[Musica] ragazzi in questo primo video della playlist dedicata alle funzioni vediamo che cosa si intende per funzione che è uno di quei concetti che si intravede di solito la prima volta alle scuole medie che si studia poi in maniera più approfondita alle superiori in cui capita di imbattersi spesso anche in tantissimi corsi di matematica e non solo all'università senza perdere altro tempo vediamo subito nella maniera più semplice possibile che cos'è una funzione dati dove insieme a e b una funzione definita sua ea valori in b spesso indicata con questa notazione è una relazione che associa ad ogni elemento del insieme a un unico elemento dell'insieme b e per fissare meglio le idee diamo un'occhiata ad esempio che vi ho riportato qui sotto come vedete abbiamo un insieme chiamiamolo di partenza a abbiamo un secondo insieme che fa da insieme diciamo così di arrivo b e ad ogni elemento dell'insieme di partenza è associato un unico elemento dell'insieme di arrivo e l'associazione è rappresentata in questo schemino tramite queste frecce ora se come si fa di solito indichiamo con f la funzione allora l'unico elemento b dell'insieme di arrivo associato all'elemento a dell'insieme di partenza si indica in questo modo con fda e quindi per capirci se a questo elemento dell'insieme di partenza allora fda sarebbe questo elemento qui dell'insieme di arrivo quindi per capirci è l'elemento adb colpito diciamo così dalla freccia che parte dall elemento a dell'insieme di partenza a parentesi in base alla definizione che abbiamo dato poco fa ad ogni elemento dell'insieme a deve essere associato un unico elemento dell'insieme il che significa in termini delle frecce che da ogni elemento di a deve partire un unica freccia che colpisce un bersaglio in b ma può accadere che le frecce che partono da due elementi diversi colpiscano diciamo così lo stesso bersaglio come accade ad esempio con queste due frecce qui sotto e mi raccomando può anche accadere che ci siano dei bersagli diciamo così che non vengono colpiti da nessuna freccia per fissare meglio l'idea e vedete che in questa nuova slide vi ho riportato un esempio di funzione in questo caso tra due insiemi contenenti dei numeri come vedete ad ogni elemento cioè ad ogni numero presente nell insieme di partenza viene associato un unico elemento cioè un unico numero nell'insieme di arrivo b e quindi quella rappresentata è effettivamente una funzione in base a quello che si diceva prima per dire che la freccia che parte da uno colpisce il numero 2 cioè per dire che la funzione f associa all'elemento 1 dell'insieme a l'elemento 2 dell'insieme b possiamo scrivere così f di uno uguale a 2 e similmente possiamo scrivere che f di due è uguale a 7 e cfd 3 è uguale a 6 per quanto riguarda la nomenclatura l'insieme a di partenza è detto dominio della funzione mentre l'insieme b di arrivo prende il nome dico dominio della funzione e come intuite io ho scelto di utilizzare le lettere a e b per indicare questi due insiemi ma potete sentirvi liberi di battezzarli anche in altro modo ad esempio potreste decidere di chiamare hicks l'insieme di partenza cioè il dominio e y l'insieme di arrivo cioè il co dominio sempre per quanto riguarda la lamentela tura male poi la pena di ricordare che dato un certo elemento a del dominio della funzione il corrispondente elemento fda anni dominio della funzione prende il nome di immagine di a e possiamo quindi dire il riferimento al nostro esempio che l'immagine di uno e due che l'immagine di due e sette e che l'immagine di 3 e 6 ora il sottoinsieme del condominio che racchiude tutti gli elementi che sono immagine di un elemento del dominio prende il nome di insieme immagine della funzione e si tratta in pratica del sottoinsieme del condominio che contiene tutti gli elementi diciamo così che sono effettivamente colpiti da una freccia che parte da un elemento del dominio iniziamo immagine viene solitamente indicato con questa notazione quindi i m seguito dal nome della funzione che come si diceva prima spesso è f ma altre volte potete anche trovarlo indicato con un piccolo abuso di notazione in questo modo quindi con f e all'interno vedete non l'elemento a piccolo dell'insieme a ma l'intero insieme a grande ma parentesi a seconda della funzione considerata potrebbe anche accadere che tutti gli elementi del condominio siano diciamo così colpiti da una freccia cioè che ogni elemento del condominio sia immagine di un elemento del dominio quando succede questo l'insieme immagine della funzione coincide con l'intero condominio della funzione e come avremo modo di vedere meglio in uno dei video successivi si dice che la funzione è una funzione su ricettiva appurato questo è chiaro che la rappresentazione con le frecce che abbiamo utilizzato fin qui diventa via via sempre più scomoda