نظم المعادلات الخطية

Overview

المحاضرة تناولت نظم المعادلات الخطية، تعريف المعادلة الخطية، كيفية تمثيلها باستخدام المصفوفات، وأنواع الحلول الممكنة وطرق التعامل الجبري معها.

تعريف المعادلات الخطية ونظمها

• المعادلة الخطية هي معادلة كل متغيراتها من الدرجة الأولى (أي ليست مرفوعة لأي قوة أعلى من واحد).
• يمكن أن تحتوي المعادلة الخطية على متغيرين أو أكثر (تسمى variables أو unknowns).
• نظام المعادلات الخطية هو مجموعة من المعادلات الخطية مع عدد مشترك من المتغيرات.
• معاملات المتغيرات تسمى معاملات (coefficients) وهي أرقام حقيقية.
• الحد المطلق هو الرقم الموجود في طرف المعادلة بعد علامة المساواة وليس مضروبًا في أي متغير.

الحلول الممكنة لنظام المعادلات الخطية

• الحل هو مجموعة قيم للمتغيرات تحقق جميع المعادلات في النظام.
• نظام المعادلات قد يكون له حل وحيد (unique solution)، أو عدد لا نهائي من الحلول (infinite solutions)، أو لا حل له (no solution).
• إذا كان للنظام حل أو أكثر يسمى "consistent"، وإذا لم يكن له أي حل يسمى "inconsistent".
• في حالتين أو ثلاث معادلات يمثل التقاطع بين المستقيمات أو المستويات.

تمثيل النظام باستخدام المصفوفات

• يمكن تمثيل نظام المعادلات بمصفوفة معاملات (coefficient matrix).
• لكتابة المصفوفة يجب محاذاة المتغيرات وترتيب المعاملات حسب الترتيب نفسه في جميع المعادلات.
• المتغير غير الموجود في معادلة يُوضع له معامل صفر في المصفوفة.
• مصفوفة موسعة (augmented matrix) تجمع مصفوفة المعاملات مع عمود النتائج (الثوابت من كل معادلة) في مصفوفة واحدة.

العمليات على الصفوف (Row Operations)

• تبديل صفين مع بعض (Row Interchange).
• ضرب صف بالكامل في ثابت غير صفري (Row Scaling).
• جمع أو طرح مضاعف من صف من صف آخر (Row Addition/Subtraction).
• هذه العمليات تحفظ مكافأة المصفوفات (row equivalence) ولا تغير حلول النظام.

Key Terms & Definitions

• المعادلة الخطية (Linear Equation) — معادلة كل حدودها من الدرجة الأولى.
• المعامل (Coefficient) — الرقم المضروب في المتغير.
• الحد المطلق (Constant Term) — رقم لا يصاحبه متغير في المعادلة.
• المصفوفة (Matrix) — جدول مستطيل من الأرقام يمثل معاملات النظام.
• مصفوفة المعاملات (Coefficient Matrix) — مصفوفة تضم معاملات النظام فقط.
• المصفوفة الموسعة (Augmented Matrix) — مصفوفة المعاملات مع عمود الثوابت.
• نظام منتظم (Consistent System) — نظام له حل واحد أو أكثر.
• نظام غير منتظم (Inconsistent System) — نظام ليس له أي حل.

Action Items / Next Steps

• تدرب على تحويل الأنظمة الخطية إلى مصفوفات معاملات ومصفوفات موسعة.
• راجع تعريفات العمليات الثلاثة على الصفوف وطبقها يدويًا على أمثلة بسيطة.
• اقرأ عن طرق حل الأنظمة الخطية باستخدام المصفوفات (جوس).