Arkadaşlar merhabalar tyt AYT geometri konu anlatımda çok önemli Bir yerdeyiz artık Analitik geometride Analitik geometri Arkadaşlar ben yine de söyleyeyim belki biliyorsunuzdur ama sadece AYT açısından önemli değil Sadece geometri açısından önemli değil aynı zamanda bu işin matematikte fonksiyon Limit türev integral eşitsizlik polinom ve parabolleri anlamlandırma açısından ve sağlam yorumlarını yapmak açısından da ciddi katkısı var onları için de temel teşkil eden bir konudur Dolayısıyla ne yapacağız en basitten en zora kadar bütün kavramları düzgün bir şekilde göreceğiz Analitik geometriyi bir ders gibi görmek lazım Eee o yüzden de ben de detaylıca size anlatacağım bu e konuları en baştan her şeyle sıfırdan başlayacağız arkadaşlar bakın Burada gördüğünüz gibi şimdi dik koordinat sistemimiz var arkadaşlar analitik düzlem de dediğimiz bu bir düşey Eksen Bir de yatay ekenin dik kesişmesi Biz dik koordinat sistemi diyoruz y ekseni düşey Eksen X ekseni arkadaşlar yatay Eksen dik koordinat sisteminin bulunduğu düzlem de analitik düzlem gördüğünüz gibi yani şöyle bir düzlem kağıt gibi düşünürseniz bunu işte Analitik düzlemi böyle oluşturmuş oluyoruz Arkadaşlar iki boyutlu sistemde Çalışıyoruz tabii ki Orijin başlangıç noktası ve Analitik düzlemde bir nokta arkadaşlar AB diye diye isimlendiriliyor A'ya x koordinatı diyoruz aynı zamanda apsis B'ye de arkadaşlar y koordinatı diyoruz aynı zamanda ordinat ve noktanın Arkadaşlar İki bileşeni var x koordinatı bunların her birine koordinat denir x koordinatı ve y koordinatı şeklinde burada her birisi ayrı ayrı dediğim gibi koordinat ve birleşimleri de bir nokta Yani eskiden sayı doğrusunda sen böyle 4 görüyordun artık Analitik düzlemde ne göreceksin örnek veriyorum 1E 2 Buna apsis diyoruz ya da x değeri Buna ordinat diyoruz ya da y değeri arkadaşlar X ve Y diye altına yazayım Şimdi burada söyledim zaten a arkadaşlar yatayda yönlü bir şekilde orijinden itibaren ve B de düşeyde yönlü olarak orijinden itibaren kaç birim ilerlediğimizi gösteriyor örnek hemen görelim apsis değeri olan 1 bize yatayda bir birim sağa gittiğimizi 2 de arkadaşlar düşeyde 2 birim yukarı gittiğimizi anlatıyor Yani aslında bu nokta sayesinde orijinden ne kadar uzaklaştığımız yönlü olarak anlamış oluyoruz Bakın şimdi -2 4 noktası mesela 2 birim sola 4 birim yukarı ötelenmiş bir nokta aslında başlangıçta orijine 0a 0 deriz orijinde hem apsis değeri hem ordinat değeri 0 olur ve buradan ilerlediğinizde birim sol 4 birim yukarı -2 4 noktasını elde edersiniz soldaki değerler ne xte arkadaşlar Sağdaki değerler pozitif yde yukarıdakiler Art yine Aşağıdakiler eksi değerler alır sadece düşeyde ilerlese mesela bakın o zaman x değeri değişmez y ekseni üzerindeki bir noktanın da o zaman ne olduğunu görüyoruz x değerinin 0 olduğunu görüyoruz negatif yönde ilerlediğim için bakın ordinat -3 geldi ya da sadece sağa doğru ya da sadece sola doğru gidersem bu sefer bakın y değeri değişmiyor bu nokta 1E 0 oluyor bir birim sağa öteliyim zaman mevzumuz budur orijinden hareket ediyormuş gibi düşüneceğiz ama Daha sonrasında artık buna hakim olacağımız için uzunca oradan oraya ilerlemiş buradan buraya ilerlemiş demek Zorunda kalmayacağım Evet şimdi bakalım Mesela buraya 0a 3 -3 -2 -40 3 -1 noktasının yerleri 0a 3 y ekseninde bir noktadır işte Ar adaşlar a noktası buradadır sonra -3 -2 sola 3 birim sağa sola 3 birim e yukarıda e pardon aşağıda 2 birim demektir Dolayısıyla ne olur bak böyle bir nokta sola 3 birim aşağıda 2 birim işte sana -3 -2 noktası C - 4'e 0 sola 4 birim yani C burada bak -4 0 oldu D 3'e -1 D'ye bakıyoruz 3 birim sağ 1 birim aşağı o zaman Arkadaşlar D noktası da bakın 3'e -1 oldu 3 burası Bak 1 birim sonra yine 0a 3'ten dolayı 3 birim işte - 4'e 0'dan dolayı 4 birim şurası Gördüğün gibi 3 birim ve Burası Gördüğün gibi 2 birim bu şekilde gösteririz X ve Y eksenlerinin silindiği birim kareli zeminde -2 3 olduğuna göre a noktası B C D E noktalarının koordinatlarını bulunuz o zaman arkadaşlar a için ne yapmışız sola 2 birim ötelenmiş nereden sola birim öteliyim zaman 2 birim Aslında bak y eksenini göstermiş oluyoruz Çünkü biz yatayda ilerlerken y ekseninden uzaklaşıyoruz fark ettiniz mi bakın burada hem y hem x'i İncelediğiniz zaman sola gittiğinizde ya da sağa gittiğinizde Aslında x değerinin değiştiğini görüyorsunuz Dolayısıyla başlangıçta y ekseni böyle 2 birim sağında kalır A'nın 3 birim yukarı çıktığında a'yı elde etmişsin o zaman 3 birim aşağı ineceksin başlangıçta işte sana x ekseni bunların kesim noktasında da ne diyoruz Orijin 0a 0 noktası artık B noktası - 3'e 1 yatayda 3 düşeyde 1 D noktası yatayda 1 düşeyde 2 a noktası yatayda 2 düşeyde 3 o zaman -2 3 C noktası 1 2 3 4 Sadece düşeyde böyle noktası 1 2 3 4 5 yatayda 3 düşeyde 5 Bu Arada Arkadaşlar Analitik düzlemde X ve Y sıralı ikilidir asla değişmezler arkadaşlar ona dikkat et Tabii ki X ve y'nin y x'e eşit olacağı noktalar olacaktır apsis Ve ordinat eşitse ama yer değiştirme hakkım var Ben giderim o zaman x y yx Yazamaz mıyım hocam Önce y'yi yazsak ne olur Analitik düzlemde öyle şey yok kuralı bu kuralımız önce x sonra yi yazmak şeklinde onu belirteyim arkadaşlar o yüzden nokta verildiği zaman sana x değeri ve y değerini peşinen vermiş oluyor bakın dikdörtgenler Özdeş olduğuna göre b ve c noktasının koordinatlar toplamı kaçtır demişim Şimdi hemen bakacaksın Özdeş olduğuna göre Aslında ne söyleyeceğiz ordinat 2 birim He tamam o zaman Ne oldu Bak burada Aslında dikdörtgenin Kısa kenarı 2 birim oldu Sonra buraya 2 buraya 2 dersen Lütfen dikkat et A10 ne demek yatayda 11 sağa ilerlemiş isin demek bu sayede artık Ne oldu a noktası 10'a 2 olduğu için uzun kenar 6 geldi o zaman arkadaşlar burada hemen şunu söyleyebiliriz B noktasının koordinatları ne geldi 4E 4 sağa 4 birim yukarı da 4 birim ilerledim gördün mü C noktasına baktığın zaman ne oldu 2'ye 6 oldu dolayısıyla 2 birim sağa 6 birim de yukarı gittik koordinatlar toplamı burada 2 + 6 8 Burası da 4 + 4 8 tüm b ve c noktalarının koordinatlar toplamı hepsinin toplamı yani X ve Y değerlerinin 16 geldi başlangıç noktası Tepe noktası olan ikizkenar üçgenin alanı kaç birim karedir alıştırma yapıyoruz Bak birine bir tanıyoruz konuyu hemen Ne diyeceksin He tabii ki arkadaşlar Analitik düzlemde dik üçgen öklit Pisagor benzerlik acayip yapacağız göreceksiniz bak Bu sayede Neyi görüyorsun sağa 4 birim ilerledim aşağı 3 birim ilerledim 3 4 5 üçgeninden bir kenarım 5 oldu bu sayede ikizkenar üçgen olduğu için Aslında Tabii ki şu kırmızı kenar da 5 geldi Buradan da 5 x 3/2 den üçgenin alanı 15/2 oldu dik koordinat sisteminin başlangıç noktasının dik kesiştiğine dikkat edip bu diklikler yararlanmam lazım Bir de arkadaşlar Şuna da Lütfen dikkat edin bir AB noktası inşa ettiğimiz zaman bakın Burası dik uzaklık yine böyle a dik uzaklık O yüzden burada bir dikdörtgen elde ediyoruz dikdörtgenin kenarları oluyor Sen köşegen çizsin üçgene bölersin Şöyle yapsan üçgen Yani hep üçgen yorumları gelecek hemen bu soruyu İstersen sen bir dene lütfen a ve b noktalarının koordinatlar toplamı 1 olduğuna göre b noktasının ordinatı kaçtır üçgenler Özdeş demişim Tamam hemen hemen şuna dikkat edeceksin üçgenler Özdeş is bu kenar bu kenar ve bu kenar aynı açıyı gördüğü için ne olacak eş kenarlar olacak Hatta bu eş kenarlar sayesinde üçgende Şaka maka eşkenar üçgen çıktı değil mi üç kenarda bak eşlik kaynaklı birbirinin aynısı o zaman arkadaşlar eşkenar üçgende Tabana İnik tabanı 2ye böler aynı zamanda açıortaydan dolayı 4 K3 o zaman 60 karşısı 4 K 30'un karşısı ne geldi 4 şimdi daha sonra ne söyleyeceğiz koordinatlar toplamı hemen gel şimdi olaya orta Tabandan dolayı ben şöyle bir ta' 2A desem orta Tabandan dolayı A olmaz mı buradaki ob uzunluğu o zaman B noktasının koordinatı 0a -1 olmaz mı noktasının yine a noktasının koordinatları 4E - 2A olmaz mı bu sayede oldu 3 - 2A koordinatların hepsinin toplamı bak apsisler toplamı 4 ordinatlar toplamı -1 - 2 A'dan kaça eşit 1'e Buradan da o zaman A ne geldi 1 geldi soru benden ne istiyordu B noktasının ordinatı doğal olarak A1 olduğu için aman dikkat Aşağıda kalıyor Bu yüzden Ne oldu -1 oldu arkadaşlar sorumuzun cevabı bunu da şimdi Lütfen dene bakalım E bir üçgen L köşesi etrafında Alfa kadar döndürüldüğünde K üssü noktasının koordinatlar toplamı kaç olur arkadaşlar hemen bir denediniz Neyi görmeniz gerekiyordu şimdi lütfen dikkat et K noktası döndürdüm buraya geldi değil mi döndürmeyi görüyorsun değil mi Bak böyle oldu şimdi bunu niye vurguladım arkadaşlar burada dönme açımız Alfa olduğuna göre şöyle Alfa değil mi Evet Hadi gel şimdi buraya da bir açı verelim teta diyelim