Merhaba arkadaşlar statik dersinde ilk konumuz olan vektörler konusunu işlemeye başlıyoruz Şimdi bu videomuzda vektörler konusunu biz iki video halinde işleyeceğiz Bu 1A videosu Tabii bundan sonra da Tabii diğer video gelecek Burada neler göreceğiz vektörel işlemleri de göreceğiz nasıl olduğunu ben Profesör Doktor Mehmet zor 9 Üniversitesi Makine Mühendisliği bölümü öğretim üyesiyim şimdi konunun Öncelikle önemini tekrar öğrenecek olursak bu konuyu öğrenmek bize ne kazandıracak bu konuyu niçin öğrenmeliyim yani Sonuçta biz bu konuyu iyice anlayabilirsen statik temel konusu olan Eee kuvvet hesaplamaları yapabilecek ve özellikle üç boyutlu denge problemlerini daha kolay ve pratik olarak çözebileceğim zaten demiştik Biz statiğin temel konusu nedir Aslında denge halindeki bir katı sistemde yani Birden fazla katı cisimden oluşan sistem Olabilir Tek cisim de olabilir tabii orada kuvvet hesaplarını yapabilmektir değil mi Kuvvetleri bulabilmektir statik e temel konusu temel amacı budur aslında işte eee eğer problem üç boyutlu olursa vektörel olarak Eee çözüm yapmak yani Kuvvetleri hesaplamak daha pratiklik sağlıyor bizim için o yüzden vektörler ve vektörel işlemleri Eee iyice anlamamız gerekiyor ki vektörel çözümleri de yapabilirim Sonuçta Peki Kuvvetleri bulmak ne önemli yani Kuvvetleri bulm önemi olacak tabii daha önce de aslında söyledik tekrar hatırlayalım bakalım Eee kuvvetleri hesaplamanın ne önemi vardır Kuvvetleri bilmeden Biz mukavemet hesapları yapamıyoruz Yani önce statik hesapları Ondan sonra mukavemet hesapları dayanım hesaplarına geçebiliyor mukavemet hesaplarında ne yapıyoruz Peki incelenen parçanın kuvvete dayanması için gerekli minimum boyutları buluyoruz yani mukavemet hesaplarından buluyoruz değil mi Bunu sonra herhangi bir çubuğa bir kuvvet geldiğini statikten hesaplıyoruz ne kadarlık bir kuvvet geldiğini hesaplıyoruz İşte o Çubuk mesela dairesel bir çubuk olabilir bu çubuğun E bu kuvvete dayanması için minimum çapı ne olması gerektiğini Biz mukavemetten belirliyoruz ve bu bize neyi sağlıyor Tabii Eee bu minimum boyutlar ise günlük hayatımıza uygulanabilir bir veri elde etmemizi sağlıyor yani sonuçta diyoruz ki bu çubuğu Biz imal ed ve şu sistemde kullanacağız Mesela bir Kafes sistemi olabilir çerçeve sistemi olabilir başka bir Eee sistem olabilir Fark etmez katı cisimlerden ol oluşmuş bir yapı olabilir ama bu çubuğa gelen kuvveti o yapıda Biz biliyorsak e diyoruz ki bu çubuğu ben en az şu çapta üretmem gerekir sonucuna mukavemet dayanım hesaplarından gidebiliyorum ama mukavemet hesaplarını yapabilmek için de Kuvvetleri bilebilmek Kuvvetleri statikten biliyorum de dediğim gibi mesela Eee işte Çubuk üç boyutlu bir sistem is yani uzay bir uzayda bir Eee problemse yani olay yani eee Sonuçta vektörel işlemlerle o kuvveti bulmak daha kolay oluyor bizim için ve böylece ne oluyor Tabii Eee elimize gerçek hayata uygulanabilir bir değer geçmiş oluyor yani ben bu çubuğu Madem imal edeceğim ne kadar çapta imal etmem gerekir önemli bir soru oluyor mesela gerçek hayata uygulan bir soru oluyor O yüzden dediğim gibi vektörel işlemleri Eee bilebilmek de özellikle üç boyutlu durumlarda durumlarda bizim çok işimize yarıyor kuvvet hesabı için diyoruz Evet peki devam edelim şimdi vektörlerle ilgili tanım ve işlemleri sırasıyla işleyip son kısımda çeşitli örneklerle konuyu pekiştirmeye çalışacağız E tabii son kısım ikinci videomuzda olacak yani örnekler diyelim Eee orada da biraz Bazı maddeleri de anlatabiliriz Tabii oraya da sarabiliriz biraz ama sonuçta burada bakalım nereye kadar gelebileceği 1 2 maddesi skalar büyüklük dediğimiz zaman ne anlayacağız sadece şiddeti bulunan büyüklüklere Biz skalar büyüklük diyoruz değil mi Örneğin uzunluk zaman kütle hacim enerji yoğunluk Bunlar skaler büyüklüktür diyebiliriz Bir harf ile sembolize edilebilir Örneğin kütleyi mile sembolize ettiğimizi Biz biliyoruz küçük m harfiyle Peki vektörel büyüklük deyince ne anlatacağız şiddetiyle birlikte yönü olan büyüklükte lere Biz vektörel büyüklük diyoruz mesela hız ivme kuvvet gibi moment de tabii olabilir ama sonuçta biz Eee hız deyince mesela Eee Diyoruz ki 100 km B saatlik bir hız Ama şunu sorabiliriz ne hangi yönde bir hız diye sorabiliriz bakın yani hangi yönde diye bir soru sorabiliyor olak o büyüklük için demek ki bu vektörel büyüklüktür diyebiliriz kuvvet Mesela işte bizim statikte en çok üzerinde duracağımız Eee ve de hesaplamam gereken Eee büyük Tabii problemlere göre Eee kuvvet işte 100 n'luk bir kuvvet hangi yönde diye sorabiliriz mesela Demek ki bu bir vektörel büyüklüktür diyebiliriz Peki bir vektörün gösterimi nasıl yapılıyor yani genel anlamda konuşuyoruz şimdi vektör kavramını bir okla gösterilir sembolize edilirken harfin üzerine bir ok koyulur Mesela bir V vektörü herhangi bir vektör bir hız olabilir kuvvet olabilir ivme olabilir moment de olabilir Tabii E bu vektörü nasıl gösteriyoruz vektörel gösteriminde sembolün Yani bir harfin üzerine bir ok koyuyoruz dediğimiz gibi sonra bunun şiddeti nedir şiddetini nasıl sembolize edeceğiz Daha doğrusu ya oku kaldırıyoruz üstünden Biraz daha kalın harfle sadece V yazıyoruz veya ok ok varken vektörel gösterimi varken iki çizgi arasına alıyoruz yani mutlak değer gibi iki çizgi arasına alıyoruz Bu da şiddetini sembolize ediyor bize yani diyebiliriz Bunlar önemlidir zaten gösterim sırasında doğrultusu işte AB doğrultusu diyebiliriz A'dan B'ye etkime doğrultusu yönü A'dan B'ye Eee Olabilir tabii doğrultusu e ayrı yönü ayrı yani doğrultusu deyince hangi çizgi üzerinde sorusuna cevaptır Aslında Eee yönü ise nereden nereye doğru hangi noktadan nereye doğru sağa mı sola mı yukarı mı aşağı mı bu yani uygulama noktası Başlangıç noktası okun başlangıç noktası e veya Eee şöyle diyelim kuvvet ise Mesela bu hangi noktaya uygulanmış diye Eee sorabiliriz o uygulama noktası oluyor yatayla yaptığı açı işte Tet ile gösterebiliriz Fakat tabii biz e vektörel işlemler yaparken bu sembolleri özellikle vektörel gösterimi mutlaka iyi kullanmamız gerekiyor yani eee sınavlarda olsun diğer çalışmalarda olsun vektörel işlemlerle bir Eee yani hesap yapıyorsanız yazı yazıyorsanız yani vektörel Eee sembollerin olduğu bir eee hesaplama yapıyorsanız ok göstermezseniz çok negatif puan alırsınız size söyleyeyim yani çünkü o konuyu hakim olmadığınızın bir delili olacaktır O yüzden vektörlerin üzerinde vektörel bir büyüklüğü ifade ettiğiniz zaman ok mutlaka koymanız gerekecektir eee buna alışmanız çok önemlidir diyebilirim şimdi vektörlerin sınıflandırmasına geldiğimiz zaman sınıflandırmada esas olan nedir vektörün etkime Eee etkisinin korumasıdır Daha doğrusu diyebiliriz bu ben buna püf noktası 1 Aslında bu 11 olacak