Statik Ders Notları: Vektörler

Konunun Önemi

• Statik temeli: Kuvvet hesaplamaları ve üç boyutlu denge problemleri
• Mukavemet hesaplarının vektörel çözümlemesi ve minimum boyutların bulunması

Vektör ve Skalar Büyüklükler

Skalar Büyüklükler

• Sadece şiddeti olan büyüklükler: Uzunluk, zaman, kütle, hacim, enerji, yoğunluk
• Genellikle bir harfle sembolize edilir: Kütle (m)

Vektörel Büyüklükler

• Şiddeti ve yönü olan büyüklükler: Hız, ivme, kuvvet, moment
• Genellikle harfin üzerine ok konur: V vektörü

Vektörlerin Gösterimi ve İşlemleri

Vektör Gösterimi

• Vektör ok ile sembolize edilir. Örneğin: V üzerinde ok
• Şiddet: Harf üstü ok kaldırılarak veya iki çizgi arasına alarak

Ayrıca Kavramlar

• Doğrultu: AB doğrultusu
• Yön: A’dan B’ye
• Uygulama Noktası: Başlangıç noktası (okun başladığı yer)

Vektörlerin Sınıflandırılması

1. **Serbest Vektör
   • Şiddeti, doğrultusu, yönü vardır ama uzayda belirli bir noktadan geçmez. Örneğin, sabit hızda giden araç hızı.
2. Kayan Vektör
   • Şiddet, doğrultu, yön sabit ama farklı noktalardan uygulanabilir.
   • Örneğin, sabit kuvvette etki eden F kuvveti.
3. Sabit Vektör
   • Şiddet, doğrultu, yön sabit ve uzayda belirli bir noktadan geçer.

Kaydırılabilirlik Prensibi

• Kuvvetler doğrultusu üzerindeki herhangi bir noktaya taşınabilir, etkisi değişmez.

Kartezyen Koordinatlar ve Birim Vektörler

Kartezyen Koordinat Takımı

• 2D: X ve Y eksenleri
• 3D: X, Y ve Z eksenleri
• Sağ El Kuralı: Sağ elin dört parmağı X ekseni üzerinde, Y üzerine kapatıldığında başparmak Z eksenini gösterir

Birim Vektörler

• Herhangi bir doğrultuda şiddeti 1 olan vektör
• Kartezyen birim vektörleri (i, j, k)
  • i için X, j için Y, k için Z eksenleri

Vektör İşlemleri

Vektörlerin Toplama ve Çıkarma İşlemleri

• Paralel Kenar Yöntemi:
  • Vektör başlangıç noktaları ile paralel kenar oluştur ve köşegen toplam vektörü verir.
• Üçgen Yöntemi:
  • İkinci vektörün ucunu birinci vektörün ucuna ekleyip, başlangıçtan yolcunun ucuna çizilen vektör toplamını verir.

Vektörlerin Skaler ile Çarpımı

• Skaler ile çarpınca şiddet değişir, doğrultu değişmez. Negatif çarpımda yön tersine döner.

Skaler Çarpım

• Sonuç bir skalardır. İki vektörün şiddetleri ve aralarındaki açı kosinüsü ile bulunur.

Vektörel Çarpım

• Sonuç bir vektördür. Şiddet: İki vektörün şiddetleri ve açı sinüsü ile bulunur. Yön Sağ El Kuralı ile belirlenir.

Vektör Bileşenleri ve İzdüşüm

Bileşenlerin Bulunması

• Paralel Çizgilerle: Eksenlere paralel çizgiler çizilerek bulunur.

İz Düşümün Bulunması

• Vektörün bitim noktasından eksene inilen dik ile bulunur

Bileşen ve İz Düşüm Arasındaki Fark

• Bileşen eksenli izdüşümü bileşenlerden türetilebilir.
• İzdüşüm eksende zemindir.

Kartezyen Koordinatlarda Vektör İşlemleri

Kartezyen Koordinatlar ve Birim Vektörler

• İki boyut: [U = U_x \hat{i} + U_y \hat{j} ]
• Üç boyut

Konum Vektörü

• Başlangıç ve bitiş noktalarının koordinatlarından bulunur.

Doğrultman Kosinüsleri

• Alfa, Beta, Gama açıları. Vektör bileşenlerinin bileşik vektörün şiddetine oranı.

Notlar ve Öneriler

• Her maddenin tekrar okunması tavsiye edilir. Kuvvet hesapları ve üç boyutlu denge problemlerinde devamlı kullanılacak.