo in questa maniera però dentro il mio cervello so che quando guardo questa ne devo prendere la parte immaginaria d'accordo la mia funzione xdt che è x con0 seno di omeg t + f me la scrivo come x0 e all J omeg t + f la scrivo in questa maniera e mi ricordo che la devo prendere la parte immaginaria d'accordo quindi il mio cervello lavora con i numeri complessi ma poi alla fine so che devo andare nei reali in particolare devo prendere la parte immaginaria del numero complesso fatto questo ho risolto il mio problema perché Guardate che succede succede questo che la derivata prima di X rispetto al tempo non derivo più la funzione seno ma derivo l'esponenziale e l'esponenziale c'ha quella bellissima proprietà la derivata dell'esponenziale è esponenziale Quindi io qua quando derivo questa quantità qua ho X Prima faccio Scusate lo faccio a parte questo passaggio Così lo capite questo lo scrivo come x 0 e All I F per e All I Omega T cioè spezzo l'esponenziale con esponente somma in prodotto di esponenziali e All I * e all i omeg t faccio questa maniera quando vado a derivare X il prefattura io studio i libri americani studio i libri italiani studio i libri di elettrodinamica quelli di elettronica certe volte le l'unità immaginaria si scrive I nei libri d'analisi e nei libri di elettromagnetismo si scrive J quindi Scusate se mi sbaglio i e J è la stessa cosa no quindi questa è la derivata prima la derivata seconda Chi è è x0 e All I l'esponenziale è sempre All I Omega ma derivando l'esponenziale mi viene un'altra forza un termine i omega e quindi la derivata seconda è questa allora che succede quando io sostituisco queste espressioni qui nella equazione differenziale Vi ricordo Qui l'equazione differenziale è X du punti + B è F esterna Su M che succede quando sostituisco va bene al posto di X due punti metto x con0 e All I Eh no Sì sì per e all i omeg t Eh no scusate ho saltato un pezzetto per i Omega al quad per e all i omeg t + b su m per x 0 e All I F per i Omega per e all i omeg t + Omega 0 qu * x0 e all f e all i omeg t UG f0 su m per e All I Omega T ho scritto tutto in termini complesso e che succede succede che questo esponenziale complesso questo esponenziale complesso questo esponenziale complesso e questo si semplificano e quindi l'ingegnere non deve sapere le formule di prostaferesi no non è necessario quindi che trovo a questo punto trovo scriviamo qui questa quantità qua si scrive come Men Omega quad no quindi posso mettere a fattor comune x con0 e All I il primo termine mi lascia un - Omega qu questo termine qua più qui mi rimane B su m per i omega e ho fatto questo termine qua + Omega 0 quadr deve essere uguale a f0 Su M trovo questa relazione adesso me la scrivo meglio e faccio questa operazione se moltiplico qui per e all Men i e moltiplico a destra per e all Men i f non ho cambiato niente però il prodotto di queste due fa 1 e quindi lo posso togliere e quindi trovo che X con 0 che Moltiplica Omega 04 - Omega qu + i b Omega div M deve essere uguale a f0 su m per e ^ f cioè trovo come nel caso dell'equazione caratteristica trovo un'equazione algebrica No perché il tempo è sparito però è per i numeri complessi No cioè questa equazione è per numeri complessi cioè le quantità che compaiono qua dentro sono complesse vedete qua c'ho una i qui c'ho un esponenziale complesso ok E adesso qua no Dobbiamo capire se voi sapete i numeri complessi No una di voi fa così con la mano se dovete sapere quand'è che due numeri complessi sono uguali quando hanno parte reale e parte immaginaria uguale le parti reali uguali e le parti immaginarie uguali oppure modulo e fase devono essere uguali allora Vedete qui in questa espressione noi a sinistra c'abbiamo un numero complesso espresso come vedete qua parte reale più parte immaginaria Cioè è scritto nella notazione parte reale più i parte immaginaria da questa parte qui abbiamo un numero complesso espresso nella notazione tipica di un'ampiezza e alla i f allora guardiamo bene Che cosa devo dire perché due numeri complessi siano uguali il modulo deve essere lo stesso No ma adesso chi è il modulo di questo numero complesso qua è X con0 che Moltiplica Chi è il modulo di questo numero complesso che ha parte reale e parte immaginaria è la radice della parte Reale al quadrato più la parte immaginaria al quadrato questo è vero No questo è il modulo Chi è il modulo del numero complesso a destra f0 su m e f0 Su M d'accordo