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Teorema del Gradiente in Matematica

Ciao a tutti ragazzi, benvenuti in questo nuovo video. Oggi dimostreremo il teorema del gradiente, un teorema che appartiene all'analisi di matematica 2 e che ci dà le condizioni necessarie e sufficienti affinché una funzione f sia differenziabile in un certo punto x. Se quindi f è una funzione definita da a in r, se f è differenziabile in x appartenente ad a, allora si verificano le seguenti cose.

Prima di tutto, f è continua in x. Secondo, f è derivabile in x lungo ogni direzione. e quindi esisteranno anche le derivate parziali di f, e poi, terza condizione, la derivata direzionale lungo la direzione v è uguale al prodotto scalare tra il gradiente di f e il vettore v stesso. Bene, ora dimostriamo questo grande teorema, e tra le altre cose vi invito a ripassare la definizione di differenziabilità, ma in ogni caso noi inizieremo la dimostrazione proprio, diciamo...

Tirando in causa la definizione di differenziabilità stessa, quindi abbiamo che f di x più h meno f di x è uguale al prodotto scalare tra un certo vettore a, di cui ora, diciamo, non ne sappiamo l'entità, ma lo scopriremo presto di cosa si tratta, moltiplicato scalarmente per l'incremento h più 1 piccolo del modulo di h. Ok, questa è la definizione di differenziabilità, ma, d'altra parte, non è poi così diversa da quella che avevamo visto in analisi 1, Diciamo, l'unica grande differenza è che abbiamo a che fare con dei vettori e quindi qua dove in analisi 1 avevamo un semplice prodotto tra la derivata prima e h dove rappresentava l'incremento, ora qua invece abbiamo un prodotto scalare tra due vettori. Ecco, tra le altre cose colgo l'occasione per una piccola anticipazione.

Questo vettore a poi scopriremo di fatto che è il gradiente di f, ma un po'come in analisi 1... il numero che stava qui l'avevamo identificato come la derivata prima di f. Ecco ora, appunto, ripeto, in maniera del tutto analoga, quello sarà il vettore delle derivate parziali, ma questo lo scopriremo e lo dimostreremo nel corso della dimostrazione. Perfetto, ora quello che vogliamo fare è dimostrare che se f è differenziabile, allora f è continuo in x.

Beh, per farlo, sostanzialmente, il membro sinistro di questa equazione la scriviamo pare pare, quindi f di x più h meno f di x. E poi a questo punto vogliamo passare al limite per h che tende a 0. Quindi per h che tende a 0, allora a destra dell'uguale abbiamo il prodotto scalare tra a e h, che possiamo, diciamo, vederlo come il modulo di a per il modulo di h per il coseno di α. Ma se h tende a 0 anche il modulo di h tende a 0 e quindi il prodotto scalare nel suo complesso tendrà a 0. E poi abbiamo o piccolo di h che per h che tende a 0 tende anche lui a 0, infatti è un infinitesimo.

Benissimo, ma allora per h che tende a 0 l'incremento di f tende anch'esso a 0, ok? E quindi in altre parole possiamo dire che f di x più h tende ad f di x per h che tende a 0. Che altro non è che la definizione, se volete, un po'alternativa di continuità di f. Perfetto, e perché è continua?

Beh, perché se noi valutiamo f in un intorno di x, no? Incrementato di un certo valore h, beh, questo incremento per h che tende a 0 si avvicina proprio alla funzione f valutata nel punto x. Quindi questo ci sta dicendo che in un intorno di x f non può comportarsi in modo così strano. Cioè, insomma, è richiesta una certa regolarità della funzione f in un intorno di x e quindi f è continua. E questo è il punto 1. Passiamo al punto 2. Dobbiamo dimostrare che se f è differenziabile, allora f è derivabile in x lungo ogni direzione.

E in particolare esisteranno quindi tutte le derivate parziali ed è quello che andremo proprio a dimostrare e quindi chiariremo anche l'entità di questo vettore a. Dunque, scriviamo a come a1, a2, fino ad an. Lo facciamo in modo generale, no? Poi ovviamente se avessimo la funzione di due variabili basterebbe solo a1 e a2, però noi lo facciamo in generale.

Quindi a è un vettore di n componenti. Il vettore h invece non ne prendiamo uno qualsiasi, ne prendiamo uno in particolare. Prendiamo il vettore che, diciamo, è composto da t che moltiplica il vettore ei.

Ora t cos'è? T è semplicemente un numero che appartiene a r, no? Se volete visualizzatelo come il coefficiente di dilatazione o di contrazione. del vettore E con I, ok? È semplicemente un numero.

Mentre E con I, sostanzialmente, tra le altre cose, con I che va da 1 ad N, identifica tutti quei vettori che sono chiamati vettori delle basi canoniche, se volete, cioè tutti i vettori che hanno l'iesima componente uguale ad 1 e tutte le altre uguali a 0. Quindi, per esempio, E1 è uguale a 1 e poi tutte le altre sono 0. Poi E2 è uguale a... 0, 1 e poi tutte le altre sono 0. Tra le altre cose faccio notare che questo qui di solito è la i, questa qua sarebbe ji e poi ci sarebbe k che ha la terza componente invece uguale a 1 e così via. Quindi fondamentalmente noi con il vettore h lo indichiamo proprio come t che è un coefficiente di appunto dilatazione o contrazione per il vettore delle basi canoniche. Quindi stiamo in qualche modo valutando l'incremento di f. lungo delle particolari direzioni, ok?

Non lungo una qualsiasi direzione, ma lungo delle particolari direzioni che sono le direzioni date dai vettori canonici. Ok, quindi riscriviamo a questo punto la definizione di differenziabilità f di x più, a sto punto, al posto di h scriviamo t per il vettore e con i, meno f valutata nel punto x che è uguale a... è uguale al prodotto scalare tra il vettore a e t per e con i, più uno piccolo del modulo di h, che quindi è il modulo di t moltiplicato per e con i.

