Mathematik: Der Cosinus-Satz

Einleitung

• Willkommen zur Mathematikstunde über Trigonometrie.
• Thema: Cosinus-Satz.
• Beispiel: Ein Dreieck ohne rechten Winkel.

Voraussetzungen

• Was wird benötigt?
  • Ein Dreieck.
  • Ein Winkel und die beiden anliegenden Strecken (keine rechtwinkligen Dreiecke).

Anwendung des Cosinus-Satzes

• Wenn man einen Winkel und die beiden anliegenden Strecken hat, nutzen wir den Cosinus-Satz.
• Cosinus-Satz: Praktisch und schnell.
• Formel des Cosinus-Satzes:
  • (a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha))
  • Wiederholungen der Struktur erkennbar.

Mustererkennung in der Formel

• Für (a): (a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha))
• Für (b): (b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta))
• Für (c): (c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma))

Beispiel

• Ein Dreieck mit bekannterm Winkel und zwei Strecken.
• Gesucht: Strecke (a).
• Formel: (a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha))
• Werte einsetzen:
  • (a^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(67°))

Berechnung

• Mit Taschenrechner berechnen:
  • (a^2 = 36 + 25 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(67°))
  • (a^2 = 37,56)
  • Wurzel ziehen: (a = \sqrt{37,56} = 6,13)
• Ergebnis: (a = 6,13) cm

Abschließende Überprüfung

• Ergebnis mit Messung bestätigen.
• Weitere Anwendungsmöglichkeiten:
  • Berechnung anderer Seiten oder Winkel.

Fazit

• Cosinus-Satz: Praktisch für Dreiecke ohne rechten Winkel.
• Häufigste Anwendung: Berechnung von Seitenlängen mit gegebenem Winkel.