quindi trovo questa espressione qui D'altra parte no chi è la fase del numero complesso a sinistra Allora diciamo l'arco tangente della parte immaginaria B Omega su n sulla parte reale No è la fase del della quantità a sinistra questa deve essere uguale alla fase del numero a destra Quant'è la fase del numero a destra - F d'accordo e allora qui da queste due espressioni determino che cosa trovo che dalla prima trovo che l'ampiezza dell'oscillazione è f0 su m diviso questa radice qua Prof ma Omega 0 dovrebbe essere al quadrato Sì qua ho dimenticato un quadrato ha ragione quindi Omega 0 qu No questo è x con0 e la fase deve essere meno l'arco la cui tangente è questa rapporta qua quindi B su m b Omega Su M Omega 0 - Omega 4 cioè determino quali devono essere l'ampiezza e la fase della funzione soluzione cioè x = x0 * seno di omeg t + f è soluzione se l'ampiezza è data da questa espressione e se la fase è data da questa espressione qua adesso Scusi professore ho una domanda sì Riguardo la notazione ma f0 sarebbe la forza esterna f0 è l'ampiezza della forza interna della forza esterna l'abbiamo lo scrivo lo facciamo rivedere Eccola qua abbiamo detto la forza esterna è una sinusoide di ampiezza f0 Ok ok La ringrazio adesso ottengo che il mio oscillatore quindi nel tempo oscillerà con una funzione xdt che ha un'ampiezza x con0 e che è sfasata di una quantità Fi che è data da questa espressione adesso sulla fase non ci concentriamo in elettronica diventerà importantissima la fase concentriamoci sull'ampiezza no guardate questa questa espressione vi faccio subito il grafico così che voi capiate poi dopo magari Siccome oggi siamo un po' alla fine della lezione vedete che l'ampiezza X con0 dipende dalla frequenza a cui io sto forzando l'oscillatore se la forzante è a frequenza diversa l'ampiezza di oscillazione è diversa Qual è la dipendenza funzionale di questo andamento ve la posso per alcuni valori ha un comportamento di questo tipo qua cioè c'è una pulsazione a cui x con0 è Massimo questa pulsazione in generale è diversa da Omega 0 dove Omega 0 vi ricordate è fissata dalle proprietà dell'oscillatore questo che cosa significa che se io sono il b E spingo l'altalena ad una certa frequenza no se la frequenza si trova qui l'altalena oscillerà con una certa ampiezza diciamo X1 No cioè la bambina Fa avanti e dietro con oscillazioni di una certa ampiezza se io aumento la frequenza a cui eccito l'oscillatore l'ampiezza di oscillatore di oscillazione aumenta d'accordo fino a che c'è una frequenza caratteristica Omega di Massimo in cui le oscillazioni hanno la massima ampiezza no Quindi la bambina oscilla se continuo ad aumentare la frequenza oltre questo valore l'oscillatore oscilla peggio e nel limite di grande frequenza l'oscillatore non oscilla proprio non riesce a seguire la forzante cioè nonostante che io lo spinga lo Facci a una frequenza talmente elevata che lui non mi viene dietro d'accordo allora questo fenomeno Si chiama risonanza Adesso sono le 14 Ci fermiamo qui e alla prossima lezione aspettate la prossima lezione in 10 minuti terminiamo questo fenomeno di risonanza Non sempre esiste no Dipende da quanto sono le perdite dell'oscillatore quindi dobbiamo commentare sulle perdite una cosa è chiara attenzione perché dovete capire questa cosa qua la cosa che è Chiara è che se io disegno se guardo questa curva qui e vi domando Qual è l'ampiezza di un oscillatore a perdite nulle che non ha perdite Cioè se le perdite Sono nulle questo termine Qui non c'è no Quindi l'ampiezza è data da questa espressione che succede se io eccito un oscillatore che non ha perdite alla frequenza Omega 0 il denominatore che fa va a 0 X con0 A quanto va finito Che cosa vuol dire che io spingo l'oscillatore ogni volta che lo spingo aumento l'ampiezza di di oscillazione e gli do sempre più spinta sempre più spinta quello si allunga sempre di più sempre di più Fino a che va all'infinito e quindi ha delle oscillazioni di lunghezza infinita questo non succede se ci sono delle perdite perché se ci sono delle perdite anche se sto a Omega 0 il denominatore non è null E comunque l'ampiezza è limitata Allora se io non voglio non voglio che un sistema meccanico si metta in oscillazione con ampiezza infinita no che devo fare Devo aumentare le perdite Allora è noto che i plotoni di soldati No nel fino alla seconda guerra mondiale che Marci al passo battendo il piede per terra quando salivano