[Müzik] Hoş geldiniz Umarım iyisinizdir Sevgi arkadaşlar biliyorsunuz tüm matematik konularını daha önce en ince detayına kadar anlatmıştık ayrıca tüm matematik konularını her konuyu farklı bir videoda olacak şekilde tekrar etmiştik bu videomuzda ise sevgili arkadaşlar sınavlara az bir zaman kala tüm matematik konularını bir videoda birlikte tekrar edeceğiz bu bizim için güzel olacak sevgili arkadaşlar çünkü sınavdan önce tüm bilgilerimizi tazelemiş olacağız arkadaşlar DGS KPSS ve ALES için muazzam bir tekrar olacak haberiniz olsun hemen videonun açıklama kısmındaki pdfinizi indiriyorsunuz benimle birlikte not alarak çok güzel bir şekilde bu videodaki tüm konuları bitirirseniz tüm matematik sınavdan önce güzel bir şekilde tekrar etmiş olacaksınız Hadi gelin birlikte bütün matematik konularını tekrar edelim Bismillah dediniz mi Tabii ki de arkadaşlar hemen başlıyorum şimdi ekranımı paylaşıyorum arkadaşlar matematiğin ilk Konusu neymiş temel kavramlar Eyvallah bunu göre mahvolmuşuz Eyvallah temel kavramlar neydi arkadaşlar temel olan kavramlar neymiş bir doğal sayılar tam sayılar rasyonel sayılar irrasyonel sayılar bunlara temel kavramlar diyoruz rakamlar hocam biliyorum sıfırdan 9'a kadar olan sayıları rakam diyoruz En küçük rakam 0'dır En büyük rakam 9'dur doğal sayılar en sembolü ile gösteriliyordu sıfırdan başlıyordu doğal sayılar sıfırdan başlar sonsuza kadar gider 01 doğal sayıdır unutma bazen de arkadaşlar pozitif doğal sayılar diyorlar pozitif doğal sayı neydi 0 hariç geriye kalan doğal sayılara pozitif doğal sayılar diyoruz aynı zamanda pozitif tam sayılarda diyorduk tam sayılar neydi arkadaşlar işin içinde eksiler de vardı tam olan sayılar yani küsüratlı olmayan sayılara tam sayılar diyoruz Daha doğrusu arkadaşlar tam sayıların tam ortasında sıfır var tam sayıları bu şekilde sayı doğrusu üzerinde gösterecek olursak sıfırın sağındakiler 1 2 3 4 diye gider zaten biz bunları aynı zamanda pozitif doğal sayılar diyoruz ve bunlara aynı zamanda arkadaşlar pozitif tam sayılar diyoruz Z üzeri artıyla gösterilir Yani tam sayılar Z ile gösteriliyorsa pozitif tam sayılarda Z üzeri artıyla gösterilir sıfırın bu eksili olan sayılara da negatif tam sayılar diyoruz ve z ^ - ile gösterilir rasyonel sayılar arkadaşlar a ve b birer tam sayı olmak üzere a/b biçiminde yazılan sayılara rasyonel sayı diyoruz a yapay B'ye payda diyorduk burada payda sıfırdan farklı olacak çünkü payda 0 olursa tanımsız oluyordu İrrasyonel sayı neydi arkadaşlar rasyonel olmayan sayılara İrrasyonel sayı diyorduk reel görsel sayılara geldik sevgili arkadaşlar zaten kanalın adı da gerçel matematik biliyorsunuz arkadaşlar reels görsel sayılar burada bahsettiğimiz bütün sayılara reel gevşer sayılar diyoruz Şimdi arkadaşlar biz bunları da bakın reel sayılar neymiş rasyonel sayılarla İrrasyonel sayıların birleşimidir rasyonel sayıları Q harfi ile gösteriyoruz İrrasyonel sayıları da q üssü ile gösteriyorduk Bunlar çok önemli değil arkadaşlar yeniden hızlı bir şekilde üzerinden geçelim reel sayılar arkadaşlar reel sayılar kümesi bu dikdörtgen kümedir yani tüm kümeleri kapsıyor yani buradaki bütün sayıları kapsıyor rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesi ayrı kümelerdir arkadaşlar Çünkü rasyonel olmayan sayılara Biz İrrasyonel sayı diyorduk rasyonel sayılar tam sayıları kapsar tam sayılar doğal sayıları kapsar Rasyonel sayılar neden tam sayıları kapsıyordu Çünkü arkadaşlar Her tam sayı bir rasyonel sayıdır Örneğin 3 bir tam sayıdır Ben 3/1 şeklinde yazacağım için yani gizli paydasından bir olduğundan dolayı 3 aynı zamanda bir rasyonel sayıdır Dolayısıyla rasyonel sayılar tam sayıları kapsıyor tam sayılarda doğal sayıları kapsıyor diyoruz sevgili arkadaşlar şimdi bazen notlarımız vardı neydi bunlar Eğer sorularda bilinmeyen rakam doğal sayı ya da tam sayı diyorsa direkt değer vererek çözüyoruz Örneğin a b ve c birbirinden farklı birer rakam olmak üzere hocam rakamlardan bahsediyor rakam neydi sıfır bir iki üç dört beş altı yedi sekiz dokuz Biz bunlara rakam diyoruz Harikasın birbirinden farklı olacakmış bu ifadenin alabileceği en büyük değerle en küçük değerlerin bulun diyor arkadaşlar şimdi en büyük değeri bulmak için burada 8 ve 9 Değil mi arkadaşlar bakın 9 katsayısı büyük olanı büyük diyoruz yani B'ye 9 diyelim bir tanesinde 8 diyelim birbirinden farklı dediği için ikisine 9 diyemiyorum bu da ifadeyi küçültüyor sevgili arkadaşlar ben buranın en büyük değerini Eğer bulmaya çalışıyorsam C'ye 0 diyeceğim ki burası bu ifade fazla küçülmesin O zaman iki kere sekiz on altı artı 3 kere 9 27 şurası zaten 0 yazılmama gerek yok 16+27 43 Yani bu ifadenin alabileceği en büyük değer 43'müş Hadi gelin birlikte en küçük değeri bulalım sevgili arkadaşlar bu sefer en küçük rakamlara vereceğiz Buralar arkadaşlar C zaten bakın şurası ifadeyi küçültüyor o zaman C9 diyelim ki burası tam küçülsün ne demek istiyorum 2 kere 1 2 Burası zaten sıfır arkadaşlar 4 x 9 - 36 oldu sonucumuz eksi 34 Yani bu ifadenin alabileceği en küçük değerde -34'tür diyoruz sevgili arkadaşlar ikinci notumuz çarpımları verilen iki sayının toplamlarının en büyük olması için sayılar birbirine en uzak toplamların küçük olmasını istiyorsak sayılar birbirine yakın seçiliyordu ne demek istiyorum a ve b b pozitif tam sayılar olmak üzere a x ve 100 vermiş hocam a çarpı B eşit 100 ise ve bunlar pozitif tam sayısa 1 ile 100'ün çarpımı 100 eder 2 ile 50'nin çarpımı 100 eder 4 ile 25'in çarpımı 100 eder 5 ile 20'nin çarpımı 100 eder Başka da yok zaten Bir de onla onun çarpımı 100 eder değil mi arkadaşlar toplamları soruyorsa yani bakın çarpımları verilen iki sayının toplamlarını soruyorsa birbirine en uzak verdiğimizde en büyük değeri buluyoruz Yani aya bir B'ye 100 derseniz sonucumuz 101 Yani bu ifadenin alabileceği en büyük değer neymiş yüz vermiş bu ifadenin alabileceği en küçük Değer ne peki bu sefer birbirine en yakın değerler vereceğiz arkadaşlar bakın bir bilinen farklı demediği için ona onu alabilirim yani A'ya 10 B'ye 10 dersem onunla onun toplamı 20'dir bu ifadenin alabileceği en küçük yani toplamların alabileceği en küçüklerde 21 diyoruz sevgili arkadaşlar toplamları verilen iki sayının çarpımlarını en büyük olması için birbirine en yakın değerler seçiyorduk Eğer çarpımdan küçük olmasını istiyorsak birbirine uzak değerler veriyorduk yani toplamanın tersi mesela a ve b farklı pozitif tam sayılar olmak üzere şöyle bir şey vermiş aç abi benim en büyük ve en küçük değerlerini bulun diyor Eyvallah hoştur hemen taraf tarafa topluyorum Eyvallah taraf tarafa niye topluyorum çünkü -x + x gidecek o zaman bakın A + B geliyor a a artı B eşittir 13 ile 7'nin toplamı 20 He yani A ile beni toplamı 20 ise A çarpı B en büyük değer ve en küçük değerini bul en büyük değeri bulmak için hocam birbirine en yakın vereceğiz Yani en yakın Ne verebiliriz a+b 20 demiş ya ne olabilir Mesela atıyorum biriyle pozitif tam sayı diyor Tabii ki birle 19'un toplamı 20'dir 2 ile 18'in toplamı bu şekilde gider ya işte onla onun toplamı 20'dir ama birbirinden farklı dediği için ona 10 diyemiyoruz o zaman 9 ile 11'i seçeceğiz arkadaşlar 9 ile 10.000'in toplamı 20 ya birbirine en yakın olarak bunları seçmek zorundayız Çünkü birbirinden farklı dediği için 9-11'i seçmek zorundayım 9 ile 11'in çarpımı 99'dur Yani demek ki burada a çarpı B en büyük değer 99'dur en küçük değer de birbirine en uzak vereceğiz yani A'ya bir B'ye 19 dersek bir kere 19 19 bu ifadenin alabileceği en küçük değerde 19'dur diyoruz bu kadar bu kadar bu kadar peki temel kavramlarla ilgili ne tarz sorular gelebilir arkadaşlar Tekrar ediyoruz bir de her konuyla ilgili ortalama 2 tane nokta atışı soru çözeceğiz tamam mı Çok güzel bu arada daha önce arkadaşlar konuları ince detayına kadar anlatmıştım ve orada baya bir soru çözmüştük bir tane de tekrar yapmıştık tüm matematik konularını tekrar yapmıştık Orada da güzel sorular çözmüştük bu son tekrarımız Arkadaşlar bu video tek bir video bütün konuları tek bir videoda tekrar edeceğimizden dolayı çok fazla soru çözme fırsatımız yok haberiniz olsun amacımız buradaki bilgileri tazelemek harikasın arkadaşlar temel kavramlarla ilgili tanımsal sorular geliyor son zamanlarda yani ÖSYM bize bir tanım veriyor tanımı hemen soruya uygula diyor haberiniz olsun mesela rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir doğal sayının onlar basamağındaki rakam diğer tüm basamaklardaki rakamları tam bölüyorsa bu sayıya Vay be sayısı denir Buna göre en büyük Vay be sayısı ile en küçük vaybe sayısının toplamı kaçtır arkadaşlar bakın 3 basamaklı bir sayı Örneğin diyor ki onlar basamaktaki rakam diğer tüm basamaktaki rakamları bölecek Örneğin diyelim ki 2 4 6 Bu bir vaybe sayısıdır Çünkü onlar basamağındaki rakam ikidir iki hem dördü bölüyor hem de 6'yı bölüyor örnek veriyorum şöyle olsaydı bu bir vaybe sayısı değil sevgili arkadaşlar Çünkü onlar basamağı Üçtür üç Yediyi bölmüyor 6'yı bölüyor ama hepsini böyle olacak Çok güzel bir soruyu Anladık mı Anladık Hocam bu kadar basit gelir mi Abi vallahi geliyor Eyvallah Şimdi en büyük Vay be sayısını bulalım arkadaşlar 3 basamaklı Tabii rakamları sıfırdan farklı olacak ve birbirinden farklı olacak Onu da söylemiş o zaman üç basamaklı en büyük doğal sayı yazmaya çalışıyorsan buraya 9 dememiz gerekiyor şimdi 9 bu 9'u bölecek buraya 3 vermemiz gerekiyor o zaman bir diyebilirim ama en büyük bulma çalışıyoruz buraya da 3 Neyi böler 3 6 ve 9'u böler buraya da 6 diyeceğiz işte Üç basamaklı en büyük Vay be sayısını bulduk 3 hem 9 hem 6'yı bölüyor 3 basamaklı en küçük vaybe sayısını bulalım hocam en küçük üç basamaklı sayı buraya 1 yazmamız lazım İyi de onlar basamağındaki rakam yani buraya iki bile Yazsan iki biri görmez ki olmadı o zaman buraya bir yazalım buraya iki yazalım tamam mı rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı demiş bak 1 2'yi bölüyor buraya da 3 diyeceğiz rakamları farklı dediği için 213'te en küçük Vay be sayısıdır bakın bir hem bunu hem bunu bölüyor bunların toplamı kaçtır diye sormuş Öyle değil mi Eyvallah toplayalım 9 4 9 2 daha 11 1149 gibi bir şey çıktı cevabımız Denizli arkadaşlar ABC pozitif tam sayılar olmak üzere a küçük c küçük ve olmak üzere demiş tamam [Müzik] 16 dersek buraya da 2 diyeceğiz yani Ay'a 8 demiş olduk öyle değil mi arkadaşlar aya 8 demiş olduk 2 kere 8 16 b/c'de 2 demiş olduk arkadaşlar öyle değil mi Evet çünkü 16 tane 2 çıkar 13 özür diliyorum Ooo 3 dememiz lazım özür diliyorum 16'dan 3 çıkarsak 13 olur bak hep kafam karışıyor sana B bölü C'de 3 demiş oluyoruz 16'dan 3 çıkar 13 Harikasın Şimdi arkadaşlar ve böylece 3 ise şimdi a + b + A'ya 8 dedik buralara küçük küçük değerler vereceğiz ki en küçük değeri bulalım Öyle değil mi o zaman C'ye en az 9 demek zorundayım en az 9 diyebilirim o zaman B bölü 9 eşit 3se 9 kere 3 B de demek ki 27'dir gerçekten 27'yi 9'a bölsek 3 olur B'ye de en az 27 demek zorundayım a+b+c'nin en küçük değeri bunların toplamıdır Yani 27-9 daha 36 8 daha 44 olması gerekiyor Böylelikle arkadaşlar ilk konumuzu bitirdik Bu Arada Arkadaşlar burası gerçekten çok sıcak ve ben de yeni bir hastalıktan çıktım Klimayı açtım yine sizler için Umarım bir daha hasta olmam sevgili arkadaşlar dua edin benim için yorumda görmek istiyorum arkadaşlar tek çift sayılar 2 konumuz tek çift sayılarla ilgili her sene banko soru geliyor gelin birlikte tek çift sayıları tekrar edelim sevgili arkadaşlar bakın bildiğiniz şeyler çift sayılar hocam ikiye bölünen tam sayıları çift sayılar diyoruz tek sayılar 2'ye bölünmeyen tam sayılar tek sayılar diyoruz He vallahi çift sayılar bunlardır tek sayılar bunlardır çiftle çiftin toplamı tektir tekli çiftin toplamı tektir tekle Tekin toplamı çifttir hocam bunları unutursak değer veriyorduk Buna örnek çift bir sayı söyle iki tek bir sayı söyle bir ikide birini toplamı 3 tektir bunları biliyoruz arkadaşlar aralarda artı da gelse eksi de gelse aynı sonucu veriyor nasıl çiftle çiftin toplam çift olur Nasıl ki tekle çiftin toplam tekse Tekten çiftli çıkarsak tek olur ya birazdan söyleyeceğim sevgili arkadaşlar a artı b ile A - B'nin tekli Çiftlik durumu aynıdır bu tekse Bu da tektir bu kimse bu da çifttir şimdi bakın formül ile aynı çarpma önemliydi bizim için Arkadaşlar çarpanlardan bir tanesi bile çift olsa bakın sonuç daima çift oluyor ama Eğer iki tane sayının çarpımı tekse İkisi de tek olmak zorunda bunu biliyoruz arkadaşlar tekli Çiftlik sadece tam sayılarda aranır Örneğin 1/2 tek mi bilinmiyor ki tanımlı değil Örneğin kök 2 tek mi çift mi bilmiyoruz ki arkadaşlar tekli Çiftlik sadece Thomas olan sayılarda aranır bunu biliyoruz şimdi eğer üst pozitifse sevgili arkadaşlar Tekiner kuvveti tektir çiftin her kuvveti çifttir bunu da biliyoruz üst eksiği ise dikkat ediyoruz sevgili arkadaşlar Örneğin 2 çift bir sayıdır ama 2 üzeri -1 1/2'dir tekli çiftliğinden bahsedemeyiz bunları biliyoruz üst sıfırsa çok dikkat ediyoruz Örneğin 4 çift sayıdır ama 4 üzeri 0 1 yani tektir Buna da dikkat ediyorduk ardışık tam sayıların çarpımı daima çifttir arkadaşlar ardışık sayılar neydi 1 2 3 4 5 böyle gidiyordu Örneğin bakın Bu ikisi ardışık çarpım bir kere iki çift oldu Örneğin şu ikisinin çarpımı 2 kere 3 6 çift oldu 3 kere 4 12 çift oldu yani ardışık iki tane tam sayı aldığınızda çarptığınızda kesinlikle sonuç ne olacak çift olacak harikasın sen arkadaşlar 0 faktöriyel ve bir faktöriyel Bunlar tektir geriye kalan tüm faktöriyel de yani Birden büyük tüm faktöriyel kesinlikle çift oluyordu bunu da biliyoruz Şimdi arkadaşlar bazı pratik yollarımız vardı bunların İnşallah unutmamışızdır birazdan soruya da uygulayacağım arkadaşlar sorularda Eğer tam sayı diyorsa kesinlikle bu pratik Yollar geçerlidir a+b ile A - B'nin tekli Çiftlik durumları aynıdır biraz demin bahsetmiştim sevgili arkadaşlar bu teksa bu da tektir bu çift ise bu da çifttir eğer üst sıfır veya negatif ise üsleri sil arkadaşlar bakın üst 0 veya negatif değilse değilse üstleri silebiliyor yani üst sırf pozitifse sil gitsen şimdi burada bir örneğimiz var a ve b birer tam sayı demiş a küp artı b kare tekse diyor A - B Tek mi çift mi hocam tam sayı demiş üsleri Sil gitsin o zaman burada Ne kaldı a+b kaldı A + B neymiş tekmiş a + b tek ise a - b de tektir He vallahi yeni öğrenmişim buraya geldik arkadaşlar katsayı tek ses sadece katsayı siliyoruz katsayı çift ise komple siliyoruz konu anlatımda bunların mantığını anlatmıştım sevgili arkadaşlar katsayı yine mesela X'in kat sayısı 3'tür yani tektir y'nin katsayısı 4'tür Yani çifttir eğer katsayı çift ise komple siliyoruz Çünkü Arkadaşlar neden ne çifte sattığım için buranın sonucu sıfırdır ha yazmışım ama yazmamışım komple siliyorum Eğer katsayı Teksen sadece katsayı siliyoruz geriye ne kaldı Burada sadece x kaldı bu ifadede neymiş çiftmiş zaten diyor x mi vallahi Peki Tekstil sayılarla ilgili ne tarz sorular gelebilir arkadaşlar genelde bu tarz sorular geliyor öncüllü Bu sene de böyle bir soru bekliyorum hangi sınava giriyorsanız girin kesin bankoa Şimdi arkadaşlar demiş ki tam sayı tam sayı diyorsa Hocam şöyle bir şey demiş bakın 3 tane ifade vermiş 1 2 3 bu ifadelerden iki tanesi çiftmiş bir tanesi de tekmiş buna göre hangileri tektir Arkadaşlar şimdi pratik yoldan gideceğim tamam mı Siz farklı yöntemlerle de yapabilirsiniz Ben diyorum ki ben diyorum ki katsayı tekse katsayı silerim ben katsayı çift ise kat komple silerim Eğer katsayı tekse katsayı silerim o zaman Ne kaldı bakın burada m + n kaldı hem artı n kaldı Burada sadece n kaldı ortadaki ifadede ve en sondaki ifadede de yine m + n kaldı katsayıları sildiğim için katsayı tek ya bunlardan iki tanesi çifttir zaten direkt çıktı arkadaşlar Bu ikisi demek ki çifttir bir tanesi de tektir diyor bu tektir yani bakın M tektir Demek ki diyor mtx arkadaşlar tekle Tekin toplamı çift Olur öyle değil mi o zaman en de tektir diyor ki bu öncülerden hangileri tektir yola hoştur entektir en de tektir tekle Tekin toplamı çifttir bu tek değil hangisi tektir diye sormuş bir olanı çıkarıyoruz en çarpı n m tektir nde tektir tek de Tekin çarpımı tektir 2 olur buraya geldik sevgili arkadaşlar bakın 2 ile çarptığı için buranın sonucu zaten çift hem de tektir tekle çarptığım için tek Burası tek eksi çift oldu sonucumuz tek yani Bu da her zaman tek oluyor cevabımız Denizli Tamam tek çift sayılarla ilgili de arkadaşlar yani bu tarz bir soru bekliyoruz haberiniz olsun Şimdi sevgili arkadaşlar bir sıradaki konumuz ne ardışık sayılar Yolumuz çok uzun Yolumuz çok uzun ben nasıl burada sıcaklıkta kendimiz senin için parçalıyorsam emin ol hastayım hala senin için burada parçalıyorsam sen de sabırla inatla sonuna kadar tekrar edeceksin Çünkü bizim için önemli sevgili arkadaşlar şimdi ardışık sayılara geçiyoruz Neydi bu ardışık sayılar ard arda gelen terimler arasındaki farklar eşitse Biz bunları ne diyoruz Arkadaşlar artık sayılar dizisi ediyoruz bakın artık tam sayı diyorsa 1 2 3 4 5 diye artış miktarı birdir bu şekilde zaten bunları biliyoruz işin içinde eksiler de var Bunları unutmayın arkadaşlar ardışık çift sayılar diyorsa 2 4 6 8 10 12 diye gidiyor yani 0 da dahil arkadaşlar işin içinde eksiler de var Bunları bildiğiniz için hızlı geçiyoruz Arkadaşlar tekrardır bunlar Artık tek sayılar hocam 1 3 5 7 diye gider artık çift sayılar ikişer ikişer artıyordu ardışık tek sayılar ikişer ikişer artıyordu o yüzden yani +4 diyorduk ardışık 3'ün katı olan sayılar 3 6 9 12 yani artış miktarı Üçtür ardışık 5'in katı olan sayılar artist miktarı 5'tir bu şekilde yazıyoruz Arkadaşlar şimdi notumuz var ardışık tam sayılar arasındaki fark birdir gerçekten tam sayılar arkadaşlar birer birer artıyor artık çift sayılar arasındaki fark ikidir Çünkü ikişer ikişer artıyor ardışık tek sayılar arasındaki fark ikidir Çünkü ikişer ikişer artıyor Bu arada bir bakayım bu ses çalışıyor mu ha çok güzel arkadaşlar terim sayısı nasıl bulunuyordu hocam Vallahi bunu göre göre mahvolmuşum son Terim eksi ilterim böyle artış miktarı artı bir idi ortanca Terim de sonda ilki topluyoruz ikiye bölüyoruz daima tüm terimlerin toplamını bulmak için terim sayısı ile ortanca terimi çarpıyorduk mesela burada bir örneğimiz var Hemen hatırlayalım bu formülü Arkadaşlar bu artış sayı dizisinde diyor Kaç tane sayı var diyor yani Terim sayısını soruyor son Terim Vallahi 64 hemen ayı çözüyorum burada son Terim nedir 64 - ilk Terim ne 4 artış miktarı Vallahi üçer üçer artıyor Bir de artı 1 ekliyoruz ne yaptım Şuradaki formülü kendime bakmış mı yazmışım bir şey yapmamışım 64'den 4 çıkar 20 Pardon 63'e bölme bir daha 21 yani burada 21 tane terim var ortasında hangi sayı var diyor yani ortanca terimi bul diyor arkadaşlar ortanca Terim hocam ilk ve sonunu topluyoruz ikiye bölüyoruz Yani sonunda 64 ile 4'ü topluyoruz ikiye bölüyoruz ha bu kadar 68'in yarısı Valla 304 Demek ki ortanca Terim de 304'müş arkadaşlar İşlem hatası yapabilirim Çünkü çok uzun bir video haberiniz olsun Siz düzeltirsiniz C'ye geldik arkadaşlar tüm terimleri topla Yani bunların hepsini toplamı kaçtır terim sayısı ile ortanca çarpıyoruz yani 21 çarpı 34 cevaptır Arkadaşlar bunu siz hesaplarsınız hesaptan yoruma atın arkadaşlar Bir de sonda toplamlar vardı yani Birden ne kadar olan ardışık sayıların toplamı en çarpan artı 1/2'ydi bunu göre görünmez olmuşuz 2'den 2'ye kadar olan ardışık çift sayıların toplamı en çarpan artı biriydi 1'den 2n eksi 1 1'e kadar olan ardışık tek sayıların toplamı ise en kare ile arkadaşlar Hemen bunları çözelim 1'den 20'ye kadar olan ardışık sayılar hocam Vallahi bu 20 çarpı 21/2'dir ha 22'ye böl 10 çarpı 21.210 bu kadar 2'den 20'ye kadar olan ardışık çift sayılar var burası 2 çarpı 10'dur çift sayı olduğu için en burada 10'dur o zaman cevabımız 10 çarpı 11 yani 110 He valla 1'den 19'a kadar ondan ardışık tek sayılar hocam 2 yani -1 ile bitmeliydi Şimdi burada eni nasıl buluyorduk arkadaşlar Ben size pratik yolu vermiştim ortanca terimin Kalesi bakın ortanca Terim nedir burada ortanca Terim hesaplayın bakalım 1 ile 19'u toplayın 20 yarısı 10 cevap onun karesi yani 100 tamam mı Arkadaşlar bunu nasıl yapacağız hocam Burada şunu yapabiliriz mesela Eğer bir artı 2 artı 9'da olsaydı değil mi yani 1'den 20'ye kadar olan sayıların toplamı 20 çarpı 21/2 olurdu ama eğer ben burayı bulmak istiyorsam şu mıntıkayı çıkartmam lazım şunu çıkartırsam sonucu bulurum orası ne 1'den 9'a kadar olan Alışık sayıların toplamı 9 x 10/2'dir hesaplamayı size bırakıyorum sevgili arkadaşlar buraya geldik mesela bunu nasıl yapabiliriz Terim sayısını bulup ortanca terimi bulup terim sayısı ile ortanca terimi çarparsak bu toplamı bulabiliriz Ama bunu yapmak yerine 5 ortak parantezine alırsak bir artı 2 artı 3 artı nokta nokta artı Değil mi arkadaşlar en son yüzü 5'e böl 20 gerçekten bakın 5 kere 20 100 5 kere 1 5'i dağıttığınızda bunu buluyorsunuz daha sonra arkadaşlar 5 çarpı birden 20'ye kadar olan sayıların toplamı artık sayıların toplamı 20 çarpı 21/2 değil mi Evet bakın bulduk bunu buna böldüm 10 beş kere 21 105 bilmem ne şöyle bir şey artık abi böyle bir şey çıktı tamam mı arkadaşlar siz halledersiniz şimdi bir de arkadaşlar benim Özellikle Benim anlattığım bir yöntem var ardışık sayılarda ve Bazen hayat kurtarıyor Örneğin 4 7 10 13 burada ardışık bir sayı dizisi var diyor Biz bunu devam ettirirsek diyor 20 Terim kaçtır bunu yapmanız için arkadaşlar bakın artış miktarı nedir artış miktarı 3 bakın üçer üçer artıyor değil mi hep üçer üçer artıyor o zaman hemen diyorsun ki 3'e bakın hemen diyorsun 3N 3'e ne eklersen 4'ü elde ederim 1 eklersem böylelikle bu Ardışık sayı dizisinin genel terimini buldum Arkadaşlar en yerine bir yazarsanız birinci terimi bulursunuz 3 kere 1 3 1 daha 4 en yerine 2 yazın ikinci terimi bulursunuz üç kere iki altı bir daha yedi en yerine 3 yazarsam 3 terimi bulacağım 3 kere 3 9 1 daha 10 Demek ki ben en yerine 20 yazarsam 20 terimi bulacağım 3 kere 20 60 bir daha 61 yani 20 Terim 61dir diyoruz videoyu Duraklatmak Şimdi sen bunu yap sonucu Terim kaçtır demiş artış miktarına bakıyorum vallahi beşer beşer artmış o zaman 5N diyorum 5'e Ne eklersem 3'ü bulurum bakın 5N eklersem ilkini bulurum tamam mı arkadaşlar 5'ten 2'yi çıkarırsam 3 olur genel Terim buymuş 30 terimi soruyor 30 yazıyorum 5 kere 30 152 çıkar cevabımız 148 30 Terim 148'dir Mesela diyelim ki 3 terim nedir 5 x 3 15 2 çıkar Bu biraz zor ha 13 değil mi bakın 3 terim Gerçekten onu sağlıyor bunu da size ödev veriyorum arkadaşlar geçiyorum Hocam bunu da yapın Vallahi yapayım Tamam kaçar kaçar artıyor altışar altışar artıyor Öyle değil mi Hemen geliyorsun 6 ay diyorsun 6'ya Ne eklersem ilk terimi bulurum 6 ya 13 eklersem 19'u bulurum 40 terimi soruyor 40 yaz hesapla yoruma yaz tamam artık sayılarla ilgili ne tarz sorular gelebilir iki basamaklı ardışık 4 tek doğal sayı belirleniyor diyor belirlenen Bu sayıların onlar basamaklarındaki rakamlar toplandığında 35 sayısı elde ediliyormuş Buna göre bu ardışık 4 sayının toplamı kaçtır arkadaşlar ardışık 4 tane sayı var iki basamaklı Tabii ki bakın a b şöyle izah edeyim CD e f Burası da m n olsun bakın ardışık 4 tane sayıdan bahsetmiş Ama bunlar tek sayılar aynı zamanda diyor ki belirlenen Bu sayıların onlar basamaklarındaki rakamlar topladığında 35 sayısı elde ediliyormuş onlar basamaklarına baktığımız zaman arkadaşlar şunlardır değil mi onlar basamaklar bunların toplamı neymiş arkadaşlar yani a + c + e + m bunların toplamı 35'miş Şimdi arkadaşlar bakın burada biraz uyanık olmanız gerekiyor tamam mı bunlar ne rakam yani bu onlar basamağındaki A da cdm'de birer rakamdır şimdi Hepsi 9 olsa bile en büyük büyük rakam 9'dur ya 4 kere 9 36 olurdu 4 tane 9'un toplamı 36 olurdu 35 olduğuna göre demek ki bunlardan bir tanesi 8'dir Demek ki bu sekizdir ne demek istiyorum e Bunlar ardışık tek sayılardır bakın ardışık bir tanesi 8'dir diğerleri 9'dur Ben bunu da biliyorum artık çünkü 9 9 daha 3'e 9 27 8 daha 35'i sağlıyor Anlaştık mı E şimdi Arkadaşlar bunlar artık sayılarsa 80'lerden 90'lara geçmiş demek ki burası 89'dur 89'dan sonraki ardışık tek sayı 91'dir 91'den sonraki ardışık tek sayı 93'tür 93'ten sonraki ardışık tek sayıda 95'tir işte alın arkadaşlar size ardışık 4 tane tek sayı onlar basamaklar rakamların toplamda 35'tir Gerçekten bu ardışık 4 sayının toplamını soruyor arkadaşlar bunların toplamı kaçtır şimdi bunların toplamını Nasıl buluyorduk sevgili arkadaşlar hepsini toplayacağız değil mi hepsini toplamı bulmak yerine arkadaşlar ortanca bakın terim sayısı çarpı ortanca Terim bize tüm terimlerin toplamını veriyordu ya hepsini toplayacaksınız arkadaşlar Ya da ben bu şekilde yapacağım bakın ortanca Terim nedir ortanca Terim 91 ile 93 arasında yani 92'dir şu ifadeden bu ifadeye artış miktarı ikidir Ben bunu biliyorum peki buradan buraya artış miktarı nedir Tabii ki de 4'tür o zaman Arkadaşlar ben buna 4 eklersem burayı elde etmiş oluyorum Öyle değil mi yani gidiyorum 2A -b'ye bir 4 ekliyorum neyi bulmuş olurum abone yani 3A -b + 6 elde etmiş oluyorum şimdi bunu neden seçtim arkadaşlar Çünkü burada b'lerin gittiğini gördüm hocam buna 2 ekle buna eşitleseydik olur muydu olurdu ama Beyler gitmiyor ki Yani şunu yapsan daha mantıklı Şimdi arkadaşlar şunu bu tarafa attım buradan A eşittir şunu da bu tarafa attım -2 veya asıl ayı -2 buldum Güzel a'yı bulduk arkadaşlar şimdi götürüyorum A yerine -2 yazıyorum değil mi A yerine -2 yazıyorum Burası -4 - B oldu bakın Burası ne oldu eksi 4 eksi B oldu e arkadaşlar Bu arada bu arasındaki fark da ikidir yani ben buna 2 eklersem buraya elde ederim Öyle değil mi yani -4 - B'ye yani şuna bir iki eklersem hemen ardındaki Ardışık sayı bulurum yani B eksi 10'u bulurum Buradan da b'yi bulacağız sevgili arkadaşlar hemen şunu bu tarafa attım 2B eşittir Burası -2 onu da artı 2 olarak gönderdim 10 -2 8 oldu buradan B eşit 4 bulunur Neyi sormuş a + b toplamı kaçtır arkadaşlar a - 2'dir bd4'tür bunların toplamı da 2 olacak peki gerçekten sağlıyorum o gerçekten sağlıyor mu arkadaşlar b yerine de 4 yazacağız b yerine 4 yazacağız 2 kere -2 -4 -4 Burası -8 oldu 4 - 10 - 6 oldu -2 buraya 4 yazarsak -6 - 10 eksi 4 oldu burası değil mi bakın Bunlar ardışık 3 tane çift sayıdır gerçekten bulunan iki fazla bulunan iki fazla harikasın sayı basamakları Arkadaşlar yeni konumuzun adı sayı basamakları çözümleme her sene DGS KPSS ALES'te bir soru geliyor haberiniz olsun arkadaşlar O zaman bunları gören olmuşuz harikasın sen buna birler basamağı onlar basamağı yüzler basamağı binler basamağı diyoruz arkadaşlar basamak