yani onu da söyleyelim 21 demişim ama 1 konu oluyor artık bu 11 e püf noktası 11 diyebiliriz pn ile gösteriyorum Ben bunu farklı e püf noktaları da olacak ileride tabii şimdi buna baktığımız zaman Eee vektörlerin sınıflandırmasına baktığımız zaman bir serbest vektör yani yani free vektör Bu ne demek belirli bir şiddeti doğrultusu ve yönü vardır ama etkime doğrultusu uzayda tek bir noktadan geçmez Mesela bir araç düşünelim düz bir yolda sabit hızda gidiyor E diyelim ben bu aracın hızını E sonuçta biliyorum ki tüm noktaların hızı otomobil olsa Mesela bu tüm noktaların hızı aynıdır değil mi sabit hızda gittiği için aynıdır Evet Bu aracın tüm noktalarının hızı Aslında aynıdır değil mi Ben bunu biliyorum Eee Peki Eee o zaman hangi noktaya ben bu hızı yerleştirm daha doğru olacaktır fark etmez yani istediğiniz aracın herhangi bir noktasına Bunu yerleştirirseniz hiçbir şey fark etmeyecektir bunu söyleyebiliriz İşte biz buna serbest vektör diyebiliriz aslında yani eee sabit bir hızda doğrusal hareket yapan işte Bir aracın hız vektörü eee buna bir örnek olarak verilebilir veya e ikinci iç sınıflandırma Daha doğrusu kayan vektör dediğimiz sliding vektör yani burada da belirli bir şiddeti doğrultu doğrultusu ve yönü vardır vektörün uygulama noktası etkime doğrultusu üzerinde herhangi bir nokta olabilir diyebiliriz işte Mesela bir cisim düşünelim Eee şöyle aşağıdan sabitlenmiş çeşitli bağlantıları var bir F kuvveti mesela buna etki ediyor Ben bu F kuvvetinin mekanik etkisini e aynı çizgi üzerinde ben bu f kaydırır mekanik etkisi değişmiyor Yani ben buna A'dan da uygulasam Eee ve de kendi doğrultusu üzerinde F kuvvetini bakın kendi doğrusu üzerinde kaydırır etkisi değişmeyecektir diyebiliriz yani A'dan böyle itme B'den ya da çekme tarzında uygulasam aynı etki olacaktır biz buna kayan vektör diyebiliyoruz Eee Evet R cisme eee bir cisme etki eden kuvvet aynı etkiyi etkiyi etkime çizgisi üzerinde herhangi bir noktada uygulandığında da gösterir ki bu kuvvet kayan vektöre bir örnektir diyebiliriz Evet eee bir de Eee ne var Sabit vektör Eee eee Bu da nedir belirli bir şiddeti doğrultusu Eee ve yönü vardır etkime doğrultusu uzayda tek bir noktadan geçer Eee diyebiliriz Evet şimdi mesela eee buna örnek olarak elastik bir çubuğa uygulanan çekme Kuvvetleri buna bir misaldir kuvvetlerinin aynı etkiyi koruması için etkime doğrultusu ve noktası sabit olmalıdır Yani bir çubuğu alıyoruz mesela elimizde iki taraflı çekiyoruz yani ik elimizle İki taraftan çekiyoruz diyelim Eee şimdi ben bu çubuğa bu çubuğa mekanik etkisini mesela uzama miktarını düşünürsem Eee uç noktalardan çektiğim zaman bu çubuğu belli bir miktar uzayacaktır ama Eee diyelim ki Ellerimi biraz daha orta noktalara getirdim e o uzama miktarı ne olacaktır Eee yani uçlardan değil de ortalardan bir yerden çektiğim zaman Eee Tabii elimin dışında kalan kısımlar uzamayacağını bakın eğer biz yerini değiştirirsek ne oluyor demek ki Eee bu vektörün geri değişirse mekanik etkisi değiştiği için Sonuçta değişmemesi gerekiyor demek ki yeri buna Biz sabit vektör diyoruz yani belirli bir şiddet doğrultu ve yönü vardır etkime doğrusu uzayda tek bir noktadan geçer Evet bir noktadan uygulanması gerekiyor Sonuçta bunun Peki devam ediyoruz şimdi kaydırılabilir ilkesine bakıyoruz rijit cisim üzerine etkileyen kuvvetin şiddeti doğrultusu ve yönü aynı kalmak koşuluyla uygulama noktası doğrultusu üzerinde her herhangi bir noktaya taşınabilir ve Bu işlem sonucu cisme etkisi değişmez Aslında biraz önce görmüş olduğumuz kayan vektör konusunun başka bir şekilde izahı bir Prensip olarak izah edilmiş burada işte Mesela bir cisme Eee arkadan bir itme aynı F bir F kuvvetiyle etme yapmakla önden çekersek yani F kuvvetini kendi çizgisi üzerinde etkime doğrusu üzerinde kaydırır Sak mekanik etkisi bu cisme olan mekanik etkisi değişmiyor Demek ki biz buna Kay kaydırılabilir derslerinde vesaire başka derslerde olabilir Sonuçta bir kuvvet bir kendi doğrultusu üzerinde herhangi bir noktaya kaydırılabilir Eee prensibi vardır yani eee fakat başka bir noktaya kendi çizgisi üzerinde olmayan başka bir noktaya Eee taşınması durumunda da momenti ile beraber taşınır Eee o da ileride gelecek bir olarak karşımıza çıkacak Diğer konuda evet bir cismi arkadan iek veya önden aynı Doğa aynı kuvvette çeksek teorik olarak bu kuvvetlerin mekanik etkisi aynıdır diyebiliriz şimdi Evet devam ediyoruz şimdi maddelerde 17 maddesine geldik 17.1 maddesi kartezyen koordinatlar birbirine dik E yani biz biliyoruz kartezyen koordinatları x y koordinatları biz bunları biliyoruz ama bunları yerleştirirken dikkat edeceğimiz bir nokta var onu burada izah ediyoruz birbirine dik ortogonal eksenlerden oluşan Eksen takımıdır bu iki boyutlu düzlemsel durumda X ve Y eksenlerini ü boyutlu uzaysal durumda x y ve z eksenlerini içerir eksenlerin ikisi keyfi diğeri Onlara bağlı olarak yerleştirilir nasıl yerleştirilir sağ el Kaydesi ile yerleştiriliyor nasıl oluyor şimdi Eee X ve y'yi bu şekilde keyfi olarak yerleştirdik diyelim Sağ elimizle x eksenini tutup y ekseninin üzerine kapatıyoruz Bakın şu ok mavi okla gösterdiğimiz mavi yay şeklindeki okla x eksenini tutuyoruz y ekseninin üzerine kapattığımız zaman baş parmağımızın yönü Z eksenini göstermesi gösterir yani pozitif Z eksenini gösterir diyoruz Yani ben burada x'i y'yi keyfi olarak aldıktan sonra Z'yi keyfi olarak alamıyorum dikkat edin buna e Z'yi aşağı Z'yi de aşağı seçtim aşağı yönünde seçtim diyemezsiniz E bu yanlış olur 2 ekseni keyfi seçebilir iz yönlerini ama üçüncüsünü sağ el Kaydesi ile mutlaka yerleştirmek zorundasınız Biz burada x y Eksen takımını diyelim ki keyfi yerleştirdik x'ten Y'ye Ben e Sağ elimle tutup kapatırsam Sağ elimin 4 parmağıyla x'i tutup x eksenini tutup y ekseni üzerine şu e mavi ok yönünde böyle döndürerek kapatırsam baş parmağım Neyi gösterecektir e baş Parmağımın yönü pozitif Z eksenini gösterecektir bu daima önemli bir e kural kural yani keyfi olarak 3 ekseninde yerleştiremiyorum burada ikisi keyfi bir tanesi zorunlu olarak Onlara bağlı olarak yerleştiriyor eksenlerin yerleştirmesi nasıl yapı aslında burada anlattım ben burada yani E şimdi Eee bu noktayı anlatmış oldum bir yerde Eee X ekseni saiz 4 parmağıyla tutup y ekseni üzerine kaparsak baş parmağımızın yönü + Z eksenini gösterir İşte bu sol taraftaki şekli anlattım Aslında ben e sağ el şe anlattım veya şöyle de mümkün yani başka kitaplarda şöyle semboller de var Yani şöyle şekiller de var Eee 3 tane parmağımızı şu şekilde tuttuğumuz zaman Eee mutlaka yani sonuçta e Baş parmağımız Z ekseni X ekseni işaret parmağımız orta parmağımız da y eksenini gösterecek şekilde oluyor ama ben daha çok soldaki şekli kullanıyorum