Bestemmelse af vinkel mellem to vektorer

Introduktion

• Vi skal finde vinklen mellem to vektorer.
• To vektorer danner to vinkler: en mindre (positiv omløbsretning) og en større (negativ omløbsretning).
• Fokus er på den mindste vinkel.

Formler og udregninger

• Prikprodukt: Bevist tidligere som normen af den ene vektor gange normen af den anden gange cosinus til vinklen imellem dem.
• Formel til vinkelberegning:
  • ( \text{cos} V = \frac{\text{prikprodukt}}{\text{norm(A)} \times \text{norm(B)}} )
  • V findes ved ( \text{cos}^{-1} ) af det udregnede tal.

Eksempel 1: Vektorer 6/1 og 5/8

• Prikprodukt: 6 x 5 + 1 x 8 = 38
• Normer:
  • Vektor A: ( \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37} )
  • Vektor B: ( \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} )
• Vinkelberegning:
  • ( \text{cos} V = \frac{38}{\sqrt{37} \times \sqrt{89}} )
  • ( V = \text{cos}^{-1}(\text{værdi}) \approx 48,59° )

Eksempel 2: Vektorer 7/2 og -4/6

• Prikprodukt: 7 x (-4) + 2 x 6 = -16 (negativt, dvs. vinklen er stum)
• Normer:
  • Vektor A: ( \sqrt{53} )
  • Vektor B: ( \sqrt{52} )
• Vinkelberegning:
  • ( \text{cos} V = \frac{-16}{\sqrt{53} \times \sqrt{52}} )
  • ( V = \text{cos}^{-1}(\text{værdi}) \approx 107,74° )

Sætninger

• Spids vinkel: Positivt prikprodukt.
• Ret vinkel: Prikprodukt = 0.
• Stum vinkel: Negativt prikprodukt.

Brug af værktøjer

• Brug af en regnemaskine til at beregne vinkler.
• Bekræft regnemaskinen indstiller sig til grader (GRD).

Eksempel på beregning med værktøj

• Vektor A: 7/-6
• Vektor B: 9/3
• Beregning af prikprodukt og normer, efterfulgt af ( \text{cos}^{-1} ).
• Resultat: Vinkel mellem vektor A og B er ca. 59 grader.