değerleri bunlardır arkadaşlar yani bunun basamak değeri değildir sayı değeri d'dir Mesela bu basamak değeri 10c'dir Çünkü onlar basamağında sayı değeri c'dir bunları zaten biliyorsunuz arkadaşlar mesela bunu nasıl çözdüm diyorduk hocam birler onlar yüzler binler yani bina artı 10b artı 10 c Artı D diye çözümlüyoruz mesela bunu balık Hoca 100 artı 10 B + c'dir Ha peki bu Hocam bu da 10A + b'dir Eyvallah güzel arkadaşlar AB ile ba yani rakamlarını yer değiştirip yazarsak toplarsak 11 parantezinden A + B oluyordu bunları hızlı geçiyorum arkadaşlar Çünkü konu anlatımında diğer tekrarda çok fazla değinmiştik AB eksi Bada 9 parantezinden a - b oluyordu ABC eksi cba bakın birler ve yüzler basamağını yer değiştirmiş Bu da ne oluyordu arkadaşlar 99 parantezinden a eksice nasıl size ödev veriyorum buraya çözümle 100 artı 10b + c buraya da 100c artı 10 b + a diye çözümle Zaten b'ler gidecek 99 parantezinden a - c olacağını göreceksiniz Arkadaşlar bir de bu çok önemli bakın ABC üç basamaklı sayısının Normalde 100 + 10 b + c diye açıyoruz Öyle değil mi Bunu bu ABC üç basamaklı sayısını aynı zamanda bu şekilde daha açabiliriz nasıl arkadaşlar bakın Zaten burası nedir bu neyin çözümü BC 2 basamaklı sayısını çözümüdür 10b +ca Öyle değil mi aynı zamanda bakın şunun açılımını bu şekilde de yapabiliriz çünkü 10 çarpı a b Yani buraya 10 parantezine aldığınızda bu geliyor artı c oluyor bunları da bilmemize fayda var eşittir Burası 330 330'dan 2 çıkar 328 mi 328 Aha şimdi Bundan sonra ne yapacağız Nasıl ne yapacağız değer ver gitsin Buraya mesela 6 dersek 6 çarpı 6 Valla 300 Buna da 7 dersin 4 kere 7 28 Alın size 328 Hee 6'dır b7'dir ha 6'dır b7'dir a ile B'nin toplamı da 6 7 daha 13 cevabımız Denizli böyle bir soru gelebilir mesela [Müzik] Çünkü 120 bak 22 dörde bölünmüyor ki Eyvallah eyvallah 5 kere 4 20 al Anladın mı Bu dörde bölünmüyor Peki 4'e bölündü kalan kaçtır kalan 2'dir diyeceğiz buradaki kalana bakıyorduk 8 ile bölünebilme kuralı arkadaşlar son 3 basamaktır son 3 basamak 000 olacak veya 8'in katı olacak Örneğin bu sayı 8'e bölünüyor mu son 3 basamak 000 olduğu için 8'in katı olduğu için 8'e bölünüyor 128 de arkadaşlar 8'e bölünüyor denersiniz bu da 5128 sayısı da 8'e bölünüyor 3 ile bölünebilme kuralı neydi sevgili arkadaşlar arkadaşlar 3 ile bölünebilme kuralı da sayının rakamları toplamı 3 ve 3'ün katı olan sayılar 3'e tam bölünüyor mesela bunun rakamlarının toplamı 3'e tam bölünüyor bunun rakamlarının toplamı 18 3'e tam bölünüyor bunun rakamlarını toplamı 8-3 daha 11 4 daha 15 3'e tam bölünüyor Değil mi arkadaşlar bir hata yapmadık çok güzel 9 da bölünebilme kuralı rakamların toplamı 9 veya 9'un katı olan sayılar 9'a tam bölünüyor Örneğin 720 rakamlarının toplamı 9-9'a tam bölünüyor bu sayının rakamların toplamı 5-4 daha 9 6 3 daha 9 9 9 Daha 18 rakamların toplamı 18 9 zaten bölünüyor arkadaşlar bakın 9 geldiğinde sıfırdan gitsin 8 bir daha 9 zaten 9'a bölünüyor sıfırla gitsin 4 5 daha 9 zaten 9'a bölünüyor geriye 8 kaldı Demek ki 9'un katı değil rakamların toplamı Peki 9 ile bölündüğünde kalan kaçtır kalan 8'tir Tamam 11 ile bölünebilme kuralını hatırlayalım sevgili arkadaşlar en sağdan başlayıp artı eksi artı eksi artı eksi diye belirlemiyor muyduk Evet üzerinde artı olanların toplamı nedir 2 3 daha 5 bir daha 6 üzerinde eksi olanların toplamı 1 3 daha 4 2 daha 6 6 - 6 0 arkadaşlar sonuç 0 veya 11'in katı çıkıyorsa 11'e tam bölünür Demek ki bu 11'e tam bölünüyor bu 11'e bölünüyor mu en sağdan başlıyoruz ha artı eksi artı eksi artı eksi üzerinde artı olanların toplamı 48 daha 17 Pardon 4 8 daha 12 7 daha 19 mu oldu Evet eksi 5 ile 8'in toplamı 13 13'ü 4 ile toplarsak 17 konusuna geldi 2 geldi he sonuç 0 veya 11 çıkmadı O zaman bu 11'er bölünmüyor peki 11 ile bölündüğünde kalan kaç oluyordu kalan 2 oluyordu buraya geldik sevgili arkadaşlar en sağdan başlayıp yine artı eksi artı eksi artı eksi diyor muyuz Evet 3 2 daha 5 bir daha 6 eksi üzerinde eksi olanlar 82 daha 10 3 daha 13 arkadaşlar sonuç -7 geldi yani sonuç ne geldi sonuç 0 veya 11 gelmedi Dolayısıyla bu 11'e tam bölünmüyor Peki 11 ile bölündüğünde kalan kaçtır kalan eksi dikemeyiz arkadaşlar kalan her zaman pozitiftir ya da 0'dır Dolayısıyla buna bir tane 11 ekliyorsunuz ne çıktı 4 kalan 4'tür diyoruz harikasınız arkadaşlar geriye kalan bölünebilme kurallarını zaten biliyoruz 6 ile bölünebilme kuralı hocam 2 x 3 6 olduğundan dolayı 12 ile bölünebilme 33 kere 11 anladın 4 kere 9 36 buna biliyoruz hocam Efendim buraya 3 ve 12 de alabiliriz 3 kere 12 36 Hayır bu çarpanlar aralarında asal olmalıydı Dolayısıyla 4 ve 9 aralarında asal O yüzden 4 ve 9'u alıyoruz ona dikkat edeceğiz 5 x 9.45 Bir de 25 ile bölünebilme kuralı arkadaşlar son 2 basamağa bakıyoruz son iki basamak ya 0 0 ya da 25 75 olacak yani 25'in katı olan sayılar son 2 basamak 25'e tam bölünüyor bölünebilme kuralları ile ilgili Hocam ne ki tarz sorularla gelebilir Arkadaşlar bu tarz bir soru gelebilir a ve b sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere şöyle bir şey verilmiş Arkadaşlar bunlar sırasıyla 3-5 ve 8'e tam bölünüyor Yani bu üç yatağın bölünüyor bu beşe Bu da 8'e tam bölünüyor Buna göre a harfi ve kaçtır yolu kaçtır Arkadaşlar bu 5'e bölünüyorsa son basamak ya 0 ya da 5 olmalı a ve b sıfırdan farklı dediği için 0 diyemem Bey'e o zaman B kesinlikle 5'tir benim kesinlikle 5 olduğunu biliyorum Şimdi arkadaşlar Burası da 3'e bölünüyormuş o zaman rakamların toplamı 3'ün katı olmalı 52 daha 7 2 dersek 9 3'e bölünür 3 ekle A5 olabilir 3 ekle A8 olabilir yani A ne olabilir arkadaşlar buradaki a Demek ki buraya göre 2 5 8 olabilir 2 olabilir 5 olabilir 8 Olabilir Peki bu da 8'e bölünecekmiş arkadaşlar yani biz A'ya 2 5 ve 8 dediğimizde her haritada bu üçe bölünüyor Peki Ay'a 2-5 ya da 8 dediğimizde Burası da 8'e bölünüyor mu acaba Şimdi iki dersek 252 Olur öyle değil mi 252 8'e bölünüyor mu bölünmüyor sevgili arkadaşlar 3 kere 8 24 çıkarttım 12 bir kere 8 Evet bölünmüyor o zaman 2 olamaz 2'ye Eledim [Müzik] geliyorum şansımı 5'ten deniyorum A'ya 5 dersem Burası 552 Olur öyle değil mi 552 8'e bölünüyor mu bakalım 6 kere 8 Vallahi 48 çıkarttım 72 9 Vala bölünüyor o zaman 5 lira arkadaşlar 8 olmuyor Siz denersiniz a bir tek 5 oluyor yani 852 8'e bölünmüyor size ödev verdim Demek ki A'da 5 lira arkadaşlar B'de 5'tir burada A'ya 5 veya 5 dersek buradaki şartları sağlıyor A da 5'tir B de beştir beş kere beş sonucumuz 25 cevabımız Denizli arkadaşlar faktöriyel nedir hocam 0 faktöriyel olabilir Bunları biliyoruz He vallahi iki faktörel ikidir üç faktöriyel Valla 3 x 2 x 1 yani 6'dır 4 faktöriyel Hocam 4 x 3 x 2 x 1'dir hesaplarsak 24 oluyor 5 faktöriyel 5 çarpı 6 çarpı Vay vay vay vay Kafa gitti 4 çarpı 3 çarpı 2 çarpı 1'dir hesaplarsak 5 x 4 20 çarpı 3 60 60 bilmem ne 120 Harikasın onu yaparsın 6 faktöriyel hocam 720'dir 7 faktörü sana öder bakıyorum enfektörel nasıl yazıyoruz en çarpı n -1 faktöriyel şeklinde yazabiliriz veya en çarpı en eksi 1 çarpı bir tane daha azalt n -2 Faktöriyeli nerede duruyorsa orada bir ünlem işareti koyuyoruz Örneğin 10 Faktöriyeli 10 çarpı 9 faktör şeklinde de yazabiliriz veya 10 Faktöriyeli 10 çarpı 9 çarpı 8 faktör şeklinde de yazabiliriz en Faktöriyeli Arkadaşlar bir de bunları Bu ince mühendisleri unutmuş olabilirsiniz a ve b pozitif tam sayı olmak üzere A'nın en büyük değeri kaçtır Bunun anlamı neydi 46 faktöriyenin içinde en fazla kaç tane 3 çarpanı var 132 Faktöriyeli hesapladığımızda diyor en fazla kaç tane 15 toplayabiliriz 15 çarpanı var 52 faktörün içinde en fazla kaç tane 9 çarpanı var sevgili arkadaşlar Burası asal sayı ise ne yapıyorduk asal sayı değilse ne yapıyorduk asal sayı değil ve Bir sayının kuvveti şeklinde yazılıyorsa ne yapıyorduk Hadi gelin bunları tekrar edelim Eğer Asar sayısı arkadaşlar ki 3 asaldır 46'yı alıyorum kendime 3'e bölüyorum Eyvallah 15 kere 3 4 5 kalanlar önemli değil tekrar 3'e bölüyorum 5 kere 3 15 kalanlar önemli değil tekrar 3'e bölüyorum bir kere 3 arkadaşlar bakın bir Artık burası 3'e bölünmüyor yani şu bölümleri topluyoruz bölümleri toplayın 15-5 daha 21 daha 21 A'nın alabileceği en büyük değer 21'dir diyoruz Eğer asal sayı değilse arkadaşlar asal çarpanlarına ayrılabiliyorsa hemen bur 3 x 5 şeklinde yazabilirim 3 kere 5 15 yani 3 üzeri a çarpı 5 üzeri A şeklinde yazabiliyorduk büyük olana bölüyorduk sevgili arkadaşlar neden mantığını konu anlatımlı göstermiştim üçlerin sayısı daha çoktur ne kadar 5 varsa o kadar 5 kere 3 15 olacak o zaman 132'yi tutuyorum daima 5'e bölüyorum Eyvallah büyük olana büyük Asala kaç defa var Kaç defa var Kaç defa var arkadaşlar 32 oldu 6 kere 5 He 30 kalan 2 kalan önemli değil tekrar 5'e böl 5 kere 5 25 kalan 1 tekrar 5'e böl bir kere 5 5 kalan 0 yani kalanlar önemli değil arkadaşlar bizim için bölümler önemlidir tamam mı bölümler önemlidir yani 26 5 daha 31 bir daha 32 Değil mi arkadaşlar Demek ki anında alabileceği en büyük değer 32'dir buraya göre bunların hata yapmamışımdır arkadaşlar düzeltirsiniz şimdi bunu da arkadaşlar bakın Burayı da 3 üzeri 2A şeklinde yazabiliyoruz Öyle değil mi Evet şimdi sevgili arkadaşlar o zaman 52'yi bakın 52'yi sürekli 3'e böleceğim bu durumda 2 ayı bulmuş oluyorum 52'yi 3'e bölsem 17 defa dersem 51 Tamam artık buraları yazmayacağım arkadaşlar Tekrar üçe bölüyorum 5 kere 3 15 Tamam tekrar 3'e bölüyorum bir kere 3 toplayın 17 5 daha 22 bir daha 23 yani burada 2 ay bulmuş oluyorsunuz arkadaşlar 2A en fazla 23 olabilir bu ne anlama geliyor 2'ye eşittir 23 ise A eşittir her iki tarafını 2'ye bölsek 11 buçuk sonucuna ulaşıyoruz küsüratı almıyorduk sevgili arkadaşlar yani anın alabileceği en büyük değer 11'dir diyoruz Peki neden küsüratı almıyoruz Çünkü arkadaşlar 9'ların sayısı daha azdır üçlerin sayısı daha fazla olduğundan dolayı küsürat çıkıyor o dokuza ait değil O yüzden almıyorduk 25 faktöriyel böyle 2 üzeri yani ifadesi tek bir tam sayı ise en çok kaç olabilir Arkadaşlar bu aslında şuna yani Burası tek bir sayıya eşittir diyor O zaman ben bunun içinde en fazla kaç tane 2 çarpanı var 25'i tutuyorum ikiye bölüyorum 12 defa dersek 24 tekrar ikiye bölüyorum 6 x 2 12 tekrar 2'ye bölüyorum 3 kere 2 6 tekrar 2'ye bölüyorum bir kere 2 2 bölümleri toplayacağım sevgili arkadaşlar bakın bölümleri topluyorum 12 6 Daha 18 3 daha 21 bir daha 22 değil mi Evet 22 yani burada bakın 25 Faktöriyeli ben en fazla Bak şöyle yazabilirim 2 üzeri en fazla bunları topladığımızda 22 oluyor ya en fazla 2 üzeri 22 çarpı geriye bir sayı kalıyor zaten bütün ikileri topladığım için geriye kalan sayıda tek oluyor sevgili arkadaşlar Eyvallah 25 faktör öyle hesapladım ya 25 çarpı 24 çarpı 23 diye yazdım 1'e kadar çarptım tüm ikileri toplarsanız Çift sayıların hepsini toplamış oluyorsunuz yani geriye kalan sayıların çarpımı tek oluyor 2 üzeri yani şimdi bu ifadenin sonucu tekse arkadaşlar tekse o zaman ene en fazla 22 diyebiliriz Peki şunu Sorsaydı bu ifadenin sonucu çift ise çift ise en en çok kaç olabilir arkadaşlar çift olması için buraya bir tane 2 yani şu bir tane ikiyi buraya getiriyorum arkadaşlar bakın burayı 21 yapıyorum Bir tane ikiyi buraya yapıyorum ki getiriyorum ki burası çift olsun o zaman en en fazla 21 olursa bunlar gidecek çift bir sonuç çıkacak arkadaşlar yani eğer çift deseydi en fazla 21 diyecektik haberiniz olsun arkadaşlar faktörü ile ilgili Gerçekten şu ana kadar zor bir soru gelmedi haberiniz olsun hemen bu soruyu çözelim 10 faktör 59 faktöriyele benzeteceğim bakın 9 çarpı 10 Faktöriyeli 10 çarpı 9 faktörel diye yazıyorum eksi Burası 10 çarpı zaten 9 faktöriyeldir yukarısını 9 faktöriyel ortak parantezine alıyorum 9 kere 10 90 - 10 mu oldu He vallahi Ha böyle bir soru geliyor genelde buraya geldik 7 çarpı 8 Faktöriyeli 8 çarpı 7 faktöriyel de yazabilirim artı yanında ne var 8x7 faktöriyel var yani 7 faktöriyel ortak parantezine alıyorum 7 faktörel orta parantezine alsam 7 kere 8 56 + 8 olur arkadaşlar bu 9 Faktöriyeli de A7 faktöriyele benzetelim ha 9 Faktöriyeli 9 çarpı 8 çarpı 7 faktöriyel diye yazıyorum kendime çarpı 90'dan 10 çıkar 80 hocam harikasın sen bir dahisin böyle 7 faktöriyel çarpı 50 bula bunu toplam kaç adet zor 64 mü He 604 Arkadaşlar bunlar gitti mi Evet ay 8'e böl 1 bunu 8'e böl 8'e böl on dokuz kere 10 Valla 90 varmış ışıklarda var cevabımız Evet asal sayılara geldik şimdi her sınavda kesinlikle yani büyük ihtimalle %99 soru gelen bir konudur arkadaşlar hasar sayıları güzel bir şekilde tekrar edelim tekrar arkadaşlar 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan pozitif tam sayılara ne diyoruz Birden büyük pozitif tam sayılara asal sayılar diyoruz asal sayılar pozitif oluyor arkadaşlar 2 3 5 7 11 13 17 bu şekilde Yani ilk 100 tane birden yüze kadar olan tüm asal sayıları yazmışım arkadaşlar bunları son bir kere yazın Bence gözünüzün önünde dursun en küçük asal sayı vallahi ikidir 2'den başka çift asal sayı var mı yok ki hepsi tek çok güzel çok güzel çok güzel Aralarındaki fark 1 olan asal sayılar sadece 3 ve 2'ydi arkadaşlar bakın 3 ile 2 arasındaki fark 1'dir geriye kalan hiçbir 2 asal sayı arasındaki fark bir olmuyor yani bir soruda a ve b asal sayı A - B = 1 değerlerse bana bu Üçtür bu ikidir demeniz gerekiyor arkadaşlar 2 asal sayının toplamı ya da farkının tek olabilmesi için Bunlardan biri 2 olmalı bunu biliyoruz yani iki tane asal sayı mesela a ve b asal sayı olsun ve bunların toplamı Teksen çiftle Tekin toplamı tek olacağından dolayı bir tanesi 2 olmak zorunda bunu da biliyoruz sevgili arkadaşlar Bir de aralarında asal vardı Aralarında asal ne demek birden başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal diyoruz Örneğin 5 ve 7 aralarında asaldır Çünkü her ikisini aynı anda bölen sadece 1 var birden başka pozitif bölenleri yok Dolayısıyla Bunlar aralarında asal olur aralarında asal olmak ile asal sayı olmak aynı şey değildi sevgili arkadaşlar bakın 8 Bir asal sayı mı hayır 15 Hayır ama 8 ve 15 aralarında asaldır Çünkü her ikisini aynı anda bölen sadece 1 var Dolayısıyla Bu ikisi aralarında asaldır 6 ve 8 aralarında asal değil 2 aylık aynı anda böler Bu ikisi aralarda Asal değil 3 her ikisi aynı anda böler 3 hem 15'e hem yerin biri olduğu için aradan daha sonra olamazlar artistlik sayılar zaten aralarında asaldır arkadaşlar 14 ve 15 zaten sadece her ikisini aynı anda böyle bir var Dolayısıyla aralarında asaldır 9 ve 21 her ikisini aynı anda 3 bölüyor bakın birden başka ortak bölenleri olduğu için aralarında asılı olamazlar 32 ve 45 aralarında asaldır her ikisini aynı anda böyle Sadece bir var bir ve 10 aralarından saldırır arkadaşlar birle Bütün sayılar birazdan ortamda bahsedeceğim Çünkü her ikisini aynı anda böyle Sadece 1 var 1'den başka ortak bölenleri yok tanıma uyuyor Bu ikisini aynı anda bölen 5 var aralarda asal olamazlar aralarında asal olmak ile asal sayı olmak Aynı şey değildir arkadaşlar ardışık sayılar aralarında asal oluyor Örneğin 14-15 Bunu biliyorsunuz ardışık tek sayılar da aralarında azalır sevgili arkadaşlar Örneğin 3 ve 5 ardışık iki tek sayıdır ve aralarında asaldır 1 ile tüm sayılar aralarında asal oluyorlar Arkadaşlar bir de pozitif bölen sayı ile negatif bölen sayı bilmem ne över bir bölen sayısı Bunlar vardı sevgili arkadaşlar bunları da tekrar edelim hızlı bir şekilde 2160 sayısı için aşağıdakileri inceleyelim arkadaşlar ne yapacağım 2160'a alacağım kendime asal çarpanlarına ayıracağım ikiye böleceğim bilmem ne siz bu şekilde yaparsınız Ben hızlı bir şekilde bu şekilde hasar çarpanlarına ayıracağım artık temeliniz var 216 çarpı 10 şeklinde yazıyorum 216 Mesela ne yapabilirim asal çarpanlarına ayırıyorum 3 çarpı 72 değil mi 3 kere 2 6 3 kere 7 21 çarpı Burayı da 2 çarpı 5 yapıyorum 2 x 5 10 biraz daha irdeleyelim 3 çarpı Burayı da 9 çarpı bakın 9 çarpı 872 eder çarpı 2 çarpı 5 Evet burası 2 üzeri 3'tür 8 bu 2 üzeri 1'dir Burası 5'tir burası 3'ün karesidir Bu da 3 üzeri 1'dir yani 2 üzeri 4 geldi asal çarpanlarına ayırırsak 2 üzeri 4 geliyor 3 üzeri 3 geliyor dikkat ederseniz arkadaşlar 3 üzeri 3 geliyor Bir de 5 üzeri 1 geliyor Yani kısacası arkadaşlar 2100 60 sayısını asal çarpanlarına ayırdığımız zaman şöyle bir şey geliyor pozitif bölen sayısını bulmak için ne yapıyorduk hatırlıyor musun hocam hocam üstlerini bir artırıp çarpıyorduk eyvallah mesela dördü bir artırın 5 3'ü 1 artırın 4 bunu 1 artırın 2-5 kere 4 20 çarpı 2 40 tane pozitif böleni var 40 tane pozitif böleni varsa 40 tane de negatif böleni var yanlış yapmadık değil mi 5 4 2 8 Evet çok güzel kaç tane negatif böleni varsa o kadar pozitif böleni vardı tam sayı bölenlerin sayısı 40 tane pozitif 40 tane negatif var 40 + 40 toplam 80 tane tam sayı böleni var hasar bölenlerinin sayısı ya asal bölenleri ikidir Üçtür beştir yani 3 tane var asal olmayan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı arkadaşlar toplam 40 tane pozitif böleni var değil mi bu sayının Evet bunlardan 3 tanesi asaldır 3 tane asaldır o zaman 37 tane asal olmayan pozitif böleni var tam sayı bölenlerinin toplamı her sayının tam sayı bölenlerinin toplamı neydi söyle bana valla sıfır harikasın hasar bölenlerinin toplamı asal bölenleri nelerdir arkadaşlar 2'dir 3'tür 5'tir bunların toplamı kaç 17 eder çok güzel asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamı da asal bölenlerinin toplamının eksilisiydi yani -10 pozitif tam sayı bölenlerinin kaç tanesi tektir kaç tanesi çifttir bunu bunları da hatırlayalım Arkadaşlar şimdi 2160 sayısını asal çarpanlarına ayırdığımız zaman 254 x 3 üzeri 3 çarpı 5 üzeri 1 geldiğini daha önce gördük arkadaşlar pozitif tam sayı kaç tanesi tektir diye soruyorsa bakın 2 çift ya Bu hariç diğerlerini bir artırıp çarpıyorsunuz yani üçü bir artırırım 4 bunu 1 artırın 2 4 kere 2 8 çok güzel pozitif tam sayı bölenin kaç sayısı çifttir kaç tanesi çifttir diyorsa hocam bu sefer çiftin üzerinin bir artıracağız Hayır şimdi kaç tane pozitif böleni var 40 tane Bir önceki sırada gördük bu 40 tane pozitif böreğinden 8 tanesi tekse bakın 8 tanesi tek ise geriye kaldı 32 tanesi de çifttir demek bu şekilde gitmeniz gerekiyor pozitif tam sayı bölen kaç senesi 3'ün katıdır kaç tanesi 5'in katıdır falan arkadaşlar bakın Biz sayımızı ne yaptık 2 üzeri dört çarpı 3 üzeri 3 çarpı 5 üzeri bir diye asal çarpanlarına ayırdık kaç tanesi 3'ün katıdır diyorsa bir tane 3 giriyoruz arkadaşlar ne demek istiyorum şöyle yapın Bakın ben size şöyle göstermiştim mantığını da anlatmıştım üçünüsünü artırmıyorsunuz üçü soruyorsa Yani bunu bir artır 5 bunu artırma Çünkü üçü katı soruyor üçü yani üstünü olduğu gibi yaz bunu bir arttır 2 hesapla 5 kere 3 15 x 2 kaç oluyor 30 mu oluyor Evet yani 30 tanesi 3'ün katıdır kaç tanesi 5'in katıdır bu sefer ne yapacağız arkadaşlar 5'in katını arttırmadan yazacağız ama diğerlerini arttıracağız mesela bunu bir artır 4 bunu 1 artır 5 5 kere 4 20 tanesi 5'in katıdır kaç tanesi 15'in katıdır diyorsa arkadaşlar bakın 3 çarpı 5 15 olduğundan dolayı bu sefer hem 3 hem de 5'in katını artırmadan yazacağız bunu artırmadan yaz şunu da artırmadan yaz ama bunu artırarak yaz 5 kere 3 15 çarpı 2 yok bu birdir değil mi 5 kere 3 15 x 1 15 tane var arkadaşlar 15 tanesi 5'in katı çok önemli değil bunlar arkadaşlar hızlı bir şekilde tekrar edilmiş olalım asal sayılarla ilgili gerçekten arkadaşlar gelen sorulara birçok öğrenci takılıyor Örneğin böyle bir soru gelse ne yapacağız a ve b birbirinden farklı asal sayılar bakın birbirinden farklı diyor 3060 çarpı B sayısı A sayısının bir tam katıdır diyor Buna göre A sayısı Aşağıdaki sayılardan hangisine kesinlikle tam böler hangisini böler Şimdi arkadaşlar bakın 360 asal çarpanlarına ayırırsak 360'a asal çarpanlarına ayırırsak ben direkt şöyle yapayım Tamam 2'ye böl 180 2'ye böl 90 2'ye böl 45 3'e böl 15 3'e böl 5 5'e böl 1 yani 2 üzeri 3 değil mi 2 üzeri 3 çarpı 3'ün karesi görüyorsunuz 3'ün karesi çarpı 5 üzeri 1 geliyor çarpı B Yani bu sayı neymiş arkadaşlar A'nın bir katı yemiş yani a çarpı k gibi bir şeydir Arın bir katı bu demek arkadaşlar güzel şimdi an olabilir acaba şimdi a ve b birbirinden farklı asal sayı yani A da asal sayıdır arkadaşlar B de asal sayı bu durumda A ne olabilir a 5 olabilir 3 olabilir 2 olabilir A1 asal sayılar sevgili arkadaşlar yani burada bir eşitlik var o zaman yani bu sayı A'nın katıysa A2 olabilir 3 olabilir veya 5 olabilir bilemiyoruz çok güzel bunu artık anladık A sayısı aşağıdakilerden hangisini tam böler demiş arkadaşlar mesela a bunu böler mi kesinlikle böler mi hangisini kesinlikle böler diyor şimdi buna baktığımız zaman sevgili arkadaşlar Burası 2'nin karesi çarpı çarpı B ya Şimdi arkadaşlar mesela A'ya 5 dersek 5 de olabilir yani bu mesela Hanım bir katı ise A5 de olabilir bilemiyoruz ki A5 olsa bunu bölmez dolayısıyla her zaman bunu bölmeyebilir buna bakıyorum sevgili arkadaşlar 3 çarpı 5 3 çarpı 5 çarpı b'dir Şimdi arkadaşlar A2 olsa bunu bölmez çok güzel buraya bakıyorum 30'a asal çarpanlarına ayırırsak 2 x 3 x 5 Bir de b var bakın A2 de olsa bunu böler A3 de olsa bunu böler A5 de olsa bunu böler o zaman cevabımız Ceyhan Bu kadar basit bakın çözüm çok basit sadece soruyu anlamak gerekiyor Bu neden olmaz arkadaşlar burada 2 çarpanı olmadığı için olmaz Burada da 3 çarpanı olmadığı için olmaz asal sayılarla ilgili bir soru daha çözelim bakın ÖSYM bir tane soru sormuşlar arkadaşlar Mesnevi'de Sanırım bu tarz bir soruyu sormuştu bu DGS KPSS'de de gelebilir bu tarz bir soru bir mantığını anlayalım iki basamaklı ardışık 4 tek doğal sayı belirleniyor Aslında bu soruyu ardışık sayılarda çözecektim arkadaşlar ama asal sayılarla da alakalı olduğu için burada çözmeyi seçtim iki basamaklı ardışık 4 tek sayı bakın 1 2 3 4 tane Ardışık sayı ağırdır şık Ama tek sayı ha artışı tek sayı ya vallahi Bu sayıları oluşturan tüm rakamlar çarpıldığında Yani bütün rakamları çarparsak diyor bu sayı elde ediliyormuş Yani buraya arkadaşlar şuraya şuraya yazsaydım çok güzel olurdu yani Burası a b şöyle yazsam daha hoş olur sizin için ef Bunlar iki basamaklı ardışık tek sayılar arkadaşlar bütün rakamları çarparsak Yani şunu demeye çalışıyor a çarpı B çarpı C çarpı C çarpı e çarpı F çarpı M çarpı Ne yani bu iki basamaklı rakamların hepsini çarparsak hangi sayıyı elde ediyormuşuz şu sayıyı elde ediyormuşuz bakın 3 çarpı 150'nin karesine elde ediyormuşuz arkadaşlar burada yapmanız gereken hemen burayı irdelemek mesela 3 x 150'yi nasıl yazabilirim ben 150'yi yani 150'nin karesi şöyle yazabilirim değil mi arkadaşlar mesela bakın 150'yi alırsınız çeşit çeşit yazarsınız 15 x 10 yazarım ben buraya 3 x 5 15 eder derim ya da 5 x 2 10 eder Yani 2 değil mi bakın 2 çarpı 3 çarpı 5'in karesi şeklinde yazabilirim Yazamaz mıyım yazabilirim de üstünde kare var biraz daha irdeleyelim 3 çarpı bakın 2'nin karesi geldi 3'ün karesi geldi 5 üzeri 2 kere 2 4 geldi yani ben bu ABCD e f m n hepsini çarptığım zaman şöyle bir şey geliyor şimdi mantıklı davranmamız lazım arkadaşlar Bunlar ne ardışık tek sayılar nasıl olabilir ya burada artık Beyin Fırtınası yapacağız Bu Arada Arkadaşlar ben bu soruyu çok daha önce üretmiştim yeni çözeceğim unutmuş olabilirim ama yani çözdüm bunu şu an zorlandım nasıl yapabiliriz Yani biraz daha açalım bunları 3 çarpı yani burada yazıyorum arkadaşlar bakın 3 çarpı şunu yazdım 3 çarpı 3 yazıyorum 3'ün karesini yine çarpı Burada 2 çarpı 2 yazıyorum 5 x 5 çarpı 5 çarpı 5 yazıyorum Tamam bunları aldım şöyle yazdım kendi menfaatlerime göre yazmışım Yani bu şekilde yazmak zorunda değilsiniz yani soruyu çözmek için şimdi 5 tane 5 varsa arkadaşlar burada ne olabilir acaba düşünüyorum Tabii burada 2 var bu iki nereden gelmiş olabilir ardışık tek sayı dediği için son basamak çift olamaz Değil mi arkadaşlar bakın 2 buralara gelemez Bunu biliyorum O zaman 2'nin gelebileceği yer neresidir Burası da burasıdır bir de işin içinde 5 var 2 kere 2 4 mü acaba Burası Onu merak ettim Belli ki bunlar da 5 olacak Valla bulmuşsun sanki Baba Vallahi buldum He vallahi baba baba neler yapıyorum bak birden beyin açıldı Demek ki çözmeye çalışırsa beyin açılıyor 4-5 yani 40'lardan 50'lere geçmiş olabilir çünkü bunlar ardışık tek sayılar bunu da biliyorum Şimdi bir iki üç tane beşli kullandım Öyle değil mi iki tane ikiyi de kullandım İki kere iki dört arkadaşlar 49'dan sonra ki bakın 49 diyorum Çünkü kırklardan 50'lere geçeceğim Şimdi artık tek sayı olarak 3 kere 3 9'u da kullandım 49'dan sonraki artışı tek sayı 51'dir 51'den sonraki ardışık tek sayı 53'tür böylelikle bu üçü de kullandım 53'ten sonraki artışı tek sayı 55'tir böyle Özellikle bu 5'i de kullandım Gerçekten bu 5 3 5 1 5 9 4 bunların hepsini Çarpın Arkadaşlar şu sayıyı elde edeceksiniz ve böylelikle ardışık sayılarımızı bulduk mu bulduk Peki neyi soruyor arkadaşlar Neyi soruyor bakalım bakalım Neyi soruyor diyor ki Buna göre Bu ardıçlık sayılardan en küçüğünün rakamlarının çarpımının sonucunda oluşan sayının pozitif bölen sayısı kaçtır ben biraz abartmışım Arkadaşlar en küçüğünü bul diyor bulduk bulduk en küçüğünü bulduk en küçüğünün rakamlarını çarpıyor çarpalım rakamlarını çarpımını 4 kere 9 36 eder işte oluşan bu son sayının pozitif bölen sayısını bul diyor vay Kitapsızlar Arkadaşlar bunu 2 üzeri 2 çarpı 3'ün karesi şeklinde 4 kere 9 36 ya asal çarpanlarına ayırıyoruz pozitif bölen sayısını bulmak için üstlerini bir artırıp Çarpacağım bunu bir artı 3 bunu 1 artır 3 kere 3 9 Dehşet bir soru hem konuyu tekrar getirdi Biz hem de kendimize kefrettik o ve bu keke Ege son zamanlarda soru gelmese de bir yerde kullandırtıyorlar hızlı geçeceğim arkadaşlar O hep neydi hocam orta bölenlerinin en büyüğüne o web diyoruz ortak katlarının en 24 ile 36'nın obebe Okey nasıl bulunuyordu hocam bunları göre mahvolmuşum işkence yarı çekmek istemiyorum 2'ye böl 12'ye böl 18 bunu Aferin diyoruz 2'ye böl 6 2'ye böl 9 Sana da aferin Hocam neden Aferin diyoruz her ikisini aynı anda bölüyorsa Aferin diyoruz 2'ye böl 3 bunu 2 bölünmediği için aynı şekilde sana aferin yok Her ikisinin aynı anda bölmedin 3'e böl 1 3'e böl 3 sana aferin Çünkü her ikisini aynı anda böldüm 3'e böldüm 1 Aferin alanlar İki kere iki dört dört kere üç on iki obebleri 12'dir hepsinin çarpımı okeytir 2 kere 2 4 4 x 8 x 3 24 x 3 72'de Her ikisinin ortak katlarının en küçüğüdür Arkadaşlar bu şekilde hesaplıyoruz bir de Üstün nicelikler vardı sevgili arkadaşlar bakın asal çarpanlarının üstleri biçimde yazılmışsa Eğer obeb alınırken en küçük ise alıyoruz yani 2 üzeri Buradan en küçük 1'di ya 2 üzeri bir alıyoruz üçün üzerinde hangisi en küçük 2 mi Ha bunu alıyoruz ya bu ne ya