yani şu bu şekli kullanıyorum E bu şekil bana daha pratik geliyor isteyen bu şekil de kullanabilir Ama genelde biz statikte şu sağ el Kaydesi olarak şu Sağdaki şey soldaki şekli şu ilk şekli Eee kullanıyoruz diyebiliriz Peki vektörlerin toplanması ve çıkarılmasını hemen anlatalım vektörlerin toplama ve çıkarma işleminde iki yöntem vardır paralel kenar yönteminde vektörlerin başlangıç noktaları birleştirilir ve bir paralel kenar oluşturulur bu paralel kenarın diyagonali R Yani iki vektörün toplamını verecektir şimdi toplama işleminde mesela a vektörü yatayda bir vektör olduğunu düşünelim B vektörü ise Eee şu şekilde Eee yani bir Kuzey Kuzeydoğu yönünde bir vektör mesela şu şekilde bir vektör şimdi bu iki vektörü vektöre bu iki vektörü nasıl toplayacağız bakın şöyle yapıyoruz B vektörü ile a vektörünün başlangıç noktalarını birleştiriyoruz Ondan sonra eee onların bitiş noktalarından yani B'nin bitiş noktasından ve de A'nın bitiş noktasından birbirlerine paralel çiziyoruz yani şunlar bakın E işte A'ya Paralel çizgi Bir de B'ye Paralel çizgi olmak üzere ondan sonra diyagonali başlangıç noktasıyla Eee bu paralel kenarın diğer diyagonal birleştirdiğimiz zaman e ya da paralellerin kesiştiği noktayı birleştirdiğimiz zaman bize işte iki vektörün toplamı olan bir başka vektörü veriyor yani iki vektörün topl başka bir vektördür onu da belirtelim R vektörü mesela a + b şeklinde gösterilen bir vektör oluyor peki e çıkarma işlemini nasıl yapıyoruz çıkarılan 2ci vektör 180 dereceye ters çevr edip toplama işlemi Aynen yapılıyor yani ben A'dan şimdi B vektörünü çıkaracağım ama B vektörünü bu sefer ters çeviriyorum y mesela a'yı Aynen alıyorum pozitif olduğu için B'yi ise tam tersine çeviriyorum sanki a ile B'yi Yukarıdaki işlem gibi toplamış oluyorum Ne yapıyorum yine paraleller çiziyorum mesela A'ya ve B'ye paraleller çiziyorum bu sefer başlangıç noktasından itibaren birleştirdiğim ok yani yeni vektör R vektörü a - b vektörü oluyor bakın Evet yani çıkarma işlemi de bu şekilde yapılabiliyor bu tabii birinci yöntem paralel kenar yöntemi bir de ikinci bir yöntem var üçgen yöntemi Toplama işlemini nasıl yapıyoruz üçgen yönteminde 2 vektör 1 Örün ucuna bu sefer şey ucuna ekleniyor bitim noktasına yani ekleniyor 1ci vektörün başlangıcından ikinci vektörün bitiş noktasına çizilen vektör toplam e vektörü yani burada tabii r'nin üstüne ok koymak gerekiyor tabii toplam vektörü veriyor nasıl oluyor bakın 1 2ci vektörü birincinin ucuna ekledim Bu sefer Eee ve birincinin başlangıç noktasından ikincinin noktasına çizilen vektör E ne oluyor toplam vektörü veriyor Biraz önceki şekille aynı Aslında bu r'nin yönü dikkat ederseniz aynı yönde çıkıyor sonuçta e Fark eden bir şey olmuyor çıkarmada da gene aynı şekilde yine 180 derece çeviriyoruz 2 çıkarılan vektörü ve de yine aynı üçgen yöntemiyle toplama yapıyoruz gibi yani a'yı A'nın ucuna bu sefer - B'yi ekliyoruz değil mi A A'nın tam ucunda olduğunu düşünüyoruz - B'ye ekliyoruz ve yine A'nın başlangıç noktasından B'nin bitim noktasına - B'nin bitim noktasına çizdiğimiz ok Yani toplam vektörü veriyor diyebiliriz Daha doğrusu çıkarma işlemini sonucunda ortaya çıkan vektörü veriyor diyebiliriz a - b vektörünü Yani biraz önceki Eee üçgen şey paralel kenar yöntemindeki Eee sonuçlarla aynı çıktığına da dikkat edin yani biraz geri giderseniz R vektörünün hem H çıkarmada hem toplamada aynı yönde çıktığını da görebilirsiniz Peki birden fazla vektör nasıl toplanacak veya çıkarılacak burada üçgen yöntemi çok daha pratiklik kazandırıyor bize vektörler UC uca eklenir ve ilk vektörün başlangıcından son vektörün ucuna çizilen vektör bileşkeye verir Eee vektörlerin sırası önemli değildir çıkarılacak vektörleri varsa yine 180 derece çevrilir diyebiliriz şimdi Eee burada Mesela 3 tane vektör var a vektörü B vektörü C vektörü bunları toplamak istediğimiz zaman UC uca ekliyoruz a a'yı şey A'nın ucuna B'yi ekliyoruz e B'nin Ucun C'yi ekliyoruz 3 tane vektör en sonunda ilk vektörün başlangıç noktasıyla son vektörün bitim noktasını birleştiriyoruz ve böylece üçünü toplamış oluyoruz bakın yani 3 tane vektörün toplamı UC uca ekleme yöntemi daha pratik oluyor veya çıkarma yapmak istesek a ile B'yi topluyoruz ama C'yi çıkaracağız bu sefer a ile B'yi yine UC uca ekliyoruz fakat C'nin negatifini yani 180 derece dönmüş halini - C'yi Eee B'nin ucuna ekliyoruz yine a ile A'nın başlangıç noktasıyla - C'nin bitim noktasını birleştirerek ne yapıyoruz bu sefer Eee Sonuçta e a + b - c vektörünü elde etmiş oluyoruz Evet yani bunlar Eee toplama ve çıkarma işleminde iki tane yöntem bir vektörün bir skaler ile çarpımı Yani bir katsayıyla çarpımı nasıl olacak yani herhangi bir vektör var bir sayıyla Çarpacağım 3le 5 le Neyse artık sonuç vektörü Sonuçta çıkacak Değer nedir başka bir vektörü verecektir Yani sonuç bir vektör olacaktır sonuç vektörünün şiddeti Tabii çarpılan vektörün şiddeti ile katsayısı kadar olacaktır sonuç vektörünün vektörü ilk vektöre paraleldir yani yönlü düşünürsek Eee ilk vektöre paraleldir Daha doğrusu doğrultusunu düşünürsek ilk vektöre paralel olacak ancak yönü değişebilir yönü çarpılan sayıya göre değişebilir Eğer eksi ile çarpılmış İsa yön ters çevrilecektir yani eksi bir sayıyla çarpılmış İsa Eğer çarpım katsayısı pozitif ise sonuç vektörü aynı yönde katsayısı negatif ise zıt yönde 180 derece ters olur Mesela işte bir V vektörü düşünüyoruz V vektörünü şimdi 3 ile çarparsam 3 3 ile v'yi çarpıyorum yani bir skalerle çarpıyorum Yani bir sayıyla çarpıyorum o zaman 3v tarzında ve pozitif bir sayıyla çarptığım için aynı yönde yani vye paralel aynı yönde bir başka vektör buldum ve bu vektörün değeri de v'nin 3 katı ama -5 le Çarpsam Mesela bu sefer 5 katı fakat yönü ters değil mi -5 ile çarptığım için yönü ters olduğunu söyleyebilirim devam edelim 11 ik vektörün birbiriyle skaler çarpımı Evet şimdi skaler çarpım Tabii bizim için önemli bir iş olacaktır yani vektörel işlemlerde bunu kullanacağız sık sık sonuç bir skalerdir Yani bir kere bunu bilmemiz lazım İki vektörün skaler çarpımının sonucu bir skalerdir skaler ne demek yani bir sayıdır yani sonuçta onu kastediyoruz Bu sayı her iki vektörün şiddetleri ve aralarındaki açının kosinüsün çarpımıyla bulunur skaler çarpımda arada nokta işareti kullanılıyor tabii Mesela diyelim ki a ile b vektörleri var aralarındaki açıda teta Şimdi biz bu iki V örü birbiriyle skaler çarpacağı skaler çarpımı arada nokta koyarak gösteriyoruz iki vektörün şiddetlerini çarpıyoruz zaten iki çizgi arasında olduğu için şiddetleri olduğunu görüyoruz ve aralarındaki açı Neyse teta açısını onun kosinüsü ile de çarpıyoruz ve böylece Eee ne yapmış oluyoruz bu iki vektörün skaler çarpımında