Ciao ragazzi, benvenuti in questa prima video lezione di logica matematica. La logica matematica è una delle tante branche della matematica. In particolare, in queste video lezioni ci occuperemo di studiare gli enunciati logici, di vedere come è possibile attribuire un valore di verità anche ad enunciati composti e tutto questo serve principalmente per riassumere e formalizzare alcuni strumenti che sono alla base del nostro ragionamento nello studio della matematica. Innanzitutto andiamo a vedere cos'è un enunciato logico. Un enunciato o proposizione è una frase non ambigua alla quale abbia senso attribuire un valore di verità, che chiameremo vero o falso.
Questo valore di verità deve essere univoco e condiviso. Quindi deve essere qualcosa di valido per tutti. Facciamo qualche esempio.
Consideriamo come frase 3 più 3 uguale 6. Questa affermazione noi possiamo stabilire se è vera o no. Quindi è un enunciato logico. In particolare questa nostra affermazione ha valore di verità vero. Altra affermazione.
Un triangolo ha quattro lati. È un'affermazione, anche questa, per la quale possiamo stabilire se è vera o no, in particolare è falsa. Non sono invece enunciati logici quelli che contengono un gusto personale, ad esempio, di qualcosa che è soggettivo, ad esempio i film più belli, le canzoni più emozionanti, ma anche quelli che contengono delle domande. Domani andiamo al mare? È una domanda, quindi non è un enunciato logico.
Le esclamazioni, i comandi, eccetera. Quindi, riassumendo... non rientrano negli enunciati logici quelli che vi ho scritto qui in basso, che abbiamo appena citato.
Per quanto riguarda i valori di verità, abbiamo detto che sono due, vero o falso, o potete indicarli anche in inglese con T o F, e a volte per indicarli si utilizzano anche le cifre 0 e 1. 0 per il valore falso e 1 per il vero. Esiste in particolare la logica booleana che è basata proprio sul sistema binario, quindi il sistema di numerazione che utilizza solo queste due cifre, però non sarà oggetto delle nostre lezioni per il momento. Esistono anche delle proposizioni o enunciati composti da più enunciati, quindi ad esempio Invece di avere una singola proposizione con un singolo predicato, quindi una singola forma verbale con un argomento, possiamo avere più enunciati uniti tra loro tramite quelli che si chiamano connettivi logici. Ed è esattamente quello che possiamo fare con i numeri, quindi io posso prendere due numeri e sommarli, oppure posso fare una sottrazione tra due numeri. Stessa cosa posso farla con gli enunciati.
Posso unirli tramite dei connettivi logici, quindi è come se io facessi delle operazioni tra proposizioni. Facciamo subito un esempio. Io posso dire Luca è alto un metro e ottanta ed è una proposizione, quindi ho enunciato logico.
è biondo. Entrambe sono due affermazioni per le quali io posso stabilire se è vera o falsa. Se le unisco posso ottenere una proposizione composta, quindi io posso dire Luca è alto un metro e ottanta ed è biondo. Questa e-congiunzione è un connettivo logico. A questo punto il mio enunciato è composto, quindi stabilire se è vero o falso non ha più a che fare con la singola affermazione ma con entrambe.
Un altro tipo di enunciato composto che posso avere lo vedremo poi nella prossima lezione a che fare con la disgiunzione. Oggi ci soffermiamo su due connettivi logici, la negazione, quindi il non, e la congiunzione, quindi la e. Allora iniziamo dalla negazione. Io posso considerare un enunciato e considerare poi la sua negazione. Quindi se io chiamo con a il mio enunciato, la sua negazione sarà non a, cioè a con il trattino sopra.
Non a. Un altro modo per indicarlo è in inglese, not a, oppure... con un simbolo davanti, questo simbolo del non, non a. Sono tutti simboli equivalenti. Noi utilizzeremo questo con il trattino in alto.
Quindi questo lo leggeremo non a. Quindi se il mio enunciato è, come prima, Luca è biondo, questo è il mio enunciato a, Non ha è la negazione, quindi Luca non è biondo. Quindi se il mio enunciato a Luca è biondo è vero, e io questo posso stabilirlo per i motivi che abbiamo detto prima, l'enunciato non ha, quindi la negazione di a, è ovviamente falso, perché io sto negando... quello che ho affermato prima. Quindi, dato un enunciato A, la negazione di A è quell'enunciato che è vero se A è falso ed è falso se A è vero.
