Hola a todos, en esta oportunidad vamos a ver qué significan funciones monótonas cuando a una función la clasificamos como monótona. Para empezar con ello primero vamos a pensar en lo que significa la palabra monótona. Monotonía, si lo vemos como significado de palabra, es algo, una cosa que no cambia, que no varía, que permanece constante, siempre tiene... la misma característica o falta, como dice la definición, de variedad o matices.
Esto es lo que vamos a aplicar para determinar que una función es monótona. Para ello... Comenzamos con la definición de función creciente. Nosotros sabemos que una función es creciente en un intervalo de su dominio si para dos valores del intervalo x1 que es menor que un valor x2, la función en x1 es menor que la función en x2. esto lo vemos si movilizamos un punto a través de la función y vemos si que las coordenadas del punto cualquiera sea el valor x1 que elija y el valor x2 se verifica que siendo x1 menor que x2 la función en x1 es menor que la función en x2 Ahora, esto, hablar de función monótona, es extender este concepto del intervalo a todo el dominio de la función.
Entonces, una función es monótona creciente cuando... para un par de valores la función en x1 es menor que la función en x2 siendo x1 menor que x2 pero esto se verifica para todo par de valores x1, x2 pertenecientes al dominio. ¿Esto qué quiere decir? Que elija cualquier valor o par de valores dentro del dominio, debo cumplir que siempre la función en x1, que es el menor valor, sea menor que la función en el x2, que es el valor mayor. Se me debe verificar, y esto es lo importante de la monotonía.
para todo par de valores pertenecientes al dominio. Esto hablamos de monótona en sentido estricto. Lo mismo ocurre cuando queremos clasificar una función como monótona decreciente.
En este caso se debe verificar para todo par de valores x1 y x2 pertenecientes al dominio, donde x1 es menor que x2 que la función en x1 sea mayor que la función en x2. Acá lo podemos apreciar en una gráfica. Elija el valor que elija, x1, supongamos un punto acá en la función que tiene este valor x1 y su correspondiente valor de la función en x1 es respecto a otro. por ejemplo este otro que tiene este valor x2 y f de x2 se verifica que siendo x1 menor que x2 f de x1 es mayor que f de x2. Ahora...
Pensemos en ampliar un poco este concepto y se llama el concepto de función monótona, tanto creciente o decreciente en sentido amplio. ¿Qué cambia en él? esto que ahora incorporamos el igual hablamos que la función en x1 es menor o igual que la función en x2 para todo par de valores x1 x2 con x1 menor que x2 esto qué quiere decir gráficamente que tenemos una meseta en la función podemos decir que dentro del dominio de la función hay un intervalo que se verifica que el f de x1 es igual al f de x2. Lo podemos apreciar en la gráfica.
Lo mismo ocurre para el caso de decreciente en sentido amplio. Ahora lo que ha cambiado es el signo entre la función en x1 que es mayor O igual que la función en x2 para todo par de valores del dominio con x1 menor que x2. Ahí tenemos una gráfica de una función que cumple con esta condición.
Ahora, esto es... es teórico. Estas son las definiciones. ¿Cómo lo llevo a la práctica?
Debo comprobar analíticamente cuándo verifica estas condiciones. Para ello, Debo hacerlo en cualquier punto del dominio, no elegir dos puntos precisos, sino respetando la definición hacerlo en todos los puntos del dominio. Veamos ejemplos que cumplan con ello. Vamos a partir de este ejemplo de esta función.
Si yo la pienso como monótona decreciente, yo sé que para un x1 menor que un x2, para cualquier par de valores, se debe cumplir que la función en x1 es menor que la función en x2. Veamos si esto es cierto, lo comprobemos. Entonces, el logaritmo de x1 menos 1 debe ser menor que el logaritmo de x2 menos 1. Aplicando propiedades, menos 1 con el otro menos 1 se cancelan, nos queda logaritmo de x1 menor que logaritmo de x2. Ahora, aplicando exponencial a ambos miembros, Tengo que x1 es menor que x2. Estoy verificando la condición de la definición, la condición de partida.
Entonces puedo... asegurar que esta función es monótona creciente en este caso. Veamos su gráfica que nos verifica esta condición. Ahora pensemos en... en otro ejemplo ahora en este caso voy a pensar y voy a decir que esta función parto del supuesto que es monótona decreciente Entonces, ¿qué sería?
Para un x1 menor que un x2, la función en x1 debe ser mayor que la función en x2. Entonces, veamos este planteo. La función menos x1 mayor que la función en menos x2.
Aplico cuadrado a ambos miembros quedándome por simplificación menos x1 mayor que menos x2. Multiplico por menos unos lo que me hace que me cambie el signo por propiedades de la... las desigualdad y me queda que x1 es menor que x2 o sea que estoy cumpliendo verificando la condición de partida esto quiere decir que es cierto que f de x1 es mayor que f de x2 lo veamos la definición y ahora Vamos a ver el caso de otra función que se puede dar, que no cumpla con el concepto de monotonía.
Pensemos en esta función. Si yo siempre suponiendo y partiendo que el x1 es menor que el x2, voy a ver qué pasa. entre f de x1 y f bx2 entonces nos planteamos la función en los dos puntos Propiedades yo puedo invertir si lo hago a ambos miembros, estas cocientes. Ahora pensemos en lo que tenemos acá. Si yo tengo un par de valores donde x1 y x2 es menor que 1, ¿qué ocurre con un número menor que 1?
esta resta va a ser negativa, elevada al cuadrado va a dar positivo, pero siendo x1 un número más chico que x2, este valor va a ser, esta resta de x1 menos 1 va a ser mayor, que x2 menos 1, o sea que para cuando x1, x2 es menor que 1, se me da esta situación. Ahora pensemos cuando teniendo x1 y x2 sean números mayores a 1, o sea x1 y x2 números mayores a 1. ¿Qué pasa en esta situación? Siempre x1 y x2 son números mayores a 1. x1 va a ser menor que x2, por ende este valor de la resta x1 menos 1 al cuadrado va a ser menor que x2 menos 1 al cuadrado.
Por ende, ustedes están viendo que para distintos valores en el dominio ocurren distintas cosas. O sea que cuando estoy con valores... de x menores a 1, la función podría clasificarla de decreciente.
Y en cambio, cuando estoy con valores superiores a 1, la podía clasificar de decreciente. Entonces, no respeta una misma forma en todo su dominio. Esto lo vemos en su gráfica, donde el valor 1 claramente...
básicamente nos parte el comportamiento de la función. Tenemos una rama de la función con un comportamiento creciente, que es a la izquierda del 1, y una rama de la función con un comportamiento decreciente a la derecha. Entonces, a esta función no la puedo clasificar como monótona.
Bueno, con estos tres ejemplos hemos barrido. un poco los casos posibles continuaremos con temas relacionados a funciones en próximos vídeos muchas gracias por su atención y será hasta la próxima