Décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers

Introduction

• Objectif : Apprendre à décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.
• Importance : Comprendre la décomposition pour simplifier les calculs et résoudre certains problèmes mathématiques.

Exemples de décompositions

Exemple 1 : Nombre 15

• Décomposition de 15 : ( 3 \times 5 )
• 3 et 5 sont des nombres premiers (appartiennent à la liste des nombres premiers).

Définition : Nombres Premiers

• Nombres premiers : Nombres ayant exactement deux diviseurs, eux-mêmes et 1.
• Exemples de nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, etc.

Exemple 2 : Nombre 12

• Décomposition initiale : ( 4 \times 3 )
• 4 n'est pas premier (peut être décomposé en ( 2 \times 2 )).
• Décomposition en facteurs premiers : ( 2 \times 2 \times 3 )

Technique de Décomposition

• Tester tous les nombres premiers dans l'ordre croissant.
• Continuer avec le même nombre premier tant qu’il divise le nombre.

Exemple 3 : Nombre 300

1. Divisible par 2 :
   • ( 300 \div 2 = 150 )
   • ( 150 \div 2 = 75 )
2. 75 n'est pas divisible par 2 → Test avec 3 :
   • ( 75 \div 3 = 25 )
3. 25 n'est pas divisible par 3 → Test avec 5 :
   • ( 25 \div 5 = 5 )
   • ( 5 \div 5 = 1 ) (arrêt ici car on obtient 1)

Résultat

• Décomposition de 300 : ( 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5 )
• Écriture simplifiée : ( 2^2 \times 3 \times 5^2 )

Conclusion

• Savoir décomposer un nombre en produit de facteurs premiers permet d’optimiser les calculs.
• Utilité dans divers domaines mathématiques et résolution de problèmes.

Cette méthode est essentielle pour développer une compréhension approfondie des propriétés des nombres et de leurs applications.