Overview

La clase explica qué son las funciones monótonas, sus tipos (crecientes, decrecientes, amplias y estrictas) y cómo identificarlas analíticamente.

Definición de Función Monótona

• La monotonía implica que una función no cambia su tipo de comportamiento en todo su dominio.
• Clasificamos una función como monótona si mantiene el mismo sentido de crecimiento o decrecimiento en todo el dominio.

Función Creciente (Monotonía Estricta)

• Una función es creciente si, para cualquier x₁ < x₂, se cumple que f(x₁) < f(x₂) en todo el dominio.
• Debe verificarse para todos los pares posibles de valores dentro del dominio, no solo algunos.

Función Decreciente (Monotonía Estricta)

• Una función es decreciente si, para cualquier x₁ < x₂, se cumple que f(x₁) > f(x₂) en todo el dominio.

Monotonía en Sentido Amplio

• Una función es monótonamente creciente en sentido amplio si, para x₁ < x₂, se cumple f(x₁) ≤ f(x₂) en todo el dominio.
• Una función es monótonamente decreciente en sentido amplio si, para x₁ < x₂, se cumple f(x₁) ≥ f(x₂).
• Permite que la función tenga intervalos constantes (mesetas).

Ejemplos Prácticos y Análisis

• Ejemplo 1: Para f(x) = log(x), se verifica f(x₁) < f(x₂) para x₁ < x₂, por lo tanto, es monótona creciente.
• Ejemplo 2: Para f(x) = –x, se verifica f(x₁) > f(x₂) para x₁ < x₂, por lo tanto, es monótona decreciente.
• Ejemplo 3: Para una función definida por cocientes cuadráticos, el sentido de la monotonía puede cambiar dependiendo del intervalo del dominio; no es monótona.

Key Terms & Definitions

• Monotonía — Propiedad de una función que no cambia de sentido (creciente/decreciente) en todo su dominio.
• Dominio — Conjunto de valores de x para los cuales está definida la función.
• Función creciente — f(x₁) < f(x₂) si x₁ < x₂, para todo el dominio.
• Función decreciente — f(x₁) > f(x₂) si x₁ < x₂, para todo el dominio.
• Sentido estricto — No se permite igualdad entre valores de la función para x₁ < x₂.
• Sentido amplio — Se permite igualdad (mesetas) para ciertos valores de x.

Action Items / Next Steps

• Repasar los ejemplos vistos y practicar con nuevas funciones para determinar su monotonía.
• Preparar preguntas sobre funciones no monótonas para la próxima clase.

¡Claro! Aquí tienes una versión mucho más detallada, con viñetas, colores para destacar conceptos clave y un resumen al final para facilitar el estudio.

Funciones Monótonas: Explicación Detallada

¿Qué es la Monotonía?

• Monotonía significa que algo no cambia o permanece constante en su comportamiento.
• En funciones, esto quiere decir que la función no cambia su sentido de crecimiento o decrecimiento en todo su dominio.
• La función puede ser:
  • Monótonamente creciente: siempre sube o se mantiene igual.
  • Monótonamente decreciente: siempre baja o se mantiene igual.

Tipos de Funciones Monótonas

1. Función Creciente (Monotonía en sentido estricto)

• Para cualquier par de valores ( x_1, x_2 ) en el dominio, si ( x_1 < x_2 ), entonces:

  [ f(x_1) < f(x_2) ]

• Esto significa que la función siempre sube cuando avanzamos en el dominio.

• No se permite que la función tenga valores iguales para ( x_1 < x_2 ).

• Ejemplo visual: La gráfica siempre sube sin "mesetas".

2. Función Decreciente (Monotonía en sentido estricto)

• Para cualquier ( x_1, x_2 ) en el dominio, si ( x_1 < x_2 ), entonces:

  [ f(x_1) > f(x_2) ]

• La función siempre baja cuando avanzamos en el dominio.

• Tampoco se permiten valores iguales para ( x_1 < x_2 ).

• Ejemplo visual: La gráfica siempre baja sin "mesetas".

3. Monotonía en sentido amplio (Permite mesetas)

• Creciente en sentido amplio:

  [ f(x_1) \leq f(x_2) \quad \text{para } x_1 < x_2 ]

• Decreciente en sentido amplio:

  [ f(x_1) \geq f(x_2) \quad \text{para } x_1 < x_2 ]

• Aquí se permiten intervalos donde la función se mantiene constante (mesetas).

• La función puede subir o mantenerse igual (creciente) o bajar o mantenerse igual (decreciente).

¿Cómo comprobar si una función es monótona?

• Debemos verificar la condición para todos los pares de valores ( x_1, x_2 ) en el dominio, no solo para algunos.
• Esto se puede hacer:
  • Analíticamente, usando desigualdades y propiedades de funciones.
  • Visualmente, observando la gráfica para ver si siempre sube, baja o tiene mesetas.

Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Función ( f(x) = \log(x) )

• Queremos ver si es monótonamente creciente.

• Para ( x_1 < x_2 ), verificamos:

  [ \log(x_1) < \log(x_2) ]

• Como el logaritmo es una función creciente, esto se cumple.

• Por lo tanto, ( f(x) = \log(x) ) es monótonamente creciente.

Ejemplo 2: Función ( f(x) = -x )

• Queremos ver si es monótonamente decreciente.

• Para ( x_1 < x_2 ), verificamos:

  [ -x_1 > -x_2 ]

• Esto es cierto porque al multiplicar por -1, el sentido de la desigualdad cambia.

• Por lo tanto, ( f(x) = -x ) es monótonamente decreciente.

Ejemplo 3: Función con comportamiento variable

• Consideremos una función definida por:

  [ f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} ]

• Para valores ( x < 1 ), la función puede ser decreciente.

• Para valores ( x > 1 ), la función puede ser creciente.

• Esto significa que la función no mantiene un solo sentido de monotonía en todo su dominio.

• Por lo tanto, no es monótona.

Conceptos Clave

Resumen Final

• Una función es monótona si no cambia su sentido de crecimiento o decrecimiento en todo su dominio.
• Puede ser creciente o decreciente, y en sentido estricto (sin valores iguales) o amplio (permitiendo mesetas).
• Para comprobarlo, se verifica la desigualdad correspondiente para todos los pares de valores en el dominio.
• Ejemplos como ( \log(x) ) y ( -x ) son funciones monótonas.
• Funciones que cambian su comportamiento en diferentes intervalos no son monótonas.

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