Teorema del Gradiente

Introduzione

• Il teorema del gradiente è parte dell'analisi di matematica 2.
• Fornisce condizioni necessarie e sufficienti per la differenziabilità di una funzione in un punto.
• Funzione f definita da A in R.

Condizioni per la Differenziabilità

1. Continuità: f è continua in x.
2. Derivabilità: f è derivabile in x lungo ogni direzione.
3. Derivata Direzionale: La derivata direzionale lungo la direzione v è uguale al prodotto scalare tra il gradiente di f e il vettore v.

Dimostrazione del Teorema

Passaggio 1: Differenziabilità e Continuità

• Definizione di differenziabilità: f(x + h) - f(x) = a * h + o(h).
• Confronto con analisi 1: si utilizza un prodotto scalare tra vettori.
• Limitando h a 0, f(x + h) tende a f(x), dimostrando la continuità.

Passaggio 2: Derivabilità in Ogni Direzione

• Induzione di a come vettore (a1, a2,..., an).
• Considerazione di h come t * ei (vettori delle basi canoniche).
• Applicazione della definizione di differenziabilità per determinare le derivate parziali.
• Risultato: se f è differenziabile, esistono tutte le derivate parziali e f è derivabile.

Passaggio 3: Derivata Direzionale

• Derivata direzionale di f lungo la direzione v.
• Utilizzo di un h come t * v.
• Formula: f(x + t*v) - f(x) = t * (a • v) + o(t).
• Conclusione: il prodotto scalare tra il gradiente di f e il vettore v conferma la formula della derivata direzionale.

Conclusione

• Tutti e tre i punti del teorema del gradiente sono dimostrati con successo.