sui ponti rompevano il passo perché rompevano il passo perché un'eccitazione meccanica periodica metteva in risonanza il ponte che si metteva ad oscillare e si crollavano i ponti no allora quindi che devo fare io se voglio che un ponte non abbia oscillazioni estremamente elevate devo aumentare questo term è qui e cioè devo aumentare le perdite e Che faccio metto dei tiranti no Faccio in maniera da renderlo più stabile in maniera da dissipare l'energia quindi lo devo vincolare Allora vi sembra tutto chiaro no Allora c'è un video ve lo googlate Tacoma Bridge di un ponte americano costruito negli anni 20 a San Francisco un po' più a nord di San Francisco che sotto la spinta del vento va in oscillazione no uno dei ponti tipo il ponte Golden Gate e casca in acqua negli anni 20 quindi negli anni 20 si è capito che una struttura meccanica deve essere disegnata in maniera che le sue frequenze caratteristiche si lontano dalle frequenze tipiche a cui può essere citata questo ci torniamo vi ricordate abbiamo studiato il caso di un oscillatore armonico unidimensionale che si può muovere solo lungo la direzione X in cui una massa M è vincolata ad un punto o da una molla di costante elastica K e abbiamo assunto che ci fosse anche una una forza di resistenza viscosa - b * v che dissipa diciamo energia e abbiamo aggiunto che ci fosse anche una forzante esterna che per semplicità abbiamo preso armonica abbiamo fatto la trattazione del del dell'oscillatore e abbiamo detto Supponendo che la soluzione sia sinusoidale con ampiezza x con0 e fase F con frequenza Omega cioè che dove Omega è diciamo la pulsazione con cui la forzante F esterna forza il sistema e abbiamo ricavato che l'ampiezza x con0 e la fase F non possono prendere tutti i valori che voglio io ma sono date dalle due espressioni che sono riportate qui che avevamo ricavato l'altro giorno Cioè se un oscillatore viene forzato da dall'esterno a pulsazione Omega se l'oscillatore ha una sua frequenza di risonanza caratteristica Omega 0 e vi ricordo che Omega 0 sta scritto qui è la radice K Su M Se il coefficiente di dissipazione è B se la massa M se la forzante ampiezza f0 l'ampiezza dell'oscillazione X con 0 viene data da questa espressione possiamo anche ricavare un'espressione per la fase che non commentiamo assolutamente la cosa che ci importa è commentare l'ampiezza X con0 abbiamo detto velocemente l'altro giorno che se uno grafica l'andamento di X con0 in funzione della pulsazione della forzante e vede che Quest andamento c'ha una caratteristica forma Campana che viene detta curva di risonanza no e vuol dire che se si cambia la pulsazione a cui si eccita l'oscillatore Omega l'oscillatore risponderà con un'ampiezza differente a seconda della frequenza a cui io lo eccita della pulsazione omega e in particolare esiste una pulsazione per la quale diciamo l'ampiezza di oscillazione è massima per cui l'oscillatore ha delle oscillazioni massime Allora oggi entriamo un un un minimo più in dettaglio giusto per concludere il discorso e ci domandiamo va bene se io voglio trovare il massimo di questa curva qua cioè il massimo di X con 0 dovrei prendere l'espressione di X con0 che è qui la prima formula che abbiamo scritta qua e Dovi vedere quand'è che questa funzione è massima Allora la funzione è massima Quando quando il denominatore è minimo il denominatore è minimo quando l'interno della radice è un minimo Quindi mi vado a studiare dal punto di vista analitico solo la parte interna di questa radice e e quindi mi vado a studiare solo la parte Omega 0 qu - Omega qu al quadrato + B qu Omega qu Su M qu Quindi questo è il mio l'interno e per trovare la pulsazione per cui e questo espressione è minima calcolo la derivata rispetto ad omega e impongo che questa sia uguale a 0 cioè mi vado a trovare dove c'ha un punto di estremo allora e quindi voglio trovare la pulsazione Omega per cui questo denominatore è minimo Vabbè quando vado a derivare questa espressione derivando rispetto a Omega du volte Omega 0 qu - Omega qu che è la derivata della parentesi al quadrato per la derivata dell'interno perché questo interno va derivato rispetto a Omega che mi dà un - 2 Oma più 2 B qu Su M qu per Omega deve essere UG a 0 Allora vedete qui quello che succede che questo 2 si semplifica col 2 Omega si semplifica con omega il segno meno passa davanti e quindi posso scrivere che Omega 0 qu - Omega qu deve essere uguale AB qu su du volte