da bunu fark etmez bir tanesini alalım 5 üzeri üstü küçük olan bir de 1'i alıyoruz obeb neydi her ikisini Hepsini aynı anda bölendi Dolayısıyla yedeği alamıyoruz Arkadaşlar bu hepsini de bölüyor okeyde de üstü büyük olan alınıyordu mesela 2 üzeri 3 3 üzeri 3 değil 5 üzeri 2 okeyde şunu da almak zorundayız Neden Çünkü burada oluşan sayı Hem bunun hem buradaki sayının hem buradaki sayının katıdır buranın katı olması için 7 üzeri biri de almak zorundayız arkadaşlar aralarında asal olan sayıların obebleri bir okeyleri Bu sayıların çarpımıdır yani a ve b aralarında asarsa Ayla beni o ve bir okeyleri Bu sayıların çarpımıdır ardışık sayılar aralarında asal olduklarında dolayı arkadaşlar a ve ardışık iki tam sayı ise obebleri birdir o kekleri Bu sayıların çarpımıdır yani Örneğin arkadaşlar A'ya 3 değil 3 ile 4 Ardışık sayı 3 ile 4'ün O bebeği gerçekten biridir 3 ile 4 Ardışık sayı ve aralarında asal 3 kere 4 Tamam artık tek sayılar da aralarında asal olduklarından dolayı yine buna uyuyor yani obebleri verir Bu sayıların çarpımıdır ama ardışık çift sayılarda bir kuralımız vardı neydi arkadaşlar ardışık çift sayıların yani a ve ardışık çift sayı ise o webleri daima ikidir o kekleri de bu sayıların çarpımının yarısıdır yani buna bir örnek verelim Örneğin 4 ve 6 arkadaşlar bunların obeb'i gerçekten ikidir okeki de 4 kere 6'yı 24 yarısı 12'dir hesaplarsınız tamam mı Çok güzel Arkadaşlar iki doğal sayının obb ile okeklerin çarpımı Bu sayıların çarpımına eşittir yani obeb AB çarpı okekab a çarpı B eşittir Mesela buraya Bakın obebe ile Okey abinin çarpımı a çarpı b'dir ha a çarpı B eşittir 56'dır demek istiyor Neyi sormuş a + b en az kaçtır toplamların küçük olması için bunu yakın değerler veriyorduk o zaman birbirine en yakın 7 kere 8 50 6 7 ile 8'in toplamı 15'tir cevabımız Ceyhan bu kadar arkadaşlar o ve Okey problemleri ile ilgili sıkıntı yaşıyorsunuz biliyorum Çok şükür son zamanlarda soru gelmiyor ama gelmeyeceği anlamına gelmiyor gelme ihtimali çok düşüktür bir yerde kullanıyoruz lütfen bütünden parçaya gidiliyorsa o web kullanılır parçadan bütüne gidiliyorsa Okey kullanılır En azından bunu tekrar edelim arkadaşlar Peki o ve bu kekle ilgili bakın güzel bir soru yazdım İki basamaklı iki doğal sayının en büyük ortak böleni Bir asal sayının karesine eşitse Bu sayılara defol git sayılar denir Örneğin 12 ve 24 sayıları için obeb 12 ve 24 4 olduğuna göre bu sayılar defol git sayılardır gerçekten defol git diyelim Hepsi Bir konusu iki basamaklı A2 ve 2A sayıları defol git sayıları olduğuna göre kaçtır Arkadaşlar şimdi defol git ne demek mesela 12 ile 28'in O bebeği 4'tür 4'te 2'nin karesidir yani Bir asal sayının karesi olduğundan dolayı bunlar Defol git sayılardır şimdi bu ikisi Defol gitse Tamam A2 ve 2A öyle bir şey demeliyim ki Arkadaşlar obebleri biz asal sayının karesi çıksın A ne olabilir yani A1 olabilir 2 3 4 5 6 7 8 9 10 olabilir Ben de o şekilde Burası A1 olabilir 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Defol git ya Defol Burası zaten ikidir ha ne biçim bir konuşsun sen Ya defol git oğlum demeyeceğiz abi rakamdır rakamdır Niye benim başıma yani Burası ikidir arkadaşlar yani şimdi anlaşılsın diye böyle uzun uzun yapıyorum ha yoksa bana ne ben burada perişan olmuşum Şimdi arkadaşlar bakalım A nedir acaba bunlar neymiş defol git sayılarmış obebleri demek ki bir sayının karesi olmalı Örneğin A1 mi acaba 12 ile 21'in obeb'i nedir Arkadaşlar 3'tür biz asal sayının karesi olmadı bu olmadı 22 ile 22'nin obebi 22'dir bir asal sayının karesi değil 32 ile 23'ün obebe 1'dir olmadı 42 ile 24'ün hocam bir birim karesidir asal sayının karesi demiş 42 ile 24'ün O bebeği 6 mı 6'dır asal sayının karesi olmadı 52 ile 25'in o ve 1'dir olmadı 62 ile 26'nın obebe 2'dir olmadı 72 ile bulmuşum Vallahi bulmuşum 72 ile 27'nin O bebeği 9'dur yani Bir asal sayının karesi mi Evet o zaman a kesin 7'dir fazla uzatmayalım ayı bulunur çok güzel arkadaşlar bazı ses çıkaran Bu ikisi küçükkendir ha bu x küçük Eşitlik nedir bu x büyük yedir bu x büyük eşit gelir bunları biliyorum artık Hani sizin her tarafına aynı sayı ekler çıkarırsak eşsizlik değişmiyordu bunları göreve konuşuruz Arkadaşlar biraz sizin her tarafını pozitif sayı ile çarpar ya da bölersek eşlik yön değiştirmiyor Örneğin abi ile çarparsam eşsizlik yön değiştirilmiyor ya da bölersem eşitsizlik yön değiştirmiyor ama ve lakin genelde sorular bununla alakalı geliyor Bir de sizin her tarafını Negatif bir sayı ile çarparsak ne oluyordu Tabii ki de eşitsizlik yön değiştiriyordu yani Örneğin a negatif olsun yani küçük y olsun Eğer hem x'i a ile çarparsan hem y'yi a ile çarparsam o zaman eşitsizlik yön değiştirecek bakın tam tersine dönüştü Çünkü a negatif ya da x küçük e olsun Ben x'i de A'ya böldüm Y'ye de A'ya böldüm eşitsizlik yön değiştirecek bunları bilmemiz lazım arkadaşlar Bir sayıdan kendisinden büyük bir sayı çıkartırsak sonuç negatif olur bir sayıyı kendisinden küçük bir sayı çıkartırsak sonuç pozitif olur bunları Biliyoruz zaten Yani x küçük y x y'den küçükse x - yerine negatif olur Çünkü küçükten büyüğü çıkartmış y eksi x Yani büyük bir sayıdan kendisinden küçük bir sayı çıkarttığımızda pozitif olur bunları biliyoruz bira sizin her tarafına aynı A sayısı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirmiyorsa pozitiftir arkadaşlar zaten bunu da bir önceki slayta söyledim ama yani iki küçük ya bakıyorsunuz İkisi de a ile çarpmış y ile a ile çarpmış ve eşsizlik yön değiştirmemiş o zaman a pozitiftir diyeceksin He vallahi görmede de aynı şey söz konusu ya da bakıyorsunuz x küçük ya x a ile çarpmış y'yi de a ile çarpmış eşitsizlik yön değiştirmiş o zaman demek ki negatif yani her iki tarafın negatif bir sayıda çarptığımız için eşitlik yönü değiştirmiş tamam sevgili arkadaşlar Eğer x veya aynı işaretli ise x küçük y ise takla atarsak 1 bölü x ile 1/iyeden büyük olur Bakın eşitlik yönü değiştirir Eğer X ve Y aynı işaretliyse Bunlar ezberlemenize gerek yok yani ha Örneğin iki küçük beştir aynı işaretli 1/2 mi büyük bir bölü 5 mi büyük Tabii ki de 1/2 daha büyüktür bakın eşitlik yön değiştiriyor Eğer X ve yazıt işaretliyse x küçük y ise takla atılırsak yine eşitsizlik korunuyor gerçekten öyle değil mi arkadaşlar Örneğin bakın -2 5'ten küçüktür burayı 1/ -2 yapıyorum buraya da 1/5 yapıyorum bu yine büyük oluyor bakın pozitif sayılar her zaman büyüktür yani eşitlik değişmez A ve B aynı işaretli ise sevgili arkadaşlar x a ile b arasında ise eğer hepsini takla attırırsak Yani bunu bir böyle bunu 1/x bunu 1/b yaparsak eşitsizlikler yön değiştiriyor tamam mı bakın eşitsizlik iller yön değiştiriyor aynı işaretliyse soruların başında Eğer bilinmeyenlere tam sayı diyorsa değer vererek çözüyorduk arkadaşlar basit eşitlikler konusunda eğer reel sayı diyorsa değer vermeden çözüyoruz Bir de bu çok önemli bir notu 0 ile bir arasındaki sayıların karesi kendisinden küçüktür arkadaşlar yani x 0 ile 1 arasında ise x kare küçük x'tir bunu da artı tekrar etmiş olduk Bir de arkadaşlar bakın 2017'deydi sanırım DGS'de bu tarz Bununla ilgili bir soru gelmişti biri sizin karesini almak önemlidir hatırlayalım tekrar Her iki taraf pozitif Yani bir açısının karesini aldığımızda Neler oluyordu eğer her taraf pozitifse arkadaşlar Düz mantık eğer her taraf negatif ise karelerini alıp tersten yazıyorduk Eğer bir taraf pozitif Diğer taraf negatifse büyük eşit 0 yapıp karesi büyük olanı sağa yazıyorduk ne demek istiyorum Bakın bu da pozitif Bu da pozitif Bu da pozitif Bu da pozitif o zaman X'in karesini alırken Düz mantık direk 2'nin karesi 4 5'in karesi 25 düz mantıka pozitif pozitif o zamana koştur ilk kare büyüktür 3 'ün karesi 9 küçük eşit Bak bunun aynısını yaz 4'ün karesi 16 Düz mantık öyle hoştur bunu Hallettik eğer her tarafına alıp Tersane yazıyorduk arkadaşlar burada Mesela bakın negatif negatif negatif negatif o zaman x kareye yazarsak Şimdi arkadaşlar bakın -2'nin karesi 4 4 buraya gelir eksiği 4'ün karesi 16 16 buraya gelir zaten anlamlı olması için de bu olması gerekiyor çok uzun mantığı ne abi sen 16'yı 4'ü buraya yazarsan anlamlı olmaz tamam hocam her taraf negatif x kareyi yazdım -3'ün karesi 9 büyüktür 9 yazacağım -5'in karesi 25 25'i buraya yazacağım Bak 25'in çocuğudur ha çocuğuyla beraber getir çocuğu Ağlamasın Tamam çok güzel arkadaşlar bir taraf pozitif Diğer taraf negatifse Bir sayının karesi negatif olamıyordu bakın negatif pozitif negatif pozitif negatif pozitif bir sayının karesi yani x kare daima büyük eşit 0'dır karesi büyük olan hangisi 4 mü 4'ün karesi 16 16'yı da buraya getiriyorum bu kadar bir taraf negatif Diğer taraf pozitif hocam bir sayının karesi daima 0'dan büyük eşittir ha Bunun karesi 1 bunun karesi 9 a bunu getireceksin çocuğuyla beraber getir ha çocuğuyla beraber getir x kare büyük eşit 0 -4'ün karesi daha büyük 16'yı getirdim çocuğun da getir ağlamazsın tamam şimdi basınçlarla ilgili ne tarz bir soru çözebiliriz Arkadaşlar bu arada şuraya silin lütfen pdf'de de silin Arkadaşlar ben bunu yanlış yazmışım bu tarz bir deneme soruyu denemeye de koymuştum D'nin karesi yok orada arkadaşlar benim karesi olduğu zaman çıkmıyor Ne yazık ki PDF da düzelteceğim zaten eşi sizliğimiz bu Hocam nereden biliyorsunuz abi soruyu ben üretmişim Yanlışlıkla yazmışım Buna göre diyor hangileri daima Doğrudur Arkadaşlar öncelikle bakın A'nın karesi yani Burası 0'dan küçüktür Bir sayının karesi daima pozitiftir C kesinlikle negatiftir Çünkü arkaya eksi küçük 0 olur C'nin işareti kesinlikle negatif cng ise Arkadaşlar burası da negatif bakın 0'dan küçük o zaman eksiye artı ile çarparsam negatif olur yani B kesinlikle artıdır buraya geldim B artı mı Evet bu ikisinin çarpımı 0'dan büyükse artı ile artının çarpımı sıfırdan büyük olur Demek ki A da artıdır ABC'nin işaretleri sırasıyla artı artı eksidir diyor Vallahi helal olsun doğru söylüyor C küçük a küçük b'dir arkadaşlar bakın İlk önce ilk önce ben Şurayı halledeyim size bakın şunu aldım getirdim orası nedir B çarpı C küçükmüş a kare çarpı c c nedir negatif Öyle değil mi Ben her iki tarafını C'ye bölsem yani negatif bir sayıya bölsem bu eşitsizlik yön değiştirmez mi Evet o zaman Ne oldu b büyüktür a kare oldu değil mi Bunlar gitti bakın demiş B büyük a kare Evet bu da doğru ama bunun hakkında herhangi bir yorum yapamıyoruz sevgili arkadaşlar cevabımız 1 ve 3'tür hocam Efendim Bunun hakkında Nasıl yorum yapamıyoruz şimdi değer verelim Tamam mı Mesela bakalım O her zaman doğru mu acaba örnek veriyorum Şimdi a de pozitif B de pozitif diyelim ki bu eksi Zaten siz bunu -1 dediniz diyelim şimdi A'ya 1 dediniz B2 dediniz sağlıyor mu sağlıyor mu aya 1 dedik B'ye 2 dedim buraya -1 -1 Evet sağlıyor yani -2 küçük -1 oldu peki Şöyle sağlar mıydı buna 2 buna 1 desek sağlamıyor Tabii ki sağlamıyor Peki başka ihtimal düşüne düşünürsek Mesela ben şöyle bir şey desem A'ya 1/2 diyelim Baya da 1/3 diyelim tamam mı Bu durumda bakın a daha büyüktür burayı sağlıyorum o Şimdi arkadaşlar bakın A yerine b yerine 1/3 yazıyorum A yerine 1/2 yazdığımda 1/2'nin karesi 1/4 olur Bunu -1 bu da -1'dir ya burası -1/3 Oldu -1/3 oldu Burası -1/4 oldu -1/4 oldu bakın -1/3 daha küçüktür sağladı sağladı Şurayı da sağlıyor Dolayısıyla abd'den büyük de olabilir Umarım anlaşılmıştır arkadaşlar Hocam bu nasıl Bundan büyük faydalar eşitlikle göreceksin güzel sevgili arkadaşlar mutlak değer konusuna geldik biri en doğal sayısının sayı doğrusu üzerinde başlangıç noktasına olan yani 0 olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir arkadaşlar mutlak değer nedir Bir uzaklık kavramıdır bunu biliyoruz 5'in mutlak değeri Vallahi beştir bu ne anlama geliyordu 0 başlangıç noktasıydı Bunu unutmayın lütfen notunuzu alın arkadaşlar başlangıç noktası diyorsa bir soruda 0 gelsin aklınıza 5'in 0'a olan Tabii sayı doğrusu üzerinde 5'in sıfırı olan uzaklığı arkadaşlar 5 birimdir O yüzden 5 diyoruz -5'in 0'a olan uzaklığı 5 birim olduğu için yine 5 diyoruz tamam mı bütün mutlak değeri 3'tür bunları Biliyoruz zaten arkadaşlar bunları biliyoruz mutlak değer Her zaman pozitif çıkar Çünkü sıfır mutlak değeri de 0'dır Çünkü mutlak değer bir uzaklık kavramıydı bir tek sıfırın mutlak değeri sıfırdır sevgili arkadaşlar yani mutlak a eşit 0 dediği zaman öyle a0'dır dememiz lazım mutlak değerli bir ifadenin sonucu negatif olamaz ki bunu biliyoruz mutlak değerli bir ifadenin alabileceği en küçük değer 0'dır şimdi negatif olamaz 1 - 3'e eşit mi Evet ikisi de 2'dir mutlak xrp y mutlak x çarpı mutlak y yazabiliriz mutlak x bölü y'yi mutlak x bölü mutlak y yazabiliriz bunu yanlış yazmışım mutlak isterseniz kuvvetini alıp mutlak değerini alın isterseniz mutlak değerini alın sonra kuvvetini alın hiçbir şey fark etmiyor mutlak değerli denklem ve eşitsizlikler sevgili arkadaşlar Eğer mutlak değer eşit a ise bir artılısı bir eksisine eşitliyoruz bunları hızlı örnekler vereceğim sevgili arkadaşlar Örneğin mutlak x - 1 = 7 ise o zaman alabiliyorum x - 7'ye eşitleyeceğim x - 1 yi Bir de eksi 7'ye eşitleyeceksin burada x eşittir 8 çıkar Burada da x eşittir -6 çıkar buraya Hallettik Eğer mutlak x ise mutlak a ise yine bir artırılması ve eksiltesine eşitliyoruz sevgili arkadaşlar Aynen bunun gibi ha Aynen bunun gibi yani ne demek istiyorum Örneğin mutlak atıyorum x + 1 olsun Burası eşittir mutlak ne yapacağım ya da burası 2 olsun Burası da 3 olsun tamam mı Ne yapacaksınız Arkadaşlar bir tanesini alacaksınız bakın bir tanesini referans alacaksınız Diğerinin bir artılısı bir eksilsin yani 2x + 3'ü alıyorum x'e eşitliyorum 2x + 3 alıyorum Bir de eksi x'e eşitliyorum buradan mesela bakın x = -3 çıkıyor Buradan da 3x = -3'ten x = -1 çıkıyor ikisini alabileceği bir değer -3'tür diğeri de -1'dir artık Neyi soruyorsa kendimize kef ediyoruz Eğer mutlak x küçük a diyorsa sevgili arkadaşlar x'i ortaya yazıyorduk eksi a büyük + a Sağlı sollu yazıyorduk Buna da bir örnek verelim Örneğin diyelim ki mutlak iki x - 1 küçüktür 5 olsun o zaman 2x - biri ortaya yazıyoruz küçüktür 5 büyüktür eksi 5 yazıyorduk Eğer Burası küçük eşit olsaydı arkadaşlar Buraya küçük eşit Buraya küçük eşit yazacaktık sonra gerisini biliyorsunuz zaten bunu buraya buraya İsterseniz onu da yapayım bu tarafa bu tarafa atın -4 küçük eşittir 2x küçük eşittir -1 +1 olarak gönderdim 2'ye böl -2 küçük eşittir 2'ye böl x küçük eşittir 2'ye böl 3 şöyle bir şey çıktı Bunu da halletmiş olduk sevgili arkadaşlar buraya Hallettik buraya Hallettik buraya Hallettik şuraya bakalım sevgili arkadaşlar mutlak x büyük a diyorsa x büyük a yazıyoruz Bir de eksi x büyük yazıyoruz Bununla ilgili soru geleceğini zannetmiyorum yine de aklınızda bulunsun arkadaşlar a ile b arasında ise mutlak x Eğer böyle bir şey varsa Arkadaşlar bu ortadaki var bakın Bak a ve B'ye hiçbir şekilde karışmıyorsunuz Tamam mı x'i bir x olarak dışarı çıkartıyorsunuz Bir de -x olarak dışarı çıkartıyorsunuz arkadaşlar sayı doğrusu üzerinde ilk sayısının y sayısına olan uzaklığı mutlak x eksi yedir bakın lütfen bu tekrarda En azından bak konu anlatımında işledim ikinci tekrardan işledim yine bir şans veriyorum size bunu öğrenin bir yerde karşınıza gelebilir sayı doğrusu üzerinde 3'ün 5'e olan uzaklığı kaç birimdir mutlak 3 - 5'tir yani 2 mutlak değer ikidir mutlak değerin sonucu negatif olamaz 1/8'in 3/4'e olan uzaklığı kaç birimdir hocam budur Tamam çok güzel mutlak değerle ilgili ne tarz sorular gelebilir sevgili arkadaşlar Bakın bu tarz bir soru gelebilir demiş ki mutlak a+b büyüktür a+b bu ne olabilir mesela Yani normalde a + b = a+b olması gerekmiyor mu Evet o zaman a+b negatiftir Bence yani Burası eksi a artı benim modlarını aldığım zaman artı olmuş ki buradan büyük olmuş yani a+b'nin 0'dan küçük olduğunu biliyorum ayrıca sevgili arkadaşlar a eksi B büyük sıfır demiş bunu yanlış yazmışım sevgili arkadaşlar mutlak değer zaten bir iki seferdir bu eşit 0 olacak Lütfen düzeltin Arkadaşlar bunu yanlış yazmışım mutlak a - b eşit 0 demiş Bu ne anlama geliyor arkadaşlar Demek ki A - B = 0'dır Bu ne anlama geliyor demek ki A B'ye eşittir tamam mı Çok güzel Benim toplamda negatif o zaman arkadaşlar Demek ki İkisi de negatiftir Çünkü İkisi de birbirine eşit a b yerine de a yazabilirim küçük 0 bakın 2A küçük 0 oldu Demek ki a küçük 0'sa b de küçük 0 ve birbirine de eşit şimdi ben bu ikisine bakarak bunu anlıyoruz tekrar ediyorum Arkadaşlar burası eşit olacak o yüzden eşittir b dedim Şimdi artık ben b yerine a yazabilir miyim bakın B gördüm Her yere A yazıyorum arkadaşlar tamam mı Her yeri A yazıyorum Burası mutfak eksiği oldu Öyle değil mi 2A -3a eksi a artı Burası mutlak 3A zaten artı Burası da mutlak -2a şimdi sevgili arkadaşlar eşittir 48 sevgili arkadaşlar Ben sana ne dedim mutlak değerin içine eksi varsa artı yapın gitsin Çünkü mutlak değeri -x mutlak değeri x'e eşit güzel burası Ne oldu mutlak A oldu artı 3 dışarı çıkar mutlak 3 tane mutlak A oldu orası He valla artı Burası da 2 tane mutlak A oldu neye eşit 48'e biraz daha irdeleyelim 3 2 daha 5 Bir de burada 6 tane mutlak a eşitlik 48 ise mutlak A eşittir 48'i 6'ya böl 8 değil mi o zaman A'ya 8'dir ya da -8'dir A'nın daha önce eksi olduğuna kanaat getirmiştik Demek ki A -8'dir arkadaşlar Demek ki A nedir -8'dir bd-8'dir -8 x -8 cevabımız 64 olacak cevabımız Edirne Umarım bir yerde hata yapmamışımdır hemen hızlı bir şekilde kontrol edeyim arkadaşlar evet evet evet evet evet evet evet evet 3 1 3 daha 4-2 daha 6 8 Evet çok güzel yanlış yapmışsam da artık Kusura bakmayın yanlış yapmamışımdır ya doğru sözmüşüm ve mutlak değerle ilgili Arkadaşlar şimdi mutlak değerle ilgili bir sorudur Aslında mutlak değeri kullanmasak da çözebiliriz Arkadaşlar çok güzel bir soru sayı doğrusu üzerinde a ve b sayılarının -3 sayısına olan uzaklıklara eşittir C sayısının B sayısına olan uzaklığı ise bir buçuk birimdir a harfi b 11/4 olduğuna göre a + b + toplamı kaç olabilir bakın kaç olabilir demiş bir de arkadaşlar sayı doğrusunu çiziyoruz kendimize ilk önce bir sorunun ne demek istediğini bu arada camı açmışım arkadaşlar ve sesi falan korna sesi bilmem ne sesi gelebilir Kusura bakmayın Çünkü burası gerçekten dehşet sıcak oldu klimada bana çarpıyor hasta oluyorum a ve b sayılarının -3 sayısına olan uzaklıkları eşittir Şimdi -3 burada olsun sevgili arkadaşlar bakın anında beyninde -3'e olan uzaklıkları eşittir yani Örneğin örnek veriyorum Burası a Burası B olsun tabi bilmiyoruz Burası B Burası A da olabilir Onu bilmiyoruz sanki hangisi olabildiği bilir dediği için zor bir soru Demek ki arkadaşlar yani anında B'nin de -3'e olan uzaklıkları eşittir Bu uzaklığı kaç birim olsun diyelim ki x birim olsun yani A'nın -3'e olan uzaklığı x birim olsun B'nin de -3'e olan uzaklığı şimdi bu tarafa doğru sayılar artmıyor muydu Evet -3'e x ekle Burası -3 + x'tir Yani bu nokta -3'ten x çıkar bu noktada -3 - x'tir değil mi Örneğin 2 olsa bu 2 birim olsa -3'ten 2 çıkar Burası -5 olurdu Anladım O zaman arkadaşlar bakın A bu oluyor B de bu oluyor şu anda verdiğimiz değerlere göre yani Belki de bu olabilir o önemli değil Şimdi a ile beni çarpımını bize vermiş a ile benim çarpımı da bu ikisinin çarpımı değil mi Evet bu ikisini Çarpın yani -3 - x ile -3 + x'i çarpıyorum sonuç kaç Gelmiş 11/4 gelmiş 11/4 arkadaşlar bakın zaten dikkat edin bu iki kare farkıdır -3'ün karesi 9 - x'in karesi x kare eşittir 11/4 oldu şimdi Bu tarafın bu tarafa atalım 9 - 11 / 4 eşittir x kare 36'dan 11 çıkar 25/4 eşittir x kareden buradan x = 5/2 sonucuna ulaşıyoruz x zaten bir Burası uzaklık olduğu için pozitif olacak x5/2'dir arkadaşlar x'i bulduk şimdi peki 5/2 nedir 2 buçuktur Öyle değil mi arkadaşlar artık X'in 2.5 olduğunu biliyorum muyum Evet şimdi artık ben biliyorum Burası iki buçuk birimdir Burası da iki buçuk birimdir yani A'nın -3'e olanınızda Yani bu sayının -3'e olan uzaklığı iki buçuk birim bu sayının da -3'e olan uzaklığı iki buçuk birimdir o zaman -3'e 2,5 ekle yani x yerine 2 buçuk yazarsam Burası ne olur Değil mi arkadaşlar -3 Arkadaşlar C sayısının B sayısına olan uzaklığı ise bir buçuk birimdir şimdi C nerede olabilir sevgili arkadaşlar C nerede olabilir bakın a n a ve B'nin toplamını artık biliyorum değil mi a ve B'nin toplam bu X'in toplamdır -5 buçukla eksi 0 5'in toplamı -6'dır C'yi de bulursam olayı bitiririm C nerede imiş C'nin B'ye olan uzaklığı 1,5 birimdir o zaman C burada olabilir şurada olabilir burada olabilir burada olabilir Bir sürü Varyasyon var Arkadaşlar C burada olursa eğer mesela buna bir buçuk birim demiş ya Bir buçuk eklersem 1 olmaz mı Mesela C1 olabilir o zaman Eyvallah Çünkü arkadaşlar bakın C'ye bir dersen biri -05'e olan uzaklığı gerçekten kaç milim oluyor -05'e olan uzaklığı Burası 0 olsa mesela bakın bir buçuk verim oluyor ha O zaman cevap -5 olabilir sıklarda da -5 var direkt sıkılıyoruz geçiyoruz Ha şunu size söyleyeyim Arkadaşlar C Burada da olabilir bu B olursa Burada da olabilir ben soruyu biraz abartmışım ÖSYM bu kadar şey yapmaz C'nin pozitif olduğunu olduğuna göre Mesela bu soruya ekleyelim arkadaşlar C pozitif tam soruya ekleyin c pozitiftir pozitiftir diye eklerseniz daha hoş olur o zaman cevap kesinlikle diyoruz Evet sevgili arkadaşlar şimdi sayılar kısmını bitirdik Cebir kısmına basıyoruz arkadaşlar sıradaki konumuz rasyonel sayılar konusu sevgili arkadaşlar rasyonel sayılar zaten Çok basit olduğundan dolayı hızlı bir şekilde geçiyorum arkadaşlar ve soru kesin geliyor haberiniz olsun DGS KPSS ALES'te genelde ilk sorumuz rasyonel sayı oluyor haberiniz olsun sevgili arkadaşlar a ve b birer tam sayı olmak üzere bl0'dan farklı olacak A bölü B biçimindeki yazılan sayılar rasyonel sayı diyoruz abi pay buna payda diyoruz kesir çizgisi B sıfırdan farklı olmak zorunda değil arkadaşlar Örneğin Bunların hepsi birer rasyonel sayıdır tamam Bakın a0'dan farklı arkadaşlar Eğer pay 0'sa sonuç 0'dır payda sıfırsa tanımsız pay ve payda İkisi de sıfırsa ne oluyordu söyleyin bana bakalım belirsiz oluyordu harikasın basit kesir neydi arkadaşlar işarete bakılmaksızın Payı faydasından küçük olan sayılara ne diyoruz basit kesir diyoruz Örneğin 1/4 bu bundan küçük bu bundan küçük bu bundan küçük falan bileşik kesir neydi Payı paydasından büyük veya eşiti arkadaşlar yani bunun tam tersi 3 2'den büyük 5 3'ten büyük iş işarete bakmıyorsunuz 72'den büyük bunu gizli paylaşması bir mesela Pay paydadan büyük Pay paydadan büyük Mesela buraya Bakın arkadaşlar paydadan küçüktü O yüzden basit keserdi güzel arkadaşlar rasyonel sayılarda işlemleri biliyorsunuz zaten bakın Ne yapıyoruz hocam Var da paydaları işliyoruz buraya 3 ile burayı 2 ile 3 kere 3 9 artı 2 kere 1 2 bölü paydamız da 12 yani Yukarısı 11 aşağısı 12 olacak değil mi bu kadar Bu ne wala 8/9'u kendimize yazıyoruz şunu da ters çevirip çarpıyoruz yani 27/16 yapıyoruz ha 8 ile 16'yı değiştirdim 2 oldu 27 ile 9'u sadeleştirdim 3 oldu cevap 3/2 05 hocam 5/10'dur sadeleşirsen 1/2 olur ha hocam Burası 15 böyle 10'dur ha bunu 5'e bölsem 3 olur Bunu 5'e bölsem 2 Yani 3/2 bu ne demek hocam 125'i yazıyoruz böyle 1 yazıyoruz virgülden sonra iki tane olduğu için iki tane sıfır sadeleştirmeyi sana bırakıyorum bu ne hocam devreye diyor Ha bu üç bölü 9'dur He valla bir boru 3 Bu neydi hocam sayının tamamını yazıyorduk eksi virgülden şey devretim yani sayının tamamından devre etmeyen bir var böyle virgülden Sonra bir tanesi devriliyor 9 yani 12/9 oluyor buraya geldik sayının tamamını yazıyoruz eksi sayının tamamından devretmeyen Yani virgülsüz 12 bölümden sonra bir tanesi devrediyor bir tane 9 bir tanesi devretmiyor bir tanesi sıfır artık Arkadaşlar bu işlemleri yapmanıza gerek yok formülleri hatırlayalım Eğer 9 veya 99 gibi şeyler devrediyorsa Arkadaşlar bir önceki rakama bir ekliyorduk Öyle değil mi Mesela buna Direkt 1 ekleyin cevap 5 buna 1 ekleyin cevap 3 bunları da hatırlamış olduk arkadaşlar Hasan sayılarda sıralama paydaları eşitlersek mesela bakın burada paydaları eşitlemek daha kolaydır bu 2 ile genişletirsek kere 2 4 2 kere 3 26 oluyor iki kere 5 10 2 kere 3 26 oluyor bakın paydalar eşit pay büyük olan büyük oluyor yani 10 en büyük Yani b en büyük daha sonra 4 Yani a3'te en küçük yani C küçüktür a küçüktür B bazen de arkadaşlar bakın paydaları eşitlemek zordur payları eşitleyebiliyoruz Burada burada özür diliyorum paylara işte Mesela burada paydaları eşitlemek zordur ama payları eşitlemek kolaydır arkadaşlar payları nerede eşitleyebiliriz 12'de yani bunu 3 ile genişletiyorum bunu 4 ile genişletiyorum bunu da 6 ile genişletiyorum alt kere 2 Burası bakın Burası artık 12 6 kere 7 42 oldu 4 kere 3 Burası 12 4 kere 11 44 oldu değil mi Evet evet evet evet 3 kere 4 12 3 kere 13 39 oldu paylara eşitledik mi Evet pay büyüdükçe sayı küçülüyor O zaman burada bakın 44 en büyük o zaman B en küçüğü daha sonra 42 yani a C'nin paydası en küçük olduğu için o en büyük olacak yani C en büyük olacak b küçüktür a küçüktür C arkadaşlar basit kesirlerde pay ve payda arasındaki farklar eşitse sayılar büyüdükçe kesir büyüyordu bileşik kesirlerde de tam tersi mesela bakın pay ve payda arasındaki fark bir pay ve payda arasındaki farkı 1 fark 1 basit kesir basit kesir basit kesir O zaman bu en büyüktür sayısı büyük olan en büyük oluyor Payı büyük olan en büyük oluyor Payı küçük olan en küçük oluyor tamam mı Arkadaşlar ortada da olan arada oluyor bileşik kesirlerde de bunun tam tersi bir söz konusu mesela payda arasındaki fark 2 fark 2 fark 2 bileşik bileşik bileşik o zaman sayılar büyüdükçe kese küçülüyordu birleşik kesirde Demek ki bu en büyüktür sonra B bunu faydası en büyükse bu en küçüktür Tamam bunları hatırlamış olduk arkadaşlar rasyonel sayılarla ilgili açıkçası şöyle bir soru bekliyoruz O yüzden hani hızlı bir şekilde geçiyorum konuyu tamam mı 4 kere 2 8 den 3 çıkar Vallahi 5/4 çarpı 3 kere 2 6 6'dan 4 çıkar Vallahi 2 boru 3 He vallahi bölü 5/6 Aha şimdi yukarısını yazalım 5 bölü 4 çarpı 2 bölü 3 çarpı bunu da ters çevirelim 6 bölü 5 şu 5'ler gitti mi Evet başka 6 ile 3'ü sadeleştirdim 2 oldu 2 kere 2 4'ü götürdü cevap 1 yanlış yapmamışsam cevap verir Arkadaşlar bir daha hızlı bir şekilde kontrol edeyim 4 kere 2 8 5 çıkar Evet evet evet 6'dan 4 çıkar 2 böl 3 5/6 5/4 2/3 arkadaşlar bakın 3 bu 3 eşit parçaya bölünmüş bu 4 eşit parçaya bölünmüş Bu da 5 eşit parçaya bölünmüş üçünün de kapasitesi eşittir yani alabilecekleri yakıt miktarı eşittir o zaman 3 4 5 ve nerede nerede eşitlenir Arkadaşlar bunlar okeklerine bakıyoruz 5 kere 4 20 çarpı 3 60 yani her biri 60 litre alsın diyelim a aracı da 60 litre yakıt alsın bu da 60 litre Bu da 60 litre