Tutto questo lo possiamo racchiudere all'interno di una tabella, quella che vedete qui a destra, che è una tavola di verità. Quindi io posso inserire all'interno della tabella partendo dalla prima colonna, il valore di verità di A. A in questo caso è un enunciato qualsiasi, non è l'esempio specifico che abbiamo fatto adesso.
Il mio enunciato A può essere o vero o falso. Questo in generale, perché se è un enunciato io posso stabilire il suo grado di verità. Se nell'altra colonna inserisco non A, quindi sto studiando la tavola di verità della negazione del mio enunciato, quando il mio enunciato è vero, la sua negazione sarà falsa. Come nel nostro esempio. Quando il mio enunciato A è falso, la sua negazione sarà vera.
Quindi questa è la tavola di verità della negazione. Quindi in generale, per qualsiasi enunciato, questa sarà la tavola di verità. dell'enunciato non a. Secondo connettivo di questa lezione, la congiunzione.
Come abbiamo detto prima, la congiunzione è rappresentata dalla e. Quindi se io ho due proposizioni, a e b, io posso unirle tramite il connettivo logico e. Quindi dire A e B. Quindi dati i due enunciati A e B, la congiunzione di A e B è l'enunciato che è vero se A e B sono entrambi veri.
In tutti gli altri casi è falso. Quindi, riprendendo l'esempio di prima, Luca è biondo e è alto. un metro e ottanta, questo enunciato composto è vero solo se sono vere entrambe le frasi, cioè Luca deve essere sia biondo che alto un metro e ottanta.
In tutti gli altri casi, quindi anche se è falsa solo una delle due, tutto l'enunciato risulta falso. Il simbolo della E è questo, A e B. Si legge proprio A e B. Tavola di verità, quella sulla destra, questa volta ho tre colonne. Sulla prima colonna ho i valori di verità di A, sulla seconda quelli di B, sulla terza ho quelli della proposizione A e B.
Allora, stavolta ho quattro righe, non due, perché io devo scrivere tutte le combinazioni possibili dei valori di verità di A e di B. Quindi possono essere entrambe vere e entrambe false. La prima vera, la seconda falsa, la prima falsa, la seconda vera. E queste due colonne le compilo io perché valgono in generale, cioè io in generale posso avere queste quattro situazioni, al di là dei singoli esempi.
Allora, A e B, se entrambi sono vere, è vera, perché abbiamo detto che la congiunzione è quello enunciato che è vero quando sono veri entrambi. In tutti gli altri casi è vero. Quindi la congiunzione è vera solo quando sono veri entrambi. Quindi è semplice da ricordare. Vediamo un esempio.
Prendiamo questa proposizione composta. Ricordiamo che è composta perché è formata da due enunciati, quindi da due proposizioni, collegate da un connettivo logico, in questo caso dalla E. Allora, prima proposizione, il quadrato ha tre, ha quattro lati, quindi questa è la prima, la chiamiamo A.
La seconda proposizione è il quadrato ha tre angoli, quindi non c'è la ripetizione del verbo per ovvi motivi, però dal punto di vista della struttura logica sono queste le due proposizioni, quindi questa è la B. In mezzo abbiamo la congiunzione E. Quindi mi chiedo, la A, quella sottolineata in giallo, è vera? Il quadrato ha quattro lati. Vero.
Quindi la A è vera. La B, il quadrato ha tre angoli. Falso.
È vero, quindi, il totale, il mio enunciato composto? Io ho vero e falso. Quindi il totale sarà falso. Il mio enunciato complessivo composto è falso, perché è falsa almeno una delle due proposizioni che lo compongono.
Dal punto di vista insiemistico, ve lo anticipo anche se poi lo vedremo in una videolezione successiva, il connettivo E corrisponde all'intersezione. Quindi... Se io so che questo è l'insieme di verità del mio enunciato A e questo è l'insieme di verità del mio enunciato B, poi vedremo bene cos'è un insieme di verità, quando sono veri entrambi?
Nell'intersezione. Quindi vedremo che la corrispondenza tra la congiunzione, quindi il connettivo E, e gli insiemi è proprio l'intersezione. Quindi è vero che sono entrambi verificati, entrambi gli enunciati, quando sto in un insieme che verifica entrambi gli enunciati.
Quindi dal punto di vista degli insiemi sono gli elementi in comune, cioè l'intersezione.