m qu allora e quindi vuol dire che questa pulsazione Omega quad deve essere uguale a Omega 0 qu - B qu su 2 volte m qu cioè la pulsazione per la quale il denominatore diciamo ha un estremo è questa e vuol dire che Omega quad è questa e quindi Omega deve essere uguale a Omega 0 qu - B qu su 2M questa la possiamo chiamare la Omega per cui il denominatore è minimo e per cui diciamo la funzione è massima ovviamente dovrei studiare la derivata seconda Cioè dovrei vedere che la concavità della curva nel Massimo è rivolta verso il basso Però Credetemi non lo facciamo Se calcoli la derivata seconda troverei che è minore di 0 calcolato in Omega max allora quindi trovo questa Omega Max Allora vedete qui una cosa importante è che questa frequenza dove c'è il massimo la chiamo Fre questa pulsazione dove c'è il massimo è data da questa radice e vedete che nella radice c'è Omega 0 quad meno qualche cosa quindi vuol dire che l'interno della radice è più piccolo di Omega 0 qu e quindi vuol dire che questa Omega Mass è minore di Omega 0 questo che cosa ci dice ci dice che se io vado come abbiamo già fatto a graficare X con 0 in funzione di Omega se scrivo qui il valore Omega 0 che è fissato una volta che io ho fissato la costante elastica della molla e la massa dell'oscillatore Allora vedete che la pulsazione e disegno con una linea tratteggiata a questo punto la pulsazione Omega Massimo sia per un valore inferiore ad Omega 0 no e la mia curva diciamo ha un andamento di questo di questo tipo qua d'accordo adesso però eh commentiamo su questo fatto perché importante non è detto che questa Omega Max esista perché vedete voi avete la radice di una differenza se la differenza che sta dentro la radice è minore di 0 La soluzione è impossibile quindi non esiste eh Omega Max quindi Omega Max esiste se Omega 0 qu - B qu su 2M qu è di 0 Allora questo che cosa vuol dire vuol dire che B qu deve essere minore di 2 m qu Omega 0 qu cioè quando sostanzialmente Esiste la risonanza quando il coefficiente B non è troppo grande cioè quando le perdite Sono piccole no quindi la condizione per cui un oscillatore possa essere messo in risonanza è quando diciamo il coefficiente B è piccolo Ci metto un piccolo tra virgolette perché in realtà non è che è piccolo di per sé B qu deve essere minore di 2 m0 om0 qu no E quindi osservo un fenomeno di risonanza se viceversa Io ho un oscillatore con perdite grandi no dove il coefficiente B è grande allora l'andamento di questa curva non è fatto in questa maniera Ma effetto in questa maniera qua cioè il fenomeno di risonanza non si osserva Ok quindi quindi quindi questo è quando B Diciamo tra virgolette è grande d'accordo allora che cosa succede a questa curva se Ehm io cambio il coefficiente B dell'oscillatore Allora vedete che per B grande io ho un compo di questo tipo qua se scelgo il valore di B più piccolo ho questo comportamento qui Se chiamiamo questo un valore B1 No per un certo valore B1 B = B1 No se io scelgo un valore B2 più piccolo di B1 osservo che diciamo B = B2 con B2 minore di B1 Cioè per perdite più piccole la curva di risonanza diventa più accentuata il massimo sale e quanto più B è piccolo tanto più Omega Max si avvicina ad Omega z0 domanda in aula No non ho capito che cosa intende dire dove che cosa sta guardando cioè Attenzione attenzione il comportamento dell'oscillatore è sempre questo che ho disegnato qua cioè la x sta sempre oscillando periodicamente in maniera sinusoidale non ho uno smorzamento attenzione e però l'ampiezza di questa oscillazione dipende dalla pulsazione a cui lo eccito Quindi se Omega diciamo è Omega Max l'ampiezza è la più grande possibile Se invece io eccito l'oscillatore ad una frequenza che si trovi qui maggiore di Omega Max comunque l'oscillatore oscillerà quella pulsazione ma con un'ampiezza che è molto più piccola ok E lo stesso vale se vado Da quest'altra parte Omega Max è il valore di Omega per cui X con 0 è ma Questo ovviamente X con0 che valore assume se io vado a esprimere una volta che ho calcolata la frequenza massima la devo risos qua dentro una volta che ho calcolato la frequenza a cui l'oscillatore risponde con un massimo la sostituisco qui dentro e qui dentro e troverò l'ampiezza per quella frequenza No ma non ci interessa adesso dire quanto vale il massimo lo potremmo calcolare quello che è importante è che c'è un Massimo prego un'altra domanda in aula Sì sì sì prego Vediamo le vediamo