eşit dediği için o zaman 60'ı 3'e bölsem burada her bir parçası 20 litre olmaz mı 60'ı 4'e böl 15 her bir parçası burada 15 oldu 60'ı 5 eşit parçaya böl 65'e bölsek 12 her bir parçası 12 oluyor Şimdi arkadaşlar toplam yakıt miktarı ne kadar Normalde 60 + 60 + 60 3 kere 60 180'de bakın 180'de Ne kadar kullanılmış şurası kullanılmış bir de burası kullanılmış değil mi kullanılmış demiş bunlar doludur mavi olanlar doludur bize söylemiş o zaman burası 15 artı 15 30 litre burada kullanılmış 12 + 12 24 filtre burada kullanılmış toplam 54 litre yani 180'den 54'ü kullanılmıştır bunu da hesaplarsak 9'a böl 6 bunu 9'a böl 20 cevabımız 3/10 sadeleştirirsek 3 bölü 10 sonucuna ulaşıyoruz cevap Adana üslü sayılara geldik sevgili arkadaşlar üslü sayı neydi enter'a ikisini yan yana çarpımına x üzeri n diyoruz burada x'e taban diyoruz arkadaşlar ene de üst kuvvet diyoruz bunları biliyorsunuz zaten enter'a ikisini yan yana çarptım ve x üzeri en iyiydi en tane ikisini yan yana toplamı ise en çarpı x'ti 3'ün karesi olacağım 9'dur bunları göre göre mahvolmuşum Hızlı geç -5'in karesi Vallaha artı 25'tir Harikasın Burası eksiği etkileyen bir şey yok 5'in karesi 25 Burası eksinin T kuvveti -2 üzeri 38'dir Bu Ne 3'ün karesi 9/5'in karesi 25 harikasın Arkadaşlar bir odamız var 0 hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti birdir 3 üzeri 0 wala 1'dir 4 üzeri 0 wala birdir 5 lira ha Bu ikisi arasındaki fark önemlidir ha parantez varsa 0 hepsini etkiliyor hepsini 1 yapıyor parantez yoksa eksiyi etkileyen bir şey yok 5 üzeri 01'dir Tamam 1'iner kuvveti birdir 1'in karesi olabilir 1'in küpü 1 1 üzeri bilmem ne 1 üzeri belli bir çok güzel eksinin çift kuvveti artıdır eksinin tuvaleti eksidir arkadaşlar eksinin çift kuvveti mesela Burası +9 oluyor değil mi tek kuvveti -2 üzeri 38 Vallahi eksinin çift kuvveti Artı 2 üzeri 4 olarak 16 böyle bu arasındaki fark ne burada parantez yok parantez yoksa eksi etkileyen bir şey yok 2 üzeri 4 Vallaha 16 eksiği etkileyen bir şey yok 3'ün karesi 9 harikasın arkadaşlar x üzeri -1 1/xti x üzeri eksi Yani 1/x yani böyle B üzeri -n ters çevirirsek üst artıya dönüşür Üstün üssü böyle bunu çarpıyorduk tabanları aynı ise üstler toplanıyordu tabanlar aynı ise bölmede üstler çıkarılıyordu Eğer üstler aynıysa çarpmadan tek üst halinde çarpıyoruz tek yüz halinde bölüyoruz bunları da biliyoruz üslü denklemlere geldik arkadaşlar Eğer tabanlar aynıysa üstler aynıdır yani bakın tabanlar aynı direkt x eşit y diyoruz eşitlikte Eğer üsler aynıysa sevgili arkadaşlar bakın x'ler aynıysa üstler aynıysa o zaman eğer x tekse bakın üst tekse AB'ye eşittir diyoruz ama eğer üst çift ise a b eşit de olabilir eksi eksi B de eşit olabilir ne demek istiyorum mesela a küp eşittir b küp olsun arkadaşlar biz diyeceğiz ki A eşittir b'dir neden üst tek Ama eğer a kare eşittir b kare olsaydı biz diyecekti ki A B'ye de eşit Olabilir çünkü üst çift a - B'ye de eşit olabilir diyecektik Arkadaşlar bir de böyle bir kalıbınız vardı aynı tabanları alt alta mı Evet direkt böyle ye bakın x böyle y eşittir 4/6 Bu şekilde üstleri oranlayabiliyorduk üslü sayılarda sıralama vardı sevgili arkadaşlar üslü sayılarda sıralama ya üsleri eşitliyoruz ya tabanları eşitliyoruz ya da tahmin ediyoruz Mesela bu şekilde bakın üstleri eşitleyebilirim 72 24 ve 48'e eşitleyebilirim 24'te eşitleyebilirim Arkadaşlar şöyle bakın ben burayı 300'e 72 24'e bölün 3 yani 3 çarpı 24 şeklinde yazabilirim burası ha Yani 3 üzeri 24 yani a'yı bakın a'yı şu şekilde yazabilirim Öyle değil mi üç kere 24 72 B zaten 30 üzeri 24'tür ona karışmayacağız bakın C'yi de C'yi de 4'ün karesi üzeri 24 şeklinde yazabilirim 48 kere 24 48 güzel çünkü Vallahi 27'dir değil mi dördün karesi Valla 16'dır bakın üsleri eşitledik artık üstlere bakma Hangisi büyük 30 en büyük sonra a Değil mi arkadaşlar Evet sonra C küçüktür a küçüktür b küçüktür a küçüktür b Bu Arada Arkadaşlar çok uzun bir video olacağından dolayı bir yerlerde İşlem hatası yaparsam Kusura bakmayın siz düzeltirsiniz Önemli olan tekrar etmek arkadaşlar olduğuna göre sırala Şimdi burada arkadaşlar bakın tabanları üstleri eşitleyemiyoruz ama tabanları eşitleyebiliriz yani ben bunu alıp mesela 27 nedir Arkadaşlar bakın 27 nedir 3 üzeri 3'tür değil mi Bir de Üzerinde ne var 41 var o zaman a neymiş arkadaşlar A 3 üzeri 3 kere 41 123 Öyle değil mi bn 9 3'ün karesidir Üzerinde ne var 61 var 3 kere 61 yani 3 üzerine oldu 2 kere 61 122 oldu C'ye bakıyorum sevgili arkadaşlar C zaten 3 üzeri 123'tür Tamam orada bir sıkıntımız yok şimdi Bakın arkadaşlar bakın a ile C zaten eşit çıktı değil mi ailece eşit çıktı B'de daha küçüktür B de bunlardan küçük olacak yani A eşittir c B en küçük b küçüktür anladınız çok güzel bazen de tahmini olarak çözüyoruz arkadaşlar acaba 2 üzeri kaç47'dir mesela 2 üzeri 5 desen olmuyor 32 oluyor 2 üzeri 6 deniyorum 64 oluyor 47 Bu ikisi arasında ise demek ki x'le 5 ile 6 arasındadır yani x eşit 5 buçuktur gibi düşünebiliriz tamam mı rastgele değer veriyorum iki sürata arasında bir sayı olduğunu biliyorum mesela 3 üzeri 481'dir sevgili arkadaşlar 3 üzeri 5'le 125'tir yani tutturamadık 90-81 ile 125 arasında ise yd 4 ile 5 arasındadır yy'de 4'le 5 arasında bir sayı söyleyin direkt 4,5 4.3 de diyebilirsin fark etmez Bu da benzer şekilde arkadaşlar bakın 500 üzeri 3 125'dir 5 üzeri 4'te 625'tir 200 Bu ikisi arasında ise Z'de 3 ile 4 arasındadır zd3 ile 4 arasında bir sayı üç buçuk diyorum bakın x büyüktür ya büyüktür Z çıktı x büyüktür ya büyüktür size nerede var Adana seçeneğinde var arkadaşlar üslü sayılarla ilgili genelde bakın üstlerin eksi olduğu bir durumda geliyor haberiniz olsun Bu tarz bir soru gelebilir ne yapacağız Vallahi hemen Arkadaşlar burası nedir 4/ü 6 üzeri -2 1/36'dır 36 Buraya yazdım Bakın iki böyle değil mi 2 böyle 4 üzeri -2 1/16'dır Buraya yazdım 2 üzeri -3 olarak 1/8 - 3 üzeri -2 var Harikasın Sen harikasın Şimdi ne yapacağız paydaları eşitleyeceğiz kendimize kefeleceğiz şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi arkadaşlar bunu dörde böl 1 bunu 4'e böl Bu biraz zor ha 9 Eyvallah bunu ikiye böl bunu ikiye böl 8 o zaman Şurayı 8'le burayı 9'da paydaları eşitlersek 8 kere 1 Burası 8 olacak 9 x 19 Yukarısı 17 bakın Yukarısı 17 aşağısı 9 kere 8 8 kere 9 72 oluyor aşağısı buraya 9 ile burayı 8'e çarpıyorum buraya 9 gelecek buraya 8 gelecek Yani 1/72 oldu aşağısı da olayı bulmuşum Ah kağıt ne on yedi üslü sayılarla ilgili arkadaşlar çok Özgün güzel bir soru yazdım bakın çok güzel bir soru bu soru bu tarz bir soru gelebilir birinden farklı a b c doğal sayıları için demiş Bu ifade bir tam sayıya eşittir diyor tam sayı diyorsa arkadaşlar tam sayı diyorsa bu buna tam bölünecek şimdi Buna göre aşağıdaki sıralamalarda hangisi doğrudur gerçekten çok muhteşem bir soru arkadaşlar altına 2 x 3'tür değil mi Yani 6'yı 6 üzeri a'yı 2 üzeri a çarpı 3 üzeri A şeklinde yazabilirim çarpı Burası da 2 çarpı 5'tir değil mi yani 10 üzeri B'yi de 2 üzeri B çarpı 5 üzeri B şeklinde yazabilirim bölü aşağı geldim Burası zaten 2 üzeri 2b'dir değil mi 4'ün karesi olduğu için 4'ün 2'nin karesi 4 eder 2 üzeri 2B oldu burası çarpı 15 ile 3 çarpı 5'tir yani 1500 dereceyi 300°c şeklinde yazabilirim şimdi bunları toparlayalım arkadaşlar biliyorsunuz çarpmada tabanlar aynı ise üstler toplanır bölmede üstler çıkarılır mesela 2'lere Bakın arkadaşlar 2 üzeri A2 üzeri B aşağıda da 2 üzeri şu var yani 2 üzeri a+b değil mi artı B Şuradaki 2B de yukarıya -2b olarak gönderiyorum çarpı 3'leri işaretliyorum şimdi 3 üzeri a bölü 3 üzeri C 3 üzeri a - c olacak çarpı bir de 5'ler var sevgili arkadaşlar Burası da 5 üzeri b - c olacak öyle değil mi arkadaşlar bakın Burası zaten düzenli yazarsak a - b oluyor değil mi b -2b - b oluyor yani a - b oldu burası artık toparladım şimdi burası bir tam sayı tam sayı ise ne demek üst eksi olmayacak Demek ki arkadaşlar Çünkü mesela 2 üzeri -1 1/2'dir tam sayı olmuyor Dolayısıyla bu ifadenin sonucu bir tam sayı değil ya bu üsler pozitif olacak ya da 0 olacak ne demek istiyorum arkadaşlar pozitif derse daha güzel oluyor yani üstler pozitif olursa tam sayı çıkıyor yani ne demek istiyorum bakın a - b kesinlikle oluyor çünkü bu tarafa atarsak abi büyükçe oluyor çünkü bu tarafa atarsak b büyüktür c oluyor Bakın arkadaşlar şimdi bakın en büyüğü A oldu zaten a Hepsinden de büyük sonra B'de c'den büyük a büyüktür b büyüktür c sonucuna ulaşıyoruz Tamam çok güzel köklü sayılara geldi sevgili arkadaşlar En sevdiğimiz konulardan bir tanesi ne bileyim bazı öğrenciler bu konuda sıkıntılar yaşıyor Arkadaşlar bu neydi derece 50 dereceden kök x diye okunur üst köklü sayıları üslü sayılara dönüştürebiliriz nasıl x üzeri en bölü n şeklinde yazabiliyoruz Hocam ben bunları göre göre mahvolmuşum 4x3 12 eder 42 olarak çıkar 3 çıkmaz 9 çarpı 2 18 eder 93 olarak çıkar 2 çıkmaz Burası zaten 5'tir bunları göre göre kendimizi perişan etmişiz arkadaşlar Eğer Burası ile Burası eş ise derece ve üst eşitse derece tekse derece tek ise direkt x olarak çıkar Eğer derece çift ise mutlak eksik olarak çıkar lütfen bunu dikkat edin mesela bakın burada gizli derece Eğer bir şey yoksa zaten 2 var derece ne çift O zaman bu bunu götürür bu mutlak kök 5 -2 olarak çıkar lütfen bunu tekrar edin önemli şimdi mutlak değerin içine pozitiftir Değil mi arkadaşlar bakın Burası kök 5 demek 2 de kök 4 demek büyükten küçüğü çıkarttığı için pozitiftir İçerisi pozitifse olduğu gibi dışarı çıkartıyoruz Örneğin buraya bakın derece çift üst çift o zaman burası mutlak kök 5 -3 olarak çıkar mutfakların için şu an negatif nereden biliyorum kök 5 zaten kök 5'tir 3D kök 9'dur sevgili arkadaşlar küçükten büyük çıkartmış Dolayısıyla içerisinde negatiftir negatif ise eksiyle çıkartıyoruz ki o da 3 - kök 5 olacak arkadaşlar köklü sayının özellikleri Bu nedir hocam Arkadaşlar bu köklü sayıları ortak paranteze alarak çözüyoruz yani Zaten bildiğiniz bir şey yani 2√3 + 5 kök 3 nedir hocam Vallahi 2 5 daha 7√3'tür bundan bahsediyorum Eğer dereceler aynıysa tek kök içerisinde çarpabiliyoruz sevgili arkadaşlar dereceler aynıysa bölmede tek kök içerisinde böyle biliyoruz böyle bir özelliğimiz vardı sevgili arkadaşlar Eğer iç içe köklerde şurada bir iki Varsa bunun iki tane çarpanını buluyoruz en çarpı en B'yi verecek hem de enin toplamı da ayı verecek O zaman cevabımız köken artı kökendir artı ise artı geliyor eksi ise eksi geliyor ne demek istiyorum mesela 3 x 2 6 eder 3 ile 2'nin toplamda 5'i veriyor O zaman sonucumuz ne olacak kök 3 artı ise artı sonra kök 2 bu kadar Örneğin buna Bakın arkadaşlar Bakın iki olmak zorunda 4x3 12'dir 4 ile 3'ün toplamı 7 veriyor Burası kök 4 arada ne var Eksi var ilk önce büyük olanı yazıyor sonra küçük olanı kök 3 düzenlerse kök 42'dir 2 eksi kök 3 sonucuna ulaştık sonsuz kökler sevgili arkadaşlar sonsuz kökler de şöyledir yani soru geleceğini zannetmiyorum yine de ne olur ne olmaz hızlı bir şekilde tekrar edelim sevgili arkadaşlar sonsuz köklerde toplamada arkadaşlar ardışık çarpanların büyüğüne bakıyoruz mesela 3 kere 4 12 büyük çarpan cevaptır bu kadar çıkarmada ardışık çarpanlardan küçük olanı alıyoruz mesela bu iki tane ardışık çarpanını bulun 4 kere 5 20 4 5 ardışıktır küçük olanı alıyorsun çıkarmada çarpmada derece bir azaltıyorsun sevgili arkadaşlar bakın 64 yazıyoruz bu dereceyi bir azaltın 3 Bu da ne oluyor 3 dereceden 64 4 üzeri Üçtür cevabımız Ne oldu 4 oldu bölmede ise dereceyi bir artırıyoruz bakın içinde 32 var dördü bir artırırım 5 Bu ne oldu ve 32 de 2 üzeri 5'tir şunlar gitti cevabımız 2 Tamam çok güzel eşlenik Arkadaşlar iki tip eşlik vardı bakın esenlikle ilgili çok bazı sıkıntı çekiyorsunuz ya iki tipi açan ilk var kök A'nın eşlerini kök alır kök a çarpı kök A da A'ya eşittir yani kök a kare A olur bir de süt tipi ekseni var arada artı varsa eksi yapıyoruz yani iki tane köklü ifadenin toplamı çıkarma varsa yani kök a+b'nin eşleniği kök A - kökb'dir bu ikisinin çarpımı da 2 kare farkı oluyor yani kök ağanın karesi a'dır kökb'nin karesi de b'dir yani ikisinin çarpımı a - b oluyor mesela ifade var burada arkadaşlar biz eşlerini yapacağız çarpımlarını buraya yazacağız kök beşine eşine Eyvallah kök beştir kök 5 çarpı kök 55 eder kök 2 + 1'in eşlerini √2 eksi 1'dir ne yaptım aradaki işareti değiştirdim Bu ikisini çarpımı 2 kare farkıdır kök 2'nin karesi 2'dir 1'in karesi 1'dir cevap 1 oldu çarpımları 1'miş bunun eşleniği hocam aradaki işareti değiştireceğim kök 5 artı kök Üçtür ikisinin çarpımı ne iki kare farkı kök 5'in karesi 5'tir kök 3'ün karesi 3'tür sonuç 2 çıkıyor bunun eşliğine kök 7 eksi ise artı yapacağım 3 yapacağım ikisini çarpımı ne Kök 7'nin çarpımı kök 7'nin karesi 7'dir bakın burada kök 3 yok 3'ün karesi 9 ona dikkat edeceksiniz çarpımları -2 oluyor arkadaşlar köklü sayılarla ilgili bu tarz bir soru gelebilir haberiniz olsun bakın hemen Ne yapıyorum eşlilikle çarpıyorum bunu ya da paydaları da işleyebiliriz ikisi de aynı Yola çıkıyor 3+2 bunu da kök 3 -2 ile çarpıyorum bunu buraya bunu buraya getirdim ya da bununla işlemini budur bunun eşleniği budur Şimdi şöyle şunu çarptım arkadaşlar bakın şöyle benim gibi yazarsanız Kafanız karışmaz böyle bunun çarpımı ne eder 6 çarpı kök 3 artı 2 eder değil mi güzel paydalar eşitleniyor zaten tek payda halinde yazalım eksimi yazdım böyle bunun çarpımı ne 2 kök 3 çarpı açıyorum yani √3 eksi 2 bölü paydamız zaten bakın kök 3'ün karesi 3 eksi 2'nin karesi 4 yani -1 oluyor payda -1 oluyor ona dikkat edin çarpı şurası orası ne 10 kök eksi 6 bunu yaptık mı yaptık şimdi gerekli işlemleri yaparsak arkadaşlar bakın şunu dağıtıyorum Burası ne oldu altı kök 3 artı 6 kere 2 12 şunu da atıyorum 2 kök 3 çarpı kök 3 6 - 6 oldu burası -2 kök 3 çarpı -2 + 4 kök 3 artı 4 kök 3 4 kök 3 artı 6 kök 3 10 kök 3 oldu orası 10 kök 3 oldu 12'den 6 çıkar artı 6 oldu değil mi artı 6 oldu paydada bir eksi 1 var Onu unutma başımıza bela etme burada da bir 10 kök 3 eksi 6 var Bakın bu da bunun eşleniğidir ha Vallahi ne güzeldir O da onun eşleniğidir arkadaşlar O zaman böyle bunu çarpımı ne eder 10 kök 3'ün karesi değil mi 10 kök 3'ün karesi eksi altın karesi diyeceğiz altının karesi 10 kök 3'ün karesi 10'un karesi 100'dür 3 ile çarparsak 300 - 6'nın karesi 36 300'den 36'yı çıkarın 264 yani Ne oldu 264/1 buranın çarpımı 264 böyle -1 264 yani -264 sonucuna ulaşıyoruz arkadaşlar cevabımız Edirne sevgili arkadaşlar bu soruyu da kötü sayılarla ilgili çıkabilecek sorular tarzı bir video paylaşmıştım sevgili arkadaşlar bu soruyu gözden kaçırdım ufak bir yer var O yüzden bir daha çözüyorum çok güzel bir soru A sayısı 6 ile 7 arasında bir gerçel sayıdır yani diyor ki; A sayısı 6 ile 7 arasındadır şurada yazalım mı bakın A sayısı 6 ile 7 x veya 1'den farklı birer pozitif tam sayı olmak üzere A sayısı diyor bu şekilde yazılabiliyormuş yani x kök y şeklinde yazılabiliyor diyor buna göre yerin Arap üzeriler toplamı kaçtır Öncelikle Arkadaşlar bu tarz durumlarda bakın köklü sayılarla alakalı bir soru bu ne demek Kök 36 demek değil mi Kök 36 6 eder küçüktür a küçüktür Bu ne demek Kök 49 7 eder Yani demek ki A neymiş arkadaşlar yani 6 ile 7 arasında ne demek Kök 36 ile Kök 49 arasında demek sevgili arkadaşlar şimdi a'yı öyle bir yazmalıyız ki tamam mı ayı öyle bir yazmalıyız ki bakın x kök diye biçiminde yazılabilsin Tabii x veya Birden farklı olacak şimdi a Kök 66 ile Kök 49 arasında ise bakın A'nın alabileceği değerler mesela kök 37 olabilir örnek veriyorum kök 38 Ben anlaşılsın diye tek tek yazayım arkadaşlar Birkaç tanesini kök 39 İyi de a kök 37 olamaz çünkü kök 37 x kök y şeklinde yazamıyoruz arkadaşlar Evet burada 1 var ama X1 oluyor ama x veya Birden farklı demiş 37 olmuyor 38 ile kök dışına çıkmıyor arkadaşlar 39'da çıkmıyor 40'a bakıyorum yani a40 Olabilir mi Olabilir sevgili arkadaşlar Bakın ben Yani a40 olabilir çünkü kök ırkı yani ayak kök 40 derseniz Burası 2 kök 10 Olur öyle değil mi bakın x bu oluyor ya da bu oluyor yani x kök y şeklinde yazabiliyorum Dolayısıyla a kök 40 olabilir Dolayısıyla arkadaşlar Bakın şu şekilde yazılabilir çok güzel biz yazalım Tek Tek Evet Biraz yorulduk kök 41 dışarı çıkmaz 42 olmaz 43 olmaz 404 yani kök 44 olsa kök dördü nasıl dışarı çıkartabiliriz İki kök 11 şeklinde dışarı çıkartabiliriz bakın burada X2 oldu y 11 oldu ya X2 ye bu oldu 45 arkadaşlar kök 45 45'e Geldik Bu da 3 kök 5 olarak dışarı çıkar bu durumda x 3 oluyor y5 oluyor 46 çıkmaz 47 tam çıkmaz yani normal de çıkmaz 48 bakın kök 48 zaten en fazla kök 48 diyebilirim kök 49'dan büyük küçük olduğu için a Burası da arkadaşlar işte burasını Biz gözden kaçırmışız Normalde kök 48 4√3'tür Öyle değil mi arkadaşlar Evet yani X4 y3 oluyor x kök y şeklinde yazarsak fakat 40-48'i Biz şöyle de yazabiliriz arkadaşlar Mesela ben burayı 4 x 12 şeklinde yazabilirim ya bakın 4 2 olarak çıkar 12 çıkmaz yani 48'i 2 kök 12 şeklinde de yazabiliyoruz bu durumda X2 oluyor ya da 12 oluyor yani Bana demiyor ki tam çıkar çıkan Her şey tam çıksın demiyor sadece ayı diyor A sayısını x kök ya biçiminde yaz diyor E tamam kök 48'i bu şekilde de yazabiliriz bu şekilde de yazabiliriz bu durumda arkadaşlar Neyse sonra bakın yerini alabilir değerler toplamını soruyor yanına alabileceği değerler toplamını kendimize toplayacağız ya 10 olabilir 5 olabilir 3 olabilir 12 olabilir Bunları toplarsak 10 15 18 20 Değil mi arkadaşlar 11 dakika yaptım Bir dakika arkadaşlar 10 15 20 11 daha 31 Valla bir yerde hata yaptık bir yerde eksik saymış Çünkü cevap 41 çıkması gerekiyordu özür diliyorum burası 12'dir ha arkadaşlar 10 tamam mı 10 burada da bak burada yerleri topluyorum ha 12 ile 3'ün toplamı 15 10 daha 25 5 daha 30 11 daha 41 yani iştekilerin topladım arkadaşlar yerin adı değerleri toplamı 41miş Evet sevgili arkadaşlar şimdi sıradaki konumuz çarpanlara ayırma arkadaşlar çarpanlara ayırma konusu ile ilgili de sık soru geliyor haberiniz olsun Nasıl çarpanlarına ayırıyoruz arkadaşlar ortak paranteze alarak çarpanlarına ayırabiliyoruz nasıl E bana bunu göre göre mahvolmuşuz he vallahi bakın ilk ortak parantezine alırsam burayı x ortak parantezine alırsam a + b - c geliyor a + b - c geliyor bu kadar burada hocam Burayı da a b ortak parantezine alacak Evet burada ne kalıyor Valla a kalıyor artı burada Valla backout burayı hemen halledelim Ah rengi değiştirip geldim buraya x kare ortak parantezine alıyorum x - 1 geldi mi aha şurayı da eksi parantezine alıyorum ki x-1 gelsin yani şuraya benzetiyorum daha sonra x - 1 ortak parantezine alıyoruz Ne kaldı x² - 1 x kare -1 ah böyle bırakabiliriz Arkadaşlar bir de iki kare farkından yararlanıyoruz ki 2 kare farkı gerçekten çok önemli a²-b kare a + b x a - b'dir Bunu zaten göre göre artık yani iflas ettik x² - 1 Hocam bu x - 1 Çarpı x artı 1'dir en çok karşımıza gelen de budur haberiniz olsun Bu da iki kare farkıdır Arkadaşlar bu x boru 4'ün karesi burada 5'in karesi yani x bölü 4 - 5 çarpı x bölü 4 Pardon biraz daha güzel yazayım ilk sporu 4+5 şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz Bu da çok önemli arkadaşlar bakın sene başından beri bundan bahsediyorum Burası neydi kök x eksi kök y değil çarpı kök x artı köky idi çok güzel arkadaşlar toplam kare fark kare yani a+b parantez karesi kare artı 2A + b kare 7 a eksi benim parantez karesi bu artı eksiye dönüşüyordu Bir de bu üçlü açılım var unutmuş olabilirsiniz şöyle hızlı bir şekilde tekrar edelim a+b+c'nin karesi a kare + b kare + C kar artı iki parantezinden AB + AC + BC idi Şimdi bir de Arkadaşlar bu şekilde verilen ifadeleri nasıl çarpanlarına ayırıyoruz hemen şuradan burayı x'e x mesela artı 2 ile artı 3'ün çarpımı artı 6 eder çapraz çarpımının toplamı artı 5 eksi veriyor mu Veriyor Bu nasıl çarpanlarına ayıracak x + 2 çarpı x + 3 şeklinde çarpanlarına ayrılıyor buraya geldik Burası x'e x Öyle değil mi Mesela -5'e artı 3 dersek çapraz çarpı topladığımızda eksi 5x + 3x - 2x'i veriyor O zaman şöyle düz çarpanlarına ayırıyorduk x - 5 bakın x eksi 5 çarpı x + 3 bu şekilde çarpanlarına ayır buraya halledelim 3x ise x hocam Harikasın Devam et Devam et devam et 5'e 2 dersek 6 5 17 var o zaman 5 ile 2'ye yani artı 2'ye artı 5 ver desek oluyor Bakın arkadaşlar 5 kere 2 onu veriyor çapra çarpıp toplayalım ortadaki sayı veriyor mu 3x5 15x + 2 xx2x bakın 17x'i verdi düz çarpanlarına ayırıyoruz ona dikkat edeceğiz yani 3x + 2 bakın ilk önce 3x + 2 yazıyorum he vallahi çarpı x artı 5'i yazıyorum Gerçekten bunu dağıttığınız zaman şunu elde edersiniz arkadaşlar Bir de küp açılımları var arkadaşlar DGS KPSS ALES gibi sınavlarda küp açılımları ile ilgili uzun zamandır soru gelmiyor gelmeyeceği anlamda gelmiyor arkadaşlar yine de tekrar edelim a+b'nin küpü a küp artı 3 A kare B + 3A b kare artı b küpü arada eksi olsa arkadaşlar bakın burada artı hepsi artı var ya burada da artı eksi artı eksi diye gidiyor Yani bunun aynısı aslında Sadece işaret değişecek a küp artı B küpün arkadaşlar Bakın iki tane açılımı vardı ikisini de bilmek zorundaydık yani a+b'nin a küp artı b küpü a+b'nin küpü -3a b + a + b şeklinde de yazabiliriz veya a+b çarpı a kare eksi AB artı b kare şeklinde de yazabiliriz bunların ispatını konu anlatımında vermiştim arkadaşlar hızlı bir şekilde geçiyoruz arada eksi var yani akü eksi ve küpün de iki tane açılımı varsa sevgili arkadaşlar sadece aradaki işaretler değişiyor her şey aynı çok güzel çarpanlara ayırma ile ilgili son zamanlarda ÖSYM son zamanlarda Arkadaşlar bu tarz sorular sormaya başladı mesela bakın Burası iki kare farkı neymiş x-y Çarpı x + y güzel aşağısına bakıyorum kök x artı kök y eşittir 45 Şimdi arkadaşlar Bakın bu da iki kare farkıdır Bak sabahtan beri bundan bahsediyoruz bu önemli bu nedir Bakın şu kök x eksi kök y çarpı kök x artı kök y'dir değil mi Onu artık bakın sürekli bundan bahsedelim sene başından beri bundan bahsediyorum Çarpı x + y x + y 15 vermiş Allah razı olsun böyle değil mi kök x artı kök ye kök x artı kök ye neye eşitmiş 45'e eşitmiş buraya kadar getirdik 45 ile sadeleştirdim 3 oldu kök x + kökler gitti buradan dikkat edin kök x - kök y eşittir 3 sonucuna ulaştık Şimdi arkadaşlar burada bakın Şurayı bir daha kullanacağız ama burada her iki tarafın karesini alırsak eğer oraya ulaşmış oluyoruz yani şuna mesela bilincinin karesi kök x'in karesi x'tir - bu böyle bunun çarpının 2 katı 2 kök x y oluyor değil mi artı kökeninin karesi y'dir eşittir 3'ün karesi 9 x + 15 olarak Biliyoruz zaten Bakın bu xy'nin toplamı 15'tir bunu -15 olarak karşıya gönderdim sol tarafta eksik kök XS kaldı eşittir sağ tarafta da 9 - 15 - 6 oldu yani √x y eşittir -6'ya -2'ye bölsem 3 olur buradan x y eşittir 9'un karekökü 3'tür ya da her iki tarafın karesini alırsak x y 9'dur diyoruz arkadaşlar yorulduk değil mi başarıya giden her adım kutsaldır demişlerdi arkadaşlar o yüzden kutsal adımlar atıyoruz sevgili arkadaşlar Hocam hocam Hocam hocam a - b Bu nedir biliyor musunuz kök a - kök B çarpı kök a artı kök nedir Eyvallah Ben artık bunu öğrenmişim Böyle sevgili arkadaşlar Bakın bu tarz durumlarda bunları içeri gönderiyor mesela a kare olarak içeri gönder a kare B oluyor eksi a zaten içeride B'yi b kare olarak içeri gönderiyorum daha sonra ne yapıyordu kök a b ortak parantezine alıyorduk değil mi ne gelecek kök a eksi kök ve gelecek kök a eksi kök ve gelecek eğer bunu anlamamışsanız arkadaşlar bakın konu anlatımında özellikle burayı açın çok güzel ispatlarla yapmışım bu bir ve ikincisi çarpanlara ayırma ile ilgili çıkabilecek sorular diye bir video paylaştım birkaç gün önce onu da izleyin çarpı bakın 1/√b böyle bir şekilde yazıyorum eşittir 5/3 buraya kadar getirdik bakalım giden var mı bakın şöyle şu gitti Öyle değil mi Evet buraya bak kök a B'yi kök abiyi kök a çarpı kök B şeklinde yazabileceğimizden dolayı şunlar da gitti bakın yukarıda kök a+ kökb kaldı arkadaşlar bölü Burası çok sıcak arkadaşlar O yüzden biraz çirkin yazıyorum Ne yazık ki hani Çünkü elim terliyor ya bu şey kalemde tablet üzerinde kayıyor işarhisar bunu yapıyorum 5 tane kök A eşittir 3 tane kök a artı 3 tane kök ve oldu mu Evet bunu bu tarafa attık iki tane kök A eşittir 3 tane kök ve her iki tarafın karesini alıyorum kendime her iki tarafın karesini alıyorum 2'nin karesi 4A olur değil mi kökte gider 4A eşittir 9 B oldu Burası daha a bölü D'yi soruyor bizden Vallahi cevabınız 9/4 kimse tutamaz bizi eyvallah Bu arada sistemler çalışıyor mu kontrol edelim Evet arkadaşlar birinci dereceden denklemlerle ilgili soru geliyor zaten basit bir konu sevgili arkadaşlar Ax eşittir 0 Ax + 5 = 0 denkleminin kökü sorduğu zaman x'i bul demek oluyor yani Ax eşittir B'yi eksi B olarak karşıya gönderdim her iki tarafına A'ya bölersek buradan x = yani denklemin kökü eksi B bölü addır çözün kümesi nedir Arkadaşlar bunu hesapladığınız zaman bakın 3x + X 4X buradaki 4x'i götürdü Burası 4 sol tarafta 4 kaldı sağ tarafta biri 3 daha 4 kaldı Bunlar da gitti bakın 0 eşit 0 Eğer bir soruda 0 eşittir çıkıyorsa çözüm kümesi reel sayılardır yani tüm reel sayılar denklemi sağlar ya da çözüm kümesi sonsuz elemanıdır diyorduk Mesela buraya bakalım 2x + x 3y x artı 2 eşittir karşı tarafta da 3 + 3x var ya bakın 3x'ler gidiyor bu sefer 2 eşit 3 çıktı eğer 0 eşit 0 çıkmıyorsa iki üçe eşit mi hayır Mesela burada 03 0'a eşit Evet o yüzden çözüm kümesi söyler ama iki üçe eşit olmayacağından dolayı çözüm kümesi boş kümedir diyoruz artı b y artı c = 0 DX + e'yi eşittir artı f= 0 Arkadaşlar bu iki denklem Eğer a/de bakın x'lerin katsayıları oranı böyle y'lerin katsayıları oranı eşit değilse eşit değilse çözüm kümesi tek elemanlıdır çok güzel Eğer xr'nin katsayısı eşittir y'nin y'lerin katsayısı eşittir sabitlerin oranı Bunlar hepsi birbirine eşitse çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır diyoruz Bu daha çok böyle Bunlar antik geometri de işe yarıyor arkadaşlar Eğer a bölü D yani x'lerin katsayısı sayısına eşit ama sabitlerin oranına eşit değilse çözülmesi boş kümedir diyoruz bunda arkadaşlar bakın hocam Ben bunu anlamadım Abi çok önemli değil yani Boş ver şimdi buraya bak bunu sana ödev veriyorum tamam mı çok zamanımız gitmesin diye yok etme metoduyla ikisi yayı bul yoruma yaz çok güzel arkadaşlar denklemlerle ilgili Örneğin böyle bir soru gelse ne yapabilirsiniz denklemlerle alakalı Şimdi bana mahvolduk sevgili arkadaşlar bakın parçalamayı bilin parçalama neydi bakın x borlux ben burayı şöyle yazabilirim xolx -1/x şeklinde yazabilirim ne yaptım burayı parçaladım tamam mı artı buraya da y bölü y bakın y bölü y + 3/y şeklinde yazabilirim Tamam Neye eşitmiş 6 ya x bölü x1'dir