Uji Deret P dan Kekonvergenan

Bentuk Umum

• Bentuk umum dari deret P adalah ( \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} ).
• Ini dikenal sebagai deret hiperharmonik.
• Jika ( p = 1 ), deretnya menjadi deret harmonik yang divergen.

Pengujian Kekonvergenan

• Untuk ( p \neq 1 ), digunakan uji integral untuk menentukan konvergensi.
• Integral digunakan: ( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} , dx ).
• Hasil integral: ( \frac{x^{1-p}}{1-p} \bigg|_{1}^{t}).

Kasus Konvergensi dan Divergensi

1. Jika ( p = 1 ):

   • Deret harmonik, divergen.

2. Jika ( p > 1 ):

   • Integral menghasilkan nilai terhingga, sehingga deret konvergen.
   • Contoh: ( p = 2 ) berarti ( \frac{1}{t} \rightarrow 0 ).

3. Jika ( 0 < p < 1 ):

   • Integral menuju tak hingga, sehingga deret divergen.

4. Jika ( p = 0 ):

   • Deret divergen karena jumlah tak hingga dari nilai konstan.

5. Jika ( p < 0 ):

   • Integral menuju tak hingga karena ( x^{|p|} \rightarrow \infty ), sehingga deret divergen.

Kesimpulan

• Konvergen: Jika ( p > 1 ).
• Divergen: Jika ( p \leq 1 ).

Contoh Soal dan Analisis

1. ( \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1.01}} ):

   • ( p = 1.01 > 1 ), deret konvergen.

2. ( \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{0.5}} ):

   • ( p = 0.5 < 1 ), deret divergen.

Dengan menggunakan uji deret P, kita dapat menentukan konvergensi atau divergensi dari suatu deret hiperharmonik dengan lebih mudah tanpa perlu melakukan uji integral setiap kali. Deret P konvergen jika ( p > 1 ) dan divergen jika ( p \leq 1 ).