ortaya çıkan sayı değerini bulmuş oluyoruz Yani bir skaler elde ediyoruz yani sonuçta bir Eee sayı elde ettiğimizi bir skaler değer elde ettiğimizi bilm i önemlidir skaler çarpımın özelliği budur Diyebiliriz ama ayındaki açı 30 şey teta açısının kosinüsün de alacağız tabii Mesela şiddetleri 5 ve 4 olan ve açıları teta aralarındaki açıları 60 dere olan iki Eee vektörün skaler çarpımı ne olur Eee dediğimiz zaman bunların yönlerini bilmesek de oluyormuş bakın mesela Demek ki yönleri bilmesek de yani sonuçta ikisinin şiddetini bilsek ama aralarındaki açılarını da bilmek kaydıyla mümkünmüş a x b skaler çarpım araya nokta koyduk 5 x 4 x Eee Kosinüs 60 diyoruz artık işte bunun da sonucu Sonuçta 10 olarak çıkıyor hatırlatma olarak da şunu söyleyebiliriz bir vektörün üzerinde ok Yoksa bu şiddeti anlamına geliyor demiştik zaten Örneğin a vektörünün şiddeti ya kalın A ile böyle gösterili ya da şiddetini göstermek için bir başka alternatif işte iki çizgi arasında vektör sembolünü kullanıyoruz Peki 1 11 maddesine Geldik İki vektörün birbiriyle vektörel çarpımı Evet bu çok daha önemli bir çarpım bizim çok işimize yarayacak çok kullandığımız bir işlem Aslında bu şimdi iki vektörün bir kere vektörel çarpımını Biz çarpı işareti x işareti araya koyuyoruz 1 ikincisi sonuç başka bir vektör olduğunu Bilmemiz gerekiyor sonucun Baş başka bir vektör olduğunu bir kere mutlaka Bilmemiz gerekiyor Eee sonuç e vektörünün şiddeti her iki vektörün şiddetleri ve aralarındaki açının sinüsünü çarpımıyla bulunuyor şimdi bir kere sonuç başka bir vektör Ama önce sonucun şiddetini düşünürsek Demek ki sonucun şiddeti bir kere sonuç vektörünün şiddeti yani e her iki vektörün şiddetleri ve aralarındaki açının sinüsü sonuç vektörünün yönü nasıl oluyor çarpılan vektörün bulunduğu ortak düzleme diktir ve sağ el Kaydesi ile bulunur şimdi bunları Bir örnek üzerinden göreceğiz sağ el Kaydesi nin ne olduğunu söyleyeceğiz çarpılan ilk vektör sağ elimizde dört parmağımızda tutulur ve ikinci vektörün üzerine kapatılır bu durumda baş parmağımızın yönü sonuç vektörünü verecektir vektörel çarpımda arada çarpı veya şöyle Eee ters V tarzında üst işaret kullanılabilir ama biz çarpı işareti kullanacağız işte V1 x V2 Sonuçta bir V3 vektörünü verecektir başka bir vektörü verdiğini düşünüyoruz Eee şiddeti nedir V3 vektörünün Eee V1 ve V2 nin Eee şiddetlerinin çarpımı ve aralarındaki açının sinüsünü çarpımı diyoruz Eee ve de bunlara tabii her bir denkleme önemli denklemlere Biz numara veriyoruz Bu da denklem 1 2 oldu şimdi yönünü nasıl buluyoruz bakın V3 vektörünün yönü nasıl bulunuyor bakın eee bir kere sonuç vektörünün yönü nasıl bulunuyordu çarpılan vektörlerin bulunduğu ortak düzleme diktir bir kere onu bileceğiz yani x y düzleminde isse o zaman E x y düzleminde iki vektör çarpılmış İsa bu vektör 3üncü vektör mutlaka Z doğrultusunda olacaktır Ama + Z mi - Z mi onun yönünü işte sağ el kaydıyla B diyor buluyoruz şimdi 1ci vektörü bakın V1 vektörü ile v2i çarpıyoruz da 1ci vektörü sağ elimizde tutuyoruz bakın şurada şekilde dikkat edin sağ Elimizin dört parmağıyla 1ci vektörü V1 tuttuk ikincinin üzerine kapattık şu şekilde kapatıyoruz şöyle kapatıyoruz ve E sonuçta e Baş parmağımız nereyi gösteriyor sonuç vektörü V3 vektörünün yönünü gösteriyor bakın o da Mesela yukarı doğru Mesela yukarı doğru + Z yönü olabilir başka bir yönü olabilir fakat sonuçta bir kere şunu bileceğiz bir sağ el Kaydesi yönü belirleniyor zaten buradan çıkacak başka bir dolaylı Sonuçta nedir 2 ün bulunduğu düzleme dik olacaktır yani Baş parmağımız zaten V1 V2 nin bulunduğu düzlem olan şu düzlem var ya şöyle bir düzlem bu düzleme dik olduğunu biliyoruz yani sonuç vektörü ik çarpılan iki vektörün düzlemine bir kere dik yönü ise sağ el kaidesiyle bulunuyor Ve de 1ci vektörü ikinci vektörün e üzerine sağ Elimizin dört parmağıyla döndürerek kapattığımız zaman Baş parmağımız sonuç vektörünün yönünü veriyor V2 V1 ile çarpsaydı Eee baş parmağım aşağı yönü gösterecekti Çünkü v2i V1 üzerine kapatacaktır Demek ki vektörel çarpımda yön önemlidir diyebiliriz Peki Evet vektörel çarpımı bu şekilde anlattık Eee Tekrar sağ el Kaydesi hatırlayalım demişiz yani burada e ilk çarpılan vektörü mesela burada da a vektörü ile b vektörünü çarpmış 2ci vektörün üzerine sağ elimizde 4 parmağımızı Kapatıyoruz baş parmağımızın yönü sonuç vektörü olan C yönünü veriyor C'nin yönünü veriyor bu yön çarpılan vektörlerin düzlemine de dik olduğunu söylüyoruz yani AB'nin bulunduğu düzleme dik olduğunu da söylüyoruz vektörel çarpımda vektörlerin çarpım sırası da önemlidir Tabii dedik a x b b x A'ya eşit değildir bir kere onu söyleyelim yani a x b - b x A'ya eşit olduğunu da Eee söyleyebiliriz vektörel çarpım sıra değişirse Eee yani sonuç vektörünün işareti de değişiyor vektörel çarpımda dağılma özelliği 1 13 maddesine geldik şimdi vektörel işlemlere devam ediyoruz şimdi anlatmaya Eee reel sayılardaki bu özellik vektörel e vektörler için de geçerlidir yani dağılma özelliği normal reel sayılarda da vardı ya a x parantez içe b + c yani sırasıyla a x b + a x c tarzında da bunu e vektörler içinde uygulamamız mümkün bu dağılma özelliğini Evet Eee Burada da güzel bir söz var bakın Evet şimdi devam edelim 1 144 birim vektör birim vektör kavramı bizim için oldukça önemlidir yani problemleri çözerken birim vektör deyince ne anlayacağız herhangi bir doğrultuda olabilir birim vektör Yani genel anlamda konuşursak herhangi bir doğrultuda şiddeti 1 birim olan vektöre biz birim vektör diyoruz mesela a gibi bir vektör var bu birim vektör değil ama a A'nın a ile aynı doğrultuda olan bir vektör düşünüyoruz n vektörü ama nin şiddeti 1 aynı doğrultuda Eee şiddeti 1 olan vektöre biz Eee yani bu bu vektöre A ile aynı doğrultuda olan vektör şiddeti 1 ise ona Biz birim vektör diyoruz veya herhangi bir doğrultu olabilir Fark etmez birim vektör nasıl bulunur yani vektör belli olabilir e fakat birim vektörü bulmak da gerekir e birim vektör şöyle bulunuyor kendisiyle aynı yönde olan bir vektörün mesela a vektörü Mesela e olan bir vektörün kendi şiddetine bölünmesiyle bulunuyor Yani sonuçta eni n birim vektörünü kendisiyle aynı doğrultuda olan a vektörünü şiddetine bölerek buu bulabiliyorum bakın aşte paydada A'nın üzerine ok koymamışım ya o şiddetini gösteriyor veya şöyle de Eee iki çizgi arasında alıp vektör işareti yapabilirdik şiddeti için onu biliyoruz Bu da d14 denklemi oldu şimdi bizim için bu tanıma göre Şimdi şunu da yazabiliriz Eee a vektörünü kendi şiddetiyle birim vektörünün çarpımı olarak da ifade edebiliyoruz Yani biz 1 5 vektörünü de genelde kullanıyoruz diyebilirim 1 5 vektörünü Evet d15 denklemi bize der ki evet bu önemli bir vektörün şiddeti belliyken