arkadaşlar teta Alfa 90 o zaman teta ile Alfa ne geldi 90 Bu sayede Aslında L köşesi neymiş 90 D sorudaki tek mesaj Aslında buydu tamam mı Alfa + taları gör bu ve bu bunların tamamının 90 yaptığını gör K üssü l'nin X eksenine dik olduğunu gör o zaman hemen bakalım -1 -2 Analitik düzlemde önem şey diklik Burası 1 burası 2 birim dikten dik de öklit 1 x 4 2in karesidir O yüzden lt dersem lt ne oluyor 4 birim oluyor haliyle arkadaşlar 5 birim lo LK da döndürünce uzunluk değişmez ne geldi 5 geldi sonra arkadaşlar bakıyoruz burada o noktasına olan uzaklığı l'nin ne 5 apsis -5 ordinat O da -5 koordinatlar toplamı -10 Bakın bu şekilde orada ilk etapta Alfa ile tanın 90 olduğunu görmek mecburen dönme açısı Alfa olduğu için Burası da teta olduğu için işte şu L açısının 90 olduğunu görmek önemliydi ve basit yaptık bu şekilde Evet olmazsa olmazımız üçgenlerde benzerlikte bahsettiğim şey eşlik alanı 26 birim kare olan ABCD karesinin a köşesinin koordinatlar toplamı 5 olduğuna göre D noktasının ordinatı kaçtır ne söylüyoruz arkadaşlar bunlarda işte Analitik düzlemde önemli olan şu x ekseni veya y ekseni verdiğim zaman kare dikdörtgen bazen bize böyle eşlik getirir değil mi burada da hemen Ne diyoruz soluna sağına Alfa teta bö Alfa D'yi soruyordum değil mi D'den bir dik indir e arkadaşlar eş üçgen oldu Bak yeşil üçgenler Alfa teta 90 Alfa T 90 90'ların karşısı aynı ne demiş a köşesinin koordinatları a köşesinden de dik indir ziyanı yok Bak teta Alfa istersen abart Buradan da indir ya ne olacak Allah aşkına böyle D üssü diyelim Bak buraya a dersen eşikten yine a sonra koordinatlar toplamı A'nın 5'mi O zaman ne olacak burası böyle 5 - A olacak değil mi sonuçta şey pardon düzeltiyorum Eee koordinatlar toplamı 5 olduğuna göre buraya ne kalacak 5 - 2A Gördüğün gibi şu an ha pardon Hatta düzeltiyorum Affedersin o çok önemli a noktasının apsisi ek ordinatı - a olduğu için ne olmalı 5 + A olmalı Değil mi Böylece Bunlar gitsin Demek ki arkadaşlar neymiş şöyle bir BT uzunluğu 5'mi kendimiz soruyoruz kendimiz Orada yanlış yapıyoruz Ne kadar ilginç değil mi buradaki a noktasının uzunluğu negatif E şey pozitif ama burada koordinatım negatif tarafta olduğu için - a götürmesi için hemen apsisin Bak bu sayede 5 + A olduğunu öğrendim Böylece arkadaşlar BT uzunluğu 5 oldu karenin alanı 26 İsa bir kenar kö26 kare + 25 = 26'dan a ne geldi 1 geldi haliyle 1 sonra bak 5 - 1'den şey Burası zaten 5 düzeltiyorum 5 sonra bak burası 5 Burası 1 Burası 5 ben bilerek abartarak gösteriyorum 1 5 buradan Ne oldu artık D noktasının apsisi 5 ordinat Ne oldu -6 oldu arkadaşlar sorumuzun cevabı Böylece 5e -6 geldi ordinat da -6 oldu Evet yine bir sorumuz X ve Y ekseni silinmiş birim kareli Analitik düzlemde a BC orijine eşit uzaklıkta olduğuna göre b noktasının koordinatları kaçtır Şimdi arkadaşlar bunların üçü de orijine eşit uzaklıkta soruda hiç uzatmayacağım net şunu görmeliydin bu soruyu direkt yapabilmek adına cab açısının 90 D olduğunu gör ve 3 tane köşe ne zaman eşit uzaklıkta olur böyle bir dik kesişme de hatırla muhteşem üçlü bak böyle bir muhteşem ülü a noktası orijine B noktası orijine C noktası orijine eşit uzaklıkta ve bu sayede artık ben Neyi görmüş oldum e b noktasının koordinatları Bir de neydi Orijin o zaman arkadaşlar işte Orijin bu 0a 0 gördün mü yapayım hatta bak y ekseni arkadaşlar X ekseni İşte olay budur Bundan sonra artık Eee B noktasının koordinatlarını istiyor bizden tam ortadan geçeceği için 0.5 birim Burası 1 birim burası o zaman B noktasının ordinatı - 1,5 oldu birim kareli zemin olduğunu lütfen unutma burada onu söyleyeyim Sonuçta tam ortadan geçiyor Neden ortadan hocam e 3 yarısı 1,5 bak Onu da orta Tabandan gör tamam mı Sonra ne oldu Buradan artık Eee bu şekilde - 1,5 dedik Sonra Arkadaşlar burası 4 birim 4 birim Demek ki bu sayede o zaman B noktasının apsisi 2 birim 2'ye - 1,5 bulmuş olduk sorumuzun doğru cevabını Bak bu şekilde getirdim buna bir yıldız koyalım ÖSYM'de bir kere karınca sorusu gibi adım ilerleme sorusunda Orijin dememişti ama 3 noktanın da bir noktaya eşit uzaklıkta olması aralarındaki açı 90 D olduğu için bize muhteşem üçlüyü getirdi yoksa hemen söyleyeyim Bakın arkadaşlar Her böyle eşit uzaklıkta olan noktalardan dik üçgen geçmiyor bir çember geçer bu şekilde ama burada dik kesiştikleri için mecburen Ne oldu Tabii ki şöyle Daha doğrusu e iki tane noktamız vardı değil mi Orada cab evet Gerçi böyle iki tane noktamız E doğrumuz orada dik kesiştiği için muhteşem üçlü geldi Arkadaşlar bunu da söylemiş olayım çevresi 24 K2 olan düzgün altıgenin b ve c köşelerinin koordinatlar toplamı eşit olduğuna göre a noktasının koordinatlar toplamı kaçtır Evet düzgün altıgen o zaman bir kenarı 4 K2 başka b ve c köşelerinin koordinatlar toplamı işte ÖSYM mantığı sana bazen bir şey hemen vermeme basit söylem ama arkadaşlar B zaten 0a y c de zaten x'e 0 değil mi o zaman koordinatlar toplamı eşitse birisi x + 0 öbürü y + 0 Yani sana mesajım ne Bu soruda x Y'ye eşit bu kadar haliyle Ben artık y gördüğüm yere a yazayım x gördüğüm yere yine a yazayım bu da ne demek oluyor oyu köşe seçersek OCB dik üçgeni ikizkenar dik üçgen hem de sen bunu çektiğin an ne olacak bir kenarın 4 K2 Burası 4 k6 nereden biliyoruz 330 120 üçgeni Aman dikkat et düzgün altıgeni de unutma Şöyle bir 120° 4 k6 2 4 K3 ikizkenar dik üçgen geldi çünkü ob ile OC birbirine eşit Bu sayede B noktasının ordinatı 4 K3 oldu soru benden ne istiyor a noktasından yararlanmam mı Tamam Arkadaşlar şimdi bu kırmızıya boyadığım açı 45 D köşegen ne yapıyordu hatırla düzgün altıgende köşegen arkadaşlar tabii ki kenara nasıl iniyor böyle bir dik inerek Çünkü 30 30 120 üçgeni haliyle burada 45 90 45 kaldı bir kenar 4 K2 olduğu için 4E 4 oldu a noktası yatayda 4 birim düşeyde 4 + ne oluyor düşeyde bakayım 4 + 4 K3 Bu sayede bak bizden ne istiyordu koordinatlar toplamını toplarsak 8 + 4 K3 gelmiş oldu arkadaşlar adım adım ilerliyoruz şimdi bakın Analitik düzlemde bölgeler şu ana kadar temel Analitik bilgilerinden böyle nokta la ilgili yorumlar yaptık şimdi yavaş yavaş ilerliyoruz acele yok asıl mevzumuz asıl mevzu demeyeyim Hani yanlış yönlendirme nokta anen soru gelmiyormuş gibi olmasın ama doğru analitiği de hazırlıyorum Aslında size doğru analitiğinde e Gerçekten güzel sağlam yorumlar var nokta analitiğinde temel bilgilerin üzerine güzel geometrik yorumlar yapacağız Aslında bakalım şimdi bölgelerimiz var arkadaşlar 1 Bölge 2 bölge 3 bölge 4 bölge artık burada da bir mantığı var falan kafasına girmeyin ama dümdüz bakın Yukarıya gidince artı sağa gidince artı sola gidince eksi Yukarıya gidince artı sola ve aşağı gidince eksi sola aşağı gidince eksi ve sağa gidince artı olduğu için hakikaten bak 1ci bölgedeki noktalar Art ı hem x hem y + 2ci bölgede x negatif y pozitif 3 bölgede hem x hem y negatif 4 bölgede de arkadaşlar Ne olacak x pozitif y negatif olacak eksenler bölgelere dahil değil biz ne deriz bir nokta X ekseni üzerinde y ekseninde üzerinde ya da 2 3 4 1 bölgede deriz tamam mı bunu bir söylemiş olayım örnek 88'e 0 kaçıncı bölgededir X ekseni üzerindedir yani orada 1 Bölge demiyoruz ya da işte E - 0a şey - 88'e 0 kaçıncı bölgededir X ekseni üzerindedir 0a 3 y ekseni üzerindedir 0a -2 y ekseni üzerindedir tamam mı Eksen dediğim gibi bölgelere dahil değil şimdi bakalım 4 bölgedeyim Ax 2A - 5 Ne dedik hemen hatırlayalım hızlıca + + - + - - ve + - dolayısıyla 4 bölge pozitif ve negatif doğal olarak bu pozitif Bu da negatif olacak a o zaman ne olur eksi yazalım a -2 0'dan büyükse a2'den büyük a -5 0dan küçükse a 5'ten küçük A'nın alacağı tam sayı değerlerinin toplamı ne olur hemen buradan 3 ve 4 toplam da 7 olmuş olacak şimdi a x b a - b noktası 2 bölgede olduğuna göre bazen de işaret düzenlemesi yaparız e ü 0 < 0 göreceğimiz gibi tabii ki işaret de olur mesela burada Bak a x B'ye - diyeceğiz a - B'ye + diyeceğiz bunun bize nasıl bir katkısı olacak bir tanesi negatif bir tanesi pozitif sonra a - b pozitif olduğuna göre ab'den büyük he o zaman B negatif olmalı ki A daha büyük olduğuna göre pozitif olsun Dolayısıyla buna uygun şık hangisi var b şıkkı var Gördüğün gibi eksenlerinin karelerinin kenarları üzerinde yer aldığı birim karelere bölünmüş analitik düzlem verilmiştir Evet eksenler o zaman birim karelerin kenarları üzerinde Tamam yani şöyle bir analitik düzlem değil yani diyor değil mi 4 noktanın 4 farklı bölgede yer alması için çizilen eksenlere göre D noktasına koordinatlar toplamı kaçtır He 4 noktada 4 farklı bölgede yer alacak nasıl Bu mümkün olabilir şöyle olur değil mi Bak böyle yaptığımız zaman Hepsi farklı bölgede biraz kaçırsam o zaman Eksen üzerinde