vediamo l'esempio Qual è sì allora la domanda in aula è la seguente lo studente dice rifacendosi all'esempio che abbiamo fatto dell'ammortizzatore della macchina quando la macchina prendeva il gradino e avevamo detto che negli ammortizzatori si introduce un fluido per aumentare il valore di B e per portare l'oscillatore nel regime di smorzamento esponenziale non quello oscillatorio allora in questo caso eh quale sarebbe l'analogo di questo fenomeno in questo caso Supponiamo che io abbia una macchina che si muova su un terreno con delle cunette con un con un fondo del della strada che è periodicamente modulato quando camminate in campagna Ci sono le strade sterrate si formano dei piccoli Dossi e quando passate su questi Dossi la macchina comincia a saltare no In quel caso voi state sollecitando l'ammortizzatore con una certa pulsazione perché camminando è quasi un segnale periodico quello non proprio perché le buche non sono diciamo uniformi no allora in quel caso il la presenza del coefficiente B grande che cosa fa Fa che l'ammortizzatore oscilla ma con ampiezze piccole e quindi smorza diciamo mentre per per dirla tutta no se lei quando passa su lo avrete notato non so se l'avete notato lo potrete notare nei prossimi periodi Se voi avete una strada con queste piccole cunette se ci passate piano la macchina sobbalza molto ma se ci passate veloce sopra la macchina fa e non succede niente Per quale motivo perché la macchina ha una sua pulsazione di risonanza se io passo Veloce l'eccitazione ha una pulsazione grande Sto lontano dalla risonanza il sistema non risponde Cioè sto in questa regione qui in pratica e quindi l'ampiezza con cui la macchina sobbalza è piccolo Se invece per paura delle cunette ci passo sopra piano e vado piano se sto proprio alla frequenza di risonanza la macchina si mette a sobbalzare molto non so se a voi è mai successo nelle strade tipicamente rate che stanno dietro le spiagge estive no eh anche sulle str vabbè no adesso non entriamo nella polemica delle strade di Roma sarebbe lunga allora quindi per concludere che che succede a questa curva se B è uguale a 0 se B è uguale a 0 questa curva presenta un asintoto verticale a Omega 0 cioè se le perdite Sono nulle la Omega di Massimo va a coincidere proprio come Omega 0 e quel punto non è più un punto di Massimo ma è un punto è un asintoto verticale vedete quello che succede che se ho un oscillatore con perdite nulle questo termine Qui sarebbe Nullo E quando in questo denominatore Omega diventa Omega 0 il denominatore si annulla dire alla pulsazione di risonanza ho delle oscillazioni di ampiezza infinita e quindi l'oscillatore in un certo senso si rompe d'accordo allora per questo motivo no per questo motivo per questo motivo qua se uno deve progettare una struttura meccanica come la struttura di cemento armato alla che sta all'interno di una casa e siccome sono note Eh le frequenze tipiche dei terremoti e cioè le frequenze le pulsazioni con cui si hanno i moti sussultori e i moti oscillatori dei terremoti e quindi Queste sono diciamo le frequenze dei terremoti sono note Quando io vado a disegnare e progettare una casa No questa casa sarà composta di travi quindi non sarà un singolo punto materiale attaccato a una massa c'avrà però D le sue frequenze caratteristiche di risonanza No cioè la casa può fare questa operazione qui può oscillare in così può sobbalzare cioè c'ha vari moti che può fare Chiaramente come progetterà la casa Se io so che la pulsazione del terremoto è a una scelta pulsazione come la progetterà in maniera che le sue frequenze di risonanza caratteristiche sia lontano siano lontane dalla frequenza caratteristica dei terremoti perché in questa maniera il terremoto arrivando monterà in oscillazione la casa ma non a risonanza quindi l'ampiezza rimarrà comunque contenuta no quindi nel disegno di una struttura meccanica Io cerco sempre di fare in modo che visto che le perdite ci sono comunque le risonanze ci sono comunque no però di prendere queste risonanze e spostarle in una regione di pulsazioni dove non c'è sollecitazione cioè dove non ci sono i terremoti questo vale per le case vale per i ponti vale per i grattacieli ad esempio i grattacieli sono disegnati in maniera tale che la spinta del vento non li ponga in risonanza Pensate se un vento diciamo impulso e agisce su un grattacielo e se sta la risonanza quello comincia a oscillare risonante mete e non lo vogliamo ok