yani a şiddeti belliyken vektörel ifadesini bulmak istiyorsan vektörün şiddetiyle vektörle aynı yönde birim vektörü çarp e dermiş Demek ki bizim Eee için D1 5 denklemi Bunu ifade ediyor Bunu biz problemler problem çözümlerinde daha çok karşımıza çıkacak Yani bu denklem sık kullanılan bir denklem olacaktır bizim için E yani Problem çözümünde dahaa iyi anlayacağız durumu not birim vektör ise aynı yönde başka bir vektörün yardımıyla d14 denklemi ile bulunur mesela A'nın şiddetini biliyorum ben mesela A'nın vektörel ifadesini bulmak istiyorum ama bu sefer n' bulmam lazım n' de o yönde başka bir vektörden elde ederek e bulabiliyorum demek yani Şunu kastediyorum diyelim ki e a vektörü şu tamam a'yı bulmak istiyorum Bu nedir bilmiyorum ama şunu biliyorum A'nın şiddetini biliyorum yani E bu biliniyor O zaman diyorum ki Eee n vektörünü bilmem lazım işte bakın burada Eee şöyle bir durum karşımıza çıkıyor mesela problemlerde de karşımıza çıkacak diyelim ki bu yönde Yani aynı yönde başka bir vektör biliyorum ben B vektörünü biliyorum Eee biliniyor biliniyor diyelim ki o zaman ben n n = b b B'nin şiddeti de diyebilirim Bakın bu şekilde bulduktan sonra a'yı işte a x A'nın kendi şiddeti ile n çarparak da bulabilirim demek yani Bu işlem Aslında sıkça karşımıza çıkacak bir işlem olacaktır bizim için Peki devam edelim 1 15 kartezyen birim vektörler konusuna geldik Yani aslında birim Biz genel anlamda tanımlamıştı herhangi bir yönde demiştik ama x y z Eksen takımındaki birim vektörler o yöndeki birim vektörleri Biz özel olarak tanımlıyoruz kartezyen koordinatlarda eksenler yani x yz doğrularındaki birim vektörler özel olarak ijk ile sembolize edilir diyebiliyoruz Bunlar birbirlerine dik bir bir dik 1 olmayacak Tabii burada dik vektörler diyebiliriz çünkü x yz zaten birbirine diktir Eee o yüzden ijk da birbirine diktir Eee dememiz mümkün Peki Eee şimdi burada evet Eee kartezyan birim vektörlerin birbirleriyle vektörel çarpımını düşünürsek zaten birbirlerine dik oldukları için aralarındaki açı 90° olacaktır değil mi Eee vektörel çarpımında da ne olacaktır i ve J vektörlerinin birbirleriyle vektörel çarpım sonucu nedir mesela bunu düşünürsek Sonuçta biz biliyoruz ki vektörel çarpım gereği sonuç başka bir vektördür Tamam çıkan sonuç neydi çıkan sonuç vektörünün şiddeti neydi çarpılan vektörlerin şiddetleri ile aralarındaki açının sinüsünü çarpımıyla Eee G'nin Tabii şiddetlerinin çarpımı e oluyor Tabii i bu çıkan sonuç vektörünün şiddetlerini şiddetini bulmak için çarpılan vektörlerin şiddetleri ile aralarındaki açının sinüsünü çarpıyoruz i ile J zaten birimi şey şiddetleri 1 sinüs 90 da aralarındaki aç açı 90 olduğu için sinüs 90 da 1 olduğu için sonuç Demek ki sonuçta çıkacak vektörün şiddeti 1 olacaktır Peki bu vektör Eee çıkan sonuç vektörünün yönü ne tarafa olacaktır sağ el Kaydesi ile bulunacağına göre sağ el Kaydesi ile bakın Eee i vektörü x yönünde J vektörü y yönünde olduğu için i ii jye kapattığım zaman Sağ elimin baş parmağı nereyi gösterecektir Z yönünü gösterecektir Z yönünde bir birimlik bir bir birimlik bir vektör O da nedir K vektörü dür Demek ki o zaman i ile J'nin K çarpımı Neyi verecektir k'yı verdiğini ortaya koyuyoruz Yani demek ki sonuç vektörü + Z yönünde bir birim şiddetinde çıkmıştır bu ise K vektörü dür başka bir şey değildir o halde Demek ki benzer şekilde y i ile G'nin çarpımı KD benzer şekilde k ile j'yi E mesela çarpmak istersem k'yı tutup G'nin üzerine sağ elime kapatsam - x doğrultusunda 1 şiddetinde bir vektör yani - i vektörünü bulacağım yani işte k ile iyi çarpmak istesem bu sefer Sağ elimle k'yı tutup i'nin üzerine kapattığım zaman + y yönünde baş parmağımı göstereceği için 1 birimlik bir vektör J vektörü olduğunu e göreceğiz yani sonuçta birim vektörlerin vektörel çarpımı diğer vektörü veriyor diğer birim vektörü veriyor kartezyen koordinatlar için konuşuyorum kartezyen koordinatlardaki birim vektörlerin birbirleriyle vektörel çarpımı diğer birim vektörü veriyor ve Eee yönü ise sağ el Kaydesi ile bulunur Tabii bunun için bazı pratik şemalarımız da var tabii o halde kartezyen birim vektörlerin ikisinin birbiriyle çarpımı diğer kartezyan birim vektörüne eşittir işareti ise sağ el kaydıyla tespit edilir diyor yani şema olarak ben şunu kullanıyorum yani bakın saat ibreleri yani i j k'yı şu şekilde yerleştirirseniz saat ibreleri yönünde dönerseniz E ne oluyor i ile J'nin çarpımı diğer vektör k'yı veriyor Bak y'den j'ye geldim Eee Saat ibreleri yönünde döndüm y'den j'ye Eee i ile G'nin çarpımı k'yı verecek k ile iin çarpımı j'yi verecek ama k ile J'nin çarpımı ters yönde döndüm Şimdi ben mesela o da iyi verecektir diyebiliriz veya başka şema da kullanabilirsiniz yani sağat tieri tersi yönünü bazen pozitif alıyorlar Belki o o da olabilir yani bizim çarpımları da gerçek Gerçi saat ibreleri ters yönü pozitif oluyor ama bu şemayı da kullanabilirsiniz fark etmez ijk vektörler de işte burada açıkladım Aslında herhangi ikisinin çarpımı diğer 3ün vektörü verir işareti ise yandaki şema yardımıyla bulunur çarpılan ilk vektörden çarpılan ikinci vektöre g yolu saat ibresi yönünde ise sonuç pozitif Aksi halde negatif çıkar işte j ile K'nın çarpımı i olduğunu şemad anlaşılıyor e dediğim gibi j ile k'yı çarpıyoruz saat eder yönünde dönüyoruz c'den k'ya ve de iyi verdiğini biliyoruz veya y'den k'ya gidersek i ile K'nın çarpımı eksi yönde gittiğimiz için - G'yi verecektir Eee gibi bunu E yani bu kadar izah yeterli herde kartezyan birim vektörleri kendisiyle vektörel çarpımı 0'dır Çünkü aralarındaki açı 0 derecedir E yani i ile İyi çarparsam ben i ile kendisini çarpıyorum bu durumda zaten şiddeti 1 Tamam ikisinin İkisi de i olduğu için 1 fakat aralarındaki açı 90 şey 0 derece olduğu için Sinüs 0 Nedir 0'dır o yüzden Eee birim vektörlerin kendisiyle vektörel çarpımı 0 olduğunu da Bilmemiz gerekiyor tabii j ile J'nin çarpımı 0 k ile K'nın 0 olduğunu biliyoruz kartezyen birim vektörlerin skaler çarpımına baktığımız zaman Sonuçta biz bir 10 maddesinden biliyoruz ki skaler çarpımda sonuç bir sayıdır ve Eee çarpılan vektörlerin şiddeti ile aralarındaki açının kosinüsü çarpılır bunu biliyoruz kendi aralarındaki açı 0 derece diğerleri aralığındaki açı 90 derecedir Buna göre o zaman kartezyan birim vektörlerin kendisiyle skaler çarpımı sonu 1 oluyor Bakın bu sefer Neden Çünkü i ile İyi çarparsam tamam şiddeti şiddetleri zaten 1 oluyor e şiddet aralarındaki açı ne oluyor 0 derece kosinüs olduğu için skaler çarpımda kosinüs 0 yani 1 x 1 x kosinüs 0 da 1 olduğu için 1 yani birim vektörlerin kendileriyle skaler çarpımı 1 kendileriyle vektörel çarpımı 0 diğer vektörlerle skaler çarpımı ise bu sefer mesela i ile j'yi skaler çarparsak ne