oluyor olmuyor başka bir yere çizeyim desen hani şöyle yapsan Bak bu şeyde kalıyor y ekseninde Eee böyle yapsan tam d x ekseninde kılıyor şunu yapınca ama bütün sorun Hall oldu Gördüğün gibi burası x ancak Burası y ekseni olursa hakikaten farklı bölgede oldular Tamamen bak bunlar böyle tyt msü tarzında temel bilgi yorum Aslında Dolayısıyla D noktasının koordinatları ne geldi 3'e -1 geldi toplamları da 3 + -1 2 geldi hemen söyleyelim Bazen arkadaşlar bize ifadeler kullanacak analitikte yazılı Biz onları Analitik olarak yorumlamam gerekiyor bir noktanın apsisinin mutlak değeri y eksenine olan Uzaklığını bir noktanın ordinatının mutlak değeri de X eksenine olan Uzaklığını verir gerçekten görelim bak bir AB noktası Aslında A pozitif değil mi burada A'nın y eksenine olan uzaklığı Pardon noktanın y eksenine olan uzaklığı a dikkat et Şimdi noktanın ordinatına gel B noktanın X eksenine olan uzaklığı B tersi yani gördüğünüz gibi apsisin mutlak değeri Y'ye olan uzaklık CD noktası y eksenine uzaklık c sonra X eksenine uzaklık mlak D gerçekten burada gördüğün gibi D negatif olduğu için uzaklık ne olur mlak D olur hemen bir örnekle de sayısal örnekle de görelim Mesela bak - 3'e 2 noktası X eksenine olan uzaklık kaç birim aman dikkat 2 birim y eksenine uzaklık kaç birim 3 birim O yüzden arkadaşlar y eksenine uzaklık x'i anlatıyor X eksenine uzak y'yi anlatıyor sadece neye dikkat edeceğiz işaretlere dikkat edeceğiz Tamam mı örnek veriyorum Tabii ki şöyle bir nokta da 3E 2 olmasına rağmen Bak burada da yine x y eksenine uzaklık 3 Burada da yine X eksenine uzaklık 2 birim Dolayısıyla işaretler bölgeler için önemli bak bakalım şimdi buraya eksenlere eşit uzaklıkta demişim hemen düşüneceksin kaçıncı bölgede olduğu önemli mi Bak bu da mesela A'ya A da olur şey yapmayım şimdi B diyeyim bak B'ye B de olur burada B'ye - B de olur şurada bak - B'ye - B de olur burada işte - B'ye B de olur gördün mü Bunun bana katkısı Ne o zaman Tabii ki 3 - 2 a'nın mlak değeri a - 6'nın mlak değerine eşittir diyorum haliyle Bak burada o zaman ne oluyor 3 - 2A = A - 6 olabilir buradan 9 = 3 A 3 Olur veya 3 - 2A diğerinin eksilisi olur O da ne yapar 6 - A buradan da o zaman -3 = a gelir alacağı değerler çarpımı da buradan ne olacaktır -9 olacak 3 x -3 x eksenine uzaklığı y eksenine uzaklığının 3 katı olan 4 bölgedeki noktanın koordinatları toplamı - 6'dır Şimdi x eksenine uzaklığı y eksenine uzaklığı bak unuttuğun zaman hemen şöyle düşünebilirsin X eksenine uzaklık işte bak bu y uzaklık işte burası o zaman ne dersin X eksenine olan uzaklığı y eksenine olan uzaklığının 3 katıysa haliyle bunun ordinatı -3 KD apsisi KD İşte bu hakikaten Gördüğün gibi artık y eksenine olan uzaklığın 3 katı Gördüğün gibi X eksenine olan uzaklık koordinatlar toplamı buradan - 2K = -6 K neymiş 3 E bu noktanın apsisi 3 geldi ordinatı -9 ne söyleyeceğiz Bu noktanın apsisi 1 arttırılırsa 4 olur ordinatı 2 azaltılırsa -11 olur koordinatlarımı buradan 4 -11 geldi Arkadaşlar bir an unutsan koordinat düzlemi çizersin olayı halledersin Tabii ki önemli şey bak Analitik öyle formül odaklı hani şey Bazen Z Üf Analitik de formül odaklı öyle bir şey değil tabii ki analitikte formüller de var ama her yani sayısal bir ders olması hasebiyle Tabii ki içinde formül de olacak ama analitiği böyle formül odaklı ymış gibi düşününce Ben diyorum o zaman işin özü kaçıyor herhalde Her şeyin bir mantığı var tabii ki ama en nihayetinde formülize ediyoruz Bu senin rahatın için zaten bak mesela burada İki nokta arasındaki uzaklık birebir işte örnek bir nokta üzerinden bile görebilirsin Eee birisi diğerinden y'si daha fazla birisi diğerinden x'i daha fazla olan iki nokta olsun her türlü Yani farklı iki nokta Yani kısacası farklı iki noktaya baktığın zaman burada bir dik üçgen oluşuyor o zaman hakikaten şöyle bir Pisagor geliyor AB noktası arasındaki uzaklık ne geliyor Y2 - y1 karesi ı + X2 - X1 karesi O zaman ne diyoruz Türkçe ifadesiyle X'in farkının karesi + yler farkının karesinin karekökü İki nokta arasındaki uzaklığı veriyor Pisagor bağıntısında yorumlayarak Biz İki nokta arasındaki uzaklığı ispatlamış da oluyoruz şu görüntü aynı zamanda İki nokta arasındaki noktanın uzaklığının ispatı bak Dolayısıyla artık hemen form X'in farkı yerin farkı diyeceksin hangisini hangisinden çıkardığın önemli mi hayır yeter ki x'i x'ten yi y'den çıkar hemen basit örneğe bakalım 1 3 2 7 noktaları arasındaki uzaklık nedir normalde bak hani bir seferlik göstereyim 1E 3 noktası böyle bir nokta tamam mı 2'ye 7 noktası böyle bir nokta sen burada dik üçgen oluşturmanın Normalde bu dik üçgeni oluşturursanız gerek yok şunu gör X2 - X1 karesi Y2 - y1 karesinin karekökü yine ne yaptık √1 hocam ben X1 bu desem X2 fark etmez Bak 1 - 2 kares + 7 - 3ün karesi dedin yine √1 sonuçta Önemli olan nedir karesini aldığımız zaman - A'nın karesi A'nın karesi aynı şey Buna dikkat etmen yeterlidir 2m 8 4 noktaları arasındaki uzaklık 10 birim olduğuna göre m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır Evet Y2 - y1 4 - m kares X2 - X1 8 - 2 karesi o zaman ay Sildim yanlışlıkla 8 - 2in karesi bunun karekökü eş 10 Arkadaşlar bu konuda pisagorun nimetinden yararlanacağız 6 karesi e hatta her iki tarafın karesini alayım bak 10un karesi o zaman 4 - m' kares Neyi hatırlatmalı sana biliyor musun 6 8 10 üçgeni sadece Analitik düzlemde negatif de olabileceği için üçgen gibi düşünme 4'ün m'den farkı 8 de olabilir 4'ün m'den farkı -8 de olabilir bu yüzden M -4 de oluyor bak M buradan E ne geliyor aynı zamanda 12 geliyor çarpımları da -48 olmuş oluyor bu şekilde Sonuçta gerçekten düşünsene bak m'nin -4 olduğunu Ne oldu şey m'ye ne demiştik Pardon demin bir bakayım -4 değil mi hakikaten -4 deyince bak 4 - -4 8 m'ye 12 desen 12 - 4'ten yine 8 her türlü bak -8 8 de 64 yapıyor karesi 8 -2 zaten 6 6 karesi 36 36 64 100 elde ediyorsun O zaman Pisagor özel üçgen bu tarz yorumları kullanabilirsin Tamam misal söylüyorum bak şimdi -1 3 sonra bak 2 - 7 şe 7 yazayım dikkat et lütfen 2 - -1 3'ün karesi 7 - -3 7 -3 4'ün karesi 3 4 5 gördün mü bu şekilde Aslında Pisagor bağıntısını elde ettiğimiz için özel üçgenden sonuna kadar yararlan hemen ne söyleyeceğiz bir noktanın Orijin olan uzaklığı nedir a - 0 k + b - 0 karesin karekökü Pisagor gibi direkt bileşenlerin kareleri toplamının karekökü a kare + B karenin karekökü iki noktanın ordinatı aynıysa önemli arkadaşlar basit ama önemli Detay iki noktanın ordinatı aynıysa ne olur biliyor musunuz X eksenine paralel olur örnek 2'ye 3 noktası ve 7'ye 3 noktası Gördüğün gibi X eksenine paralel sonra arkadaşlar AB ve AC iki noktanın apsisi aynıysa bunu not et noktalar y eksenine paraleldir Lütfen burada not et y eksenine paralel X eksenine paralel bunlar basit gibi görünüyor ama paralellik ne kadar kıymetli Düşünsene Bak 6ya 10 noktası olsun Bir de e 6'ya 14 noktası olsun cidden bak Gördüğün gibi burada ne oluyor y eksenine paralel gelmiş oluyor 34 noktasının orijine uzaklığı M 46 noktası ile -86 noktası arasındaki uzaklık n olduğuna göre mn noktasının Orijin ol uzaklığı nedir bir noktanın Orijin ol uzaklığı Pisagor gibi 3 4 O zaman özel üçgende denk geldiği için orijinal olan uzaklık ne geldi 5 yani M 5'mi uzunca yapmak istiyorsan abartıp bak ilk anda bir dakika Hocam ne oluyoruz diyorsan al işte bu buradan geldi 3 - 0 karesi 4 - 0 karesi hakikaten 5 oldu işte 46 ile -86 noktaları yler aynı olduğu için direkt aralarındaki uzaklık ne olur 12 abartıp uzun yoldan mı yapmak istiyorsun al 4 + 8 kar 6 - 6 kares sildim bunları 12 karesinin karekökü yine ne yap 12 yaptı İşte olay budur Dolayısıyla Buradan da arkadaşlar n ne geldi 12 geldi 5 12 noktasının orijinal olan uzaklığı 5 12 13 üçgeni Gördüğün gibi uzunca 25 144 169 13 diyene kadar hemen özel üçgen olduğunu unutma orada tamam mı M + 4 n -2 ile M + 6 n -18 noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir X2 - X1 kares M + 16 m + 4 12 karesi Y2 - y1 karesi n -18 n -2 ne yapar -16 karesi işaret önemli mi Nasıl olsa kare alıyorum 12 16 20 üçgeninden 20 Böyle denk geldiği zaman özel üçgeni yapıştır geç eksenleri uzaklığı eşit olan 3 bölgedeki a noktasının 3 bölgedeki a noktası Yani şöyle bir - m'ye - M diyebilirsin eksenler uzaklık aynı mutlak değerleri aynı uzak uzaklıkların doğal olarak 3 bölgede xi de negatif B noktasına olan uzaklığı B noktası o zaman söyleyelim 2 - - m'den 2 + m'nin karesi 4 - m'den 4 + m'in karesinin karekökü eş 10u şeyi 10un karesi böyle yaptım o zaman arkadaşlar birinin diğerinden 2 fazla olduğunu fark ettin mi bu nerede var 6 8 13 geninde var haliyle ne Dice O zaman burada eee [Müzik] kontrol edelim şimdi a noktasında bu 2 + m ne olacak 6 ya da -6 6 mı olur -6 mı olur Tabii ki 6 olur Neden bir pozitif sayıdan negatif sayı çıkarsa bu bu pozitif Bu da artık pozitif oldu Ne oldu bak pozitif Dolayısıyla 6 olmalı aman dikkat Bu da 8 olmalı hocam -8 olamaz mı e orada neyi kaçırırsın 3 bölgede olduğunu unutma 3 bölge deki bir noktanın özelliği ne apsis negatif ordinat da negatif pozitif Bir sayıdan negatif sayı çıkarırsan ne elde edersin artı pozitif Bir sayıdan negatif sayı çıkarırsan ne elde edersin 6 o zaman 2 + m 6 oldu 4 + m 8 oldu M de arkadaşlar buradan ne geldi 4 geldi haliyle a noktasının apsisi -4 ordinatı -4 gel örnekleyelim daha sorusu doğrulayın 2 - -4 kares + 2 eee E şey diğeri de 4'tü 4 - - 4ün karesi hakikaten Ne oldu bak 6 8 10 oldu bu şekilde Buna dikkat etmiş olalım hocam Burası -6 da olsa oluyordu O zaman neyi kaçırıyorsun 2 + m -6 olduğu için buradan o zaman M ne olur -8 M -8 olunca Burası 8E 8 olur 8'e 8 3 bölgede mi Hayır o yüzden arkadaşlar net bak + 6 6 8 olduğunu gördüm 6'ya 3 ve -3 -9 ve 11e -9 olan üçgenin çevresi kaç birimdir Evet güzel Şimdi arkadaşlar Normalde Ne yapman lazım İki nokta arasındaki uzaklık İki nokta arasındaki uzaklık İki nokta arasındaki uzaklık AB BC acyi ayrı ayrı bulmamız lazım Burada bir sıkıntı yok ama size bir öneri arkadaşlar Analitik düzlemde lütfen şuna dikkat edin iki noktanın ordinatları aynıysa veya apsisleri aynıysa ne demiştim eksene paralel geliyor ordinatları aynıysa x eksenine paralel Eee apsisler aynıysa y eksenine paralel o zaman bak Bu soruda hemen Ne dikkatimi çekti noktaların ordinatları Aman bunlara dikkat sorularda noktaların özelliğine bir bak sıradan noktalar mı yoksa iki noktanın ordinatı aynı mı ya da iki noktanın apsisi aynı mı çok kıymetli O yüzden ne yapacaksın biliyor musun not Eğer bu şekilde apsisler aynıysa not et ben şimdi uzunca yazmayayım cümlemi not et apsisler aynıysa veya ordinatları aynıysa Analitik düzlemde çiz işte geldi Bak normalde uzun uzun ik nokta arasındaki uzaklıktan yapardım ama X eksenine paralel y eksenine paralel X ekseni üstünde y ekseni üstünde tüyo Bunlar Analitik düzlemde çizilerek yapılır haliyle yapıyorum 3 bölgede -3 -9 ve 4 bölgede 11 -9 böyle yazdım mı Tamam b ve c noktası sonra şurasının 9 birim olduğuna dikkat et -9 danan dolayı y eksenine olan uzaklık 3 birim X eksenine olan uzaklık 11 birim şey y eksenine uzaklık Pardon Burası da Origin sonra B noktası 6'ya 3 B noktası 6'ya 3 bak böyle bir üçgen oldu gördün mü bu şekilde haliyle O zaman ben burada artık üçgenin kenarlarını bulurum Çünkü buradan bir dik indirdim 6 olduğu için ne kaldı Burası zaten kaçtı e 6 diğer apsisi neydi 11 Burası 2 oldu E şey 2 olduğunu diyorum pardon 5 oldu Sonra 9 buradan 3 buradan Burası ne geldi 12 5 12 13 üçgeni geldi bak sonra buraya geliyorum 12 6 buradan 3 buradan Ee bu kenarımı da ne oldu 9 birim 9 12 15'ten 15'i bulduk Demek ki AB 15 e diğeri 13 BC de buradan neymiş 3 + 11'den 14 Bu sayede u 11'i sileyim artık böyle bunları da sileyim direkt komple buranın 11 olduğunu gör haliyle Artık buradan Ne oldu 15 13 daha 28 14 daha 42 İki nokta arasındaki uzaklık da yapabilirdiniz yarayacağı için bir göstermek istedim tamam mı yoksa İki nokta arasındaki uzaklıkla yapm da bir mur yok ama paralellik kıymetli Hatta böyle ne sorarım biliyor musun Ben sana üçgenin alanını üçgenin alanını sorarım bak taban çarpı yükseklik böl 2'den tak diye bulursun Tepe noktası orijinde olan ikizkenar üçgenin diğer iki köşesi 6 7 ve 9m olduğuna göre m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır bir köşesi orijinde y ekseni X ekseni bunu rastgele gösteriyorum hani şey değil eee bir köşesi 6 7 diğeri 9A M ne olacak O zaman şöyle düşün hani rastgele yapıyorum bak Hiç takılma 99a m e bir üçgen var mesela böyle bir ikizkenar üçgen olabilir ya da atıyorum bö yanlışlık Pardon ya da böyle bir ikizkenar üçgen olabilir yani burada Aslında Mevzu ne şu noktaya a desek Arkadaşlar bu noktaya B desek orijinal uzaklıkları aynı özel bir şey değil yani temsili bu gerçek bir görüntü olduğu için değil temsili bir görüntü yaptım o zaman 6 7 orijinal ol uzaklığı nedir 36 + 81'in karekökü 9A m orijine olan uzaklığı nedir Tepe noktası Orijin demişim Çünkü o yüzden oa ve ob ikiz kenarlar haliyle O da ne yaptı 81 + M kare buradan e şurası 81 değil 49 değil mi 36 + 49 81 + M karenin karekökü M kare buradan ne geldi 4 m2 de olabilir -2 de olabilir Demek ki arkadaşlar m'nin alacağı değerler çarpımı -4 müş Analitik düzlemde iizzllee 52 noktalarına eşit uzaklıkta ve x ekseni üzerinde olan noktanın apsisi kaçtır Evet basit ama önemli örnektir benim için hep sorarım bunu derslerde Eee yine bunu sormuş oluyorum şimdi Analitik düzlemde mi çizeceğiz Hocam bunu Hayır bak bunu bile Analitik düzlemde çizmeden yaptık fark ettin mi Çünkü gerek yok Bunu Analitik düzlemde çizmenin biraz hani güzel bir durum olduğu için çizmek istedim Her Analitik sorusunu gidip koordinat sisteminde çizmene gerek yok ya şunu yapman yeterli mesela bu soru için kendini yorma sakın dikkat et noktalar özel değil 2 1 5 2 sıradan iki tane nokta ne ordinatları aynı ne apsisleri aynı eee ordinatının bir şey ifade etmiyor ordinatına apsisin apsise eşit olması ifade ediyor x ekseninde olan bir noktanın özelliği nedir y'si 0'dır E o zaman bu noktaya da bu noktaya da eşit uzaklıktayım bu nokta yani x - 5 kares + 0 - 2 kares 4 K eş x - 2 kares + 0 - 1'den 1in karesi İşte bu olay bu Madem bunlar eşit uzunlukta o zaman birbirine eşit haliyle x k - 10x + 25 + 4 = x k - 4x + 4 + 1 x kare gitti 29'dan 5 çıktı 24 e 6x x arkadaşlar ne geldi 4 geldi bu şekilde noktanın apsisini bulmuş olduk şimdi başlangıçta sırasıyla 6 3 ve 3 -1 noktalarında bulunan Nermin ve İbrahim'in a dakikada bulundukları noktalar sırasıyla 6 - 2A ve 3 - A 3 - 3A ve -1 + a olduğuna göre 5 dakikada aralarındaki uzaklık İlk duruma göre kaç birim değişmiştir İlk duruma duruma mı orası durum tabii ki İlk duruma göre kaç birim değişmiştir bakalım Şimdi arkadaşlar E şöyle ilk durumda aralarındaki uzaklık ne 6 -3 3 K 3 - -1 4ün kar 3 4 5 üçgeni Böyle yaptık 2 duruma gelelim ikisi arasındaki uzaklık a hocam a'yı bilmiyoruz bilmez olur musun 5 dakika bak a dakikada bulundukları noktaları formülize etmiş soru yani sana ne diyor A dakika o zaman 5 vereceksin A'ya 6 - 10 ne yaptı -4 bu kadar yani 3 - A ne oldu -2 3 - 3A -15 Ne oldu -12 E -1 + 5 ne yaptı 4 2 nokta arasındaki uzaklık 4 - - 2'den 6 karesi -12 - 4'ten + 8 karesi 6 8 10 geldi İlk duruma göre uzaklıkları ne kadar arttı 5 artmış oldu işte olay buydu sadece orada formülü verilmiş şeye dikkat etmek yeterli Tamam bakalım o zaman diğer bir durumumuza işte orta nokta arkadaşlar orta noktada Aslında çok düz bir yerden geliyor gerçekten iki noktanın ortasında olduğu zaman bir göstereyim size Analitik düzlemde dikkat et lütfen şöyle yaptık bak olaya gel işte iki noktanın orta noktası bize neyi anlatıyor Aslında şunları yanlış gösterdim orta taban Bu yüzden bu AB olsa bu CD olsa apsisler toplamının yarısı burada Eee bunun apsis eşit oluyor ordinatlar toplamının yarısı B + D2 bunun ordinatına eşit oluyor arkadaşlar haliyle o zaman hani bunu siliyorum artık Analitik düzleme gerek bile yok o kadar da abartmanın da lüzumu yok hemen gösterdim geri siliyorum mevzu nedir noktalar doğrusaldır orta noktada Bak bu önemli Bunu bilerek yazdım orta nokta demek Bak mesela bak bunlar da eşit uzaklıkta her eşit uzaklıkta olan orta nokta olmaz ama orta noktay İsa noktalar doğrusaldır Bak bu eşit uzaklık arasındaki hem farkı da gör Her birbirine eşit olan orta nokta değil ama böyle bakınca ABC doğrusal basit ama önemli Detay apsislerin toplamının yarısı x burada neye eşit x 2'ye ordinatlar toplamının yarısına eşit buradaki y2y arkadaşlar işte mevzumuz budur uç noktalara 27 ve - 2'ye 13 olan AB doğru parçasının orta noktasının koordinatları 2 - 2/2 0 7 + 133/2 10 Demek ki neymiş 0a olmuş arkadaşlar sorumuzun cevabı köşelere a C olan üçgenin AC kenarına ait kenarortay hemen neye dikkat edeceğiz arkadaşlar Bakın şimdi burada bir kere mevzumuz ne hemen söyleyeyim Analitik düzlemde İlla e şey yapmana gerek yok uzunca düşünmene gerek yok Analitik düzlemde çizmene de gerek yok çünkü noktalar özel nokta değil haliyle ne yaparım biliyor musun Ben hemen a noktası sonra B noktası C noktası böyle bak çizerim böyle olunca a noktası 2'ye 4 B noktası - 3'e 5 C noktası - 4'e 0 ekstra başka bir şey yapmama gerek yok ki Ne olacak buradan e B'ye ait kenarortay İşte bu Tabii ki orta nokta mantığı 2 -4 topla 2'ye Böl ne Yaptı -1 Yaptı 2 -4 -2 2'ye böldüm -1 4 + 0 2'ye böldüm Ne oldu 2 geldi şimdi artık ne yapacaksın Bu İki nokta arasındaki uzaklığı