Lezione sulle Funzioni

Introduzione

• Concetto di funzione: introdotto alle scuole medie, approfondito alle superiori, e comune nei corsi di matematica all'università.
• Definizione di Funzione: È una relazione che associa ad ogni elemento dell'insieme di partenza (A) un unico elemento dell'insieme di arrivo (B).

Notazione

• Funzione indicata con: f: A → B
• f(a) = b: l'elemento b in B associato all'elemento a in A.

Proprietà delle Funzioni

• Ogni elemento di A ha una sola freccia verso B.
• Diversi elementi di A possono puntare allo stesso elemento di B.
• Non tutti gli elementi di B devono essere colpiti da una freccia.

Esempio

• A = {1, 2, 3}, B = {2, 7, 6}
• f(1) = 2, f(2) = 7, f(3) = 6
• Nomenclatura:
  • Dominio (A): insieme di partenza
  • Codominio (B): insieme di arrivo
  • Immagine di un elemento a: f(a)

Insieme Immagine

• Sottoinsieme del codominio contenente tutti gli elementi che sono immagini di un elemento del dominio.
• Indicato con: Im(f) o f(A)
• Quando ogni elemento del codominio è colpito da almeno una freccia, l'insieme immagine coincide con l'intero codominio. La funzione è detta suriettiva.

Rappresentazione Grafica

• Utile quando il dominio ha infiniti elementi.
• Es: Funzione f(x) = 2x, rappresentata sul piano cartesiano.
  • Dominio lungo l'asse x, codominio lungo l'asse y.
  • ogni associazione (x, f(x)) rappresentata da un punto nel piano.

Altri Esempi

• Funzione f(x) = √x: dominio è l'insieme dei numeri reali non negativi.
  • Non ci sono punti del grafico a sinistra dell'asse y.
• Funzione f(x) = 2^x: il grafico mostra che l'insieme immagine è l'insieme dei numeri reali positivi.

Dominio e Codominio

• Parte integrante della definizione di funzione.
• Quando non sono esplicitati, si assume il dominio come il più grande sottoinsieme di R in cui l'espressione ha significato (dominio naturale) e il codominio come l'insieme dei numeri reali (R).

Esempio Finale

• Funzione f(x) = log₂(x)
  • Dominio: insieme dei numeri reali positivi.
  • Codominio: insieme dei numeri reali.

Proseguimento nei prossimi video della playlist.