olacaktır aralarındaki 90 derece olduğu için Kosinüs 90 0 olacağı için 0 Demek ki Sonuç olarak Eee skaler çarpım için konuşursak kendileriyle çarpımı birim vektörlerin kendileriyle çarpımı skaler çarpımı 1'dir E diğer vektörlerle diğer birim vektörlerle skaler çarpımı 0'dır vektörel çarpım için konuşursak tam tersi kendileriyle vektörel çarpımı 0 vektörlerle çarpımı ise diğer birim vektörü veriyor tabii yani iile çarparsan k'yı veriyor tabii Onu anlattık zaten Evet şimdi nereye geldik 1 19 iz düşüm kavramına geldik iz düşüm bir vektörün bir Eksen üzerindeki iz düşümü nedir vektörün bitim noktasından O eksene inilen dik ile bulunuyor Yani şunu kastediyoruz bir V vektörü var diyelim ki bu V vektörünün bir Eksen Delta ekseni üzerindeki iz düşümünü Ben bulmak istiyorum O zaman ben bitim noktasından bir dik iniyorum Bakın bu da açı teta açısı Buradan Bakın bir dik indim şimdi v'den bir dik indim deltaya Eee işte başlangıç noktasından itibaren dikin bittiği noktaya çizilen vektör ve Delta vektörü Eee Bu nedir Eee V deltanın iz düşümü oluyor demek u Delta da V Delta yönündeki yani Delta yönündeki birim vektör olduğunu da söyleyebiliriz Evet V Delta V vektörünün Delta eksenindeki izdüşümüdür u Delta da Delta eksenindeki birim vektördür iz düşümün şiddetini nasıl bulacağız şimdi Evet iz düşümün V deltanın şiddetini şu anda şiddetini arıyoruz tabii Onu nasıl bulacağız V Delta Aslında şudur Eee v'nin zaten kosinüs Tet ile çarpımı yani V bileşke vektörün V vektörünün Eee kosinüs tetla Delta eksenindeki iz düşümünü bulmak isti istiyorsak kosinüs le çarpımı kosinüs Tet ile çarpımı bunu biliyoruz Peki e veya şöyle de bulabiliriz bakın V deltayı Eee kosinüs tayı bir kenara bırakırsak teta açısını bilmediğimizi kosinüs teta açısını bilmediğimizi düşünürsek u deltayı bildiğimizi düşünürsek Ben v'yi Eee Eğer Delta yön birim vektörle çarparsam o yöndeki v'nin iz düşümünü buluyorum bakın e u deltayı bildiğimi düşünelim V deltayı şiddetini bulacağım Eee Sonuçta Eee o yöndeki birim vektörle çarptığım zaman ama skaler çarptığım zaman dikkat edelim o zaman Eee iz düşümün şiddetini bu şekilde de bulabiliyorum yani Mesela 3i tarzında bir vektör düşünün x yönündeki 3 4 tarzında vektör düşünsek Mesela şöyle hemen izah edeyim 3 mesela F diye bir vektör olduğunu düşün 3 4ç bunları ifade etmedik ama hemen izah edelim Ben şimdi f' x eksenindeki iz düşümünü bulmak istiyorum Fi bu sefer FX diim Biz FX B vektör koymayın burada bir şey yok olduğunu düşünelim Eee Bakın şu ifadeye göre Şuradaki ifadeye göre Eee şimdi bunun şiddetini buluyorum v ile yani f ile oluyor Tabii burada X ekseni doğrusundaki birim vektörü iyi Çarpacağım skalar Çarpacağım O da 3i + 4j x i zaten i ile i'nin çarpımı yapılır skaler çarpımda değil mi yani j ile i'nin çarpımı 0'dır skaler çarpım olduğu için bunun da sonucu 3 çıkar yani FX şiddeti 3 çıktı mesela yani ama genel anlamda anlatırsak mesela Diyoruz ki Tabii bir vektörün bir doğrultudaki iz düşümü için vektörle o doğrultudaki birim vektörü o yöndeki Hatta yani birim vektörü skaler çarparak Eee iz düşümün şiddetini bulabiliriz D1 6 bize der ki işte Evet söyledik dedik zaten bir vektörün bir Eksen üzerindeki iz düşümünün şiddeti o vektörün o eksendeki birim vektörle skaler çarpımına eşittir dedik iz düşümün vektörel ifadesini Peki nasıl buluruz ha ben zaten biliyordum ki bakın şeyi anlatırken birim vektörü anlatırken d15 denkleminden önce Eee denklemini önce hatırlamakta fayda var bir vektör kendi şiddetiyle kendisiyle aynı yöndeki birim vektörün skaler çarpımına eşittir Hani demiştik ya Daha önce a vektörünü kendi şiddetiyle birim vektörün çarpımını çarpımıyla buluyoruz E zaten ben burada V deltayı şiddet olarak buldum ve deltayı bildiğimi düşünüyorum yani şiddetini bildiğimi düşünüyorum iz düşüm vektörünün o zaman Eee birim vektörü bulursam u delayı biliyorsam u deltayı o zaman e v deltanın yani iz düşümün vektörünün iz düşüm vektörünü kendi şiddetiyle birim vektörün çarpımı olarak ifade edebiliyorum demek Evet y Anlaşıldı zannedersem d16 denkleminde de düşünürsek e denkleminde düşünürsek Yani demek ki sonuçta V deltayı Bakın şimdi şöyle ifade edebilirim en genel anlamda burası nedir parantez içindeki ifade Aslında şiddeti şurası bakın şurası değil mi parantez içindeki ifade nedir şiddeti V delt şiddetiyle iz düşümünün çarpımı olduğunu görüyoruz Evet şu kısım şiddeti olduğunu söyleyebiliriz ve Delta Evet bu denklem de bizim çok işimize yarayacak bir denklem olacaktır Tabii problemleri çözerken bir vektörün E bir Eksen üzerindeki iz düşümünün vektörel ifadesi Aslında bu skaler ifadesi de Yukarıdaki 1 6 denklemi diyebilir deriz biz buna 1.7 denklemi demişiz Evet devam edelim 1.20 maddesine geldik bileşen nedir Bir vektörün iki farklı Eksen üzerindeki bileşenlerini bulmak için vektörün ucundan bitim noktasından veya her bir eksene paralel çizgiler çiz çizeriz Yani diyelim ki bir vektör var Delta ve Beta eksenleri eki bileşenlerini ayırmak istiyoruz Aslında bu paralel kenar toplama işleminin tersi Aslında bu bu çizgi in eksenleri kestiği noktalar yani hangi çizgiler birbirlerine eksenlere paralel çizdiğimiz vektörün bitim noktasından eksenlere paralel çizdiğimiz şu kesikli çizgileri çiziyoruz ve eksenleri kestiği noktalar vektörün birleşimini bileşenlerini verdiğini söyleyebiliriz bileşen bakın B sembolü bileşen olduğunu gösteriyor vb Beta doğrultusundaki v'nin bileşeni Evet bu ikisinin toplamı zaten Neyi verecektir v'yi verecektir vb Delta ise Delta doğrultusundaki V vektörünün bileşeni olduğunu söyleyebiliriz Evet Eee ve sonuçta ikisinin toplamı olduğunu da biliyoruz zaten paralel kenar kuralı da onu söylüyordu bize toplama işleminde Buna da d18 denklemi diyoruz burada da bir Eee nokta yazmıştık püf noktası iki vektörün toplama işleminde Aslında bu 1 8 olması gerekiyor tabii bu 1 8 e baktınız 188 toplanan vektörlerin Aslında bileşenlerin bileşenler olduğuna dikkat ediniz diyoruz Yani daha önceki toplama işlemine dikkatimizi çekiyor paralel kenar işlemine 1 21 maddesine geldik bileşen ile iz düşüm arasında ne fark var Evet hem bir vektörün bileşeni var hem de iz düşümü var bunu en genel anlamda şöyle izah ediyoruz bakın bir vektör var V vektörü di K Delta ve Beta eksenleri var Bu eksenlerdeki bileşenlerini nasıl Biraz önce bulduk ya Gerçi şurası biraz şeyde kaymış ama şöyle olacak tabii Burası ok Tabii tam şeyi kestiği nokta olacak tamam E sonuçta bu nedir bunlar bileşen bileşen Biraz önce anlattım bileşenler bakın Tamam peki iz düş neydi bir vektörün iz düşümü için tek bir eksenden bahsedilebilir ama bileşen için iki eksenden bahsetmek lazım şimdi v'nin Delta üzerindeki iz iz düşümünü nasıl buluyorduk o bitim noktasından