yapac yaksın Buradan da o zaman -1 + 3ün kar + 2 - 5 kares şey 2 + 2 - 5in karesi Buradan da 4 + 9 √ √1 işte arkadaşlar mevzumuz neymiş gördüğünüz gibi burada normal dümdüz yaptığımız İki nokta arasındaki uzaklık Analitik düzlemde niye çizmedim gerek yok noktalar hiç özel noktalar değil ama Hocam bu x ekseninde tek başına bak Onun da bir anlamı olmuyor ama böyle yapınca hemen aradan çıkardık işte ve artık Analitik düzlemde arkadaşlar noktaların arasındaki uzaklığı bulmamız sayesinde açıortay kenarortay yükseklik yorumları da yapabileceğiz böyle OC kaç birimdir demişim sırf arkadaşlar soruların içinde böyle şekiller çizeceğiz böyle şeyler Burada şunu gör diye koydum soruyu ne gör diye sordum Dur dur bakayım şu Bak bu işte y eksenindeki bir noktanın apsisi sıfırdır bu kadar hani y ekseninde sadece vurgum o y ekseninde olduğunu Aman lütfen unutma haliyle buradan B noktasının apsisi 0 olduğu için a' la - 4'ün toplamı 0 olur O yüzden a 4'tür a -1 3 Analitik düzlemde orijinal uzaklık da 3 4 5 üçgeninden 5 oldu Sadece bu vurgu bazen orta noktaların y ekseninde ya da x ekseninde E ne oluyor apsis 0 veya ordinat 0 geliyor Bu kadar basit ama önemli detaylar Analitik düzlemde X ekseni y ekseni ve Orijin bizim için çok kıymetli o a BC deltoit acin orta noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir Evet hemen bunu sen deniyorsun oab C bir deltoit demişim Şimdi ne olacak arkadaşlar burada bir görelim arkadaşlar Bakın şimdi çok güzel bir şey olacak Normalde Deltoidin özelliği Deltoidin özelliği Burası bir açıortay doğru mu o yüzden arkadaşlar fark ettiniz mi Alfa Alfa teta teta burada 45 dere oldu bak burası lazım olacak Bazen sorularda yani B noktasının apsisi de A ordinatı da a bunu bir detay olarak böyle söylemiş olayım Eee Özellikle o taları vermişim Çünkü tamam mı Başka bu hani ekstra bilgi asıl sorumuza gelirsek deltoid olmasının niyetinden yararlan kenar OC o A'ya eşit değil mi dik indirince A'dan Oya burada bir eşlik gelmedi mi Bak hem açılar aynı Hem 90'ların karşısı aynı o zaman arkadaşlar 2'ye 4 olduğu için ne geldi Burası da 2'ye 4 A noktasının apsisi a ordinatı 4 oldu acin orta noktası 2 + 4/2 4 + 2/2 3'e 3 oldu cidden hemen şunu da gör lütfen Bak aslında yaptığımızı da detaylandırmak seni diğerini Tam ortadan 2ye bölü Tam ortadan 2ye bölen nokta nerede ob doğrusu üstünde ob doğrusu üstünde cidden Burası neydi 45 dere hakikaten X ve y'si Analitik düzlemde gördüğünüz gibi eşit gelecek ob 45 derecelik bir açı yaptığı için bu detayı da böyle söylemiş olayım Eee onu hani bilmeden de yapıyoruz soruyu ama onu da göstermiş olayım orijinal uzaklığı da ne olur 3 3 3 K2 9 9 Daha 18 3 K2 diyebiliriz ı içt çemberin merkezi K ağırlık merkezi Analitik düzlemde ÖSYM de seviyor Hani benat seviyorum böyle sormayı Analitik düzlemde de acayip derecede ağırlık merkezi içte çemberin merkezi diklik Merkezi yani yükseklik açıortay kenarortay yorumları Bayağı güzel sorularla geldi Arkadaşlar kolay sordukları da oldu ama çok sağlam sorularda sordukları oldu doğrusu şimdi ı iç D çemberin merkezi Tamam o zaman açıortay aynı zamanda kenarortayı olduğuna göre Tabii ki ben senden neyi istiyorum Bu üçgenin ikizkenar olduğunu gör haliyle burada 6 8 bu kenarım 10 o zaman ob kenarın da 10 C noktasının o zaman koordinatları B ne geldi 10'a 0 ikizkenar üçgen olduğu için topla 2'ye böl Çünkü yükseklik aynı zamanda kenar ortay açı ortay olduğu için 16/2 8 8 + 0/2 4 olmuş oldu C noktasının koordinatları olmazsa olmazımız kare dikdörtgen dik V mevzusu bu konuda karşına Sürekli gelecek Sen de göreceksin Yukarıdaki verilenlere göre b köşesinin koordinatlarını bulunuz demişim Ben neye dikkat ederim soruda ilk hamlede biliyor musun dik ve Ama şu a ve C'ye Lütfen dikkat eder misin apsisleri aynı o zaman arkadaşlar A'dan inen dik tam C noktasında böyle hizalı ve köşegen X eksenine dik geldi bak ne kadar önemli y eksenine paralel doğrunun özelliğini aynı zamanda X eksenine diktir bu senin şu işine yarar başka bir dik kare de olabilirdi bu böyle biraz kareyi ne yaptı gitti şey yaptı ya bunun da bu özelliğine gıcık oldum yani cidden Ha dur bakayım bir iPad'in farklı Samsung'un farklı dezavantajları var şöyle eğik olsaydı o zaman x eksene ile yapılan açıya dikkat et Burası 45 dere Tamam ama burada arkadaşlar farklı bir açı olacaktı bunun güzelliği sayesinde DB de ne olacak köşegenler dik kesiştiği için X eksenine paralel gelecek basit ama Önemli bir detay Bunlar biz analitikte sadece bazen soruları bunların üzerine inşa ediyoruz haliyle arkadaşlar bakalım şimdi 6 8 e 88'e 0 Ne oldu o zaman Burası 6'ya 4 bu bana neyi anlatıyor biliyor musun B noktası orta nokta burada o noktasının ordinatı 4 ise orta noktadan dolayı B noktasının da ordinatı 4'tür yani sırf bazen böyle bir bilgiyle soruyu kurtarabiliriz Sonra şuna dikkat et lütfen Burası e apsisleri aynı olduğu için 4 apsisleri aynı olduğu için 4 birim o zaman Burası da 4 birim olacak 6'ya 4 ekle 10'a 4 Bak işte bu paralellik sayesinde direkt ne diyoruz İki nokta arasındaki uzaklık apsisler farkıdır İki nokta arasındaki uzaklık ordinatlar farkıdır İşte bu şekilde arkadaşlar Bu soruda O'nun apsisi ile B'nin apsisi arasındaki farkın da köşegenlerin parçaları birbirine eşit olacak Ona da dikkat et 4 olduğunu ve hemen 10'a 4 olduğunu gördüm bu şekilde söyledik orta noktadan yararlanarak arkadaşlar şunu söyleriz paralelkenar eşkenar dörtgen kare ve dikdörtgende hepsi paralelkenar özelliği gösterir ve özellikleri nedir köşegenler birbirini ortalar köşegenler birbirini ortalayıcı X1 + X3 B2 X2 + X4 B2 eş hem bdn hem acn orta noktası o Hem bdin hem acin orta noktasının ordinatı o zaman yine y1 + y32 Y2 + y4 B2 bak ispatı kendi içinde Dolayısıyla neymiş sorularda artık şu yorumu yapabilirmiş Analitik düzlemde karşılıklı apsisler toplamı eşit X2 + X4 ile X1 + X3 toplamı aynı y1 + y3 ile Y2 + y4 toplamı aynı hemen bunu yapıştırıp geçebiliriz orta noktadan kaynaklı topla birbirine eşitle basit ama önemli formüldür bunlar ilgili güzel sorular da üretildi Ben de soracağım şimdi basitle başlayalım Ee Analitik düzlemde doğru analitiğinde falan bunu kullanacağız onu söyleyeyim Buralar biraz yatırımlık yerler hep 31 soruya geldik bak kararında sabit Kadem Selametle böyle ilerliyoruz Ne diyeceğiz karşılıklı apsisler toplamı eşit orta nokta uzun uzun yorumu yapmana gerek yok artık 8 - 2 6 2 + şey 2 + 4 6ya eşittir 5 4 daha 9 3 6 daha 9'dur İşte olay bu o zaman buradan 2 nokta arasındaki uzaklık 4 - 2nin karesi + 6 - 3ün karesin karekökü ne geldi √1 AC arasındaki uzaklık oab C bir paralel kenar KL 5 birim K köşegenlerin Kesim noktası C'nin koordinatları nedir diye soruyorum Tamam güzel Şimdi ne yapacağız Eee burada paralel kenar olmasının bize katkısı ne bir kere şöyle bir durum var Bunlar orta noktadan dolayı birbirine eşit e muhteşem üçlüden KL de böyle 5 He Demek ki burası 5 birimi muhteşem üçlüden Bu da 5 birim yani sırf oradaki L 90° sana muhteşem üçlüyü buldurmak içind tamam mı K noktası orta nokta köşegenin tam ortasıdır o yüzden muhteşem üçlü haliyle Buradan artık 0a 0 zaten E buradan da 6 8 10 üçgeninden M direkt 6 oldu gördün mü orijinal olun uzaklığı dikkat et burada 10 birim Başka nereden görürsün 10 birim hocam Zaten burası olen dolayı 8 birim E buraya da hakikaten 6 8 10'dan 6 kaldı yine dersin hiç sorun değil Böylece artık ne söyleyeceğiz 8 + 0 8 c ile Hani XC diyeyim XC ile 2'nin toplamı 8 o zaman XC Ne oldu 6 6 ile 0'ın toplamı 6 4 ile 2'nin toplamı 6 işte C'nin koordinatları 6'ya 2 geldi Hem muhteşem üçlü hem Pisagor hem üzerine bir de orta noktadan olayı Hallettik karşılıklı apsisler ve ordinatlar toplamı eşit a x eksenine paralel b ve c noktalarının koordinatlar toplamı kaçtır demiş Şimdi arkadaşlar X eksenine paralel olması sebebiyle bunun ordinatı yd bunun ordinatı -3'ten artık şunu söyleyebilirsin eşkenar dörtgen olduğu için kenarların uzunlukları da aynı bak paralel kenardan farklı olarak artık ne söyleyeceksin Bu soruda uzunca apsisler toplamı ordinatlar toplamı muhabbetine girmene gerek yok niye biliyor musun ne demiştik paralel X eksenine bunların aralarındaki uzaklık direkt x' lin arasındaki uzaklık haliyle buradaki ad 5 birim DC de 5 birimdir 1 + 5'ten C noktası apsisi 6 olur yani paralel kenar eşkenar dörtgen kare dikdörtgende Aman dikkat et Eğer eksenlere paralel direkt uzaklık Bana bak kenarı vermiş oldu kenar da bana neyi verdi apsisler arasındaki farkı verdi ilk konunun başında söylediğim olay sonra yine aynı şekilde bakalım B'ye gel şimdi 4'ten 5 birim arttır apsisi ne olacak 9 olacak işte gördüğün gibi E hocam y'yi bulmadık şimdi b ve C'nin koordinatlarını artık