bakın buranın sonucu 1 y/y de 1'dir 1 1 daha 2 değil mi Şu ikisi 2 oldu 2'yi -2 olarak buraya gönderdim O zaman burada bir -1/x + 3/ye kaldı değil mi eksi 1 bölü x + 3/y kaldı sağ tarafta da 6'dan 2 çıkar 4 kaldı yaparsınız onu aynı şey bunu yapıyorum x boru x + 1/x diye parçaladık mı burayı Evet bakın burada eksi var ona dikkat edin arkadaşlar şimdi parçalarken dikkat edin eksi Şunların hepsini etkiliyor o zaman -y/y parçalıyorum eksiye x gerekse artı 1 bölü y olur orası artı 1/g Çünkü bu eksi hepsini etkiliyor güzel Neye eşitmiş 4'e eşitmiş bakın aynı şeyleri yapacağım arkadaşlar x bölü x1'dir y/y Burası da -1 oldu bakın eksi var ya eksi 1 oldu o zaman bu Bakın şu -1 +1'i götürdü Kısacası 1/x + 1/2 kaldı 1/x + 1/y eşittir 4 oldu tamam taraf tarafa topluyorum sevgili arkadaşlar şunlar gitti 3/4 y + 1 gol ye 4/ydir neye eşitmiş 4 4A 8 işaret ile 8y eşittir 4'ten buradan y eşittir 4/8 sadeleştirirsek cevabımız 1/2 olacak Neyi soruyor zaten bizden oran orantı konusu sevgili arkadaşlar Şimdi arkadaşlar oran orantı da çok önemli bir konu oran neydi Aha / B şeklindeki Yani iki tane niceliğin birbirine bölümüne oran diyoruz iki tane oranı birbirine eşitlarsak bunu orantı diyoruz üçlü orantı özellikleri vardı sevgili arkadaşlar bakın a/b=c/d eşit e bölü F eşit K ise buna üçlü orantı diyoruz Örneğin ben bunu 4 ile bunu 4 ile Çarpsam bir şey değişmez bunu 3 ile bunu 3 ile Çarpsam değişmez bunu -2 buna -2 ile Çarpsam bir şey değişmez sevgili arkadaşlar payları kendi aralarında toplayıp paydaları kendi aralarında toplarsak yine değişmiyordu bunlarla ilgili soru geleceğini çok zannetmiyorum hızlı geçiyorum o yüzden şurası biraz tehlikeli duruyor arkadaşlar Eğer siz bunları çarparsanız yani a çarpı C çarpı e b çarpı F yaparsanız bu küpe dönüşüyordu bunu da hızlı bir şekilde tekrar etmiş olalım orantı çeşitleri çok önemli işte doğru orantı ters orantı Arkadaşlar bunlar çok önemli doğru orantı neydi her iki tarafta artacaktır ya da her iki tarafta azalacaktı ters orantı bir tarafı artarken Diğer taraf azalıyordu arkadaşlar hala ve doğru orantılı ise bunların bölümleri eşittir Yani abi öyle BK gibi eşittir a ve b ters orantılı diyorsa bunların çarpımları sabite eşittir yani a çarpı baya eşittir Eğer burada Bunlar kafanızı karıştırıyorsa bunları boş verin arkadaşlar bakın Burası önemli a b c sırasıyla 2 3 4 ile doğru orantılı diyorsa A'ya eşittir 2K diyoruz B'ye 3K diyoruz tamam mı C'ye de 4K diyorduk ABC sırasıyla 2 3 4 ile ters orantılı diyorsa aya k/2 diyoruz B'ye k/3 diyoruz C'de k/4 diyoruz bunu başka bir versiyonu daha var arkadaşlar bakın şunun pratik Yani bu şekilde kesirlerle değil de mesela ABC sırasıyla 2 3 ve 4 ile doğru orantı ters orantı diyor ya arkadaşlar bunların o Kekini buluyorsunuz hemen 4 3 ve 2'dir 12 buna bölüyorsunuz 12'yi 4'e bölüyorsunuz bunları K cinsinden buluyorsunuz ister bu şekilde gidin ister bu şekilde gidin her türlü çözüme gidiyorsunuz AKL arkadaşlar özellikle yeni nesil sorularda doğru orantı değilse aklınıza bölme gelsin ters orantı diyorsa aklınıza çarpma gelsin bunu da söyleyeyim doğru orantının grafiği bu şekildedir ters orantının grafiği de bu şekildedir diyoruz Ortalamalar sevgili arkadaşlar aritmetik ortalama neydi toplamlarını yukarıda yazıyorduk sayı adedini aşağıda yazıyorduk şu işlerse çarpını yaptığımız zaman toplamları eşit adet çarpı aritmetik ortalamadır bunu biliyoruz Örneğin a ile Ben aritmetik ortalaması Vallahi topluyorum iki tane olduğu için ikiye bölüyorum ABC'nin aritmetik ortalaması a b C'yi topluyorum 3 tane olduğu için 3'e bölüyorum geometrik ortalama neydi arkadaşlar çarpımlarını kök içine yazıyorduk sayı adedini derece yazıyorduk Örneğin a ile benim geometrik ortalaması kök içerisinde a çarpı D 2 tane olduğu için burada 2 yazmamıza gerek yok 2 ABC'nin geometrik ortalaması aç abi B çarpı içerisinde 3 tane olduğu için derece 3 olacak 4 tane olsaydı derece 4 olacaktı Bir de harmonik ortalama var arkadaşlar bunu da bu şekilde vereyim a1 a2 A3 a n sayılarını harmonik ortalaması en tanesayı varsa burada sayı adedini yazıyoruz en sonra 1/1 sayı 1/2 sayı 1/3 sayı 1 bölü 4 sayı şeklinde gidiyor Örneğin diyelim ki 2 3 ve 5'in altının harmonik ortalaması nedir Arkadaşlar harmonik ortalama eşittir 3 tane sayı olduğu için buraya 3 ya da buna 4 diyelim de Kafanız karışmasın 3 tane sayı olduğu için buraya 3 yazıyoruz sonra 1 bölü 1 sayımız artı 1 bölü 2 sayımız artı 1 Bolu 6 bu şekilde sonucu hesaplıyor sevgili arkadaşlar arkadaşlar Çünkü 6 sınıftaki öğrenciler sırasıyla 3-4-5 ile doğru orantılı demişsin Normalde 3K 4K 5K diyecektim ama gerek yok çünkü birazdan Hani kayayı farklı bir yerde kullanacağım O yüzden demedim Tamam mı arkadaşlar 7 sınıftaki öğrenciler de sınıf mevcutları sırasıyla yani ABC sınıfına mevcutlar 2 3 4 ile ters orantılıdır demiş arkadaşlar bakın 2 3 ve 4 ile ters orantılı diyor bunların o keki 12 ya 12'ye böl 12'yi buna böl 12'yi buna böl 12'yi 2'ye böl 6 bunu 6b dersen 123'e böl 4 buna 4B diyeceğim 12'yi de orada böl 3 Buna da 3B diyeceğim Var mı bir sıkıntı buraya kadar hayır Burayı da hallettik şimdi diyor ki 6 ve 7 sınıflardaki toplam öğrenci sayısı birbirine eşittir diyor arkadaşlar şimdi 6 sınıfta toplam kaç öğrenci var bunların toplamı kadar yani 7 12 a tane öğrenci var değil mi 7 sınıfta toplam kaç öğrenci var topluyorum 6 10 13 B Hani öğrenci var O zaman burada arkadaşlar A'ya 13k dersem Bakın şimdi kayıt kullanıyorum tamam O yüzden kayıp kullandım B'ye de 12k siz başta Kayı kullanıp sonradan T de diyebilirsiniz Ben bu şekilde çözmeyi tercih ettim 6 sınıftaki toplam öğrenci sayısını soruyor arkadaşlar 6 sınıfta toplam kaç öğrenci var 12 a tane öğrenci var değil mi 12a tane öğrenci var A yerine de 13k yazarsak 12 x 13 k o zaman 12 x 13 156 156k tane öğrenci var nerede 6 sınıfta arkadaşlar zaten diyor ki en az kaçtır o zaman Kaya Bir derim 156 en az 156 tane öğrenci var diyeceğiz Bir de sevgili arkadaşlar bakın ortalamalarla ilgili soru gelme ihtimali çok yüksek o yüzden böyle zor bir soru buraya koyacağım İnşallah bu tarz bir soru gelir siz de yaparsınız bir dil kursundaki AB sınıfları ile ilgili şunlar biliniyor a ve b sınıflarındaki öğrenci sayısı sırasıyla 20 ve 28'dir A ve B sınıflarındaki yaş ortalaması sırasıyla Bu 24 30'dur Aslında Veli ile birlikte B sınıfına geçtiğinde B sınıfındaki öğrencilerin yaş ortalaması a sınıftaki öğrencilerin yaş ortalamasını 8 fazla oluyor Buna göre Ali ile Veli'nin yaş ortalaması kaçtır Şimdi hemen yazıyorum A sınıfı b sınıfı Öyle değil mi Evet a ve b Sınıflarını yazmışım a ve b sınıflarındaki öğrenci sayısı 20-28'dir yani burada 20 öğrenci varsa burada 28 öğrenci var A ve B sınıfında yaş ortalaması 24-30'dur bunu yaş ortalaması 24 ise bunun yaş ortalaması 30'dur arkadaşlar bakın buraya sayı yazdık tamam mı buraya da ortalama yazdık şimdi Peki öğrencilerin yaşları toplamı bulabilir miyiz Evet sayı adedi yani kişi sayısı çarpı yaş ortalaması bize yaşlar toplamını veriyor bunu biliyoruz arkadaşlar mesela A sınıfındaki kişilerin yaşları toplamı kaçtır 20 x 24 480'dir yaşlar toplamı arkadaşlar tamam mı yaşlar toplamını yazıyorum şu an ben sınıfında 28 öğrenci var Yaşar ortalaması 30 ise 28 x 30 840 mı B sınıfındaki öğrencilerin yaşları toplamı da 840'dır şimdi Ali ve Veli diye iki kişi var arkadaşlar Ali ile Ali ile Veli'nin yaşları toplamına Ne diyelim x diyelim bilmiyoruz Ali ile Veli ne yapıyormuş arkadaşlar A sınıfından B sınıfına geçiyormuş o zaman Yaşar toplamı Şimdi şöyle düşünün arkadaşlar bakın A sınıfındaki kişilerin yaşları toplamı 480'di Ali ile Veli giderse yaşlar toplamı 480 - x olur Çünkü Ali ile Veli'nin yaşları toplamına ilk dedim B sınıfındaki öğrencilerin yaşları toplamı 8 gönderirdim Yani şöyle 8 eşittir 840 + x / ı biraz perişan olacağız Tabii ki ya genelde arkadaşlar yaş ortalaması ile ilgili soru geldiği zaman biraz insanı perişan ediyor Bunu eksi olarak karşıya gönderdim 18 şimdi paydaları nerede eşitleyebilirim burası 6 çarpı 5 Burası da 6 çarpı 3 Yani buraya 3 ile bakın buraya 3 ile Burayı da 5'le çarparsan paydaları 90'da eşitleyebiliyorum o zaman gelin çarpalım Evet ya çarpacağız ya da o bizi çarpacak yani ya o bizi çarpacak ya da biz onu çarpacağız bakalım 3 kere 0 0 3 kere 4 12 Elde var 1 3 kere 8 24 25 şöyle bir şey geldi -3 şey artı 3x bölü 90 oldu değil mi böyle 90 oldu eksi şuraya geldik 5 kere 0 0 5 kere 8 40 Elde var 4 5 kere 4 20 24 oldu burası eksi 5x oldu 5 kere bu 90 eşittir 8 eşittir 8'i Bu tarafa yazalım artık Arkadaşlar bu eksiyi dağıtacağız şimdi aynı tek payda halinde yazarsak bu eksiyi dağıtacağız ya eksi burayı artı yapar ama şurası eksi olur sonra artık tek fayda halinde yazıyorum işlemleri uzatmamak adına Bundan sonra ne yapacağız Valla bundan sonra perişan edeceğiz kendimizi arkadaşlar mesela 5x + 3x oldu orası 2520'den 2400'ü çıkarsak 120 mi Evet artı 120 oldu orası bölü 90 Hatta eşittir işlerse hesabını yaparsak 90 x 8 720 eder Öyle değil mi Valla bulmuşsun Bak bunu bu tarafa atın 8x eşittir 720'den 120 çıkarın 600 buradan x = kaç çıktı arkadaşlar 150 çıktı değil mi ya da 4'e böl 2 yaban 4 2'ye böl 300 300'ü 4'e böl 75 Pardon 75 çıktı Demek ki Ali ile benim yaşları toplamı 75'tir Neyi soruyor bize hocam şıklarda 75 yok abi biraz dikkatli ol Ali ile Veli'nin yaşları ortalamasını soruyor Yaşar toplamı 75 2 kişi var ikiye bölüyoruz kaç oluyor 37 buçuk yaşlar ortalaması 37 buçuk dehşetir vahşet bir soru Evet Evet arkadaşlar şimdi sayılarca bir kısmını bitirdik problemler kısmına geçiyoruz Sevgili Arkadaşlar gelin birlikte sayı kesip problemleriyle başlayalım sayı kesir problemlerini tekrar edelim Arkadaşlar bir sayının 4 eksiği hocam x - 4 Harikasın Bir sayının 5 fazlası Vallahi x + 5 Eyvallah Bir sayının 10 katı 10x bir sayının 2 katının 3 fazlası Bir sayının sırayla 2 katının 3 fazlası tamam Bir sayının 3 fazlasının 2 katı sırayla gidiyorduk Bir sayının ilk önce 3 fazlasını al daha sonra 2 katına al Tamam parantez var orada bir sayının karesi x kare Bir sayının 5 eksiğinin yarısı Bir sayının önce 5 eksiğini yarısı Bir sayının 3 eksiğinin karesi Bir sayının önce ilk 3 eksiği demiş daha sonra karesi dediği için şöyle yapıyoruz İki sayının toplamı 50 ise birine x sarsak diğerine 50 - x diyorduk Arkadaşlar İki sayıdan biri diğerinin 3 katı ise birine x sarsak diğerine 3x diyeceğiz hediye sayısı en çarpan -1 ile bulunuyordu tokalaşma sayısı en çarpan -1/2'ydi maç sayısı da aynı tokalaşma sayısı gibi en çarpı -1/2 ile arkadaşlar net sayısı da doğrulardan yanlışların dörtte birini çıkarıyoruz Eğer 4 doğru yanlış bir doğruyu götürüyorsa şimdi Arkadaşlar en sayfalık bir kitabın sayfaların mandırılırken en iki basamaklı ise kullanılan rakam sayısı 2n -9 en 3 basamaklı ise 3N eksi 108 tane rakam kullanılır bunları hızlı bir şekilde geçiyormuş Çünkü çok önemli değil arkadaşlar 1'den 99'a kadar 20 tane 1 var 20 tane 2 rakamı var 20 tane 3 rakamı kullanılır bu şekilde gidiyordu bunları da biliyoruz bilet kuyruklarında sevgili arkadaşlar bunları defalarca anlattığım için biraz hızlı geçeceğim sevgili arkadaşlar Ali bilet kuyruğunda başta eninci sırada sondan emin'inci sırada ise kuyruktaki kişi sayısı Eğer bir kişi varsa bakın sadece Ali'den bahsetmiş elle emi topluyoruz bir çıkarıyoruz kendisini iki defa saydığımız için çıkarıyoruz artık bunu hızlı bir şekilde geçiyorum Arkadaşlar Ali baştan 10 sırada belli sondan 15 sırada ve aralarında 8 kişi varsa eğer Ali daha önde ise arkadaşlar Baki Ali baştan kaçıncı sırada olduğunu söylemiş ve daha önde olduğunu söylemiş hepsini topluyoruz yani 10 artı 15 artı 8 hepsini topluyoruz kaç kişi var kuyrukta 25 değil mi Doğru yaptın değil mi 10 15 düşünelim düşünelim hepsini topluyorduk değil mi Bir de 2 kişiyi mi döndü Neyse şöyle çizelim bu Ali değil mi bu Ali Bu kim Veli Bakın arkadaşlar Kuyruğun başı Burası olsun Kuyruğun sonu Burası olsun Ali baştan 10 sırada Demek ki Ali'nin önünde 9 kişi var he vallahi bu şekilde yaparım gitsinler niye kendimizi bu kadar yoruyoruz Ali'nin önünde 9 kişi varsa kendisi baştan 10 sırada 9 kişi var Önünde Veli sondan 15 sırada ise Velinin arkasında kaç kişi var 14 kişi var ki sondan 15 oluyor aralarında kaç kişi var 8 kişi var bir de Ali var Veli var değil mi toplayın 9-10-18-19 Değil mi arkadaşlar 19 bu daha 33 kişi oldu toplam yani toplarsak Demek ki topluyoruz yani Ali'nin baştan kaçıncı olduğunu Ali da önde ise arkadaşlar hepsini topluyoruz Eyvallah 25-8 daha toplam 33 kişi var kuyrukta diyoruz Eğer Veli daha öndeyse Arkadaşlar bu sefer şöyle yapıyoruz 10'ymuş Ali ve listondan 15 yemiş aradaki 8 kişiyi çıkarıyoruz aradaki o iki kişiyi de çıkarıyoruz Arkadaşlar Ali ile Veli de çıkarıyoruz iki defa saydığımız için onu da siz resmedersiniz arkadaşlar hem konu anlatımında Ben resmettim hem de bir önceki tekrarda Eğer anlamadıysanız Lütfen bir önceki ekranı sayıp şeyini izleyin En azından bu hızlı bir şekilde geçiyorum Çünkü soru gelme ihtimaliniz düşüktür Burası ne oluyor 25-25'ten 10 çıkar 15 kuyrukta 15 kişi var diyeceğiz arkadaşlar Kısacası bakın burada zaten formül olarak vermişim Ali baştan 50 sırada Veli sondan 50 sırada ise aralarında a kişi varsa kuyruktaki kişi sayısı en çok kaçtır diyorsa Arkadaşlar şu verilenlerin hepsini topluyoruz burada yaptığımız gibi tamam mı arkadaşlar MR'da en artı a hepsinin toplamı kuyruktaki en fazla kişiyi veriyor kuyrukta en az kaç kişi var diyorsa hem de yani geliyoruz arada kaç kişi varsa onları çıkartıyoruz Bir de iki kişiden bahsettiği için o iki kişiyi de çıkartıyoruz ki kulüpte en az kişiyi bulalım meslekte sorularında arkadaşlar Bir sınıfta mesela et Hani erkek Kağıthane kadın varsa bir erkeğin kaç tane erkek meslektaşı Olur tabii ki de e -1 kendisi hariç bir erkeğin kaç tane kadın meslektaşı var Kağıthane bir kadının kaç kadın meslektaşı var K -1 tane bir kadın kaç tane erkek meslektaşı var E tane var garantileme sorularında arkadaşlar daima En kötü ihtimal düşünülür ve ne soruyor sonra bir ekliyoruz ya iki ekliyoruz ona göre işin içine çıkıyoruz telin orta noktası ucundan kesilen miktarın yarısı kadar zıt yönde kayıyordu sevgili arkadaşlar kat sorularında kabın Boş kabın ağırlığına dikkat ediyoruz bir top yere her çarpışan sonra yüksekliğin üçte ikisi kadar zıplıyor top 54 santimetre yukarıdan bırakılırsa üçüncü yere çarpışından sonra kaç santimetre yükselir Yani bir top var 54 santimetre yükseklikten bırakılmış yere çarpmış zıplamış çarpımı zıplamış çarpımı zıplamış bu şekilde gidiyor 1 yere çarpışı ikinci yarı çarpı 3 yere çarpışı yere her çarpıttıktan sonra bir önceki yüksekliğinin üçte ikisi kadar zıplıyormuş o zaman 54'ün 3/2'si kaçtır hemen hesaplıyorum 54'e 3'e böldüm 18 mi Evet 18 x 2 36 yani 1 yara çarpışından sonra 36 santimetre yükselecek bu sefer ikinci yarı çarptığında 36'nın üçte ikisi kadar zıplamayacak mı Evet 36'yı 3'e böldüm 12 12 x 2 24 yani 24 santimetre zıplayacak bir daha yere çarparsa üçüncü yere çarparsın 24 böldüm 12 x 2 Durdur kafa durdu 24'e 3'e böldüm 8 şimdi Kafa gitti ya 8 kere 2 16 16 santimetre yani üçüncü yere çarpışından sonra 16 santimetre zıplayacak bunu pratik yolda şuydu arkadaşlar 54 x her seferinde bir önceki yüksekliğinin üçte ikisi kadar zıplıyor üçüncüyü yere çarpışını sorduğu için üzerini 3 yapıyoruz son yüksekliği buluyoruz bakalım gerçekten 54'ü 16'yı veriyor mu 2'nin küpü 8 3'ün küpü 27 bunu buna böldüm 2 2 kere 8 16 gerçekten sağladı tamam Şimdi arkadaşlar bakın sayı problemleri ile ilgili O kadar şey veriyoruz ki ama adamlar artık o kadar çok soru sormuş ki geçmişte artık güzel sorular soruyorlar bakın mesela çıkabilecek güzel sorulardan bir tanesi Arkadaşlar ben sözümü sese bakayım Evet ses çalışıyor Güzel Arda Berk Can'ın katıldığı bir bilgi yarışması ile ilgili şunlar bilinmektedir yarışmada toplam 20 soru sorulmuş her soruyu yalnızca bir yarışmacı cevaplıyor Her doğru cevap 20 puan verilmiş Her doğru cevabı 20 puan verilmiş bir soruyu yanlış cevap yarışmacıdan 20 puan düşürülmüş ve diğer iki yarışmacı onar puan eklenmiştir Aşağıdaki tabloda yarışmanın sonucu ile ilgili bazı bilgiler veriliyor canım puanı kaçtır arkadaşlar canım puanını soruyor şimdi Berke bakalım 6 tane doğrusu var 3 tane yanlışım var toplam 80 puan almaya Arkadaşlar şimdi düşünelim birlikte tamam mı Berkin nasıl puanı 80 oldu şimdi her doğru cevap 20 puan alınıyor eğer yanlış bir cevap verirseniz 20 puanınız siliniyor diğer yarışmacılar onar puan gidiyor diğer yarışmacılara Berk 6 tane doğru yapmışsa 6 kere 20 120 puan olur burası artı 120 puan 3 tane yanlış yapmışsa 3 kere 20 60 puanı silinecek artı Arda bir yanlış yaptığı için buradan mesela 20 puanı siliniyor 10 puan buraya 10 puan buraya geliyor arkadaşlar yani bir 10 puan arızadan geldi Tabii kaç puan Candan gelmiş Onu bilmiyoruz yani Can yanlış yapacak Oradan da gelecek belli ki bilmiyoruz Arkadaşlar bunu x diyelim toplam kaç puan olmuş 80 puanı olmuş Bunu bir hesaplayalım bakın 60 70 Burası 10 oldu değil mi 120'den 60 çıkar altmış 10 Daha 70 10 daha 80 Demek ki arkadaşlar Bakın ben Şundan da biliyorum ki şuradan şuraya yani Candan buraya 10 puan gelmiş O kesin arkadaşlar yani bu bir yanlış yapmış Demek ki Can Demek ki bir yanlış yapmış ki 20 puan silinmiş 10 puan Arda'ya 10 puan da Berke gitmiş çok güzel Artık bunun bir yanlışının olduğunu kesinlikle ve kesinlikle Biliyorum sevgili arkadaşlar şimdi buraya da bulabilir miyim bulabilirim sevgili arkadaşlar nasıl Söyle söyle söyle Şimdi arkadaşlar bakın Şurayı bilmiyorum değil mi Bu bir yanlış yaptı 10 puan Berke gidecek değil mi 10 puan Berke gidecek 10 puan da Arda'ya gidecek öte yandan şunu da biliyorum bakın şunu da biliyorum belki 3 tane yanlış yapmış yani 3 kere 20 60 puanı gidecek O 60'ın yarısı yani 30 puan buraya gelecek 30 puan da buraya gelecek 30-10 daha 40 puan Yani bunu Arda'ya ekstradan 40 puan geliyor bunları yanlış yaptığı için ya da direkt yapabilirdik 3 bir daha 4 4 kere 20 80 puan kayıp 80'in yarısı 40 puan buna gelecek ekstradan o zaman ilk sana doğru yapmış 20 x puan gelir bir tane yanlış yapmış 20 puanı gitti ekstradan diğerleri yanlış yaptığı için 40 puan aldı toplam Arda'nın puanı da 100'dür bunu da biliyorum arkadaşlar bakın Burası ne oldu 20 oldu bu tarafa 80 80'i 20'ye falan X4 bulunur bir daha 20 804 çok güzel 4 kere 20 80 eder güzel Arkadaşlar artık Buranın da 4 olduğunu biliyorum Şimdi gelin birlikte kimin puanını bulalım canım puanını zaten canım puanını soruyor arkadaşlar yani canın kaç tane doğrusu var bir kere toplam 20 soru var değil mi yani Bu soruların hepsinin toplamı çünkü boş bırakılan soru yok yani hepsini toplamı kaçtır arkadaşlar 20 soru hepsinin toplamı 20 olmalı 4 6 daha 10 11 12 15 5 daha 27 bir daha 10 11 12 3 daha 15 5 daha 20 eder Demek ki Can 5 tane doğruyu yapmış o zaman canım puanını hesaplıyorum Her doğru 5 pa 20 puandı 5 kere 20 Buradan 100 puan aldı bir tane yanlış yaptığı için 20 puana gitti ekstradan bunlar yanlış yaptığı için oralarda da puan gelecek toplam diğer rakipler 3 bir daha 4 tane yanlış yapmış 4 kere 20 80 puan kaybetmişler 80 yarısı 40 puan buna gelir ya da şöyle düşünün Arkadaşlar bu bir yanlış yaptığı zaman 20 puanı düşüyor ya 20 puandan 10 puan buraya 10 puan buraya geliyor bu 3 yanlış yapmış 3 kere 20 60 puan kaybetmiş 60 puandan 30 puanı oraya 30 puanı da buraya gelecek Yani 40 puanı artacak diyebilirdi Tamam bu şekilde de gidebilirdik 140'tan 20 çıkar 120 canım puanı da 120 olması gerekiyor Bir İşlem hatası yaptık mı bakalım Hayır çok güzel sayı problemleri ile ilgili arkadaşlar Bakın bu tarz bir soru da gelebilir bakalım bir direğin gölgesinin kendi yüksekliğinden %25 daha uzun olduğu bir zaman diliminde iki direğin Gölgelerin başlangıç ve bitiş noktaları şekildeki bir verilmiş Şimdi arkadaşlar Bakın bu direğin gölgesi şuraya gelmiş bu direğin gölgesi de tam A'ya gelmiş bunu anlıyoruz demek ki Işık bu tarafa doğru vuruyor çok güzel C noktasındaki direğin gölgesi B noktasının direğinin dibinde bitiyor tamam Bakın şunun gölgesi Tam benim dibinde bitmiş bunu anlıyoruz bu iki direğin yükseklikleri toplamı 32'dir Bu arada arkadaşlar ne demiş arkadaşlar bakın bir direğin gölgesinin kendi yüksekliğinden %25 daha uzun olduğu bir zaman diliminden bahsetmiş yani yüzde problemleriyle alakalı bir soru aslında aynı zamanda şimdi bunun boyuna bakın C noktasını direğin boyunu soruyor C noktasındaki direğin boyuna 100x diyelim B noktasındaki direğin boyuna da 100 ye diyelim o zaman bunun gölgesi ne olacak 125x olacak çünkü 125 daha fazla Bunun gölgesinin uzunluğu da 125y olacak Kendi boyunun 125'i daha fazla dediği için Şimdi arkadaşlar 100x + 100 ye onu yazalım bakın 100x + 100 yn bu iki direğin de uzunlukları toplamıdır bunda 32 olduğunu bize söylemiş bu burada kalsın burayı Hallettik awc noktalarının orta noktasının C noktasına olan uzaklığı B noktası B noktasındaki direğin yüksekliğine eşittir işte Burası can alıcı bir yerdir sevgili arkadaşlar a ve c noktalarının orta noktası bakın a ile C'nin orta noktası buralara gelmiyor mu diyelim ki buraya geliyor Tamam mı arkadaşlar Aslında biraz daha bu tarafa geliyor önemli değil şuraya geliyor Bu ne demek oluyor şurası buraya eşit Burası buraya eşit bunu anlıyorum Tabii buranın tamamı 125 onu unutmayın lütfen şimdi diyor ki sevgili arkadaşlar ABC noktalarının orta noktasının C noktasına olan uzaklığı Ben noktasına direğinin yüksekliğine eşittir a ve c noktasının orta noktasını C noktasına olan uzaklığı bakın C noktasına olan uzaklığı neye eşitmiş B noktasındaki direğe uzunluğuna eşitmiş yani 100 yaya eşitmiş 100 g'ye eşitmiş demek istiyor o zaman arkadaşlar şurası kaçtır orayı bulabilir miyiz Evet nasıl Ben daha önce buranın bunun %25 fazlası 125 x olduğunu biliyorum O zaman 125x'ten şunu çıkartırsam burayı bulurum yani Şuradaki uzunluk Ne oldu arkadaşlar bakın Şuradaki uzunluk 125x değil mi Tamam 125 x de bunu çıkarıyorum eksi 100 y olduğu Tamam aynı zamanda bakın Şuradaki doğru parçası ile buradaki doğru parçası eşit miydi Evet çünkü a ve c noktalarının orta noktasına burasını demiştik Yani bunların toplamı bakın şuranın toplamı şuraya eşit ne demek istiyorum sevgili arkadaşlar yüz yirmi artı bakın toplayın isterseniz 125 ye artı 125x125 x anlaşılsın diye böyle yapıyorum -100 ya -100 Ya şu ana kadar ne yaptım Şurayı topladım arkadaşlar neye eşit buranın toplamda yani yüzeye eşit daha sonra ne yapacağız daha sonra Arkadaşlar biraz düzenleyeceğiz ha bakın 100x + 500x500x/3 eşittir 32 olabilir karambole çözdüm 300 3 çarpı 100 300 500x daha 300 x + 500x800x800x/3 eşittir 302 bunu 8'e bölsek 4mader Evet bunu 8'e bölsek 100 eder buradan 100x Direk çıktı bakın 100x = 3 kere 4 12 Yani bu 100x neymiş C'nin uzunluğu 12'ymiş güzel bir soru arkadaşlar yüzde kar zarar problemleri x sayısının %30'u nedir hocam Vallahi ilk çarpı 30 bölü 100'dür kendinize kefeliyoruz ilk sayısının %30 fazlası x çarpı 130/100'dü ilk sayısının %30 eksiği x çarpı %30 eksiği ne demek %70'i demek Eyvallah Kar nasıl bulunuyordu satış fiyatı eksi alış fiyatı onu da biliyoruz arkadaşlar 80 tl'ye alınan bir mal %20 kar ile satılırsa satış fiyatını soruyorsa 80 çarpı %20 karla satmak 120/100'ü demek arkadaşlar o zaman satış fiyatını böyle otomatikman bulabiliyoruz 8 kere 12 96'dır ya da 80'in %20'sini hesaplarsınız eklersiniz falan 80 TL alınan bir mal %30 zararla satılırsa satış fiyatını soruyorsa satış fiyatı ne olacak 80 çarpı %30 zarar ne demek yüzde yetmişine satıyorum anlamına geliyor o zaman bunun %70'i bize satış fiyatını direkt verecek 8 kere 7 50 6 diyeceğiz yüzde 25 kar ile 150 TL'ye satılan bir malın alış fiyatı Şimdi arkadaşlar yüzde 25 kar bakın Hani direkt şöyle yapın gitsin yüzde 25 kar ne demek sevgili arkadaşlar yüzde 125'e satıyorum Peki ne kadara satmış 150 TL'ye satmış malın alış fiyatını sormuş alış fiyatı her zaman %100'dü Arkadaşlar bu şekilde yapabilirsiniz veya veya dersiniz ki alış fiyatı a TL olsun yüzde 25 karla satıyorum yani 125 böyle yüze satıyorum ne kadar oluyormuş 150 buradan x'i bulabiliriz nasıl 25'e bölün 5 bunu 25'e bölün 4 155'e böl 30 işlemese eşittir 4 kere 30 120 diyebilirsiniz %30 zarar ile 42 TL'ye satılan bir malın alış fiyatı Şimdi arkadaşlar bu mala alış fiyatına diyelim yüzde 30 zararla satıyorsam yani Yüzde yetmişine satıyorum anlamına geliyor ne kadara Satmışım 42 liraya Satmışım buradaki sıfırla buradaki 0 gitsin 427 ile sadeleştirdim 6 işareti 60 TL oldu yüzde problemlerinde arkadaşlar genelde bilinmeyenleri 10x 100x gibi şeyler söylüyoruz ki kesirlerle uğraşmayalım Bir de yüzdelik oranlarda maddenin miktarına bağlı olarak arkadaşlar ya da evet madde sayısına bağlı olarak miktarına bağlı olarak yüzdeler asla ve asla değişmiyor bunda bilelim yüzdeki arızalarla ilgili çok güzel iki tane sorumuz var bakalım Evet 2 tane sorumuz var bir bahçede elma armut ceviz ve kayısı olmak üzere 4 tür ağaç bulunmaktadır Bu ağaçların %18'i elma ağacı %22'si armut ağacı diğer ağaçların ise %20'si ceviz ağacıdır bu bahçede 10 elma ağacı ve 14 armut ağacı daha olsaydı Elma ve armut ağaçlarının toplam sayısı kayısı ağaçların sayısına eşit olacaktır Buna göre aşağıdaki ceviz ağacı sayısı kaçtır Şimdi arkadaşlar bakın geçen sene DGS'de bu tarz bir soru gelmişti ben soruyu Biraz daha güzel yaptım bu tarz sorular hep geliyor ha bakın elma armut ceviz kayısı yazalım elma armut ceviz kayısı Tamam bunu yazdık mı kendimize yazdık bahçedeki toplam ağız sayısına 100 x diyelim bilmiyoruz %18'i elmaymış yani 18 x tanesi elma yemiş %22'si armutmuş armutların sayesinde 22 x diyeceğiz Demek ki buradaki şeye göre Ondan sonra arkadaşlar diğer ağaçların diyor Şu ana kadar bak kaç ağaç gitti Elma ile armutların toplam sayısı 18x + 22x 40x 100x'den 40x çıkar geriye 62 tane ağaç kaldı Demek ki cevizle kayısıların toplam sayısı 60x'tir geriye kalan diğer ağaçların diyor yani 62 tane ağaç kaldı ya onların diyor %20'si cevizdir Bunun %20'si kaçtır hemen hesaplıyorum sevgili arkadaşlar sıfırları götürün 6 kere 2 12x sadece cevizdir zaten 60x diye her ikisini toplamı 60'tan 12 çıkar 48 mi kayısı ağaçların sayısı 48 xtir diyeceğiz bunu yaparsınız buraya hallettik bu bahçede onu elma ağacı 14 armut ağacı daha olsaydı elma ve armutların toplam sayısı kayısıların sayısına eşit olacaktı diyor arkadaşlar şimdi elma ve armutların toplam sayısı ya da şöyle gidelim arkadaşlar 18 x tane elma var değil mi çeyrek altın 1500 TL iken tüm parasıyla bir çeyrek altın alın Ali bir hafta sonra çeyrek altın 1700 TL olduğunda aldığı Çeyrek altını bozduruyor