deltaya bir dik iniyordu bakın bir dik indik şimdi Eee Bakın bu da ne oldu şeye betaya da bir dik indik şimdi Tabii bu da ne oldu ve iz düşüm Eee oldu yani iz düşümleri bulmuş olduk dik inerek çünkü dik indiğimiz zaman o eksene iz düşümleri buluyorduk ya şimdi bu iz düşüm Delta oldu v'nin Delta üzerindeki iz düşüm vektörü Bu da Beta üzerindeki Beta ekseni üzerindeki iz düşüm vektörü oldu Demek ki aralarındaki farkı bu şekilden net olarak görüyoruz iz düşümde bileşen arasındaki fark buradan net anlaşılıyor ama bileşenlerin toplamı vektörel toplamı v'yi veriyor ama izdüşümler toplamı v'yi vermeye vermez yani vermeyebilir yani Eee ne zaman verir Onu da şimdi göreceğiz aslında [Müzik] Eee Evet bunları anlattım Aslında anlamadıysanız 1.19 ve 1.20 maddelerini tekrar inceleyiniz 1222 maddesine geldik bileşenle iz düşüm ne zaman çakışır Evet bileşenle iz düşüm ne zaman çakışır işte eksenler birbirine dik olduğu zaman yani beta ve Delta eksenleri birbirine dik olduğunda bileşenler ve bileşen ve iz düşüm çakış çaktır zaten bunu Eee siz kendiniz de çıkarabilirsiniz Sonuçta baktığımız zaman e v'nin bitim noktasından dik indiğim zaman bu Dikler zaten diğer e beta ve deltaya paralel olacaktır Eee Dolayısıyla E hem bileşen olacaktır Bunlar hem de iz düşüm olacaktır değil mi bu paralel çizgiler bitim noktasından çizilen paralel çizgiler zaten bileşenleri verecektir aynı zamanda dik de olacağı için iz düşümleri de eşit olacaktır iz düşümle E bileşen bu durumda birbirine eşit olacaktır hangi durumda Beta deltaya dik olduğu zaman birbirine eşit olacaktır diyoruz bileşen ve yz düşüm ne zaman çakışır o zaman incelenen eksenler birbirine dik olduğu zaman çakışıyor diyebiliriz o zaman şuradan çıkaracağımız sonuç dikkat diyor bir de burada kartezyen koordinat eksenleri x yz birbirlerine diktir Bu sebeple bu eksenlerdeki izdüşümler aynı zamanda bileşenlerdir de diyebiliriz Yani bir vektörün kartezyen koordinatlardaki x y z koordinatlarında hem bileşenleri hem iz düşümleri o Eksen doğrultular andaki birbirine eşittir diyoruz Eee Evet bir vektörün kartezyen bileşeni kartezyen bileşenlerinden kastımız x y doğrusundaki bileşenleri yani eee iki boyutta düşünürsek bir u vektörü mesela düşünüyoruz X ve Y eksenlerinde bileşenleri ux x uye Eee ayırıyoruz bu bileşenler aynı zamanda izdüşümler çünkü eksenler diktir diyoruz Evet u ux + uyd d15 denklemine göre bir vektör şiddetiyle birim vektörünün çarpımına eşit idi o halde uxi Mesela nasıl yazarım ben ux vektörünü kendi şiddetiyle birim vektörün çarpımı yani i vektörü kendi yönündeki birim vektör nedir i vektörü işte g vektörün de uy vektörünün de e kendi şiddetiyle J vektörünü birim vektörünü çarparak buluyoruz zaten ve buradan uyu şu şekilde de ifade edebiliriz ux i + u y J tarzında ifade deiz yatayla yaptığı açı tayı da yani tanjant teta tarzında u y'nin ux x'e bölümü tarzında bulabiliriz kartezyen bileşenleri belli olan bir vektör yani u vektörünün şiddetini nasıl buluruz yani kartezyen bileşenlerin karelerinin toplamının karekökü Sonuçta uun şiddeti bu şekilde bulunur diyebiliriz Eee ama ü boyutta da söz konusu olabilir bu üç boyutlu durumda ilaveten Bir de u Uz bileşeni de gelecektir Tabii u bileşeni geldiği zaman da Sonuçta Eee aslında u bu sefer ux y ile Uz Z'nin toplamı ama ux y de ux ile u y'nin toplamı olduğuna dikkat ediyoruz bakın Şuradaki şekilde anlaşılıyor Sonuçta u vektörünü ux XY + u YJ Uz K + uzk olarak ifade edebiliriz Evet peki kartezyan eee bileşenleri belli olan vektörün şiddetinde Sonuçta her bir bileşenin şiddetlerinin karelerinin toplamının karekök olduğunu Eee bilmemiz lazım E konum vektörü bizim için önemli bir kavram olacaktır yani problemleri çözerken yine başlangıç ve bitiş noktasının koordinatları belli olan bir konum vektörü şu şekilde ifade edilir yani burada Eee ik iki nokta var konumları belli yani x y z koordinatları belli a ve b noktaları mesela x y z koordinatları belli işte A'dan B'ye e çizilen konum vektörü dediğimiz zaman R vektörü veya AB vektörü olarak da gösterebiliyor Biz bunu bunu nasıl buluruz konum vektörü AB ya da r e 2ci noktanın bitim noktasının koordinatlarından sırasıyla 1ci noktanın başlangıç noktasının koordinatlarını çıkaracağız yani xp'den x'yı çıkaracağız i vektörünü yani şiddeti i olan bileşeni verecek bize yb - ya J zb - z k olacaktır Peki bu bizim ne işimize yarayacak bizim şu işimize yarayacak on o doğrultuda birim vektörü bulma işimize yarayacak genelde bu yani AB yönünde bir Mesela bir başka kuvvet var vektör var başka bir vektör var ama AB yönünde olduğunu biliyorum Ben oradaki birim vektörü bulmak istiyorum ya işte o birim vektörü Ben AB konum vektörüne bularak Ondan sonra o yöndeki ya da o doğrultudaki diğer vektörü ifade etmem mümkün olabiliyor demek problemlerde yine bunu daha iyi anlayacağız yani konum vektörünün şiddetini de nasıl buluruz zaten bileşenlerinin karelerinin karekökü toplamının karekökü olduğunu Biraz önce söyledik Aslında bileşenler burada belli ve bunların toplamının karekökü olduğunu söyleyebilir karelerinin toplamının karekökü konum vektörünün cinsinden birim vektör Tabii işte dediğim gibi bu önemliydi bizim için birim vektörü AB zaten yine bir vektörün herhangi bir vektörün kendi şiddetine bölümü o yöndeki Neyi verirdi bize birim vektör verirdi bunu sürekli kullanacağımız bir ifade aslında bir vektörün bir eksene paralel ve dik bileşenlerini nasıl buluruz Evet şimdi diyelim ki bir u vektörü var bu u vektörünün b Senine göre paralel ve dik bileşenlerinden bahsedebiliriz biz buna u paralel ve u dik demişiz mesela Tabii bu kısım dik oluyor B'ye dik olarak çizilmiş u dik e dediğimiz bileşen B eksenine dik E işte u paralel yönündeki ya da b ekseni yönündeki birim vektörü e ile gösteriyoruz aralarındaki açı teta olmak üzere Tabii b ile u arasındaki açı u ve v vektörleri belli olduğunu düşünüyoruz e u ve e vektörleri belli iken B eksenine paralel ve dik bileşenlerini arıyoruz yani acaba u Delta şey pardon u paralel nedir u dik nedir Bunu arıyoruz zaten Aslında daha önce öğrendiğimiz maddelerden Siz bunu kendiniz de çıkarabilirsiniz aslında biz biliyoruz ki u paralel önce paralel bileşenin şiddetini Nasıl buluyorduk yani bir vektörün bir Eksen üzerindeki iz düşümünün şiddeti tarzında düşünürüz değil mi Çünkü dik indirdik ya d16 denklemine göre bir vektörün başka bir doğrultusundaki birim vektörle kadar çarparsak birim vektörün doğrultusuna paralel iz düşümünün şiddetini Eee buluyorduk yani daha önce söyledik u paralel o zaman Eee yani şiddeti dikkat edelim u ile E'nin çarpımı oluyordu Tabii Evet ikinci Eksen B eksenine dik olduğundan u paralel aynı zamanda bileşen de olduğunu Eee bileşen olur yani şu Eksen ikinci