bulabilirsin niye biliyor musun burada tabii ki Eee noktalar arası uzaklık Lütfen dikkat et şu noktalar arasındaki uzaklık da neyi göreceksin 5 birim olduğu için 6 - 9 kar + -3 - y' kar = 5 kar İki nokta arasındaki uzaklıktan 9 Ha o zaman bu 16 olmalı yani y ne gelmeli Eee buradan y kaç oluyor 1 mi Geliyor evet y de 1 geldi Gördüğün gibi artık C'nin koordinatları 6ya -3 B'nin koordinatları 9A 1 oldu işte arkadaşlar bunların hepsinin toplamı 9 6 daha 15 1 daha 16 3 çıkar 13 oldu koordinatlar toplamı mevzumuz bu hem arkadaşlar paralellik sayesinde DC arasındaki uzaklığın 5 olmasını kullandık AB arasındaki uzaklığın 5 olmasını kullanıp apsisler de değerini bulduk ama daha ötesi İki nokta arasındaki uzaklıktan da B c'den bak y'yi hallettim oa BC dikdörtgen olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır diye sormuşum Evet a + 2A -1 2 B ve C Tamam buradan sonra hemen bir durduruyo arkadaşlar tabii ki şimdi sorularda ilerliyoruz da artık Hani bilgi birleştiri Bak burada direkt mesela apsisler toplamı ordinatlar toplamından hemen gidemedim burada Tamam başka bir yorum yaptık burada en düz yorumu yaptık burada Ee her zaman da aynı şeyi mi kullanacaksın dikdörtgen karelerde özellikle dikliği lütfen kullan bak mis gibi burada durumumuz Şu -1 1 2 sana bir nevi bak tanjant alfayı 2 veriyorum benzerliği bile boş ver tanjant Alfa de hadi sonra bak Alfa teta teta Alfa dersen o zaman Burası da e ordinatına bak ne olacak apsisin de 2A olmalı Çünkü tanjant Alfa 2 haliyle 2A neye eşit oldu a + 2'ye a ne geldi 2 geldi C noktasının apsisi 2m miş o şey C'nin apsisi 4' müş ordinatı 2m miş artık bu sayede Tamam şeyi kullanabilirsin Hadi artık abartmayalım karşılıklı apsisler toplamı 4 -1 3 3 + 0 3 2 2 4 3 0 + 4en 4 B'yi 3 buldum C'yi 4 buldum En sona karşılıklı apsisler toplamı ve karşılıklı ordinatlar toplamın eşit olduğunu kullandım a'yı da 2 bulmuştuk toplamları ne geldi Buradan 9 gelmiş oldu arkadaşlar sorunun cevabı Şimdi arkadaşlar belli oranda bölme Aslında benzerlik kaynaklı şöyle temel benzerlik kaynaklı ürettiğimiz bir oran bak böyle verir ama Bunu hiç kullanmayacağız biliyor musun hiç gerek kalmayacak Hani kitabi bir formül olduğu için tamam eyvallah koyalım dedik ama mevzu ne biliyor musunuz mevzu Eğer noktalar Arkadaşlar aynı doğru üzerindeyse hiç bu var ya hani hocam formülden gidelim Hani normalde formül kullanalım diyoruz ya bu Evet bir gösterim benzerliği görüyor ama asıl mevzu şu arkadaşlar artış miktarıyla kenarların arasındaki uzaklığın aynı olduğunu görüyoruz azalış miktarının oranıyla kenarlar arasındaki uzaklığın aynı oranda olduğunu görürüz Ne demek o hocam O hemen göstereyim -3 7 B 6 4 hemen yaz AC C AB'nin bir elemanıyım C AB'nin bir elemanı ne demek cab doğru parçasının üzerinde demek Bak böyle o zaman arkadaşlar Bakın şimdi ne yapacağız biliyor musunuz C Burası x y olsun B Burası ne 6'ya 4 şuna bakacaksın -3'ten 6'ya kaç birimlik bir artış var 9 şuraya 2kd buraya KD 3K ne kadar artmış 9 artmış hapsiz o zaman 2K da ne kadar artar 6 haliyle -3'ten 6 ekle 3 birim İşte olay bu hep aynı yönde git ama tamam bu yönde gidiyorsan bu yönde Gitmeye devam et atıyorum sen Hocam ben buradan başlamak istedim buradan buraya gittim o zaman tamam yön hep aynı gitmen yeterli sonra takip et Bak ordinata geliyorum 7'den 4E 3K ilerlediğim 3 azalmış o zaman k iler ne kadar azalır Daha doğrusu 2K 2 azalır 7'den 2 çıktı 5 İşte bu Tales Teoremi temel benzerlik teoremini yapana kadar noktayı git Analitik düzlemde çiz Al bunu buraya Sonra işte bunları kontrol et böyle yap temel benzerlik oranı bul diyene kadar arkadaşlar Hiç gerek yok şu temel benzerliği Tales teoremini falan kullanmaya artış miktarına ya da azalış miktarına bak kenarlar arasındaki Orana bak bitti görelim Bak şimdi AC BC oranı 3/2 ab'yi dıştan bölen C noktası yapıyorum şimdi bak takip et a b bu sefer dıştan bölecek c mi daha C B'ye mi daha yakın A'ya mı daha yakın e AC daha uzak olduğuna göre B'ye daha yakın Bak bu kadar onu da hani dıştan bölerken C'nin yerini tespit etmek de uzaklıktan kolaydır hemen doğrusal A - 2'ye 4 B 3'e -1 AC bcn tamam böyle hemen Bak şunu diyeceksin K birimde apsis kadar K artmış 5 A'dan B'ye gittim hocam B'den A'ya gitsem olur mu Olur da yani C'ye doğru ilerleyeceğim ya şimdi yapıyorum kda 5 artmış o zaman 2K da ne kadar artar 10 3 10 daha 13 bak böyle sonra apsise ordinata geliyorum 4'ten - 1'e kda ne kadar azaldı 5 2K da ne kadar azalacak 10 -1 10 çıkar -11 işte arkadaşlar sadece bu kadar basit bir uygulamamız var bunu yapıyoruz ve Böyle söyleyip geçiyoruz Bir nevi Şimdi bunu sen dene lütfen bakayım öğrenmiş misin hem görelim F noktasının koordinatları çarpımı Evet bakalım şimdi orta nokta orta nokta Arkadaşlar iki tane kenarortayın Kesim noktası ağırlık merkezi iki tane kenarortayın Kesim noktası ağırlık merkezi olduğu için A'ya 2A 2 2 k'ya k A'nın 7'ye 6 olduğunu biliyorum K'nın 5'e 0 2K da apsis ne kadar azaldı 2 azaldı 7 5 kda ne kadar azalır 1 azalır 5'ten 1 çıktı 4 sonra geldik f'yi bulalım yine ordinatına 2K da apsis ordinat ne kadar azaldı 6 kda ne kadar azalır 3 4E -3 gördüğünüz gibi koordinatlar çarpımı da buradan ne yaptı -12 ABCD paralelkenar AE E'nin 2 katı Bu da sende hemen dene lütfen p noktasının koordinatlar çarpımı kaçtır Şimdi arkadaşlar önce şuna bir bak lütfen Ben soruda f'yi bulurken Şuna da bir dikkat etmeni isterim lazım olursa bak lazım olursa -1 15 daha 14 12 2 daha 14 karşılıklı apsisler toplam işit lazım olursa bunu da kullan 5 -3 daha 2 6 -4 daha 2 Bu da kenarda Dursun Şimdi burada Ne oldu lazım olursa Burası 2K kelebek benzerliğinden Burası da böyle 3K Tamam bakalım o zaman Şurayı kullanırsam Eğer kelebek benzerliği sayesinde ne olacak 5K da apsis A'dan C'ye yönüm A'dan C'ye olsun ne kadar artmış 10 artmış o zaman 2K da ne kadar artar 4 artar 2 4 daha 6 geldi sonra bakıyoruz e ordinata ordinat 5K da ordinat ne kadar azalmış 10 birim azalmış 2K da ne kadar azalacak 4 6 - 4'ten 2 koordinatlar çarpımı ne geldi geldi işte Arkadaşlar bu şekilde böyle soruyu Halledebildin bir ekstra bilgiye ÖSYM de bir kere sordu daha doğrusu şöyle sorunun içinde sordu bu bilgiyi bileceğiz sorunun çözülmesine yetmiyordu ama önemli bir aşamayı halletti oldu ağırlık merkezinin özelliği şudur apsisler toplamının 1/3 biri ordinatlar toplamının 3te biri İşte bu kadar e haliyle bunu söyleyeceğiz ve yolumuza devam edeceğiz Hani bunu bil ve yoluna devam et mevzusu tamam mı Mesela bak burada üçgenin ağırlık merkezi koordinatlar toplamının 1/3 bir'i a -1 2 / 3 = a - 3'e 3A - 9 = a + 1 2A = 10'dan A ne geldi 5 geldi sonra arkadaşlar ordinat 1 + e 2a'yı biliyoruz Artık Hemen yapalım yerine yazıyorum 10 + 4 / 3 = neye B'ye B de buradan ne geldi 5 geldi o zaman arkadaşlar 5 x 5 çarpımları 25 oldu İşte olay budur ağırlık merkezinde başka ekstra hani buradan geliyor şuradan oluyor bilmem ne Analitik düzlemde zaten bir sürü yorum yapacağız ama bazı yerde mesela o talesi kullanacağın boşu boşuna uzatacağına bununla yormam gerekiyor tamam mı bunun ağırlığıyla bunun ekstra yorumuyla değil yap ve yoluna devam et bunu niye söylüyorum bazı yerler ara Kural Mesela şöyle söyleyeyim sen öi her yerde kullanıyorsun değil mi bu zamana kadar Ök lin ben size ispatını söylemiştim bir kez olsun öklid'in ispatı ile alakalı bir şey yaptın mı hayır çünkü benim senden orada isteğim ne biliyor musun dikten dik indy an öi Görmen öi ilk defa çıkardığında ispatlamak Tamam eyvallah Ama devamında her yaptığın şey seni öklit dik T dikin me ile ilgili öklit kurallarını kullanmaya itiyor Burada da aynı şey ağırlık merkezi geldiği an hemen ağırlık merkezini kullanıp yoluna devam edeceksin orada takılmayacak oraya özel ekstra yorumlar üretmeyecek üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır 2be eec E tamam o zaman ağırlık merkezinin koordinatları E'ye baktığın zaman A buradan hocam Hiç B'yi ve C'yi bilmiyorum buluruz ne olacak ki orta nokta hemen Ne diyeceksin ek orta nokta mantığı bak artık şöyle de yapabilirsin orta nokta bölme mantığıyla belli oranda bölme mantığıyla yapayım K birimde apsis 4 azalmış 4 daha azalır K birimde haliyle bak -5 oldu -5 3A -2 2'ye böl -1 hakikaten K birimde ordinat 1 arttı o zaman 1 daha artacak 3 3 + 1/2 yine 2 Gördüğün gibi böyle de yapabiliyoruz tamam mı Sonra E artık burada ne yapacağız şöyle c'den E'ye gidelim 2K da apsis kad artmış 2 artmış O zaman kda ne kadar artar 1 -3 1 daha -2 sonra devam ediyorum e apsis yaptık ordinat 3'ten 5'e 2 artmış o zaman kda 1 artar 5 + 1den Ne oldu 6 oldu Böylece ağırlık merkezinin koordinatları -5 3 daha -2 -2 daha -4 o zaman -43 oldu değil mi Doğru yaptık değil mi Evet -43 son 6 3 daha 9 1 daha 10 Ne oldu 10/3 oldu koordinatlar toplamını sormuşum 6/3 2 geldi ağırlık merkezi - 4/3 10/3 ama cevabımız koordinatlar toplamı olduğu için 2 oldu oab kare bfd dikdörtgen e noktasının koordinatları kaçtır diye soruyorum Bunu hemen Sen deniyorsun Aslında Bu sorudan itibaren yapacağımız her soru Arkadaşlar biraz böyle karma soru niteliği taşıyor işte analitiğin özellikleri bunlardır şimdi uygulamaları Eee bu konuda Nokta analitiğinde doğru analitiğinde Eğer vaktiniz varsa bakın vaktiniz varsa Analitik geometri fasü çözebilirsiniz onu mu çözeyim bunu mu çözeyim demenize gerek yok yani eee böyle hiç adı duyulmamış sanı duyulmamış aşırı basit de çözmeye de gerek var mı bence hani konuyu burada öğreniyorsunuz ya biraz kaliteli de soruları olan fasikül olsun ama bana şundan dolayı isim sormayın zaten benim gördüğüm Analitik Külleri yani hepsinin güzel kattığı şey var zaten analitikte geometride bazen öğrenciler zorlandığı için hepsi güzel geliyor yani isim vermeye o yüzden hani ekstra ihtiyaç duymuyorum hayatında hiç duymadığın da gidip şeye gitme E bir fasikül herhangi bir fasikül vaktin yoksa zaten Problem değil ama atıyorum bu videoyu izliyorsun ve şu an 11 sınıfsın kesin bitir Mesela bu videoyu izliyorsun ve daha 12 sınıfın atıyorum yazından 12'ye yeni geçerken yazından ya da mezunluğu yazından Tamam fasikül çöz Tabii ki çünkü çok erken gelmişsin sen analitiği ama bu an şu an videoyu izliyorsun atıyorum Ocak ayında E tamam o zaman soru bankası Çünkü bir de türev var integral var cart var curt var derken vakit ölçüsünde fasikül çözmek önemlidir vakit yoksa fasikül çözemezsin Aslında bu kadar basit bir denklem Hangi ders olursa olsun fasikül katkı sağlıyor ama diğer derslerimi Hocam çok iyi ayarlıyorum Buna da vaktim var diyen öğrenci için Yoksa mecbur soru bankalarına da alacaksın böyle devam edeceksin ama özel öneri Ben olsam fonksiyon türev ve integralden fasikül çözmek isterim çözmenizi İsterim vakti oluşturmak için çabalamak burada önemli olabilir tamam mı Evet Bakalım şimdi ne yapacağız görelim p110 d7 kare olduğuna dikkat edeceğiz Tamam E şimdi arkadaşlar fninternbasvuru şöyle bir bakalım şunu şöyle yapayım buraya a diyeyim o zaman ordinat 10 olduğu için 10 - a kalır değil mi fninternbasvuru tanjant teta bile dersin benzerlik Hani tanjant teta 10 - A'nın 12 - A'ya oranı e tanjant teta aşağıda 7 - A'nın A'ya oranı İçler dışlar 10A - a k = e 12 x 7 84 - e + a k -1a Buradan artık 2A k e - 29a + 84 ne yapıyor 29 şöyle 2 A'ya a diyeyim Sonra elde edebileceğim ne var 7 x 2 14 desek şöyle bakayım bir ya da şöyle bakayım 21 x 4 o zaman buraya -4 desem buraya -21 desem oluyor Bak -8 -21 a ne geldi 21/2 ya da A ne geldi 4 geldi soru benden ne istiyor E noktasının koordinatlarını istiyor Buna göre bakalım şimdi önce şu tam sayıyı Bir deneyelim aradan çıkaralım A'ya 4 dedim o zaman Ne oldu A'ya 4 deyince şöyle Burası 3 birim sonra Şu 4 birim B noktasının o zaman koordinatları 4E 4 geldi Daha sonrasında Eee a 10 - A'dan dolayı burası 6 Burası da 8 oldu böyle yapmış olduk aynı şekilde o zaman e içind de ne diyeceksin 6 açılar aynı değil mi şurası bak teta olur sonra burası Alfa şeye dikkat et eşlik O zaman bu 6 Bu da 8 geldi Dolayısıyla A'nın zaten 4 olduğunu biliyorum 7 8 daha 15 Bir de 6 oldu ordinatının 1 şeyden a'yı burada 4 verdiğim zaman direkt bak böyle buldum A'ya 21/2 Dersem ne oluyor orada bak şu sıkıntı oluyor Burası zaten 7 ya Sen şimdi gittin Şu A'ya 21/2 dedin e 7 - 21/2 ne yaptın negatif sayı hiçbir Kenar uzunluğu negatif olur mu Hayır Dolayısıyla bak A'ya 21/2 veremiyormuş güzel bir benzerlik yaptık Sonra da eşliği görüp hemen buradan bak yapıştırdım ikinci yol ne derdik hocam karşılıklı apsisler toplamı ve karşılıklı ordinatlar toplamı eşiti kullanamaz mıydık kullanırdım bak 12 7 daha 19 Eee sonra ne olacak burası B Neydi 4 15 daha 19 sonra bak 10 0 daha 10 4 6 daha 10 işte sana ikinci yol böyle de yapabilirdiniz gör Tamam mı böyle güzel bir yorum Şimdi bir tane daha soru her birinde Dediğim gibi sen deniyorsun önce Analitik geometri deyince Tabii ki böyle sorularımız da olmalı çizdirmiş sorduğu için de bakmalıyız ÖSYM sorması da bakmalıyız güzelleştiriyor açıkçası Bunlar köşegenlerinden biri x ekseninin pozitif tarafında ve üstünde bir köşesi bir bölgede olan karenin orijine en yakın ve en uzak noktalarının orijine uzaklıkları toplamı 14 birim olduğuna göre karenin köşelerinin koordinatları toplamı kaçtır hemen şunu belirteyim zaten ÖSYM soruyor diye baktığın zaman bazı şeyleri de ÖSYM sormadı bu zamana kadar diye bakmam dersin gelir ondan sonra sonuçta bizim hedefimiz yüksek Eee bu şey değil abuk subuk Hiç müfredatla alakası olmayan şeye bakma değil ama katkısı olacak şeylere bakmalıyız çözmeliyiz o çık bu çıkmaz bana biraz hani böyle aranızda düşünenler varsa bu biraz Aslında kaçmak geliyor Bunu eline vicdanına koy Bir düşün Bak o şeyi almak istiyorsun aslında Risk almak istiyorsun bu çıkmaz demek keşke çıkmasa demek hep bunu düşünmen lazım O yüzden bazı yerleri zorlandığını ve bazı yerlerde problem yaşadığını kabul etmek daha iyi bu çıkmaz demek kendini kandırmak doğru değil kendinle ilgili Doğru tespit yapacaksın zamanla gelişebilir kapasitenin ölçüsünde kapasitenin çok daha yukarısına çıkabilirsin bazen de hani şahsi sıkıntılar oluyor İnsanın altında kalıyor ya da direkt potansiyelini yansıtıyor E bunun için de çabalayacağım sonrasına artık bakacağız yani şimdi Aslında sorumuz rahat bir soru hemen Dikkat etmem gereken mevzu soruda köşegenleri demişiz o zaman bak karenin şöyle X ve Y ekseni çiziyorum Çünkü burada köşegen Orijin e orijine uzaklık X ekseni üzerinde x ekseninin pozitif tarafında bir kare ve köşegeni bak Gördüğün gibi nerede X ekseni üzerinde kareyi böyle çizdim şimdi karenin en uzak köşesi şöyle bir a köşesidir en uzak en yakın köşesi B köşesidir Eee neye dikkat edeceğim karenin köşegenleri birbirini dik kesiyor ve ortalıyor o yüzden şuraya x dersen Burası da x olur burası da x olur burası x olur hadi buraya da M diyelim doğal olarak B noktasının apsisi Daha doğrusu noktasını direkt yazayım M 0 C noktası diyelim hadi buraya e m + x'e x d noktası diyelim m + x'e - x oldu çünkü bir noktanın bak X eksenine uzaklığı nedir Aslında orada aynı zamanda dik kestiği yer Bana y ordinatına a noktası da burada ne yaptı M + 2 2x yaptı en uzak noktanın Orijin olan uzaklığı ne olur o zaman M + 2x en yakının uzaklığı M doğal olarak Ben sana ne vermişim İşte tam böyle sınavda Hani çıkabilecek çıktı hemen yaptık geçtik sorusu M + 2x + M = 14 m + x buradan 7 geldi m + x 7 gelince karenin köşelerinin koordinatlar toplamı birisi M 0 apsis ve ordinatı ayrı ayrı yazıyorum m + x x sonra diğer nokta M + 2x 0 ve diğer nokta m + x'e x topladığın zaman bütün koordinatları x' lin birbirini götürdüğünü göreceksin ve buradan Ne oldu 4M + 4x oldu 7 bulmuştuk M + x'i 28 geldi karenin koordinatlarının toplamı köşelerinin Evet buna gelişiyorum da diyebiliriz Aslında hemen korkmayın Hani öğreniyorum diye bu arada yapamazsanız da problem değil buu anlatım Bu yüzden var arkadaşlar diklik merkezi orijinde olan dik üçgenin iki köşesi 3K ve 3 m'dir diklik merkezinin ağırlık merkezine uzaklığı 10/3 birim olduğuna göre üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları kaç olabilir arkadaşlar Ne düşündünüz soruyu durdurduğunu zaman Hala burada bile hani birkaç cümle kuruyorum ki durdurmadı isan Durdur diye bu soruyu ben Analitik düzlemde çizerim neye göre ayarlayacağız hocam çizip çizmeme ii hiç özel bir durum olmadığında rastgele bir çiz bak normal çiz yani Analitik ama burada dik üçgen Orijin bir kere şuna dikkat edeceksin dik üçgenin diklik merkezi ne demek diklik Merkezi yüksekliklerin Kesim noktası demek dik üçgenin diklik merkezi nedir Tabii ki dik köşesi böyle bir T noktası haliyle sana ne demiyor ne diyorum Aslında ben bu dik üçgenin tepe noktası şöyle bir orijinde olan üçgen söylemiş oluyorum a köşesi diyelim işte B köşesi diyelim C köşesi diyelim tamam mı diğer mesajım ne apsisleri aynı olan iki tane nokta arkadaşlar tabii ki x eksenine dik y eksenine paraleldir bu güzel bir şey şimdi E diklik merkezinin yani Tepe noktasının ağırlık merkezine olan uzaklığı ağırlık merkezi biraz burada mı kalıyor burada mı kalıyor e ikizkenar üçgen Hatta hocam şöyledir mi onu nasıl karar vereceğiz şimdi onu şöyle karar vereceksin bir ikizkenar üçgen olduğunu söylersen şöyle bir Saçmalık olur burası şimdi K ya burası 10/3 ağırlık merkezi kenarortayı 2'ye 1 oranında böler 5/3 şöyle büyüteyim o zaman Ne oldu burası 15/3 5 ama neydi apsis imiz 3 3'ün Orijin olan uzaklığı nedir 3 Demek ki