Hvordan finder man et vinkel mellem to vektorer? Vi skal i denne video snakke om, hvordan man finder et vinkel mellem to vektorer. Her til højre er der tegnet repræsentanter for de to vektorer.
Vektor A er 6 over 1, og vektor B er 5 over 8. Det vil sige, at vektor A er den røde, og vektor B er den blå. De begge to tegner ud fra punktet 3,2. Det er ikke så vigtigt her.
Og vi skal finde størrelsen på den vinkel V, som de danner. Og de danner jo egentlig to vinkler. De danner den vinkel, hvor vi går i positiv omløbsretning mod uret, og den anden store vinkel, hvor vi går i negativ omløbsretning med uret. Men vi definerer, at den vinkel, som vi er interesseret i, det er den mindste af de to vinkler. Det vil sige den vinkel, hvor vinkelbundet tegner.
Sådan der. Og der gælder nu, at... Prækprodukter mellem de her to har vi jo bevist tidligere, at normen er den ene vektor gange normen er den anden vektor gange kursus til vinklen imellem dem. Nu tager vi lige og skriver det her om. Sådan her.
Vi dividerer med de to normer, der står over på højre siden. Og hvis vi nu tager og bytter om på højre og venstre siden, så kan vi se, at nu har vi faktisk udtrykt vinklen V ved tre ting. Med tre tal. Tallet i tælleren er prikproduktet, og de to tal i nævneren er normen af de to mektorer. Og det kan vi udregne, og så kan vi tage k-1 til det tal, vi får, når vi udregner bryggen.
Så vi udregner lige først prikproduktet, de er to, og det gør vi ved at sige 6 gange 5 plus 1 gange 8, det er 38. Der er et positivt prikprodukt, fordi de jo peger i samme retning. Det var det, vi havde snakket om tidligere. Normen af vægta'a, det er så normen af 6 over 1. Kvadratruden af 6 i anden plus 1 i anden, det er det samme som kvadratruden af 37. Normen af b, altså kvadratruden af 5 i anden plus 8 i anden, det giver kvadratruden af 89. Nu har vi de tre tal, vi skal bruge. Så k-sus til mængdel v er 38 divideret med rød 37 gange rød 89. Så tager vi cos minus første til det tal, og så kan vi så få ca.
48,59 grader. Det vil sige, at det er vinkelminutten. Vi tager lige et eksempel mere, hvor det er de to vektorer 7 over 2 og minus 4 over 6. Vi udregler prikproduktet. 7 gange minus 4 plus 2 gange 6, det giver minus 16. Der er et negativt prikprodukt, fordi det faktisk ikke peger i samme retning.
Vinklen er åbenbart stum. Normen af vektor A er så råden af 53. Normen af vektor B er råden af 52. Det vil sige, at k-sus til V er minus 16 divideret med råd 53 gange råd 52. Vi tager k-sus til minus første og får 107,74 grader. Ganske rigtigt en stum vinkel.
Og vi kan formulere en sætning her, hvor hvis A og B er to enlige vektorer, og V er vinkel imellem dem, der gælder det så, at hvis vinkel V er spids, så er prikproduktet et positivt tal. Det gælder faktisk begge veje i den her pil. Hvis vi ved, at vinkel er spids, så ved vi, at prikproduktet er positivt.
Men omvendt, hvis prikproduktet er positivt, så kan vi også konkurrere, at vinkel må være spids. På samme måde, hvis vinkelen V er ret, hvis prikproduktet er 0, det gælder begge veje. Hvis jeg har to vektorer, prikker dem sammen, og så får et prikprodukt på 0, så kan jeg konkludere, så ved jeg, at de danner en ret vinkel med hinanden.
Sådan der. Og hvis prikproduktet er et negativt tal, så kan jeg konkludere, at vinkelen imellem dem er stum. Omvendt, hvis jeg ved, at det er en stum vinkel, så vil jeg også med auktomanisk vide, at de vil have et negativt prikprodukt. Her til sidst skal vi lige se et eksempel på, hvordan man kan bruge en spejre til at udregne vinkel mellem vektorerne. Her er vinkel A 7 over minus 6, og vinkel B er 9 over 3. Og vi åbner en beregnet side, og så tager vi først og udregner brøken, som kosen serverer lige med.
Vi udregner prikproduktet af de to vektorer op i tilladen, og nede i nævneren ganger vi så normen. Af de to vektorer sammen. Og det her tal skal vi sætte kursus i minus første til. Først er det godt lige at tjekke, at en sparesort er regnet i grader i stedet for radianer.
Det gør den her, for der står GRD. Så tager vi og sætter ind her, og sætter ved lige et punktum ved tallene, så det bliver et decimaltal. Få se på resultatet.
Også et decimaltal. Så vi kan altså se her, at vinklen mellem vekt 3 og vekt B er lige godt 59 grader.