Eksen oluyor Dolayısıyla aynı zamanda burada bileşen de oluyor Aynı zamanda Eee diyebiliriz Peki B şıkkında şimdi paralel bileşenin vektörel ifadesini nasıl bulacağız E onu da aslında izah ettik 1 5 denklemine göre bir vektörün vektörel ifadesini bulmak istersek vektörün şiddeti ile kendi doğrusundaki birim vektörün skalar çarpıyordu yani u paralel için kendi şiddetiyle birim vektörü çarpıyoruz kendi şiddeti Zaten şu bakın kendi şiddeti eee Pardon burada bir ok işareti olması gerek yok u paralel burada bir yanlışlık yapmışım bu burada paralel sembolü olmaması gerekiyor şöyle bir ok işareti olması gerekiyor Evet yani şu ifade aslında şu Evet u paralel x E yani ben bunu olmazsa şuraya tekrar yazayım u paralel E şöyle tekrar yazayım eş u x e x e olduğunu söyleyebilirim yani denklem 1 13 şunu olmazsa silelim Şimdilik buradan şu şekilde olduğunu söyleyebiliriz Evet tamam devam edelim şimdi di dik bileşen dik bileşeni şimdi nasıl bulabiliriz artık onu bulmak kolay u dik zaten bu aynı zamanda bileşen olduğu için e u'dan u paraleli çıkararak bulabiliriz değil mi Şunları da görebilmek gerekir d11 denklemi D1 d113 d17 denklemi Daha doğrusu d113 denklemiyle aslında aynı şeyi ifade ettiğini görmek gerekir Ayrıca şiddetler içinde Eee uik uik ben şöyle de teta açısını da biliyorsam Oradan da bulabilirim şiddetlerini u sinüs teta u paralel de u kosinüs teta olduğunu söyleyebilirim yani böyle de gitmem mümkün Tet açısı biliniyorsa tabii ama şiddet için birim vektör biliniyorsa şu denklemden yani Şuradaki yuvarlak için aldığım denklemden de gidebilirim e diyebilirim Evet şu ifade Z nedir şurası u x e olduğunu yukarıda da ifade etmiştik şimdi E 1.26 vektörel çarpımın matris formatı bunu da anlatalım o zaman şimdi a ile b vektörlerini Biz çarpmak istiyoruz Tabii burada e üçer tane bileşen var Bunları tek tek çarpmak yani açılım tarzında Eee çarpmak parantez içinde çarpmak kolay olmayabilir Biz bunu şöyle matris formatında yazıyoruz nasıl bunu a ile B'yi i k katsayıları yukarıda 1 vektörün katsayıları yani daha doğrusu bileşenlerinin şiddeti e altında Ax a az ikincisinin bx BZ bu ve matrisin determinantını alac alacağız yani determinant almayı artık ben açıklamıyorum yani sonuçta bu matrisin aldığımız zaman determinantını a B vektör çarpımını a x b vektörel çarpım işleminin sonucunu bize Eee verecektir yani sonuçta yani Ne yapacağız şu i şu satırla şu sütunu kapatıyorduk değil mi nasıl yapıyorduk Yani şöyle hafiften yazmaya çalışırsak a e x b e z - by X az i + Madem yazdım hepsini yazayım o zaman Ax ama eki olacak tabii burada ek - yazdık buraya - Ax x BZ e Ax Ç BZ bx x az Pardon B Ax bx Ç az J ı oluyor tekrar e şuraya Şurayı kapatıyorum bu sefer işte Ax x b - bx x a son terimin katsayısı K oluyor Tabii arkadaşlar ve sonuçta matris formatında iki vektörün vektöre çarpımını yapabiliyoruz bu şekilde örnek vermişiz bir tane A vektörü 3 bileşenden oluşuyor 3 3 tane terimden oluşuyor yani 3 6i + 3 + 2K B vektörü de 12y + 3y + 4K bunların ikisinin çarpımı Eee C vektörünü verecektir bize burada öğrendiğimiz matris formatına getirdiğimiz zaman tabii a x B'yi ne yapıyoruz işte bileşenleri A'nın bileşenlerini B'nin bileşenlerini yazıyoruz ve bunu dediğim gibi determinantını aldığımız zaman Eee İşte şu demin izah ettiğim şekilde determinantını alıyorsunuz yani determinant almayı biliyorsunuz değil mi sonuçta aradaki şu işaret eksi olacak Yani tabii Onu da belirtelim Biz artı yazmıştık ama eksi olması gerekiyor e J'nin ifadesi ve sonuçta bu vektörün E bu çarpımın sonucu yani C vektörü 6y - 18K tarzında çıkıyormuş Evet E şimdi Eee karışık üçlü çarpım nasıl oluyor 3 tane vektör veriliyor 3 vektör 3 her birisinin 3 bileşeni var Eee ve bunların birisini skalar ikisini vektörel çarpıyoruz yani parantez içindeki vektörel çarpımı dikkat Edim Sonuçta E bunu çarptığımız zaman Eee şu formatta bakın yazabiliyoruz bakın Aslında buna veya dememek lazım yani sonuçta Eee Bu ikisini normal Biraz önce öğrendiğimiz vektörel çarpım tarzında matris formatında yazdıktan sonra u xpı Bir de skaler olarak u ile çarpacaksın veya değil de bunun çarpımı ijk katsayıları yerine ux Uy Uz geldiği zaman ancak Eee Bu şekilde bir e karışık üçlü çarpımı gerçekleştirmiş oluyoruz Demek ki ya bunlar çok kullandığımız Aslında işlemler değil yani bunları pek kullanmıyoruz ama Eee şu 3 tane bileşenli eee durumu kullanabiliriz Yani iki vektörü matris formatında çarpımını bazen kullanabiliyoruz bir kuvvetin bir eksene göre momenti alınırken Özellikle bu işlem pratik bir çözüm olabilir ileride bu konu anlatılacaktır yani eee bu konuyu E daha ileride göreceğiz kuvvet sistemlerinde göreceğiz doğrultman kosinüsleri dediğimiz bir kavram var eee bir vektörün kartezyen eksenlerini her biri ile yaptığı açıları Biz Alfa beta ve Gama olarak E belirlerse yani simgeler bakın bir vektör var Şu mavi ile çizdiğimiz V vektörü işte x ekseniyle Alfa y ekseniyle Beta Z ekseniyle Gama yani burada Eksen takımı bu şekilde yerleştirmiş fark etmez ama dikkat edin x'ten Y'ye kapattığım zaman sayılımı Z ekseni işte doğru yönü gösteriyor değil mi bakın E işte bunların bu Alfa beta ve garın kosinüsleri Biz doğrultman kosinüsleri diyoruz mukavemet le ilgili bazı hesaplarda daha pratik çözümler için kullanılıyor bu e kavramlar işte V vektörünün Biz bileşenlerini biliyoruz şiddetini bulabiliriz doğrultman kosinüsleri Peki nasıl bulabiliriz kosinüs alfayı v'nin e x prenin şiddetinin şiddetine neye bölür neye bölmem gerekiyor e vektörün bileşke vektörün şiddetine böl yoruz işte betayı bulmak için kosinüs betayı V y'yi vye bölüyoruz gamın kosinüsün de V Z'yi vye bölerek buluyoruz Bunlar ama statikte çok kullanılmıyor Yani biz ama bilgi olsun diye ben buraya koydum Şimdi vektörlerle ilgili bilgileri bilgilerimizin zihnimizde daha i yerleşmesi için çeşitli örnekler yapacağız birlikte E tabii bunu ik videomuzda yapacağız yani Ama tabii ik video uza geçmeden önce vektörlerle ilgili örnekler videosuna geçmeden önce bu videodaki Her Bir maddeyi tekrar incelemenizi tavsiye ederim Eee bu maddeler ya ne işimize yarayacak falan demeyin gerçekten de kuvvet hesaplarında her bir maddenin çok önemli olduğunu göreceksiniz bazı maddeler bu bilgi amaçlı verdiğim maddeleri pek kullanmayacağız ama Eee özellikle birim vektör konum vektörü vektörel çarpım skaler çarpım gibi eee şey işlemlerin Eee önemli olduğunu vektörel işlemleri yaparken örnekleri yaparken veya kuvvet analizi yaparken üç boyutlu denge problemlerinde önemli olduğunu göreceğiz Peki bu videomuzu bu şekilde tamamlamış olduk arkadaşlar vektörlerle ilgili örneklerin yer alacağı örnek çözümlü problemlerin yer alacağı Eee videomuzda görüşmek üzere Size iyi günler diliyorum eee