doların 17 TL olduğu gün altından gelen tüm parasıyla dolar alıyor Ali bir hafta sonra dolar 17.7 TL'ye olduğunda aldığı tüm dolarları bozdurarak parasını TL'ye çeviriyor Buna göre Ali'nin bu döviz Alim satınında elde ettiği kar yüzde kaçtır burada arkadaşlar günümüzdeki şartlara bakarak bir soru yazdım bakalım dışarı doğru yazmışımdır şimdi Ali'nin çeyrek altın Yani bir çeyrek altın 1.500 liradır diyor tamam mı tüm parasıyla çeyrek altın alıyor bir tane çeyrek altın alıyor Ali Yani bir tane çeyrek altın aldı mı tüm parasıyla aldı 1500 TL zaten çeyrek altın Demek ki tüm parası 1500 TL'dir 1500 TL gitti Şu an Ali'nin yani giden para ne kadar giden para 1500 TL'dir Bunu kesinlikle biliyoruz her zaman maliyeti hesaplamak zorundayız arkadaşlar 1500 TL karın zararımız var yani gitti Onu bir şekilde kar etmemiz lazım güzel daha sonra ne olmuş arkadaşlar bir hafta sonra çeyrek altın bin 700 TL olduğunda Çeyrek altını bozduruyor o zaman Çeyrek altını bozdurursa Çeyrek altını almıştı bozdurursa artık 1700 TL'si olmaz mı Ali'nin Evet dolar 17 TL iken dolar alıyor Şimdi kaç sene dolar alabilir bu 100 dolar eder değil mi arkadaşlar 100 dolar eder Yani 1717'ye bölün 100 dolar aldı en son Tüm parasını dolara çevirdi şu an 100 doları var artık bu yok 100 doları var daha sonra dolar 17.7 iken bozduruyor şimdi 100 çarpı 100 doları var 17.7 ile çarparsak Ne olur arkadaşlar 1770 TL'si olur en son Ali'nin cebinde bu kadar para olur şimdi Ali ne kadar kârı elde etti Peki ne kadar kaybetmişti 1500 ne kadar para geldi 1770 1770'ten 1500'ü çıkarsak 270 TL kar var mı arkadaşlar burada evet kaç TL kar demiyor yüzde kaç kar elde etmiştir şimdi düşüneceğiz her zaman maliyet üzerinde kar hesaplanıyordu 1500 de 270 TL kar elde ediyorsa yüzde kaçtır bunda arkadaşlar bakın payda 100 yapmaya çalışacağım mesela şunu 3'e bölsek 150'yi 3'e bölsek 50 27/3'e bağırsak 9 sonra 2 ile genişletiyorum paydayı 100 yapmak için 2 kere 9 18 2 kere 50 100 Demek ki yüzde 18 kar elde etmiş cevabınız Bursa olacak Evet Böylelikle ne yaptık arkadaşlar yüzde problemlerini de çok güzel bir şekilde bitirdik Arka Sokaklar çok yorulduk [Müzik] bazen böyle hareketle yapman lazım yoksa beyin duruyor ha Vallahi Evet sevgili arkadaşlar Acı yok Acı yok rakibi yiyeceğiz bitireceğiz arkadaşlar bitireceğiz Ondan sonra kendimize Keyf edeceğiz eyvallah karışım problemlerinde ise bir arkadaşlar karışım problemleri basit bir konu sevgili arkadaşlar bakın gelse zaten yüzde problemleri ile karıştırıp soruyorlar Bir karışım da 27 gram su 23 gram şeker kullanmıştır Buna göre şeker yüzdesini bul diyor toplam karışım Değil mi arkadaşlar bakın buraya karışım yazıyorum buraya da Şeker miktarını yazıyorum 27-23 Daha 50 toplam karışım 50 gram şeker ne kadar 23 gram yüzde kaçtır diyor buraya 100 yaparsak 2 ile genişletin iki kere 50 100 kere 23 406 yüzde 46 şeker oranı Bu yani başka bir şey yok kutu yöntemi ile Ben çözüyorum genelde sevgili arkadaşlar miktarlar her zaman aşağıda yazıyorduk yüzdeleri kutular içine yazıyorduk iki tane karışımı buraya koyuyor boşaltıp karıştırıyoruz o zaman ilk çarpı a+y çarpı B eşittir Z çarpı a+b gibi formülümüz vardı eğer maddeler ekleniyorsa madde ekleniyorsa artı yazıyoruz araya madde çıkarılıyorsa buharlaştırma ya da bir şey varsa eksi yazıyoruz buraya bir karışımda belli bir miktar alındığında yüzde değişmiyor sevgili arkadaşlar sadece miktar değişiyor karışımlar eşit miktarda karıştırıldığında oluşan karışımın yeni yüzdesi eklenen Karışımların arit ortalama Seydi bunları Biliyoruz zaten şimdi %30'u şeker olan 20 gram Şekerli su ile %60'ı şekere olan 30 gram Şekerli su karıştırılıyor Buna göre oluşan yeni karışımı şeker oranı yüzde kaçtır demiş yola koştur o formülü anlamak için ben bu soruyu koymuştum arkadaşlar şimdi Birinci karışımımız 20 gram şeker oranı ne yüzde 30 ikinci karışımımız Valla 30 gram He valla şeker oranı ne Yüzde altmış 20-30 da 50 gramlık bir karışım oldu yeni karışımı şeker oranı kaçtır buradan x'i bulacağız arkadaşlar direkt pratik olarak her birinden birer sıfır atabilirim 2 kere 365 3 kere 60 180 eşittir x çarpı 5x buradan 5x = 60 ile 180'in toplamı 240 x eşittir 240'a 5'e bölsek 48 mi olur evet yani oluşan karışımı şeker oranı yüzde 48 olacak sevgili arkadaşlar şimdi çok güzel bir soru çözeceğiz buna benzer bir soru gelmişti daha önce arkadaşlar Aslı portakal ve nar sularından eşit miktarda kullanılarak tamamı dolu olan bir bardak meyve suyu karışımı hazırlamıştır Aslı bardaktaki karışım %40'ını içtikten sonra bu bardağı bir miktar nar suyu ilave etmiştir son durumda bardaktaki karışımın nar suyu oranı %60 oluyor Buna göre son durumda bardağın yüzde kaçı doludur bakın buna benzer bir soru geldi Arkadaşlar dediğim gibi karışım gelse de genelde yüzde ile karıştırıyorlar Şimdi öncelikle Aslı ne yapıyor bir bardak var bakın bardağımız Ne kadar bilmiyoruz yani bardağımızın boyutunu şöyle çizelim kendimize güzel bir bardak çizeyim kendime şöyle bir bardak var Arkadaşlar bu bardağın toplam boyutuna Yani toplam alabileceği miktar var ya ona 100x diyelim yüz diyelim 100 litre diyelim 100 cm³ diyelim yani 100 santimetre küp diyorum arkadaşlar 100 litre de diyebilirsin fark etmez şimdi 100 olsun ya da 100 x de diyebilirsiniz yani ikisini neden kullanayım ki benden yüzde soruyor Sonuçta xler gideceği için yüzü eksik kullanmama gerek yok kullansan da çıkar Şimdi arkadaşlar eşit miktarda diyor Nar ve portakal suyunu karıştırmış bu bardakta o zaman bunun %50'si nar suyu yüzde ellisi de portakal suyudur Bunu kesinlikle Biliyorum ama ilk etapta doludur yani Arkadaşlar bunun yüzde kırkını içmiş O zaman ne kadar kaldı bakın Ne kadar kaldı yüzde kırkını içse tamamı 100x yani demin doluydu doluydu 100x %40'ı içse %60'ı kalır Değil mi arkadaşlar yani 60 santimetre küp kaldı Peki içindeki yüzdeler değişir mi değişmez yine nar suyu oranı da %50'dir portakal suyu oranı da %50'dir kesinlikle bunu biliyoruz nereden biliyorum çünkü eşit miktarda karıştırılmıştı sevgili arkadaşlar ve sonra Nar suyun yüzdesinden bahsettiği için nar suyu üzerine gideceğiz yani ben artık neyin yüzdelerini yazıyorum arkadaşlar nar suyu bakın unutmayın nar suyu oranı üzerine gideceğiz no no nar suyu oranı güzel bunun üzerine Ne ekliyormuş Sevgili Arkadaşlar bunun üzerine bir şey ekleyecek şimdi ne ekleyecekmiş son durumda bir miktar nar suyu eklemiş diyor ne kadar bilmiyoruz x diyelim arkadaşlar ne eklemiş Nar Yani bu kabın içinde ne var bu kabın içinde saf nar var O zaman bu kabın içindeki nar suyu oranı nedir %100'dür değil mi Çünkü full narıdır yani içinde portakal yok ki ne yaptı bunları karıştırdı yeni oluşan karışım Şimdi bardağımızı tekrar çiziyoruz yani ne yaptım Arkadaşlar bunu bunun içine boşalttım bardak ne kadar oldu yani bu kadar doldu artık biraz daha fazla olacak bardaki 60+x olmaz mı 60 + x oldu son durumda ne oluyormuş arkadaşlar son durumda nar suyu oranı %60 oluyormuş %60 oluyormuş Böylelikle ikisi bulursak son durumda ne kadar şey var bu onu bulabiliriz Arkadaşlar ne kadar karışım var o bardakta onu bulabiliriz şimdi 50 çarpı 60 bakın kutu yöntemi ile gidiyorum 50 çarpı 60 artı Değil mi arkadaşlar Evet 100 x 100x eşittir 60 çarpı Burası 60 çarpı 60 artıx Evet soruyu üretirken Biraz hata yapmışım büyük ihtimalle ama inşallah çıkacak arkadaşlar Çünkü çok emek verdim Eyvallah Şimdi ben direk otomatik ne pratik olarak şunları götüreyim 5 kere 6 300 çıkar artık çık Burası 10x İnşallah çıkacaksın eşittir 6 kere 60 30 60 artı 6x Evet şunu bu tarafa atsak 10x'ten 6x'i çıkarsak 4x eşittir şimdi bu tarafa alsak 60 x eşittir ne çıktı 15 çıktı 60'ı 4'e böl 15 Evet doğru yapmışım soruyor mükemmel bir soru üretmişim ha x 15 arkadaşlar x 15 ne demek son durumda bardağımız Buydu değil mi arkadaşlar bakın son durumda bardağımız buydu 60 + 15 75 son durumda artık bardakta 75 litresi var artık ben burada bunu anlıyorum bardağımızın tamamının hacmi yüzdü son durumda bardağın yüzde kaçı doludur diyor vallahi yüzde 75'i doludur çok güzel bir soru cevabımız Ceyhan yaş problemleri En sevdiğimiz problemler kısmı Ali şu an x yaşında ise 5 yıl sonra hocam x + 5 yaşındadır 3 yıl önce x eksi 3 yaşındaydı 2 Ali 2 yıl daha erken doğsaydı daha 2 yaş daha büyük olurdu Ali 4 yaş daha genç olsaydı 4 yaş daha küçük olurdu yaş farkı hiçbir zaman değişmez doğum tarihi küçük olan yaşı büyük olur bugünkü yaşları toplamı a olan x kişinin 5 yıl sonraki yaşları toplamı a+bx oluruna dikkat edeceğiz 7 yıl önceki yaşları toplamı a - 7x olacak çünkü x var Her biri 7 yaş küçülse 7x küçüldü Yaşar toplamı yaş ortalaması Yaşar toplamda böyle kişi sayısı yedi bugünkü yaş bugünkü yaş ortalaması 30 olan x kişinin arkadaşlar 5 yıl sonraki yaş ortalaması yaş ortalaması diyorsa sanki bir kişi varmış gibi düşüneceğiz bakın burada yaşlar toplamı dediği için bu şekilde yaptık yaş ortalaması diyorsa sanki Ali 30 yaşındadır diyor 5 yıl sonraki yaş ortalaması 35 olur 6 yıl önceki yaş ortalaması 30'dan 6 çıkar 24 bunlar pratik yöntemlerdi yaş problemler ile ilgili bu tarz bir soru gelebilir Emel doğduğunda annesiyle babasının yaşları toplamı 62'dir Emel 14 yaşında geldiğinde babasının yaşının Emel'in yaşından yarısının Kalesi olduğunu hesaplanmıştır Buna göre Emel 25 yaşına geldiğinde annesi kaç yaşındadır Şimdi arkadaşlar buraya Emel yazalım buraya Anne yazalım ya da baba yazarım ilk önce buraya da anne yazalım güzel bunları yazdık mı Vallahi yazmışım Emel doğduğunda Anne ile babanın yaşları toplamı 62'dir yani Emel 0 yaşındayken babasının yaşına xersek annesinin yaşına da 62 - x diyeceğiz Çünkü ikisinin yaşları toplamı 62'dir demiş Emel 14 yaşına geldiğinde diyor Emel şimdi 14 yaşına geldiyse 14 yıl sonradan bahsediyor Bu kaç yaşında olacak x + 14 yaşında olacak anneyi hesaplamamıza gerek var mı hayır bu ne oluyormuş babanın yaşı Emel'in yaşının yarısının karesi olduğunu hesaplanmıştır Babasının yaşı yani x + 14 neye eşit oluyormuş Emel'in yaşının yarısının karesine eşit olmuyormuş bakın yarısının kalesine eşit oluyormuş güzel o zaman x artı 14 eşittir 14'ü ikiye böldüm 7'nin karesi 49 buradan ilk eşittir 49'dan 14 çıkar 30 5 - 35 bulduk Demek ki baba 35 yaşındadır Emel 25 yaşında geldiğinde annesinin de bulalım sevgili arkadaşlar 35 dersek bakın 62'den 35 çıkarsak ne olur 27 olur öyle değil mi anne de demek ki 27 yaşındadır şimdi Emel 25 yaşına geldiğinde yani Emel 25 yaşına geldiğinde buradan 25 yıl sonradan bahsetmiyorum Evet o zaman 27'ye 25 ekleyin 27'ye 25 eklersem annenin 25 Eylül sonraki yaşını bulacağım ki zaten 2 52 mi oluyor Evet 52 oluyor onu da yaparsınız hareket problemleri yol eşit hız çarpı zaman en güzel formülümüz zaten olmazsa olmazımız hız yorgunuz zaman ile bulunuyordu zamanda yol boyu hız ile bulunuyordu bunların ikisi de bu formülden çıkıyordu sabit hızla yol ve zaman doğru orantılıdır sabit zamanda yol ve hız doğru orantılıdır Ama şu biraz önemliydi sevgili arkadaşlar sabit hızla her zaman her zaman hız ve zaman ters orantılı Lütfen bunu unutmayın karşılaşma süresi nasıl bulunuyordu iki araç birbirine doğru hareket birbirine doğru hareket ediyorsa arkadaşlar karşılaşma süresi aradaki mesafe böyle hızlarının toplamıydı bunun diğer versiyonu budur bakın yine birbirine doğru hareket ediyorlar Pistin uzunluğu böyle hızlarının toplamı bize karşılaşma birinci karşılaşma süresini verecek yetişme yakalama süresi iki araç aynı yöne doğru gidiyorsa bakın burada birbirine doğru gidiyordu bunlar aynı yöne doğru gidiyor bu buna ne zaman yetişir aradaki mesafe böyle hızlarını farkı Eğer bunun diğer versiyonu da budur sevgili arkadaşlar Bakın aynı yöne doğru gidiyorlarsa Pistin uzunluğu ve tekrar ne zaman yetişecek tekrar ne zaman yan yana olacaklarını yani yetişme süresini bize veriyor arkadaşlar Şuradaki örneği hemen hızlı bir şekilde çözelim çevresi 720 Şimdi ben düşünüyorum buranın çevresi 720 ise yani 300 60 dereceye 720 ise acaba 120 dereceye kaçtır 3'e böl 120 bunu 3'e böl 240 mı Evet yani buranın 240 kilometre olduğunu biliyorum O zaman şunu sorsun bize sevgili arkadaşlar şunu Burası da 240 bunu unutmayalım Arkadaşlar bunu da çözeceğiz Ya bunlar ne zaman karşılaşır Yani ilk defa ne zaman karşılaşır aradaki mesafe 240 bölü hızlardan toplamı yani 50 + 70 120 yani ne zaman arkadaşlar 2 saat sonra karşılaşacaklar ikinci karşılaşmaları ne zaman olur diye Sorsaydı Arkadaşlar şöyle yapıyoruz onu da aradaki ilk mesafe ne 240 böyle hızlarını toplamı ne 120 Bu nedir İlk karşılaşmalarıdır bir yerde karşılaştılar Arkadaşlar artık bu bu tarafa bu tarafa gidiyor ikinci karşılaşmaları için Pistin tamamı var Pistin tamamı 720'dir bunu eklersek ikinci karşılaşmaları için geçen süreyi buluyoruz Eğer bir tane pista eklerseniz 3 karşılaşmalarını buluyorsunuz bir tane 720 daha eklerseniz 4 karşılaşmalarını ne zaman olur sorusuna cevap veriyorsunuz arkadaşlar güzel şimdi buraya geldik bu buna ne zaman yetişir Arkadaşlar her zaman hızlı olanın önündeki mesafeyi alıyorsunuz yani 240 voltu hızlarının farkı değil mi 90 -30 hesaplarsak 60 oluyor öyle değil mi O da ne olur 4 olur 240'a 60'a bölsek yani bu araç bu araca ne zaman yetişir 4 saat sonra kalkıp da Şuradaki mesafeyi ya almayın arkadaşlar hızlı olanın önündeki mesafe çok önemlidir çok güzel mesela ikinci defa ne zaman yakalar yani buna tur bindirir ne zaman ikinci defa yakalar o zaman 1720 ekleyecektik üçüncü defa ne zaman tekrar yan yana olacaklar 1720 daha ekleyecektik bunları da tekrar etmiş olduk arkadaşlar tren sorularında arkadaşlar yol trenin boyu ve tünelin boyudur hız zaten trenin hızıdır zaman zaten zamandır Nehir problemlerinde akıntı hızına dikkat ediyoruz motorun hızı ve olsun akıntı hızı ve o olsun o zaman motor akıntıya karşı gidiyorsa gerçek hız ve artı veyadır Pardon V eksi vadır Arkadaşlar bunu yanlış yazmışız motor akıntı ile aynı yönde gidiyorsa gerçek hız ve artı veya olacak Bunu da bilelim canım bisikletinin hızı yürüme hızının 11 katına eşittir Can evden okula yürüyerek yol üstündeki bir a noktasına geldiğinde telefonu evde unuttuğunu fark ediyor canını okula gitmesi için iki seçeneği vardır Birinci seçenek yoluna yürüyerek devam edip okula gidecek ikinci seçenek Yürüyerek eve gidip telefonu aldıktan sonra aynı yolu kullanarak okula bisikletiyle gidecek eve ulaştıktan sonra telefonu araması ve telefonu alması için geçen süre önemsemeyecektir Can hangi seçeneği seçerse seçsin aynı sürede bulunduğu noktadan okula ulaştığına göre a noktasının eve olan uzaklığı ile okula olan uzaklığına oranı kaçtır güzel bir soru sevgili arkadaşlar hemen buraya ev yazıyorum buraya da okur yazıyorum şimdi bakın Bakın arkadaşlar şöyle evle okul arasında kendime güzel bir tane yol çizmişim arkadaşlar diyor ki yürüme bisiklet hızı yürüme hızını 11 katına eşittir yani bisiklet buraya da yürüme yazıyorum arkadaşlar yürüme hızına V dersem bisiklet hızına Ne diyeceğim 11 ve diyeceğim tabii Burada dikkat arkadaşlar soru çözerken soru çözüm teknikleri var yani Mesela ben konu anlatımda hep bunları size gösterdim her zaman gösteriyorum Orhan soruyorsa v'leri kullanmasan da olur ama yine de kullanalım senin hatırın için Şimdi arkadaşlar yürüyerek v ile gidiyor bisikletle 11 v ile gidiyor Bunu biliyoruz Can evden çıktı yürüyerek gidecek Arkadaşlar geldi bir noktada durdu hangi nokta bilmiyoruz buraya bir a noktasına geldi Arkadaşlar yürüyerek geldi değil mi bakın ne yaptı yürüyerek geldi yani ve hızıyla geldi Arkadaşlar daha sonra telefonu unuttuğunu fark ediyor telefonu unuttuğunu fark ediyor ya devam edecek bakın ya böyle gidecek ya böyle gidecek Yani normal yürüyerek gidecek kalan yolu yürüyerek gidecek ya da ya da diyor ya da diyor eve yürüyerek gelecek çünkü yürüyerek gitmişti değil mi kim ışınlama yok ki ona bisiklet göndersinler yürüyerek gelecek Daha sonra telefonu aldıktan sonra bisikletle gidecek bisiklet hızı neydi 11 v'ydi Değil mi arkadaşlar diyor hangi yolu seçerse hangi seçeneği seçerse seçsin aynı sürede evde oluyormuş yola koştur arkadaşlar bakın çok basit Düşünmeniz lazım Ha şimdi şöyle düşünün Ben buradaki yolunuzun da x diyorum buradaki yolun uzunluğunda Ya diyorum Öncelikle birinci seçenek arkadaşlar birinci seçenek neydi birinci seçenek yoluna yürüyerek devam edecek şimdi yoluna yürüyerek devam ederse yol böyle hırs bize zamanı veriyor yani y bölü ve saatte gitmiş olacak ikinci seçenek neydi ikinci seçenek ikinci seçenek neydi Yürüyerek eve gidip telefonu aldıktan sonra bisikletle okula gidecek Şimdi Ali bu noktanın Yürüyerek eve geldi yol boyuyoruz bize zamanı veriyor yani x bölü ve zaman geçti artı şu an eve geldi bisikletle de okula gidecek yol böyle hız bize zamanı veriyor bisikletle alacağı yol ilk saati ya ilk artı ya böyle hızırla bisiklet hızı 11 lira Bunlar neymiş arkadaşlar diyor ki hangi seçeneği seçerse seçsin aynı sürede diyor yani Bunlar birbirine neymiş eş etmiş Bu ikisi neymiş Arkadaşlar eşitmiş bu ikisine eşitledikten sonra Peki bizden Neyi soruyor arkadaşlar bakın diyor ki A noktasının eve olan uzaklığı okula olan uzaklığına oranı kaçtır yani A'nın eve olan uzaklığı okula olan uzaklığı oranı kaça x/y'yi bul diyor bana tamam mı Çok güzel şimdi bunları birbirine bir eşitleyelim mesela bunu 11 ile çarpsak 11 bunu 11 ile çarpsak 11 değil mi paydaları eşitledim şurada 11x + x 12 x + y oldu burası 12 x + y bölü 11 ve 11 ve eşittir neye aç ona ye böyle gitti mi Evet içler 11 ya şunu bu tarafa atsak 12x eşittir 10 y ona güzel soruymuş ha arkadaşlar buradan x/y'yi bulabiliriz değil 10/12 çıkıyor 10 böyle 12 sadeleştirirsek Vallahi 5/6 varmış ışıklarda var Eyvallah et sevgili arkadaşlar şimdi işçi Emek problemlerinizi bir şekilde tekrar ediyoruz işçi sayısı ile işin bitme süresi ters orantılıdır arkadaşlar genelde işçi problemlerinde ters orantı çok kullanılıyor hız KPSS ile işin bitme süresi ters orantılıdır Arkadaşlar Ali bir işi tek başına 20 saatte belli tek başına 30 saatte deli tek başına 40 saatte bitiriyor üçü birlikte kaç saatte bitirir diyorsa 1/20 1/30 1 bölü 40 çarpı t = 1 diyoruz bunları mantığını anlattım bunlarla ilgili soru çok gelmiyor hızlı bir şekilde geçiyorum arkadaşlar bitirme sürelerinde altta yazıyorduk falan fistan Ari ile Veli birlikte bu işi kaç saatte bitirir 1/ Ali'nin çalışma süresi 20 artı 1 bölü Veli'nin çalışma süresi 30 çarpı t = 1 işte Ali leveli bu kadar sürede bitirir şimdi buraya geldik sevgili arkadaşlar Ali tek başına iki gün veri Tek Başına 3 gün deli Tek Başına 4 gün çalışırsa işin kaçta kaçı biter şimdi buraya silelim arkadaşlar buraya hallettik şimdi bakın Ali tek başına 20 saatte bitiriyor Halit Bunlar saattir Arkadaşlar ben yanlış yazmışım her seferinde bunu düzeltmeyi unutuyorum Burası saat Arkadaşlar gün değil tamam mı hepsi saat saat güzel Şimdi tek başına 20 saatte bitiriyor 2 saat çalışırsa 20'de ikisini bitirir işini yerinde ikisini bitirir artı Veli tek başına 30 saatte bitiriyor Veli 3 saat çalışırsa Tek başına 30'da üçünü bitirir artı deli tek başına zaten 40 saatte bitiriyordu deli Tek Başına 4 saat çalışırsa 40'ta 4'ünü deli tek başına 40 saatte bitiriyor 4 saat açarsa kırkta dördünü bitirir o zaman arkadaşlar bakın Burası ne oluyor 1/10 oluyor sadeleşirsek 1/10 Oluyor sadeleşirsek 1/10 oluyor yani 3/10 oldu işin 10/3'ü 3'te 3/10'u biter Arkadaşlar bir de şu var Birçok öğrenci bunlara takılıyor sevgili arkadaşlar işi bırakanlar falan varsa hemen ya da işte sonradan dahil olanlar varsa hemen 3 tane kesir çizgisini çekip 1'e eşitliyorsunuz Ali'nin çalışma süresi 20'dir Velinin çalışma süresi 30'dur Delinin çalışma süresi 40'tır arkadaşlar sırayla başlıyoruz Şimdi sırayla başlıyor Ali ile üçü birlikte işe başladıktan Bir saat sonra yani üçü de bir saat çalışıldığı için hepsinde 1 1 1 yazdık Ali işi bırakıyor Ali işi bıraktı şu an Veli ile deli birlikte iki saat çalışmış Veli ile deli bunlar Bu da iki saat çalışmış Bu da 2 saat çalışmış daha sonra Veli de işi bırakıyor Veli de işi bıraktı deli Tek Başına 3 saat çalışmış sadece deliye 3 saat yazıyorum Daha sonra Ali Geliyor Deli işi bırakıyor bakın Ali geldi Ali geldi bu sefer deli işi bırakıyor geriye kalan işi Ali tek başına kaç saatte bitirir zaten artık Ali var tek başına kaç saatte bitirir tesade bitirir işte Daha sonra arkadaşlar ne yapıyoruz burada paydaları eşitliyoruz teyi hesaplıyoruz TK çıkarsa geriye kalan işi Ali bu kadar sürede bitirir diyoruz bir dosya fabrikasında çalışan Ali Burak ve Can ile ilgili şunları biliniyor Ali'nin 14 saatte paketi dosyaları Burak ve Can birlikte 6 saatte paketleyebiliyor canın 3 saatte paketlediği dosyaları Burak 4 saatte paketlemektedir Buna göre Ali ve Burak arkadaşlar burada can gibi çıkmış ama Burak yazdım Çünkü ben yanlış yazmışım Ali ve Burak'ın birlikte 1800 dosya paketlediği sürede Burak ile Can birlikte kaç paket dosya paketler arkadaşlar bakın yazalım Ali'yi Burak Can basit bir soru saatte bakın bir saatte tamam mı Bir saatte Bunlar ne kadar dosya paket diye biliyor bunu bulalım şurası dikkatimi çekti canın 3 saatte bakın canın 3 saatte paketlediği dosyaları Burak 4 saatte paketleyebiliyormuş O zaman şöyle düşünelim burada ters orantı var sevgili arkadaşlar yani Burak saatte 3t tane dosya ya da 3A tane 3K tane dosya paketliyorsa Canda 4 saatte 4K bakın bir saatte 4K tane dosya paketliyordu 3 saatte 3 kere 4 12 4 saatte 4 kere 3 12 Anlaştık mı çok güzel Şimdi Ali o Ali'nin 14 saatte paketlediği dosyaları Burak ve Can 6 saatte paketliyor Ali'nin tek başına 14 saatte bakın 14 saatte paketlediği dosyaları Burak'la Can birlikte 6 saatte paketleyebiliyorlarmış şimdi ben şöyle düşünüyorum arkadaşlar Burak'la Can 6 saatte toplam kaç dosyayı paketler Burak saatte 3K Bu da saatte 4K 3K + 4K 7k yani İkisi birlikte saatte 7k tane dosya paketleri biliyor ikisi birlikte 6 saatte 6 kere 7 42k tane dosya paketleyebiliyor bu 42k tane dosyayı Ali 14 saatte paketleyebiliyormuş o 42 42k 14'e bölsek 3K değil mi 14 çarpı 3K 42k eder artık ben şunu biliyorum sevgili arkadaşlar Ali Burak ve Can'ın bir saatte kaçar dosya paketledikleri ile ilgili bilgi Biliyorum bana diyor ki Ali ile Burak Arkadaşlar Ali ile Burak Ali ile Burak saatte ne kadar dosya paketleyebiliyor 3K artı 3K 6k tane dosya paketleyebiliyor Bunlar birlikte 1800 tane dosyayı paketlediği sürede diyor artık ne kadar süre bunu bilmiyoruz Burak'la Can Burak'la Can yani İkisi beraber Normalde 7k tane yapabiliyordu Bunlar ne kadar yapar E tamam diyor ki yani bana şunu diyor 6k 1800 ise acaba 7k kaçtır Vallahi bunu soruyor ha arkadaşlar bakın direkt 1806'nın 300 katıdır değil mi bakayım Evet o zaman bu da bunun 300 katıdır Demek ki 300 x 7.100 cevabımız Bursa olacak sevgili arkadaşlar şimdi kümelere geçiyoruz kümeler soyut bir konu olduğundan dolayı ne yazık ki birçoğunuz sıkıntı yaşıyorsunuz arkadaşlar Hadi gelin birlikte Kümeler konusunda tekrar edelim arkadaşlar küme neydi iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme diyoruz Değil mi arkadaşlar Evet kümeleri nasıl gösteriyoruz liste yöntemi ile gösterebiliriz bu şekilde V şeması ile gösterebiliriz Yani bu şekilde ortak özellik yöntemi ile gösterebiliriz bu şekilde de gösterebiliyoruz arkadaşlar Mesela bu A kümesini açık bir şekilde nasıl yazıyorduk Öyle ilklerden oluşuyor ki x küçük eşit 4 pozitif tam sayılar Burası ilk soracak arkadaşlar Pardon Yani dörtten küçük eşit pozitif tam sayılardan bahsediyor 1 2 3 4 tamam küçük eşit olduğu için 4 de dahil arkadaşlar elemanı olmayan kümeye boş küme diyoruz ve bu şekilde ya da bu şekilde gösterilir tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme diyoruz bu şekilde görüyorsa e ile gösterilir büyük E bir kümenin dışındaki tüm elemanların kümesine o kümenin tüylerini denir ve al ın tümleyeni a üssü ile gösterilir Arkadaşlar bu şekilde gösterilir sevgili arkadaşlar alt küme a ve b 2 küme olmak üzere A'nın her elemanı B'nin de elemanı oluyorsa A B'nin alt kümesidir denir ve sembol olarak bu şekilde gösteriyoruz A B'nin alt kümesidir şekil olarak da abinin alt kümesi bu şekilde gösterilir yani Venüs şemasıyla boş küme her kümenin alt kümesidir Arkadaşlar bunu bunları hızlı bir şekilde tekrar edelim Her küme kendisini alt kümesidir Evet alt küme oluşurken küme Parantezi kullanılır her küme evrensel kümenin alt kümesidir Eğer A B'nin alt kümesi ve B de alt kümesi oluyorsa o zaman AB'ye eşittir diyoruz Arkadaşlar en hemen elemanlı bir kümenin alt küme sayısı nasıl bulunuyordu 2 üzeri yani Özal küme sayısı da 250 - 1 ile bulunuyordu Arkadaşlar neden bir tane çıkartıyoruz kendisini çıkartıyoruz ki öz olsun çok güzel arkadaşlar kümelerde işlemler kesişim işlemi A ve B'nin ortak elemanları A kesişim B ile gösterilir şema olarak ya böyle gösterilir eğer biri diğerinin alt kümesi ise A kesişim B direk a kümesi oluyor Eğer bunlar ayrıksa A kesişim B ne oluyor arkadaşlar aylıksa a kesişimde boş küme oluyor Eyvallah arkadaşlar kesim bazı özellikleri var hala bir küme ile bir kümenin kendisi eder bir küme ile tümleyenin kesiştirirseniz boş küme olur A kesişim B ile b kesişim var yani kesişmenin değişme özelliği var sevgili arkadaşlar bir kümeyi boş küme ile ortak özelliği ortak bir elemanı var mı hayır yine boş küme a kesici mi evrensel küme ağ olur A kesişim B aynı zamanda şey pardon A kesişim baya eşitse a benim alt kümesidir arkadaşlar bakın Bununla ilgili bir soru geldi Lütfen bunu yazın bunu özellikle yıldızlı olarak yazın Ayla benim kesişimi nasıl ağ olur Şöyle olduğu zaman Değil mi arkadaşlar bakın abinin alt kümesi burada A kesişim B ne oluyor A'nın kendisi oluyor ha Dolayısıyla a kesişimde Eğer eşitse a benim alümesidir tersi de doğru a bennin alt kümesi ise A kesişimde aya eşittir birleşim işlemi arkadaşlar a ve a ile b kümelerinin tüm elemanlarından oluşan kümeye ağ birleşim ve hacklenir Arkadaşlar bu şekilde gösterilir a ile benim kesişimi ya bu şekilde olur ya biri diğerinin alt kümesi olur ya da ayrık olurlar kesişimle bu mavi ile yani Ayla beni kestirmeleri böyleyse bu şekilde olur böyleyse bu şekilde olur birleşimi Özür diliyorum yani hepsi hepsini alıyorsun güzel ama birleşim a'dır a birleşim A'nın tümleyeni Evrensel neden Hocam bu neden öyle oluyor Arkadaşlar şimdi a kümesi tamam mı Bu da evrensel küme olsun Şimdi a kümesi buysa'nın dışı da şurası oluyor yani anın tümleyeni de ananın dışı oluyor bu ikisinin kesimi boş kümedir ama bu ikisini birleştirdiğin zaman tüm Evren oluyor Anlaştık mı A birleşim ayıya eşittir yani birleşimi de değişme özelliği vardır a birleşim boş küme aya eşit a birleşim Evrensel e'dir evrenseldir