Perfetto. Ora riscriviamo facendo alcune considerazioni importanti, meno f di x. è uguale.

Ecco, dobbiamo un attimino sviluppare questo prodotto scalare. Ora, per l'ennesima volta, t è uno scalare, quindi può tranquillamente uscire dall'operazione di prodotto scalare, che è un'operazione intima tra vettori, e quindi il t lo portiamo fuori. A questo punto rimarrebbe il prodotto scalare tra a e il vettore e con i. E proviamo a scriverlo un attimino. Dunque, il prodotto scalare tra a ed e con i può essere scritto nella seguente maniera, per definizione di prodotto scalare.

A1 per E1 più A2 per E2, cioè tutte le componenti diciamo moltiplicate tra di loro una ad una. Quindi qua rimarrebbe poi AN per EN. Ma E con I avevamo detto che aveva tutte le componenti uguali a 0 tranne l'iesima.

Quindi il risultato di questa operazione di prodotto scalare rimarrebbe solo A con I per EI. dove chiaramente i abbiamo detto che è uguale a 1, e quindi alla fine rimane solo a con i, cioè l'iesima componente del vettore a. Quindi, a questo punto, tornando alla definizione, qua scriveremo t per a con i, cioè l'iesima componente, più, beh, o piccolo di t, sostanzialmente, perché e con i ha modulo 1, chiaramente, quindi il modulo, diciamo, di questa cosa qui in realtà è t.

Benissimo, quindi a questo punto concentriamoci su questa rega qua. Dividiamo da entrambi i membri per t e cosa otteniamo? Otteniamo che f di x più t per ei meno f di x, tutto diviso t, è uguale a a con i più o piccolo di t fratto t. Ora per t che tende a 0...

Questo tende a 0 per definizione di O piccolo. A con I invece rimane A con I perché appunto lui non è influenzato da T in alcun modo e quindi ora concentriamoci un attimino sul membro sinistro dell'uguale. Beh per T che tende a 0 molti di voi avranno già riconosciuto la definizione di derivata parziale rispetto all'iesima componente perché appunto noi stiamo valutando l'incremento di F lungo l'iesima componente e poi T appunto rappresenta diciamo l'incremento.

E perfetto, quindi a sinistra scriveremo proprio la derivata parziale di f valutata nel punto x rispetto, fatemela scrivere così, rispetto all'iesima componente del vettore x, ok? Che è quindi uguale ad a con i. E quindi è qua che abbiamo chiarito l'entità, diciamo, di questo vettore iniziale, no? Questo vettore che vedavamo qua lo scrivevamo in questo modo. In realtà altro non è che il gradiente di f, come avevo già anticipato.

È il gradiente di f perché al variare di i... Alla fine, al variare di i, il vettore A può essere identificato proprio come il gradiente di f. Infatti, ripeto, al variare di i si identificano tutte le derivate parziali rispetto all'iesima componente.

E quindi A è uguale a grad di f. Perfetto, ora, e questo perché ci dice che se f è differenziabile allora f è derivabile? Beh, f è derivabile perché abbiamo fondamentalmente dimostrato che il limite del rapporto incrementale esiste ed è sempre finito, e in particolare vale a con i. Quindi se esistono tutte le derivate parziali allora la funzione si dice derivabile ed è quello che noi abbiamo appena dimostrato, quindi qua abbiamo dimostrato che f è derivabile. In particolare esistono tutte le derivate parziali.

Poi, ultimo punto, punto numero 3, vogliamo dimostrare la seguente formula che, diciamo, da un punto di vista degli esercizi torna molto utile, ovvero che la derivata direzionale lungo la direzione v è uguale al prodotto scalare di grad di f per il vettore v, che è appunto il vettore direzione lungo cui noi stiamo derivando. Ora, come facciamo a dimostrare questo fatto? Molto semplice. Stavolta il vettore h...

Prima l'avevamo preso, diciamo, in modo piuttosto particolare, no? L'avevamo preso come il vettore, diciamo, delle basi canoniche. Ecco, invece, questa volta h lo prendiamo proprio come t, diciamo, sempre coefficiente di dilatazione o contrazione, per il vettore v stesso. E quindi, come scriveremo la nostra differenzialità, quindi f di x più t per v meno f di x è uguale, questa volta, ancora, Chiaramente il prodotto scalare tra a e t per v più 1 piccolo del modulo di t per v. Ok, in modo del tutto analogo a prima, t può uscire fuori dall'operazione di prodotto scalare e quindi scriveremo che f di x più t per v meno f di x è uguale a t per il prodotto scalare tra il vettore a e il vettore v. Più 1 piccolo, chiaramente, di modulo di t per modulo di p. A questo punto dividiamo per t da entrambe le parti, quindi divido per t qua, qua e qua.

A questo punto qua è evidente che t si semplifica e, come prima, facciamo il limite per t che tende a 0. Ora, se noi facciamo il limite per t che tende a 0, il membro sinistro dell'equazione Diventa proprio la definizione di derivata direzionale di f valutata nel punto x lungo la direzione b. E poi a destra cosa ci rimane? Ci rimane il prodotto scalare tra a e v. Ma noi il vettore a abbiamo dimostrato prima che per t che tende a 0, ovvero proprio in questo caso, è uguale alla fine al gradiente di f. E quindi rimarrà il prodotto scalare tra il grad di f e il vettore b.

Più uno piccolo di... di t per v fratto t, che chiaramente per t che tende a 0, tende a 0. E quindi abbiamo dimostrato tutti e tre i punti del teorema del gradiente.