Appunti sulla Funzione Matematica

Introduzione

• Importanza del concetto di funzione nell'analisi matematica.
• Focus su funzione reale di una sola variabile.

Definizione di Funzione

• Considerazione di due insiemi numerici:
  • Insieme X (dominio): può essere R o un sottoinsieme di R.
  • Insieme Y (codominio): può essere R o un sottoinsieme di R.
• Funzione denotata come f: X -> Y.
  • Ogni elemento di X è associato a uno e un solo elemento di Y.
  • Non possono esserci due valori distinti di Y associati a un unico valore di X.

Esempi di Funzioni

1. Esempio di funzione quadratica:
   • f(x) = x^2 - 2.
   • Risultati:
     • f(0) = -2
     • f(1) = 0
     • f(-2) = 2
   • Due valori distinti nel dominio possono avere la stessa immagine.
2. Esempio di funzione più complessa:
   • Considerazione di f(x) = (x + 1) / √x.
   • Discussione sui valori che possono essere attribuiti a questa funzione.

Dominio di una Funzione

• Il dominio è l'insieme dei valori per i quali la funzione è definita.
• Esempio di esclusione di zero nel dominio:
  • Per f(x) = (x + 1)/x, x non può essere 0.
  • Dominio: R - {0}.

Insieme di Arrivo

• Non tutti i valori in Y devono essere colpiti dalla funzione.
• Esempio di funzione che non copre tutti i valori:
  • f(x) = x^4, insieme di arrivo è R0+ (numeri reali non negativi).

Concetti di Funzione Iniettive e Soggettive

Funzione Iniettiva

• Una funzione è iniettiva se valori distinti nel dominio corrispondono a valori distinti nel codominio.

Funzione Soggettiva

• Una funzione è soggettiva se ogni valore in Y è l'immagine di almeno un valore in X.

Funzione Biunivoca

• Una funzione è biunivoca se è sia iniettiva che soggettiva.

Esempi di Classificazione delle Funzioni

1. Funzione non iniettiva e non soggettiva:
   • f(x) = x^2, ha valori distinti nel dominio che corrispondono allo stesso valore di Y.
2. Funzione iniettiva ma non soggettiva:
   • f(x) = x, dominio R, codominio R0+.
3. Funzione soggettiva ma non iniettiva:
   • Funzione definita con dominio R0+ e codominio R.
4. Funzione biunivoca:
   • Funzione che associa ogni numero reale positivo a un unico valore positivo.

Conclusioni

• Riflessione finale sull'importanza dei concetti di funzione nell'analisi matematica.
• Anticipazione di futuri argomenti su funzioni crescenti, decrescenti e calcolo dell'insieme di definizione.