Bu da önemli bir özellikti sevgili arkadaşlar bir yerde karşımıza gelebilir a birleşim birinin eleman sayısını bulmak için anne eleman sayısı artı Benim eleman sayısı A kesimlerini eleman sayısını çıkartıyoruz Neden Çünkü 2 level mesela annenin eleman sayısı dediğimiz zaman şuranın hepsini hesaba katmış oluyoruz Benim eleman sayesinde topladığımız zaman şuranın hepsini hesaba katmış oluyoruz buraya iki defa sabah kalktığımız için bir defa çıkartıyoruz kesişimi fark işlemi arkadaşlar A'da olup B'de olmayan elemanlara a fark B kümesi denir bu şekilde bazen de bu şekilde gösterilir ikisi de aynı anlama geliyor evrensel kümenin a kümesinden farkı A'nın tümleyenidir bir kümenin boş kümeden farkı kendisidir bir kümenin Kendisinden bir farkı yok ki boş küme bir kümenin A kümesinin B kümesinde farkı A kesişim B'nin tümleyenidir Bununla ilgili de bir ara soru gelmişti Lütfen yazın Arkadaşlar bu da önemli bir özellik Şimdi burada şema olarak gösterelim arkadaşlar mesela Burası ne oluyor a fark B oluyor öyle değil mi Burası B farkı oluyor Burası A kesişim B tamamı ne oluyor tamamı a birleşim B oluyor Şimdi arkadaşlar dağılma özelliği vardı kesişimin birleşimi üzerinde dağılma özelliği Neydi bunun komple alıp dağıtıyorduk öyle değil mi A kesin şimdi be bakın a kesin şimdi Şuradaki birleşimi ortaya yazıyoruz daha sonra a kesişimce küme problemleri arkadaşlar Almanca bilenler İngilizce bilenler Fransızca bilenler Almanca bilenler hepsi adgf adgf İngilizce bilenler Yani bu yeşil kümenin içindeki her şey neymiş ve bdg bakın burada yazmışım zaten Fransızca bilenler kırmızı kümenin içindeki elemanların toplamı Almanca ve İngilizce bilenler bakın Almanca ve İngilizce bilenler Burası oluyor yani DG oluyor çok güzel Almanca ve Fransızca bilenler Almanca ve Fransızca bilenden sadece burası değil Ha şu iki kümenin kesişimi yani F artıg oluyor İngilizce ve Fransızca bilenler İngilizce ve Fransızca Bilenler de E artık e 3 diliyle bilenler g oluyor Almanca bilmeyenler arkadaşlar Almanca bilenler şunlardır Öyle değil mi Almanca Bilmeyenler de BC çok güzel Yalnız bir dil bilenler Yalnız bir dililen a b c a b c dil bilmeyenler en az bir dil bilenler Arkadaşlar en az bir dil bilenler haç hariç hepsi bakın hepsini toplamış Hacı toplamamış en çok bir dil bilenler en çok bir dil bilenler ise a b c h olacak arkadaşlar Bunlar çok önemli değil tamam mı Çok güzel artık ÖSYM mantık soruları Soruyor yani böyle çok bilgiye dayalı sorular sormuyor Hocam ben orayı anlamadım önemli değil ABC her biri 5 elemanlı kümelerdir A kesişim B eşittir A kesişim c = b kesişim C eşitlikleri sağlanıyor a fark B kümesinin eleman sayısı 3 olduğuna göre a birleşim B birleşim C kümesinin eleman sayısı kaçtır işte DGS'de bu tarz bir soru gelmişse ve birçok öğrencinin yazdı ki bu soruyu yapamamıştı Arkadaşlar bu soruya özellikle seçtim ona benzer bir soru yani tam sınav sorusu değil benzer bir sorudur Lütfen bu soruya çok dikkatlice Bakın arkadaşlar eğer eğer şöyle söyleseydi S A kesişim B eşittir Burada da s olsaydı s a Bunlar olsaydı yani Este olsaydı Bu şu anlama gelecekti A kesişim Benim de eleman sayısı A kesişimci eleman sayısı belki kesince eleman sayısı eşittir O zaman biz bunları şöyle çizecektik a kümesi B kümesi C kümesi diye çizecektik Eğer böyle deseydi Tamam Arkadaşlar çok güzel çünkü burada eşitlememiş çok güzel yani sadece eleman sayıları eşitti diyor Örneğin Yani diyelim ki burası 2 ise 3 ise Burası da 2 Burası 2 bakın A kesişim B5 oldu 5 oldu 5 kez şimdi 5 oldu a kesimce 5 oldu bu soru üzerinde duracağım arkadaşlar ama böyle bir şey söylememiz ki eğer s yoksa o zaman ben bu şekilde çizemem bu matematiğe ihanettir bunu nasıl çizmem lazım Burada bir eşitlikten bahsediyor bir kere eşitlik o kadar tehlikeli bir şey ki mesela dünyada bir şeyde eşitlik Yoksa da biz diyor Tamam eşitlik adalet yoktur diyoruz falan fistan arkadaşlar matematikte eşitliğe saygı duymadığımız zaman Paramparça ediyor insanlar Tıpkı bu soru DGS'de birçok öğrenci kaçırmışlar Çünkü eşekliğin ne anlama geldiğini çok iyi bilmek lazım Ne eşit Yani bu A kesişim B A kesişimce eleman sayıları mı eşit Hayır hayır bu kümelerin kendileri birbirine eşit Yani bunlar aynı küm edir Mesela ben size desem ki Arkadaşlar burada bir eşitlik var buraya Ali yazdım hocam buraya da Ali yazmak zorundayız Çünkü bu aynıdır ya da şöyle bir şey yazsam buraya da Veli yazdım bu oldu mu olmadı Hocam Ali ile Veli birimine eşit olsun yani şöyle çizelim bu Ali kümesi Olsun bu da Veli kümesi olsun Olmaz olmaz Neden olmaz çünkü eşitlik bana diyor ki bu ile bu aynı kümedir bunu sil bu alidir aynı zamanda velidir bu şekilde çizmek zorundasın İkisi de eşittir ne demek ikisi de aynı kümedir ikisi de aynı nesnedir ikisinin göz rengi aynıdır ikisinin Bilmem konumları aynıdır aynı yerdeler Anlaştık mı çok güzel bunu söyledikten sonra Arkadaşlar artık çizmeye başlıyor şimdi Bakın arkadaşlar Bakın bu ne demek a kesişimde ve kesişimci öyle bir çizmeliyim ki bu 3 küme de aynı yerde olsun aynı yerde aynı küme olsun yola hoştur hemen çiziyorum arkadaşlar ha bu kime Bu nedir bu hem a kesişimdir hem a kesicidir hem de besin c'dir şimdi a kümesini çiziyorum arkadaşlar bakın a kümesini çiziyorum Tamam bu A kümesi olsun B kümesini çiziyorum Bu da B kümesi C kümesi de şöyle olsun arkadaşlar bakın şöyle olsun burada boşluk olmasın şu da C kümesi işte doğru çizim budur sevgili arkadaşlar bu çizime çok dikkat etmemiz gerekiyor Ha geldi Bir ara bir daha gelir mi bilmiyorum yani çizim çok önemli bakın a kümesi Burası oluyor B kümesi Burası oluyor C kümesi de burası oluyor bakın A kesişim B Burası BK seçince yine burası aksimce yine Burası çok güzel Dur Bu araba gelsin Harikasın gaza bastı gaza bastı bizim gibi okunmuyor ki gaza basacak motordur şimdi sevgili arkadaşlar Bakın ben artık şunu biliyorum şunu biliyorum A kesişim be a kesişimce Ben kesişince burasıdır üçü de aynı şeydir aynı kümedir Bana demiş ki A fark b3'tür arkadaşlar Alim B'den farkı Burası oluyor ABC kümeleri her biri 5 elemanlı demiş yağ kümesi 5 elemanlı ise bu üst ise Burası 2'dir 3 2 daha 5 2 ise Burası 3'tür 2 3 daha 5 C kümesi de 5 elemanlı 2 ise Burası 3'tür 2 3 daha 5 her şey çıkıyor doğru çizim yaptığımız zaman her şey çıkıyor a birleşim B birleşimcinin eleman sayısını soruyor Hepsini topla 3 6 9 2 daha 11'dir arkadaşlar hepsinin toplamı cevabımız Ceyhan olacak aşağıdaki Venüs şemasında He bu soruyu arkadaşlar buna benzer bir soruyu daha önce çözmüştüm sanırım aynısını da çözmüş olabilirim çok önemli bir soru olduğu için bir daha çözeceğim a harfi ile başlayan isimler a kümesi e harfi ile biten isimler B kümesinde yer alacak 5 harfli isimler C kümesinde yer alacak bana demiş ki arkadaşlar Buna göre Aşağıda hangi seçenekte Verilen her iki isim de bu kümenin bir elemanıdır şimdi bu kümeye hemen anlamaya çalışıyoruz Arkadaşlar öncelikle Bakın Şu nedir Yani A kesişim B neresi oluyorlar a kesişimde Burası oluyor Çok güzel şurası oluyor arkadaşlar Peki buranın bakın buranın c'den farkı neresi oluyor yani şunun c'den farkı burayı silsek şurası olur Yani kısacası arkadaşlar bakın şurası şunu bir daha çizelim şu var ya bu neresi oluyormuş ha Burası oluyormuş güzel burayı hallettik şimdi gelelim arkadaşlar diğerine hangisine hangisine hangisine şuraya bakın a birleşimde neresi oluyor a birleşim B onu bir daha çizeyim bence Arkadaşlar Kafanız karışmasın diye farklı bir renkle çizsem daha hoş olacak bir daha çizelim şöyle tabi biraz daha güzel çizersem Yorulduk ama ha Vallahi sınavdan önce bir darbe yiyeceğim belliydi sınavdan önce bir darbe yiyeceğimiz belli idi arkadaşlar abi birleşim ve neresi oluyor a birleşimde bakın a birleşim ve Buralar komple oluyor değil mi bakın şuralar oluyor güzel peki burada C'nin buradan farkı nedir C kümesi bakın C kümesinin şu taralı alandan farkı şuralar olmuyor mu yani neresi oldu şurası oldu dolayısıyla artık burayı silelim arkadaşlar burayı silelim şu küme de Bakın şu küme de şuraya tekabül ediyor Yani Burası şeymiş diğeri yani şurası da buraya tekabül ediyor Yani orasıdır çok güzel Şimdi arkadaşlar bakalım Aliye Nerede acaba a harfi ile başlayan isimler a kümesinde bulunacak B harfi ile e harfi ile bitenler burada olacak 5 harfliler de C kümesinde olacak sevgili arkadaşlar Bu Arada Arkadaşlar çok sıcak O yüzden elim sürekli yukarıya gidiyor haberiniz olsun saçıma gidiyor mesela Ali'ye bakalım Arkadaşlar Ali hem a ile başlamış hem de e ile bitmiş 1 2 3 4 5 harflidir Ali'ye Nereye gelecek tabii ki de üçünün kesişimine gelecek Çünkü arkadaşlar hem 5 harflidir C kümesinin elemanıdır a ile başlamış a kümesinde elemanıdır e ile bitmiş B kümesini elemanıdır yani üçünün de elemanıdır yani Aliye taralı alanlara gelmediği için direkt bunu Eledim her iki isim de Taral ağırlığına gelsin diyor cemre'ye bakıyorum sevgili arkadaşlar cemreye bakıyorum e ile bitmiş tamam B kümesinde elemanıdır 5 harfli mi bir iki üç dört beş evet C kümesini de elemanıdır Yani b ile C'nin kesişiminde yer alıyor a ile başlamadığı için Adem olmayacak Cemre buraya geliyor taralı alana bakıyorum 1 2 3 4 5 6 harflidir bir kere C kümesinin elemanı değil a ile başlamış e ile bitmiş O zaman a ile B'nin kesişiminde yani burada bulunacak arkadaşlar bakın Aybike nerede şurada yani taralı alana geliyor bu Aybüke güzel denize bakıyorum a ile başlamamış A kümesinin elemanı değil e ile bitmemiş Deniz B kümesinin elemanı da değil 5 harfli bakın 5 harfli bir iki üç dört beş Deniz Nereye gelecek Vallahi o da taralı alana geliyor Aybike buraya geliyor denizde buraya geliyor her ikisi de taralı alana bunlarla size ödevi arkadaşlar permütasyon kombinasyon olasılık sevgili arkadaşlar permütasyon Seçme ve sıralamada sevgili arkadaşlar toplama yoluyla sayma Eğer sorularda bir V bağlacı varsa kesinlikle toplama özür diliyorum veya bağlacı varsa toplama yoluyla sayıyoruz çarpma ve bağlacı gördüğünüz zaman çarpma yoluyla sayıyoruz sevgili arkadaşlar permütasyon neydi permütasyon altının ikilisi nasıl bulunuyordu Hocam 6 çarpı bir azalt 5 buraya 2 tane sayı yazıyoruz Çünkü burada 2 var 5'in üçlüsü Örneğin 5 çarpı 4 çarpı bir azalt 3 neden 3 tane yazdım burada 3 olduğundan dolayı mesela 6 kere 5 buranın sonucu 30'du 5 kere 4 20 çarpı 3 60'tır buranın sonucu 8'in 1'lisi 8'dir 7 0'dır Bunlar çok önemli değil arkadaşlar en kişi yan yana en faktöriyel kadar sıralanabilir en kişi yuvarlak masa diyorsa bir çıkarıyoruz n-1 faktöriyel sayısı kadar sıralanabilir tekrarlı pehlivitasyon neydi sevgili arkadaşlar Örneğin diyelim ki Aa ya da şöyle yazalım [Müzik] kombinasyon neydi arkadaşlar sıra seçme idi yani kombinasyonu olduğu yerde kesinlikle ve kesinlikle sıralama söz konusu yok şimdi Altının ikilisi kombi asılı olacağım bunları biliyorum vallahi bunun altının ikilisi bu şekilde yazabiliyoruz burası 6 çarpı 5 bölü 2 çarpı 1'dir 30/2'den 15 lira 5'in üçlüsü hocam Vallahi bunları biliyorum 5'in üçlüsü abi böyledir yani 5 x 4 x 3 / 3 x 2 çarpı 1 Abu ile bu gitti bu iki oldu beş kere iki cevap 10'dur Eyvallah 8'in 1'li kombinasyonu bu şekilde de yazılabilir 8'dir 7'nin 0 konuya Anladım 1'dir çok güzel arkadaşlar enin sıfırlası Hani artı enin birisi artı 50 kilise Eninin 50'sine kadar giderse 2 üzeri ndi bunu da hatırlamış olalım 12'nin ordusu böyle hesaplarsak mahvolduk Arkadaşlar bu neye eşittir 12'nin ikilisine eşittir He vallahi Neden Çünkü bu altların toplamı üstü veriyorsa eşittir onu da 2 toplamı 12 olduğu için bu ikisi birbirine eşit Tamam sonra bunu hesaplıyoruz mesela 20'nin 17'sini Hesaplamak çok zordur Ama bu 20'nin üçlüsüne eşittir diyebiliriz Neden Çünkü 17 ile 3'ün toplamı 20'dir mesela 20'nin üçlüsünü hesaplamak daha kolaydır nedir 20 x 19 x 18 / 3 x 2 x 1 var o da zormuş Neyse siz hesaplarsınız kombinasyonun geometri ilişkisi Arkadaşlar nokta diyorsa enin ikilisi doğru diyorsa da ikilisi üçgen diyorsa da elin üçlüsü dörtgen diyorsa da enin dörtlüsü beşken diyorsa enin 5'lisi bunlarla ilgili soru gelmiyor uzun yıllardır gelmedi arkadaşlar yine de şurada bir köşede dursun diye veriyorum sevgili arkadaşlar en önemlisi zaten olasılıktır çünkü genelde Olasılığın içinde hem permütasyon hem de kombinasyonu kullandırtabiliyorlar olasılık neydi istenilen durumu yukarıda yazıyoruz örnek üzerinden eleman sayısını aşağıda yazıyoruz yani tüm durumu aşağıda yazıyoruz istenilen durumu yukarıda yazıyoruz Arkadaşlar olasılık her zaman sıfırla 1 arasındaydı 0'a imkansız olasılık diyoruz bire yüzde yüz yani banko Kesin olacak olasılık diyoruz Arkadaşlar bu 3 konu da da yani permütasyon kombinasyon ve olasılıkta da bir göreve başladığımızda görev bitene kadar çarparak gidiyorduk Arkadaşlar şimdi gelin birlikte bakalım ne tarz sorular çözebiliriz Bilge Özdeş dairelerden oluşan aşağıdaki şekilde iki daireyi seçip birini yeşile diğerini ise sarıya boyayacaktır yani bunlardan iki tanesini seçecek birini yeşile Diğerini de sarıya boyamak istiyor güzel boyanan dairelerin ortak noktaları olmayacağına göre Bilge boyama işlemini kaç parça şeklinde yapabilir yani ortak noktaları olmayacak arkadaşlar Örneğin siz burayı yeşile boyadınız burayı sarıya boyamazsınız burayı sarıya boyayabilirsiniz şuraya boyayabilirsiniz burayı boyayabilirsiniz Anlaştık mı Ya da buraya yeşile boyadınız burayı sarıya burayı sarıya boyayamadınız ya Burayı kaç farklı şekilde boyayabiliriz sevgili arkadaşlar şimdi bunu farklı farklı yöntemlerle çözebiliriz ben direkt bir yöntem seçeyim mesela diyor ki bu boyalı dairelerin ortak noktaları olmayacak [Müzik] yeşile Ya Da Sarıya Örneğin yeşille başlayalım yeşile kendime focusladım arkadaşlar buraya yeşile boyadık diyelim nereleri sarıya boyayabilirim ya burayı burayı sarıya boyayamam Çünkü ortak noktaları olmayacak diyor çok güzel yani yan yana olanlar aynı boyalı olmayacak diyor Çok güzel burası yeşilse ya buraya sarıya boyayacağım ya buraya soruyor ya boyayacağım ya da burayı sarıya boyayacağım yani 3 farklı ihtimal var veya Eğer ben burayı yeşile boyasaydım burayı sarıya boyayamam burayı sarıya boyayamam ya Burayı ya Burayı sarıya boyayabilirim Yani iki farklı ihtimal var veya Eğer Burası yeşil ise burayı sarıya boyayamam buraya da sarıya boyamam yine iki farklı yeri sarıya boyayabilirim veya veya şimdi burayı aldık yeşil Burası yeşil olsun ne olur burası yeşil ne olur Bir de buraya geldik Burası yeşil olsaydı Bunlar sarı olamazdı yine iki farklı durum var Eğer şurası yeşil olsaydı burasını sarıya boyayamam ya buraya ya buraya ya buraya yani 3 farklı şekilde sarıya boyayabilirim Değil mi arkadaşlar buraya kadar var mı bir sıkıntınız var mı bir sıkıntımız söyleyin bana düşünüyorum var mı bir sıkıntınız Ya hayır buranın sonucu kaç oldu arkadaşlar toplayın bana bakalım 3 6 8 10 12 farklı şekilde 12 farklı şekilde boyayabiliriz tamam mı arkadaşlar cevabınız 12 hocam Hani hep yeşile kendinizi focusladınız yani Burası yeşil bu sefer sarı sarı diye gitmemiz gerekmiyor muydu Hayır sen yeşili götürürken sarı da buraya geldi yani sarının buraya buraya Buraya buraya buraya gelme durumları da oluştu otomatikman ikinci yoldan da çözüyorum Arkadaşlar bu birinci yol ikinci yolu şöyle Bilge ne yapacak iki tanesini seçecek iki tanesini seçecek birini sarıya birini yeşile boyayacak Eğer Burası olmasaydı yani ortak noktaları bulunmayacağına göre diyor ya arkadaşlar o olmasaydı o zaman diyecekti ki Bilge bu 5 tane daireden 1 2 3 4 5 tane devreden iki tanesini seçecek ve bunları boyayacak Mesela diyelim ki bu ikisini seçti örnek veriyorum sarıya yeşile veya burasını yeşile burayı sarıya Yani bunlar da iki faktör çarpıyor iki faktöriyelemek zorundayım kendi aralarında iki faktöriyel kaç oluyor 5'in ikilisi 10'dur çarpı 220 Arkadaşlar bu tüm durumdur Tamam arkadaşlar tüm dururum şimdi peki istenmeyen durum ne ortak noktaları olmayacak yani yan yana olanlar aynı olsun istemiyor yani boyalı olsun istemiyorum pardon yan yana olanlar boyalı olsun istemiyor Biz de yan yana olanları boyatmaya çalışalım arkadaşlar yan yana olanları boyatmaya çalışalım Hani istenmeyen durumu bulmaya çalışıyorum Örneğin kaç tane var Bakın Şu olabilir Burası yeşil Burası sarı veya Burası sarı Burası yeşil iki farklı durum oluştu veya şu ikisi sarı yeşil sarı yine iki farklı durum oluştu veya şu ikisi sarı yeşil ya da yeşil sarı yine iki farklı durum olursa veya şu ikisini boyamışım sarı yeşil sarı iki farklı durum oluştu 2 4 6 8 tane durum istenmeyen durumdur tüm durumdan istenmeyen durumu çıkarıyorum 12 farklı şekilde yapabilir Bir otelde birden dörde kadarıma rakamlarla uyarılmış tek kişilik 4 boş sandalye bulunmaktadır Bu sandalyelere ikisi arkadaş olan 4 kişi Arkadaş olanlar yan yana oturacaklardır Buna göre bu oturma kaç farklı şekilde yapılabilir arkadaşlar ne diyor birden dörde kadar numaralandırılmış 4 tane 1 2 3 4 tane sandalye var diyor değil mi 4 boş sandalye var Bu sandalyelere ikisi arkadaş 4 kişi var ya 4 kişi var arkadaşlar 1 2 3 4 kişi var Bunları oturmak istiyor Öyle değil mi Arkadaş olanlar yan yana oturacaklar diyor bu oturmak açmak şeklinde oturabilir yola hoştur arkadaşlar yani çok basit bir soru o zaman oturmak çok yorulduk Çok yorulduk ikisi arkadaş arkadaş sorarlar oturmak oturacaklardır o zaman Bunlar arkadaş olsun bunları bağlayalım toplam kaç kişi var 1 2 3 kişi 3 faktöriyel arkadaşlar da kendi aralarında iki faktöriyel 6 kere 2 12 olması gerekiyor Eğer doğru anladıysan bu soruyu geçen sene üretmiştim Arkadaşlar biri otelde birden 4'e kadar numaralandırılmış tek kişilik 4 boş sahnede bulunmaktadır Bu sandalyeleri ikisi Arkadaş olanlar olan 4 kişi arkadaşlar yan yana oturacaklar Neyse çözmüşüz ya kaç farklı şekilde sıralanabilir diyor Arda ve berna bozuk olan bir tartıda tartılmak istiyorlar Bu tartı %20 olasılıkla 13 kilogram fazla %50 olasılıkla 13 kilogram eksik %30 olasılıkla doğru tartmaktadır Arda 65 Berna 52 kilogram ağırlıkta olduğuna göre Arda ve ben birer kez tartıldıklarında ağırlıklarının eşit çıkma olasılığı yüzde kaçtır Arkadaşlar şimdi bakın Arda kaç kilogram 65 kilogram bro ise 52 kilogram Öyle değil mi Evet şimdi bakıyorum Arda berodan ne kadar fazla bakıyorum bundan bunu çıkarın 13 kilogram fazla O zaman nasıl olmalı arkadaşlar Arda ile Bero tartıldıklarında kilolarının eşit çıkması için ya Arda 13 kilogram eksik ölçülecek ya da Bero 13 kilogram fazla ölçülecek iki farklı durum var arkadaşlar değil mi Çok güzel yani şöyle düşünün Arda 13 kilogram eksik 13 kilogram eksik burada yani %50 böyle 100 işin bitmedi çarpmaya devam Bero da kendi kilosunda Yani doğru gösterse tartı Onu doğru gösterse yüzde 30 olasılıkla doğru gösteriyor Bu şekilde kiloları eşit çıkacak neden tartı bunu 13 kilogram eksik gösterdi bunu da tam gösterdi eşit çıktı bu kaç oluyor Bunu hesaplayalım Arkadaşlar bu sıfırla bu sıfır gitsin bu 15/100 oldu Çok güzel veya bakın veya Bero 13 kilogram tartı beroyu 3-13 kilogram fazla ölçsün Arda'yı da aynı kilo doğru ölçsün ardayı doğru ölçerse %30 olasılıkla ölçecek işin bitmedi Göreve devam Bir de beroyu ölçeceğiz beroyu kaç kilogram tartsın peru'yu da 13 kilogram fazla tartsın %20 olasılıkla 13 kilogram fazla tartar böylelikle bu 13 kilogram fazla buradaki doğru tartıldığı için eşit olacak bu da kaç oluyor bu 0 bu 0 gitti 3 kere 2 6 bölüyüz veya bağlacın gördünüz mü arkadaşlar başka da olasılık yok zaten bu ikisini topluyoruz veya bağlacı olduğu için 15 bölü 100 artı 6 bölü 100 15 6 daha 21/100 oluyor Gördüğünüz üzere %21 olasılıkla bu durum gerçekleşir Biraz önce Marmaris ve Fethiye ilçelerinde bulunan Safari turlarından biri rastgele seçmek isteyen Aylin hanıma her iki ilçeden de belli sayıda safari turu öneriyor ancak Fethiye ilçesinde bulunan 5 Safari turunun kontenjanı dolu olduğu için acenta bu Safari turları yerine Marmaris ilçesinde 5 sefer turu daha öneriyor bu değişim sonucunda Aylin hanımın rastgele seçeceği bir Safari turunun Marmaris ilçesinde olma olasılığı %25 artıyor Buna göre bu acentanın da Aylin hanıma başlangıçta önerdiği Safari turların sayısı kaçtır Evet Alışık olmadığımız bir soru tarzı Arkadaşlar bu tarz bir soru gelebilir haberiniz olsun buna benzer bir soru KPSS'de sanırım gelmişti Şimdi Marmaris Fethiye diyorum arkadaşlar bakın Marmaris Fethiye şimdi Bu acente arkadaşlar ne diyor İlk önce bir anlamaya çalışalım Muğla'da Safari turları var x tane diyelim Fethiye'de de Safari turları var Ye tane safari turu olsun [Müzik] Normalde Arkadaşlar şimdi burada en son diyor ki bu değişim sonucunda Aylin'le rastgele seçeceği bir safari'nin Marmaris ilçesine ait olma olasılığı Şimdi arkadaşlar diyelim ki bu acenta bakın Fethiye'de ye tane Marmaris'te ilk sahne acente olsun Fethiye'de ye tane acente olsun bu Aylin Hanım Aylin Hanım rastgele bir tane Safari seçtiğinde Marmaris'e ait olma olasılığı kaçtır Normalde tüm durum x+y'dir istenilen durumda x'tir Öyle değil mi yani bu x+y toplam x + y tanesi safari'nin Marmaris'e olma ait olma olasılığı xboru x + y'dir Normalde ancak diyor Fethiye ilçesinde 5 tane Safari kontenjanı doludur diyor doludur Bunun yerine Marmaris'ten 5 tane safari turu daha önerebiliriz diyor yani burada 5 tanesi doludur ya artık y eksi 5 oldu Bunun yerine Marmaris'ten 5 safari turu daha önerebiliriz diyor yani x + 5 tane safari turu oldu bu durumda burada aylina'nın seçeceği bir Safari turun Marmaris'e ait olma olasılığı kaçtır bakın Marmaris'e ait olma olasılığından bahsediyorum tüm durum ne bunları toplayın bakın Beşler gidiyor Yine x+y istenilen durum ne Marmaris'e ait olma olasılığı x + y Pardon x + 5 Şimdi arkadaşlar ne oluyormuş ne oluyormuş bu olasılık %25 artıyormuş olasılık demin bu iken son durumda bu oldu he buradan buraya %25 artma var Yani bu ne anlama geliyor sevgili arkadaşlar bu bundan yüzde 25 fazladır Yani kısacası x + 5/x + y'den şunu çıkarırsam x + x + x + y %25 fazladır ne demek %25'ine eşittir çok güzel %25'e eşittir Arkadaşlar dikkat edin bakın şundan şunu çıkarsak xlar gider Yukarısı 5 olur 5/x+y eşittir Burası da 1/4 mü oluyor sadece evet içlerse çarpma x + y eşittir 5 kere 4 20 olur bende Neyi soruyordu Aylin hanıma başlangıçta önerildiği önerdi Safari turların sayısı kaçtır Muğla'da iki tane safari turu Fethiye toplam zaten ilk artı ye başlangıçta safari turu önerilmişti bizde yerini bulduk cevabımız Bursa Harikulade bir soru Arkadaşlar şimdi sevgili arkadaşlar fonksiyonlara geldik fonksiyonlar önemlidir hızlı bir şekilde geçiş yapıyoruz fonksiyonlara fonksiyon nedir A'dan B'ye tanımlı bir kümedir arkadaşlar bize bir kural veriyorlar kurala göre yerine yazıyoruz kendimize kef ediyoruz işte fx'in kuralı budur gx'in kuralı budur f+gx bakın bunları Aşina olun arkadaşlar Bu ne demek Bu artı GX demek 2x + 5 artık GX yerine a bunu yaz 3x -7 hesapla 5x değil mi 5x - 2 gibi bir şey çıktı Bu ne yola Bu da FX nedir Aha 2x + 5'tir işte nedir eksi GX nedir A budur yani 3x - 7'dir artık işlemi sana bırakıyorum bu eksiyi dağıtmayı Unutma bu ne hocam bu bileşke değil abi böyle olsaydı bileşke olurdu tamam mı Bu çarpmadır yani Burası FX çarpı gx'tir yerine yazıyorsun FX nedir Vallahi 2x + 5'tir Eyvallah çarpı GX nedir 3x - 7'dir sonra dağıtıyorsun dağıtıyorsun çıkıyor sabit fonksiyon neydi Arkadaşlar her elemanı sabit bir fonksiyona göre fonksiyonda birim fonksiyonda içi dışı aynı olan fonksiyondu bunları hızlı bir şekilde tekrar ediyoruz arkadaşlar fonksiyonun tersi nasıl bulunuyordu F A'dan B ise f'in tersi de B'den ayağı olur bunu yanlış yazmışız B'den A'ya olur arkadaşlar şimdi bir fonksiyonun tersini nasıl buluyoruz Normalde hiçbir şey bilmiyorsak bir fonksiyonun tersini bulmak için FX yerine y yazıyoruz y'yi eksiyi yalnız bırakıyoruz arkadaşlar ne demek istiyorum mesela bu fonksiyonun tersini bulmak için bunu var ya direkt ye eşitliyorsunuz arkadaşlar sonra eksiyi yalnız bırakıyorsunuz bakın şunu bu tarafa atın attık mı kök x - 3 = y + 5 oldu amacım ikisi yalnız bırakma kökten kurtarıyorum kendimi hemen kökten kurtarıyorum her iki tarafın karesini alıyorum yani x - 3 = y + 5'in karesi oldu mu evet x'i yalnız bırakacağız bak şuurumuzu kaybetmeyeceğiz x = y + 5'in karesi -3'ü artı 3 olarak gönderdim en son arkadaşlar y yerine xx yerine x y yazıyorsun yani fin tersinden x Ne oldu y yerine x yazın x artı 5'in karesi +3 oldu Alın size fin ters -5 buraya 5 olarak gelir 5x - 4/2x3 de aşağıya -3 olarak girecek tamam mı Neymiş bu evin tersinden x'miş bunu da biliyoruz Ve son olarak arkadaşlar Eğer iç ve dışı yani fonksiyonun içi ve dışını yer değiştirirseniz fonksiyonun tersini buluyorsanız ne demek istiyorum ayrı dışarı attınız Bey'i içeri gönderdiniz bu fonksiyonun tersi olur bir fonksiyonun tersinin tersi söyle bana kendisidir bunu da unutmayalım arkadaşlar bakın burada kare var yani Mesela bazı öğrenciler gidiyor Buradan nasıl hocam buyura bunu yer değiştiriyoruz fonksiyonun tersini elde ediyoruz diyorsunuz ya evet Eğer burada kare olsaydı bunu yapamazdık x kare olsaydı onu yapamazdık çok güzel Peki bunu nasıl çözeceğiz Madem şu ikisini yeri değiştirerek tersini elde edemiyorsak arkadaşlar burada iç ve dış yerleri değiştirerek hemen tersini bulabiliyoruz Vallahi Mesela f0 eşittir Bunu içeri bunu dışarı gönderdim tersini tersi kendisi oldu Hep sıfır beşmiş x yerine 0 yazıyorum x yerine 0 yazıyorum 5'e eşitliyorum Burası zaten 0 Burası zaten 0 -k bölüyor -6 yani k/6 oldu eşittir 5 işlemsel çarpımı şekil al Kelepçesi olacak bu kadar boğazıma bir şey takıldı Acaba böyle yaptı ders anlatırken boğulan Hoca sevgili Golf ne arkadaşlar fog XF parantezine GX g parantezine fx'tir mesela Bunlar hemen hızlı bir şekilde çözelim F parantezinden g3'tür bu ev parantezinden g3'tür değil mi Şu içi içe yazıyorsun G3 Ne g fonksiyondan 3'e hesaplıyorsun 3'ün karesi 9 1 daha 10 yani Burası f10'a dönüştü F10 ne buraya 10 yaz 2 kere 10 değil mi F yerine 10 yazıyorum yani fonksiyonunda x yerine 10 yaz 20 kere 10 25 daha 25 olacak Bu ne oğlum Hocam Burası da g parantezine F -2'dir He vallahi gidiyorsun ilk önce ef bak En işte F var ya x yerine -2 yazıyorsun x yerine -2 yazıyorsun hesaplıyorsun iki kere -2 - 4 + 5 1 oldu burası 1 oldu bu g1'e dönüştü g fonksiyonda x yerine 1 yazıyorsun 1'in karesi 1 1 daha 2 sonuç 2 bunları da hızlı bir şekilde tekrar edelim arkadaşlar bileşkenin tersi neydi bunları hem tersine alıp hem de yer değiştiriyorduk aynı Evet çok güzel onunla hiç Kafanız karıştırmayın bakın G'nin tersi bileşke f'in tersi bu ne f'in tersi buraya gelir bileşke gelin tersi sona gider bu ne efin Bak genin tersi başa gelir bileşke evin tersinin Bir de