al crescere del numero di elementi del dominio della funzione e come forse intuite diventa addirittura inutilizzabile quando il dominio a infiniti elementi ad esempio se volessi rappresentare la funzione che ogni numero reale associa il doppio di quel numero cioè la funzione condominio erre eco dominio r definita da f dx o uguale a 2x è chiaro che dovrai disegnare infinite frecce e questa naturalmente non è un'opzione praticabile in questi casi un'alternativa più comoda per rappresentare la funzione consiste nel realizzare il grafico della funzione e vedete che qui sotto vi ho riportato il grafico della funzione fbx uguale a 2x nel piano cartesiano in una situazione come questa i punti dell'asse hicks rappresentano gli elementi del dominio della funzione che in questo caso è l'insieme dei numeri reali mentre i punti dell'asse y rappresentano gli elementi del co dominio della funzione che in questo caso è a sua volta l'intero insieme dei numeri reali per dire che all'elemento 1 del dominio viene associato l'elemento 2 del condominio invece che utilizzare una rappresentazione con le frecce come facevamo prima stavolta ci limitiamo ad un singolo punto in questo caso il puntino viola che vedete qui in altre parole il punto viola di coordinate 12 ci dice che all'elemento 1 del dominio viene associato l'elemento 2 del codominio cioè in pratica ci dice che f di uno è uguale a 2 e naturalmente possiamo fare un ragionamento analogo per tutti gli altri punti che costituiscono il grafico della funzione come vedremo meglio successivamente in moltissime situazioni comuni l'uso del grafico è molto più comodo di altre rappresentazioni e analizzando il grafico di una funzione spesso si possono intuire al volo alcune proprietà di cui la funzione gol volendo dare un'occhiata a qualche altro esempio vedete che in questa nuova slide c'e rappresentato il grafico della funzione f dx uguale a radice degli ics come vedete non ci sono punti di questo grafico a sinistra diciamo così dell'asse y cioè non ci sono punti del grafico che hanno una scissa negativa infatti il dominio della funzione che vedete è rappresentato qui in azzurro è l'insieme dei numeri reali non negativi e all'interno di questo insieme non c'è alcun numero negativo ma parentesi come forse intuite se si dispone del grafico della funzione si può intuire il dominio della funzione ci basta infatti andare a vedere sostanzialmente quali sono le ascisse dei punti che stanno sul grafico della funzione in questo caso quelli che ricadono all'interno di questo intervallo azzurro cioè dell'insieme dei numeri reali non negativi e l'insieme di queste ascisse e proprio il dominio della funzione sempre se si dispone del grafico e vedete che nel frattempo qui sulla destra vi ho rappresentato quello della funzione f di uguale a 2 all'aics è possibile determinare facilmente anche l'insieme immagine della funzione si tratta in pratica dell'insieme di tutte le ordinate cioè di tutte le y dei punti che stanno sul grafico della funzione e in questo caso si tratta dell'insieme dei numeri reali positivi che vedete rappresentato in giallo qui sull'asse y per concludere volevo segnalarvi che come si diceva all'inizio del video il dominio eco dominio sono parte integrante della funzione e quindi quando si assegna una funzione andrebbero sempre precisato a volte però quando si lavora con funzioni di una variabile assegnate tramite un espressione matematica come ad esempio y uguale 2 all'aics oppure y uguale hicks quadro il dominio eco dominio non vengono esplicitati in questi casi è bene sapere che salvo diverse indicazioni eventualmente riportate sul libro di testo sulla dispensa che state leggendo si assume sempre che il dominio sia il più grande sottoinsieme dr in cui l'espressione matematica ha significato e questo sotto insieme viene anche chiamato il dominio naturale della funzione mentre per quanto riguarda il condominio si assume che esso sia l'insieme dei numeri reali ad esempio quindi nel caso della funzione f dx uguale al logaritmo in base 2 dx salvo diverse indicazioni assumeremo che il dominio di questa funzione sia il più grande sottoinsieme dei numeri reali in cui l'espressione matematica significato e visto che il logaritmo in base 2 ed è finito solo per valori positivi del suo argomento in questo caso il dominio in questione sarà l'insieme dei numeri reali positivi mentre il condominio della funzione sarà l'intero insieme dei numeri reali detto questo ragazzo io per il momento ha terminato proseguiremo il discorso sulle funzioni nei prossimi video di questa playlist come sempre se trovate utili queste elezioni e ricordatevi di mettere mi piace passate a trovarmi su facebook e di instagram e se non l'avete già fatto iscrivetevi al canale dove presto arriveranno moltissimi altri video [Musica]