محاضرة حول التحويلات النقطية في الأعداد المركبة

مقدمة

• الفيديو الرابع في وحدة الأعداد المركبة.
• موضوع الفيديو: التحويلات النقطية.
• فهم شامل لجميع الحالات مع أمثلة.
• تطبيق مأخوذ من بكالوريا شعبة الرياضيات 2018.

محتوى الدرس

أهمية التركيز

• يتطلب الدرس تركيز كبير لفهم جميع المفاهيم.
• الأمور مترابطة؛ في البداية قد تبدو غامضة ولكن يصبح كل شيء واضحًا في النهاية.

العناصر الأساسية في الدرس

1. تذكير بالتحويلات النقطية المعروفة.

   • تعريف التحويل النقطي.
   • أنواع التحويلات: انسحاب، تحاكي، دوران.

2. ربط التحويلات النقطية بالأعداد المركبة.

3. مقدمة لتحويلات جديدة خارج المجموعة المعروفة.

عناصر التحويلات النقطية

1. الانسحاب

• أبسط أنواع التحويلات النقطية.
• يتم تعريفه عبر شعاع يربط بين نقطتين.
• مثال: تحويل نقطة (1, 1) إلى نقطة جديدة على بعد معين.

2. التحاكي

• يتمثل في تكبير أو تصغير الأجسام.
• يعتمد على نسبة تكبير معينة.
• مثال: تحويل نقطة إلى ضعف المسافة من المركز.

3. الدوران

• يتضمن زاوية معينة.
• يحافظ على الطول بين النقاط.
• مثال: دوران نقطة حول مركز معين بزاوية محددة.

الربط بين التحويلات النقطية والأعداد المركبة

القاعدة الأساسية

• تحويل نقطة في المستوى إلى نقطة جديدة يعتمد على معادلات تركيبية.
• علاقة بين النقطة القديمة والجديدة في صيغ الأعداد المركبة.

حالات التحويلات النقطية

1. الحالة الأولى: انسحاب

   • عندما يكون الجزء الحقيقي يساوي 1.
   • مثال: ( z' = z + a + bi )

2. الحالة الثانية: تحاكي

   • عندما تكون نسبة التحاكي عدد حقيقي غير معدوم.
   • مثال: ( z' = k imes (z - z_0) + z_0 )

3. الحالة الثالثة: دوران

   • عندما يكون العدد المركب له طول يساوي 1.
   • مثال: ( z' = e^{i heta} imes z )

التطبيقات العملية

• تمّت مناقشة تمارين من بكالوريا 2018.
• تحليل الشروط المطلوبة لتحويل النقاط.
• الاستنتاجات حول الزوايا والأعداد المركبة.

الخاتمة

• أهمية فهم التحويلات النقطية في الأعداد المركبة.
• ضرورة مراجعة الأمثلة والتطبيقات لفهم العمق.
• دعوة للتفاعل وتعليقات من الطلاب.