tersi alacağız evin tersini tersi F olur sona gelir Yani bu buraya Bu buraya geliyor tersini de alıyoruz gelin tersin tersi g olur başa gelir evin tersi sona gelir burada gelin tersini tersi g'dir buraya geldi fin tersinin tersi F olur buraya gelir bir fonksiyonu bileşke ile işleme koyduğunuz zaman arkadaşlar yani kendisinin tersiyle Bir parça bir fonksiyonu tersiyle bileşke koyduğunuz zaman sonuç bilim fonksiyondur yani birbirlerini götürürler Örneğin ge bileşke gelinin tersi birbirlerini götürür arkadaşlar güzel Arkadaşlar bunu da çözelim ve gerek var mı bilmiyorum ama hızlı bir şekilde birkaç tane yapalım mesela ev nedir ev parantezinden g3'tür değil mi Evet G3 ne buraya 3 yaz buraya 3 yaz 2 3 6 5 çıkar 1 G3 birmiş bu f1'e dönüştü şunu size ödev bırakıyorum sevgili arkadaşlar buna bakayım bakın ev parantezinden G'nin tersinden -3'ü bul diyor bana hemen gidiyorum İlk önce gelin tersini bulmam lazım Bakın arkadaşlar G'nin tersi nedir genin tersi x+5 değil mi x + 5 bölü 2'dir Öyle değil mi Çok güzel Şimdi bunu hallettikten sonra bunu söyledikten sonra arkadaşlar genin tersinden -3'ü Bizden istiyor Öyle değil mi gidiyorum Buraya -3 yazıyorum x yerine -3 yazıyorum hesaplıyorum kaç oluyor 2/2'den 1 oldu buradan sonucu 1'miş bu f1'e dönüştü F fonksiyonda x yerine 1 yazıyorum 11 oluyor Hatta 11 çıktı yanlışlık yapıyoruz acaba Neyse çok güzel artık anladınız bunu da yapayım mı arkadaşlar bunu size ödev bırakıyorum bakın burada bileşkenin tersi var Gelin tersi başa gelecek genin tersi başa gelecek bileşke f'in tersinin tersi F olur sona gelir bir de ne var 5 var O zaman bu neye dönüşecek gelin tersinden f5'e dönüşecek F5 ne biliyorum F5 hesaplıyorum 5'in karesi 25 10 daha 35 mi olur bu yeni tersinden 35 oldu ya genin tersini daha önce bulmuştuk arkadaşlar burada bu sefer x yerine 35 yazıyoruz 40/2'den 20 gibi bir şey çıktı bu nedir bu F1 çarpı g1'dir bu bileşke değil f1'i hesapla G1 hesapla bunları çarp sonucu bulursun bu ne böyle F4 artı G4 sana ödev veriyorum f4'e hesapla g4'ü hesapla bunları topla bu ne F1 eksi g1'dir sana ödev veriyorum f1'i hesapla bunları çıkar Burada bu kadar doğrusal fonksiyon arkadaşlar Ax + B içindeki fonksiyonları doğrusal fonksiyon diyoruz geçen sene ben bağıra bağıra doğrusal fonksiyon gelir dedim birçok öğrenci dedi ki hocam gelmez geldi haberiniz olsun yine gelebilir dorsal fonksiyon bu şekildedir arkadaşlar grafiği de doğrusal bir grafiktir ve bunun denklemi nasıl kurulur Ben genelde şöyle yapıyorum sevgili arkadaşlar x eksenini A'da kesiyor y eksenini B'de kesiyor a çarpı y değil mi a x y + b x b Çarpı x eşittir a çarpı B burada y'yi yalnız bıraktığınız zaman sevgili arkadaşlar Neyi buluyorsunuz fonksiyonun grafiğini buluyorsunuz hemen size bir örnek vereyim Örneğin diyelim ki burası 2 olsun Burası 3 olsun bu fonksiyonun bu şekilde olsun o zaman diyeceksiniz ki bakın x ekseninde ikide kesiyorsa 2 çarpı ye 2y oldu artı y eksenini 3'te kesmiş 3 Çarpı x diyeceksin tamam mı 3x eşittir 3 kere 2 6 burada ye yalnız bırakacağız bakın şunu bu tarafa attım 2'ye eşittir eksi 3x + 6 oldu 6 - 3x de yazabilirdim her iki tarafını ikiye bölüyorum y = -3x + 6/2 oldu bu Y nedir biliyor musunuz arkadaşlar bu fx'tir Anlaştık mı çok güzel Bir de bu bir fonksiyonun grafiği sevgili arkadaşlar yani DGS KPSS ALES'te grafikle ilgili soru gelse de eğrisel grafikle ilgili soru gelse de değer okuma gelir mesela F1 nedir F1 nereye gidiyor 3'e gidiyor He vallahi 2 2 4'e gidiyor F3 nedir 3 volt 6'ya gidiyor ne güzeldir F4 1'e gidiyor F -4 -2'ye gidiyor arkadaşlar fonksiyon Eğer x eksenini kesiyorsa orada değer sıfırdır Örneğin bakın x eksenini 5'te kesiyor x eksenini -3 de kesiyor grafik Orası 0 -6 da kesiyor mu evet 0 çok güzel f0 da y ekseni kestiği noktadır O da 2'dir arkadaşlar notunuzu aldınız tersinde de tersten gidiyor mesela evin tersinden bir bu sefer biri tersten götürüyorsunuz şimdi gelin birlikte bakalım fonksiyonlarla ilgili ne tarz soruları çözebiliriz Arkadaşlar şöyle bir kural vermiş şöyle bir şey vermiş akaçtır Şimdi bu ne demek arkadaşlar fa bakın Öncelikle ben şurayı'nın 3x'e bunun da 3x'e eşit olduğunu biliyorum yani yazalım bakın yazalım Neymiş Ev 3x -2 neye eşit 3x'e eşit Evet GX + 2'de bunu da yazalım GX + 2 de 3x'e eşit Öyle değil mi güzel mesela böyle bir soru gelse bir çok öğrenci gidiyor Burada yerine yazıyor İyi de bunu Böyle yazsan daha hoş olur He valla Arkadaşlar efayı bulmak için Şurayı A'ya eşitleyeceğiz değil mi bakın 3x -2'yi A'ya eşitlersek 3x eşittir şimdi bu tarafa atın a + 2 Demek ki x yerine ne yazmam lazım a + 2/3 yazmam lazım gidiyorum Şuradaki x yerine bakın Şuradaki ilk yerine yazarsam fa'yı bulmuş olacağım Demek ki efsaneymiş 3 Çarpı x yerine ne yazıyorum A + 2 / 3 yazıyorum tamam mı böyle bir şey geldi zaten bu işler de gidiyor o ilkine hoştur a+2 geldi efsaneymiş a+2 yemiş buraya hallettik şimdi gelin bunu bulalım arkadaşlar g bileşke ga nedir g parantezinden gadır Öyle değil mi İlk önce gay'yı bulmak için x yerine ne yazmam lazım bunu tutup Ay'a eşitleyebilirim Mi Gerek yok yani x yerine a -2 yazarsam olur x yerine ne yazıyorum A -2 yazıyorum güzel o zaman ga'yı bulmuş oluyoruz 3A - 6 oluyor değil mi 3A - 6 yani şunun yerine 3A -6 Yazacağım bu g 3A -6 oldu Daha sonra gidiyorum G3 a - 6'yı bulmaya arkadaşlar nerede şurada bulacağım Yani bu sefer x yerine ne yazmam lazım 3A -6 olması için x yerine 3A -8 mi yazmam lazım Evet Yani toplayın bakın 3 ay eksi 6 oluyor buradaki x yerine de benzer şekilde ne yazacağım 3A eksi 8 yazacağım 3A -6'yı bulmak için ne oluyor peki üçü dağıtalım 3 çarpı 3A 9A eksi 3 çarpı 8 24 Yani bu şuranın sonucu da ne geldi en son 9 ay eksi 24 geldi yanlış yapmadık değil mi Hayır 9 a - 24 geldi şimdi bu tarafa attık 8 A eşittir 26'dan arkadaşlar A eşittir 26/8 ikiye böldüm 13 ikiye böldüm 4 13/4 sonucuna ulaşıyoruz Evet benzer bir soru sevgili arkadaşlar fx'i bu şekilde vermiş Bakın bu tarz bir soru gelebilir diye ısrarla Bakın aynı tarz soruyu şey yapmışım f a yolu hoştur çok güzeldir a yazacağız kendimize 3A - 6'dır yani Burası bakın 2 parantezinden 3a eksi 6 oldu eşittir Burası ne demek f parantezinden f a Değil mi arkadaşlar ev parantezinden f a değmek fanın zaten 3A -6 olduğunu biliyorum bir daha Efa yazmamıza gerek yok yani 3A -6 yazarım ben de kurtulayım Siz de kurtulurum buraya dağıtalım iki kere 3A 6a -2 kere 6 12 eşittir Peki f3a -6 ne bu sefer gidiyorum x yerine 3A - 6 yazıyorum Şuradaki x yerine de 3A -6 yazıyorum şimdi arkadaşlar bakın bunu hesaplayın yani f3a -6'yı buluyorum ha 3 çarpı 3A 9A eksi 3 çarpı 6 18 Bir de Şuradaki eksi 6 var onda unutma kaç oluyor 9 a - 24 mü yani şuranın sonucu 9-a -24 geldi şimdi bu tarafa attım 3A eşittir şunu bu tarafa attım 12 A eşittir 4 sonucuna ulaşıyoruz arkadaşlar bazı sorularda küçük İşlem hatası yaparsam yorumlarda uyarın haberiniz olsun yine şimdi çok güzel bir soru geldi karşımıza şöyle bir şey vermiş Böyle bir şey vermiş eşitlikleri sağlanıyor diyor g410 olduğuna göre F2 kaçtır şimdi şimdi şimdi şimdi şimdi arkadaşlar G4 he Ey bu ne anlama geliyor Bu neydi biliyor musunuz f-x artı gx'tir değil mi o anlama geliyordu eşittir ne ya 2x kare + 4x - 3 bu anlama geliyordu Öyle değil mi Evet şimdi Arkadaşlar madem bu bu anlama geliyor g4'ü 10 vermiş değil mi Bu da nasıl bir beyin egzersizi yapmamız lazım Neyi soruyor f2'yi soruyor Arkadaşlar f2'yi soruyorsa ben olsam ona direkt 2 x yerine 2 yazan bakan başımıza ne gelecek çünkü f2'yi soruyor x gördüğüm her yere 2 yazıyorum tamam mı F2 artı G2 G2 = x yerine 2 yaz 2'nin karesi 4 çarpı 28 oldu Burası 4 kere 2 8 -3 16'dan 3 çıkar 13 böyle bir şey geldi değil mi Çok güzel Eğer ben g2'yi bulursam f2'yi de bulacağım o zaman gidiyorum g2'yi bulmaya g4'ü vermiş yola hoştur arkadaşlar arkadaşlar bakın buraya 2 yazalım buraya 2 yazalım bakın G3 değil mi 2-1 daha G3 eşittir G2 + 4 G2 artı 4 tamam Bu sefer x yerine Şuradaki x yerine 3 yazıyorum G4 değil mi 3-1 daha G4 eşittir G3 G3 +4 oldu Var mı sıkıntı buraya kadar hayır arkadaşlar g4'e 10 vermiş ya oradan belki bir şey gelir diye düşündüm ki doğru düşünmüşüm Çünkü şuraya bakar mısınız bakın g4'ü vermiş bize 10 buraya 10 yazın O zaman şunu bu tarafa attığımızda G3 de 6 olur G3 eşittir ondan 4 çıkar 6 burası 6 artık g3'ün 6 olduğunu biliyorum Şimdi bu tarafa atın 26'dan 4 çıkar G2 de 2'ymiş G2 de 2'ymiş valla bulmuşum bakın g22 ise bunu da -2 olarak karşıya gönderdim Direkt F2 çıktı 13'ten 2 çıkar 11 tamam Arkadaşlar bunu da çözelim bakın DGS'de bu tarz bir soru gelmişti Bu fonksiyonu vermiş doğrusal fonksiyon fk18 ise kh kaçtır bu doğrusal fonksiyonun grafiği verilmişse Arkadaşlar biz demin sana gösterdim sana göstermişim demiş sana göstermişim bu doğrusal fonksiyonun grafiği verilmiş Ya bunun denklemini nasıl bulabiliriz Yani fx'i nasıl bulabiliyorduk X eksenine -3'te kesmiş -3 çarpı y eksi 3 ye daha sonra y eksenini k'da kesmiş K Çarpı x diyeceğiz artı K Çarpı x diyeceğiz eşittir şöyle şunu çarpacağız -3 x k - 3K burada y'yi Yalnız bırakıyorduk şunu bu tarafa atarsak eksi 3 y = -3k eksi k x oldu her iki tarafını -3'e bölüyorum Böylelikle Neyi buldum ye neydi yine de fxdi zaten Değil mi arkadaşlar bunu eksi ile çarp Yukarısı 3K artı k x oluyor aşağısını eksilen çarp 3 oluyor Bunu yaparsınız FK 18'miş x yerine K yaz diyor yani git kardeşim x yerine K yaz diyor x yerine K yazıyorum x yerine K yazıyorum o zaman f k = 3K artı kaç çarpı kaka kare bölü 3 F kadar 18'dir yani 18'e eşitle diyor işler bunu yapalım k² + 3K eşittir değil mi yukarısını yazdım 3 kere 18 Valla 54 54'e eksi 54 olarak gönderip 0'a eşitledim şurası KYK şurası -6'ya artı 9 çapraz Çarpın toplamı burayı veriyor mu Evet o zaman buranın çarpanlara ayrılmış şekli K - 6 çarpı K artı 9'dur 0'a eşitleyeceğiz burayı 0 yapan k değeri kaçtır 6 değeridir buraya 0 yapan k değeri de K = -9 değeridir dikkat edin arkadaşlar k pozitiftir yani pozitif kısmını kesiyor Dolayısıyla bunu alamıyoruz demek ki k6'dır cevabımız işlem valla En sevdiğim bir konu arkadaşlar işlemde bize bir tanım verecek tanıma yerine koyuyoruz kendisi çıkıyor Başka bir şey yapmıyoruz mesela a işlem B'yi nasıl tanımlamış a eksi iki faktöriyel çarpı b-1 faktöriyel olarak tanımlamış yani şundan 2 çıkarıp bakın birinci bileşenden 2 çıkarıp faktöriyelini alacağız çarpı 2 bileşenden bir çıkarıp faktöriyelini alacağız yola koştur bundan 2 çıkar yani a şurada yazalım şurada yazıyorum arkadaşlar şunu sonucunu bakın 1 bileşenler iki çıkaracakmışım a - 2 faktöriyel oldu çarpı ikinci bileşenden de bir çıkarıyoruz bundan bir çıkarsak yine a - 2 faktöriyel oluyor aşağı geldim Ne yapıp Kural ne Birinci bileşenden İki çıkar ikinci bileşenden bir çıkar bundan iki çıkaracağım bundan 2 çıkarırsam a + 1 -2a -1 faktöriyel olacak hocam şıklarda yok ama onu sormuyor Yani bu karşılığı demiyor pozitif bölen sayısı kaçtır 720 bulduk biz 720'nin pozitif bölen sayısı ne ben kendime işkence çekmişim ha arkadaşlar burayı çarpanlarına ayırırsak 72 x 10 şurası 9 x 8 x 2 x 5 2 üzeri 3 254 olur 3'ün karesi olur 5 üzeri 1 olur üstleri bir artırarak Çarpacağım 5 oldu bunu 1 arttır 3 oldu bunu 1 artır 2 oldu 5 kere 3 15 çarpı iki otuz varmışlıklar da bana var eyvallah pozitif bölen sayısını bulmak için üstlerin bir artırarak çarpıyorduk ve ne güzeldir burada bize diyor ki ben sana bir kural vermişim burada kurallara göre oyunu oyna A yerine bakın A yerine 3x b yerine 2x yazacağım A yerine 3x yazacağım a yerine 3x yazacağım b yerine 2x yazacağım b yerine 2x yazacağım sonra çıkan sonucu da x boru 8'e eşitleyecekmişim öyle mi 2 kere 3x sonra 6x + 3 kere 2 x 6x Yukarısı 12x oldu mu evet aşağısı 3x + x kare eşittir x/8 buradaki x buradaki x'i götürsün mü bu 12 6 ile sadece 2 olsun mu iş arasında çarpımı yap x kare eşittir 8 kere 2 seçilir 4 sonucuna ulaşıyoruz tamam işlem tablosu vardı bir de sevgili arkadaşlar bunu da hızlı bir şekilde tekrar edelim Bununla ilgili soru gelme ihtimali düşüktür yine de ne olur ne olmaz sevgili arkadaşlar B işlemde nasıl bulunuyordu o zaman işlem DC Eyvallah Bunlar göre mahvolmuşuz ay işlem B söyle bana a işlemde Valla e'dir harikasın sen bir daha iyisin He işlemde Valla işlemde a'dır ha a işlemci a işlemc mi dediniz bana a'dır a işlem A valla a işlemde işlem B işlem B a'dır a'dır buraya geldik Bunlar gözüküyor mu size arkadaşlar bakayım Evet gözüküyor a işlem b abi abi a işlem Bedirhan bu e işlem D'ye dönüştü değil mi İkinci parantezden başlıyoruz e işlemde e işlemde de valla hatır Ah Bu da size ödev bırakayım a kare nedir Arkadaşlar söyleyin bana Çekinme söyle Söyle abi a kare a işlem a demek tamam mı Mesela a kare ne demek a işlem a demek a işlem A ne ddir Bak görüyorsun Örneğin b küp ne demek b küp b işlem B işlem B demek yani 3 defa işleme koy demek anlamış mısın tamam Şimdi arkadaşlar B işlemde nedir B işlemde Valla Iğdır bu A işlem B'ye dönüştü ay işlem bn işlem bede e'dir Tamam Şunu Hallettik şunu da B kareyi halledersiniz de Küpte benzer şekilde bunun gibi halledersiniz falan arkadaşlar birim etkisiz eleman nasıl bulunuyordu bilim etkisiz eleman şu içteki çerçevede sıralı yatay ve düşey ABCD e alfabetik sıraya göre bakın düşeyde A B C D E buradadır bunların kesiştiği yer c'dir birim etkisiz eleman c'dir diyoruz yani etki etmiyor C hiçbir şeye etki etmiyor bir elemanın tersi nasıl bulunur birim etkisiz eleman C ya bundan sonra bütün oyunu Bu bilim etkisiz eleman üzerine kurmamız gerekiyor sevgili arkadaşlar bütün oyun bunun üzerine tamam mı etkisiz eleman üzerine aynanın tersi ayı C'ye götürüyorsunuz yani bilim elemana götürüyorsunuz bakın birim eleman burada ya bence hemen şöyle onu bir seçin bilim elemanınızı anın tersi Evet B'nin tersi bu arada C'nin tersi vallahi c'dir bakın benim elmanın tersidir biri kendisidir D'nin tersi de bilim elemana götürür O da sizi ve tersine götürecek E'nin tersi bilim elemana götürür O da senin tersine götürsün tamam mı sevgili arkadaşlar tabloda 5 farklı eleman var değil mi bakın 1 2 3 4 5 eğer 5 farklı eleman varsa üst 5 veya 5'inse sonuç Benim eleman oluyor a üzeri 5 numara üst 5'in katı mı sonuç birim eleman üst 5'in katı mı Evet üst 5'in katı mı Evet üst 5'in katı mı Evet peki üst 5'in katı değilse arkadaşlar Üstüm 5'in katı değilse o zaman 5'e bölüp kalanı yazıyoruz 12'yi 5'e böl kalan 2 A kareyi hesapla a karede değildi artık yaparsınız bunu üst 5'in katı değilse arkadaşlar 97 mesela 5'in katı değil 97'yi 5'e var kalan 2 olur b kare hesapla cevaptır mesela Burası D üzeri 1999'u 5'e böl kalan 4 dev üzeri dörde hesaplamam lazım tamam mı Bunu hesaplamasan da olur yani öğren sınavdan önce böyle hızlı bir şekilde öğren gitsin Burası e küptür 5'e bölse kalan 3 olduğu için üst eksiyse arkadaşlar üste ise bunu da şöyle yapıyoruz a üzeri -1'in karesi şeklinde yazabilirsiniz tamam mı arkadaşlar arının tersi bakın anın tersi e'dir Şurada da bulunmuşuz bu E'nin karesi oldu bu da e işlem e anlamına geliyor e işlem e de dikkat edin B oluyor tamam mı Bunu da yapayım mesela bunu şöyle yazabilirsiniz B üzeri -12'yi 5'e böl kalan 2 benim tersine daha önce bulmuşuz değildir D kare oldu D kareyi de hesaplamayı size bırakıyorum C'nin her kuvveti c'dir Çünkü C birim elemandır harikasın Modüler Aritmetik arkadaşlar son konumuz Nihayet sona geldik sevgili arkadaşlar bu konuyu da bitirirsek artık kurtuluyoruz siz de kurtuluyorsunuz ben de kurtuluyorum sevgili arkadaşlar Modüler Aritmetik ne demekti tekrar eden Yani tekrar edene ne diyoruz mod diyoruz güzel a denktir Ben modem Bu ne anlama geliyor ay sayısının m ile bölümünde kalan b'dir diye yazıyoruz arkadaşlar bunlarla ilgili soru gelme ihtimali çok düşüktür hızlı bir şekilde geçelim 56'nın 5 ile bölümünde kalan kaçtır 56'yı 5'e vursak son basamak kalan 1 x 1'dir 42 emme böldüğümüzde kalan 0 oluyor demek ki M sayısı 42'ye tam bölünüyor 42'yi tam bölüyor arkadaşlar Buradaki en her zaman birden büyüktür bunu unutmayalım bu em ne olabilir 42'yi bölen sayılar mesela 2 42'yi böler 3 42'yi böler 4 bölmez 6 böler 7-42'yi böyle Ondan sonra 7 de olabilir [Müzik] 9'muş Şimdi arkadaşlar burada a+b'nin toplamı kaçtır diye sormuş onu da bölümde kalan 7 ise B kesinlikle 7'dir 9'da bölündüğünde özür diliyorum 9 dönemde kalan 4'müş arkadaşlar 2 dersek mesela 9'a tam bölünür buna 4 ekleyin 6 derseniz 67'yi gerçekten 9'a bölün 6-7-13 Evet kalan 4 oluyor yani bu 67 sayısı Demek ki A6 ve 7'dir 6-7 daha 13 Evet yine klimada kaldık büyük ihtimalle yine hasta olacağım Arkadaşlar bir de şöyle bir şey vardı onu da hızlı bir şekilde tekrar edelim ne olur ne olmaz karşımıza belki gelebiliriz zannetmiyorum ama yine de birler basamağındaki rakam kaçtır dediği zaman arkadaşlar birler basamağı dediği zaman mod on idi hatırlarsanız mod 10 Yani bir sayı 10'a bölsek birler basamağını buluyoruz şimdi 6 üzeri 1'i 10'a bölse kalan 6 olur 6'nın karesi 36'dır 10'a bölse kalan 6 olur 6'nın küpü 216 ya da 6 kere 6 36 10'a böl kalan 6 o zaman 6 üzeri Ne yazarsak yazalım kalan 6 olacak buranın sonucu kesinlikle 6'dır 5 üzeri bilmem ne 5 üzeri 1'i 10'a böl kalan 5 5'in karesi 25 10'a böl kalan 5 5'in küpü 125'i 10'a böl kalan 5 arkadaşlar 5'in Her kuvveti sonu 5 Oluyor Ona böldüğümüzde kalan 5 oluyor Dolayısıyla buranın sonucu da ona böldüğümüzde kalan 5 olacak buraya geldik 2 üzeri 1 10'a böl kalan 2 2'nin karesi 4'tür 10'a böl kalan 4 Bak sürekli 10'a bölüyorum 2'nin küpü 8'dir 10'a böl kalan 8 2 üzeri 4 16 dır 10'a böl kalan 6 ya da şöyle şunu çarpabilirsiniz 2 üzeri 5 32 10'a böl kalan 2 ya da 2 kere 6 12 kalan 2 2 üzeri 6 64 10'a böl kalan 4 ya da şurasını Çarpın 4 dikkat edin arkadaşlar tekrar edecek bakın 2 4 8 6 devam edersiniz 2 4 8 6 tekrar edecek kaçta bir tekrar ediyor dörtte bir tekrar ediyor 85'i Soruyor yani 2 üzeri 85'e soruyor ya 85'i tutuyorsunuz dörde bölüyorsunuz kaç defa var 21 defa derseniz 84 kalan 1 kalan 1 ise direk birinci adıma gidiyorduk arkadaşlar yani 2 buranın sonucu da Demek ki 2'dir arkadaşlar son olarak 17 faktöriyel 17 faktöriyel sonbas Yani sonuç sıfırlarla dolu bir sayıdır Yani bunun birler basamağı kesinlikle sıfırdır Çünkü 17 faktörü hesapladığımızda bir kere içinde 2-5 çarpanı var 10 çarpanı var Sonu 0 olacak Çok güzel birler basamağı sıfır bunların toplamı 11 13 oldu arkadaşlar bakın toplama 13 oldu 13'ü 10'a bölse kalan 3 yani x3'tür diyoruz Demek ki bu sayıyı hesaplarsak hesap makinesiyle böyle bir hesap makinesi varsa son basamağı yani Birler basamağı 3 olan bir sayı olacakmış Var mı bir sıkıntı hayır hayır hayır bugün günlerde salı ise 142 gün sonra hangi gündür sonra diyorsa önce diyorsa inciminci bilmem ne varsa ne yapacağız arkadaşlar 142'yi 142 7'ye bölüyorum Çünkü günlerde 7 günde bir gün tekrarlıyor Bugün pazartesi ise Örneğin 7 gün sonra tekrar pazartesi olan anladınız kaç defa var 20 defa derseniz 140 kalan 2 kalan 2 ya burada sonra diyor iki gün sonra gidiyorsunuz bakın Sonra buraya sonra yazıyorum Hangi günden 2 gün sonra tabii ki de salıdan 2 gün sonra sarıdan sonra çarşamba bana sonra Perşembe olacak Bunun cevabı Perşembe 213 gün önce Bugün günlerden sallıysa 213 gün önce diyor 213 hocam 7'ye böleceğim Çünkü günlerde mod 7'dir 30 defa dersek 200 10 olur kalan 3 oldu burada önce diyorsa Burası da önce olacak neden önce 3 salıdan 3 gün önceye gideceğiz sarıdan önce Pazartesi pazartesinden önce pazar önce cumartesi cevabımız cumartesi olacak Eğer İnci minci varsa arkadaşlar Bugün günlerden salı diyor ya birinci günü salı olarak ilan ediyoruz ve 65'i gidiyorum 7'ye bölüyorum 9 kere 7 63 kalan 2 ikinci güne bakıyorum Burada nokta varsa buraya da nokta koydum burada sonra varsa burada sonra koydum önce varsa önce koydum nokta varsa nokta ikinci gün ikinci güne bak diyor 1 gün salıysa ki öyle demiş ikinci günde Çarşamba çarşaf olacak Çok güzel vanlayan vanlayan vanlıyan vanlıyan 320 Harf nedir şimdi kaçta bir tekrar yetişmiş Van'dayım Vanlıyım Vanlı'yım kaç hafta bir tekrar etmiş bir iki üç dört beş altı yedi sekiz dikkat edin arkadaşlar 8 artı bir tekrar etmiş bir iki üç dört beş altı yedi sekiz Note 8'dir 320 hemen 8'e bölüyorum 40 defa dersek 320 kalan 0 çıktı Hoppala sıfır ne demek ya kalan sıfır ne demek acaba arkadaşlar kalan sıfır ne demek biliyor musunuz en sona gidiyorsunuz Eyvallah Nereye yani cevabımız M olacak neden en sona gidiyoruz bu sekizdir değil mi 1 2 3 4 5 6 7 8 Evet şimdi neden 8'e en sona gidiyoruz Çünkü arkadaşlar yani Aslında şöyle bir şey deseydiniz yani 39 defa var deseydiniz burası 312 çıkacaktı örnek veriyorum kalan 8 olacaktı kalan 8 8 harf 1 2 3 4 5 6 7 8 harf kalan 8 diye bir şey olmaz Tekrar 40 defa dersek kalan sıfır olduğunu görüyoruz 0 da sondadır çok güzel Ali 3 günde bir Veli 4 günde bir nöbet tutuyor ikisi birlikte ilk nöbetlerini tuttuklarına göre birlikte 15 nöbetlerini hangi gün tutarlar Arkadaşlar Ali üç günde bir Veli 4 günde bir tutuyorsa ikisi 3 kere 4 12 günde bir değil mi o keklerini aldım ikisi birlikte 12 günde bir nöbet tutacaklar bunu biliyorum ilk nöbetleri değil mi ilk kez pazar günü nöbet tutmuşlar yani 1 nöbet 2 nöbet 3 nöbet 4 nöbet nereye kadar gideceğiz 15 nöbete kadar gideceğiz birinci nöbetleri Pazar günüymüş öyle diyor bize birinci nöbetleri pazar günü Her iki nöbet arasında da 12 gün var Çünkü ikisi 12 günde bir nöbet tutuyorlar karşılaşıyorlar Yani evet 12 günde bir karşılaşıyorlar Yani aynı anda nöbet tutuyorlar o zaman buradan buraya toplam kaç gün sonradan bahsediyor burada kaç tane 12 var 15 tane sayı varsa arkadaşlar 14 tane Aralık var yani 14 tane 12 gün var 14 çarpı 1200 608 eder Öyle değil mi 4 hesaplıyalım 48 12 168 eder 168'i 7'ye bölüyorum 2 kere 7 14 çıkarttım 28 4 kere 7 28 kalan Bu biraz zor ha 0 Platon bölündü kalan 0 ne demek sevgili arkadaşlar kalan 0 pazarsa yine pazar olacak tamam Bir bakayım hızlı bir şekilde bir yerde hata yapmış mıyım ikisi birlikte ilk nöbetini pazar günü tutuklarına göre 15 bölüm hangi gün tutarlar Ali 3 günde bir Veli 4 günde bir tutuyorsa ikisi beraber nöbet tuttuktan sonra kaç gün sonra beraber nöbet tutarlar 3 ile 4'ün o keki 12 Yani 12 günde birlikten nöbet tutuyorlar 1 nöbetleri pazarsa her iki nöbet arasında 12 gün var 15 nöbeti soruyor burada 15 tane sayı varsa 15 tane direk varsa 12 tane de Aralık vardır 14 tane de bir eksiği bakın 15'in bir Eksi 14 tane Aralık var 12 çarpı 14 168 168 7'ye böldüm kalan 0 kalan 0 ne demek aynı şey demek yani pazar yine pazar tamam mı arkadaşlar aynı yere gidiyorsun çok güzel arkadaşlar Modüler Aritmetik ile ilgili de daha önce çözdüm Soru budur Vallahi en kral soru da budur modüler aritmetikte bundan daha Kral bir soru da bulamadım bunu bir daha çözelim arkadaşlar Ondan sonra bitirelim artık şu matematiği lambaları soldan sağa doğru birden beşe kadar dumandırılmıştır başlangıçta hiçbir lambanın yanmadığı bu düzenekte birinci adımda sarı lamba almaktadır yanmaktadır bundan sonraki her adımda bir önceki adımda sönmekte ve numarası bu sonel lamba numarasından 2 fazla veya 3 eksik olanından numara yanmaktadır Böylece her adımda yalnızca bir Lamba yanıyor Buna göre 258 adımda yanan lamba hangisidir bakın buraya sırasıyla birinci lamba ikinci lamba 3 lamba 4 lamba 5 lamba diye birden beşe kadar numaralandır diyor İlk önce birinci Lamba yanıyor öyle değil mi arkadaşlar yani sarı yanıyor birinci lamba diyor ki bundan sonraki her adımda diyor bu sönecek diyor mesela sönse bunun bir fazlası ya da 3 Yani bunun numarasının bir iki fazlası ya da 3 eksiği olan lamba yanacak diyor şimdi bunun 3 eksiği eksilere gider eksi ikinci lamba diye bir şey var mı Hayır o yüzden iki fazlasını alacağız 1'in 2 fazlası 3 eder bu sefer üçüncü lamba yanacak 3 lambada neymiş Yeşilmiş Var mı bir sıkıntı Hayır şimdi bunu ne yapacağım Arkadaşlar bu üçü var ya üçün ya 2 fazlasını alacağım ya da 3 eksiğini alacağım bakın 3'ün 3 eksiği 0 eder sıfırıncı lamba diye bir şey yok o yüzden 2 fazlasını alacağım 3'ün 2 fazlası 5 5 lamba yanacak bu sefer yani kırmızı olan yanacak 5'in ya 2 fazlasını alacağım ya da 3 eksiğini alacağım 5'in 2 fazlasını alırsam 7 olur 7 lamba diye bir şey yok o zaman 5'in 3 eksiğini al 5'ten 3 çıkar 2 bu sefer ikinci lamba yanacak ikinci lamba da mavidir Gördüğünüz üzere ikinin ya iki fazlasını alacağım ya da 3 eksiğini alacağım arkadaşlar bakın ikinin 3 eksiği eksilere gidiyor eksici lamba yok 2 fazlasını alacağım 2-2 daha 4 demek bu sefer 4 lamba yanacak 4 lamba beyazdır devam ediyorum 4'ün ya 2 fazlasını alacağım ya da 3 eksiğini alacağım arkadaşlar 4'ten 4'ün 2 fazlası 6 eder 6 lamba yok o zaman 4'ten 3 çıkar 1 bu sefer birinci lamba yanacak birinci lamba sarı dikkat edin devam edersen başa döndü Sarı yeşil kırmızı mavi beyaz Sarı yeşil kırmızı mavi beyaz diye gidecek artık tekrar edecek yani şöyle bir iki üç dört beş lambada bir tekrar ediyor arkadaşlar çok güzel bana diyor ki 258 lamba hangisidir yanan 258 lamba hangisidir 5'te 1 tekrar ediyor 5'e böleceğim 5'e bölünebilme kuralı zaten son basamaktır kalanın 3 olduğunu görüyorsunuz 3 sırada yanan lamba hangisidir Tabii ki de kırmızıdır arkadaşlar yani cevabımız Edirne olması gerekiyor Böylelikle tüm matematik konularını tek bir videoda hepsini güzel bir şekilde sizlere tekrar etmiş oldum arkadaşlar Vallahi çok yoruldum Bu benim mahvetti yani mahvetti eyvallah arkadaşlar tüm matematik konularını en ince detayına kadar bu sene Gerçekten çok emek verdim sizlere emin olun Çok emek verdim Allah'ın yani Hakkımı Helal olsun inşallah kazanacaksınız arkadaşlar insana emeklerimin karşılığını ve emeklerinizin karşılığını alacaksınız Çünkü gerçekten çok emek verdim Şimdi konuları anlattım tüm Konuları tekrar ettim kamplar denemeler bilmem ne Bir de bütün konuları sınavdan önce tek bir videoda benimle birlikte tekrar etmiş oldunuz seviyorum sizi sınav yolunda başarılar diliyorum sevgili arkadaşlar sınavdan önce birkaç Video daha gelecek haberiniz olsun sınavdan sonra da yine görüşeceğiz tercihlerde Bilmem nerelerde falan Ayrıca arkadaşlar katır grubumuzda belki haberiniz yoktur altın seviye katil grubumuzda da kamplarımız mevcut Eğer isterseniz orada ekstradan paylaşamayacağım herkese açık paylaşamayacağım telifli sorular var yayınevinden izin alarak kullandım O yüzden herkese açamıyoruz üye olarak da orada faydalanabilirsiniz şimdilik Söyleyeceklerim bu kadar bu tekrar videosu hakkında düşüncelerinizi çok merak ediyorum arkadaşlar Çünkü gerçekten çok yoruldum değdi mi değmedi mi söyleyeyim eğer değmemişse bari seneye yapmıyor sevgili arkadaşlar Kendinize çok iyi bakın Hepinizi seviyorum Allah'a emanet olun hoşça kalın