Arkadaşlar bu ikizkenar üçgen olamaz Bak o ihtimali hemen sildim Gördüğün gibi baktım C noktasıyla Sonuçta B noktası aynı hizada şu noktanın da apsisi bak 3'e 0 olur aynı olduğu için Çünkü arkadaşlar sonra göreceğiz bu doğru x eksenine dik olduğu için buradaki bütün apsisler aynı x = 3 doğrusu bu yaparsan olmadı Burası hem 3 hem 5 olabilir mi olmaz o zaman demek ki bu ikizkenar bir üçgen değil doğal olarak ağırlık merkezi biraz sola mı kayık biraz aşağı mı kayık bilmiyorum O yüzden temsili olarak bir tane böyle yapıyorum ağırlık merkezi yaptım böyle dedim ağırlık merkezi g olsun buraya olan uzaklık 10/3 ağırlık merkezi kenarortayı 2'ye 1 Oran böler 5/3 oldu mu Evet şimdi neye dikkat edeceğiz dik üçgende kenarortay böldüğü parçalara eşittir O zaman şöyle bir an dersek kenarortayın uzunluğu 15/3 5 oldu Arkadaşlar burası 5 geldi dikkat et lütfen Burası da 5 geldi yani tabanımız 10 birim oldu tamam Başka ne söyleyeceğim şimdi lütfen dikkat 5/3 10/3 toplamda Arkadaşlar burası ne 5 birim geldi demin Aslında orada bir tüyo da verdim Tabii ki bu doğru üzerindeki bütün noktaların apsisleri 3 olduğu için burada bir dik üçgen çıktı gördün mü ve bu dik üçgenin hemen dikkat et bir kenarı 5 birim hipotenüs Şuradaki 3'e 0dan dolayı Burası 3 o zaman Burası 4 e kenarortayın uzunluğu 5 olduğu için muhteşem 3en Burası da 5 tamamı şuranın 5 olması için alt tarafa Ne kaldı 1 kaldı yani bunu daha düzgün bir şekilde çizersek şöyle bir dik üçgen şöyle bu şekilde Bak şöyle kenarortay Böyle yaptık 5 birim Burası 3 birim Burası 1 birim Burası 4 birim Burası 5 birim böyle bir yükseklik aynı zamanda an de ne dedik kenarortay dedik Dolayısıyla B noktasının apsisi 3'tü ordinat ne geldi bak Dikkat et e şurası 4 düzeltiyorum şurası 3'tü Burası 4 B noktasının apsisi 3 ordinatı 9 c noktasının da apsisi 3 ordinat -1 geldi haliyle A buradan Ne oldu 0a 0 olduğu için Tepe noktası ağırlık merkezi köşelerin toplamının 1/3 biri yine köşelerin toplamının 1/3 Biri buradan da arkadaşlar ne oldu 2'ye 88/3 olmuş oldu bir durum bu olabilir dedim ya aslında şu da olabilirdi hani neden hocam direkt bu cevap değil mi şimdi dik üçgen belki şöyle de olabilirdi ya bak O zaman ne olacaktı tam tersi burası işte hani 4 birim Burası 3 birim Burası 1 birim Burası 5 birim olacaktı Dolayısıyla bu sefer 3'e -9 Burası da 3'e 1 olacaktı Bu sefer de -8 B3 olacaktı ağırlık merkezinin ordinatı Dolayısıyla arkadaşlar cevabımız hem 2ye - 88/3 hem de 2'ye 88/3 olabilir bu şekilde güzel bir soruyu atl mış olduk değil mi geldik şimdi buraya tamamı kare olan kutunun dikdörtgen şeklindeki kapağı kaldırılıp ikinci şekilde gibi yerleştirilmiştir Buna göre kapağın alanı kaç birim karedir şimdi Tabii ki 3 boyutlu kutu 2i boyutlu kutu olmaz ama hani görseller olduğu için ÖSYM sorularında da öyledir Bazen sadece ön yüzüne bakarız ya da orada hani bir temsili resim çizimidir Dolayısıyla iki boyuttur Hani oralarda şaşırmayın korkmayın şimdi e bakalım 16'ya 8 0a 16 Ne diyeceğiz Tabii ki aslında mevzumuz şu apsisini bilmiyoruz şöyle bir a noktasının a diyelim buraya o zaman 16 - A diyeyim e Hatta Neyse öyle diyeyim de sorun değil bir an bir şey diyecektim Vazgeçtim o zaman Ne oldu 16 - A E Yukarısı zaten 16 - A 16 - A şimdi 16 - A dedim tamam sonra e Burada hemen dikkat ediyorum 8 olduğu için 8 e burası 8 olduğuna göre Hemen kontrol edelim Başka ne söyleyebiliriz e yukarıya da o zaman 8 kaldı zaten ben buraya a demiştim bak bir dik üçgen yine olmazsa olmazımız Pisagor olmuş oldu A buradan 6 dedik mevzuyu Hallettik A6 deyince 16 - A'dan bir kenar 10 geldi sonra 8 e bir kenara 10 gelince kare olduğu için geriye 2 kaldı 10 x 2'den 20 birim kare oldu sorumuzun cevabı tabanlarından biri x ekseninde olan ikizkenar yamuğun köşelerine uzaklığı eşit ve 25 birimdir yamuğun köşelerinin koordinatlar toplamı 48 birim olduğuna göre yamuğun çevresi kaç birimdir diye soruyorum Evet bazen bazı şeyler insanın aklında güzel kalıyor Mesela bu soruyu yazdığım zaman mutlu olduğum anlardan bir tanesiydi eee rahat bir soru o mutluluğun verdiği rahatlıkla böyle kolay ama tam da böyle sınav tarzında bir soru olduğunu düşünüyorum Eee bazen Eee ileride daha böyle mutlu hissedebilmek geriye dönüp baktığın zaman kendini iyi hissetmek adına geçmişini de olabildiğince Eee pişman olmayacak şekilde yaşamaya çalışmak lazım geçmişe Yapacak bir şey yok Ama bazen öyle güzel anlar yaşamak için uğraşırsınız ki Eee geçmişi de bir anda güzelleştirir mesela yks'nin güzel olursa İnşallah istediğiniz gibi Hatta istediğinizden daha iyi olursa şu an çektiğiniz Bütün sıkıntılar bir anda olumlu hale geliyor Hatta o tatlı Anılar Hey gidi günler diyeceğiniz anılara dönüşüyor tamam mı O yüzden de öyle Aklım Neyse devam edelim şimdi tabanlarından biri x ekseninde olan ikizkenar yamuğun her şey çalışıyoruz ve sonra hep böyle güzel günleri kovalamak için çalışıyoruz onu söyleyeyim şimdi Arkadaşlar bu e x ekseninde ve Orijin muhabbeti yaptığı için Dilerseniz gidelim Analitik düzlemde çizelim Yalnız bu öyle bir soru ki tak diye doğrusunu çizmezsen Hani dene Tabii çizerek hata yapmamaya çalış veya hata yap sorun değil ne olmayacağını da gör ama öyle bir soru ki tam böyle oturması lazım yaptığının dene dene dene dene en son bitti atıyorum hani ikis kenar M kocam şöyle yaptım olur mu atıyorum bilmem ne yaptım olur mu En son nereye varacaksın hiç uzatmıyorum burayı arkadaşlar ikizkenar yamuk orijine eşit uzaklıktayız kenar yamuk bak bakalım a köşesinin orijine olan uzaklığı D köşesinin orijine olan uzaklığı C köşesinin orijine olan uzaklığı D köşesinin orijine uzaklığı eşit gördünüz mü ve ikizkenar yamuk Bu sayede Tabana İnik tabanı 2'ye böleceğim ikizkenar üçgende bak böyle şimdi ne demiş soru bize E hepsi 25'er birim Tamam koordinatlar toplamı Bak a noktası a B B noktası E şey A'ya B demeyeyim negatif olsun - A'ya B Burası A'ya b e buraya ne diyim e C'ye B diyeyim Gerçi o belli zaten hiç C'ye B demeyeyim Burası 25'e e c diyeyim Burası da - 25'e C diyeyim çünkü D noktası x ekseninde ve c noktasında x ekseninde ya haliyle orjinal uzaklıkları bak 25 olduğu için apsisleri de 25 ve -2 toplamlarını aldığımız zaman koordinatlar ne oluyor hemen burada görelim şurası da 0 Tabii ki C demeye bile gerek yok Onu düzeltelim Bu sayede Ne oldu koordinatlar toplamı - a a gitti -25 25 gitti sonra b ve b topladık kaçmış 48 B O zaman ne geldi 24 İşte bu kadar olay bu B 24 olduğuna göre artık hemen şöyle diki indiriyorum 24 7 geldi sonra 25 olduğu için şu kırmızıya boyadığım kısma 18 Kaldı 18 24 30 ikizkenar yamuk Sağ taraf da 30 Şimdi artık buranın zaten 77 olduğunu bulduk kenarlarını da üretmiş olduk AB 14 AC 30 Burası 30 Burası da 50 60 daha 110 14 daha 124 geldi şeklin çevresi hatırlatma sorusu aslında ters olmayacak bunu gelişiyorum bunu öğreniyorum yazacağımı ona öğreniyorum buna gelişiyorum yazmışız köşelere A -2 6 b 8 6 ve a -2 olan ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir tamamen şeyleri hatırlatmak adına bir nokta gördüğünde ordinatları aynıysa veya apsisleri aynıysa bak sakın şunları deme Aa hocam apsisli ordinat aynı hiçbir şey ifade etmez o önemli değil iki tane ordinatı aynıysa ya da iki tane apsis aynıysa ne oluyor paralellik paralellik olunca işim rahat oluyor Analitik düzlemde çiz bir gör olayı onun Aslında ipucunu veriyor Soru - 2'ye 6 ve 8E 6 şöyle bir üçgen ne oldu bir kenarı X eksenine paralel geldi ve basit ama Önemli bir detay bu soruyu kurtaran Detay sonra C noktası A'ya -2 şöyle bilmediğim a hocam a'yı bilmiyoruz ne yapacağız işte mesele o ki zaten lütfen şuna dikkat et a noktası -2 2 ordinatına sahip olduğu sürece şöyle bir doğru çeksem şu noktanın ordinatı -2 olduğu için bu üçgen ya da a noktası öyle bir yerde ki burada Ama bunun da zaten her türlü A'nın bildiğim tek şeyi bunun ordinatının -2 olması bu sayede ne oluyor o zaman her türlü arkadaşlar a noktasının yeri önemli değil paralellik çıkıyor bak a noktasını yeşil a noktası B noktası C noktası nereye koyarsan koy her türlü bunun apsisi farklı olsa da kenara olan uzaklığı aynı Bakın şimdi paralel X eksenine paralel X eksenine Sonuçta ordinatı değiştirmezsen hep aynı uzaklıkları elde ederim X eksenine paralel X eksenine paralel iki doğru arasındaki uzaklık değişir mi Hayır o zaman sadece bunlardan bir tanesini düşünürsek bunların hepsini sildim A'nın ordinatı -2 olduğu için daha doğrusu noktanın ordinatı -2 olduğu için artık ne oluyor şurası 2 sonra 6 o zaman yüksekliği ne oldu bak üçgenin 8 birim oldu Sonra 8'den -2 çıkarırsak ne oldu bir karımız 10 taban 10 yükseklik 8/2 40 birim kare işte Sadece buna dikkat etmemiz önemli ve yeterliydi AC CB 1/2 oranına sahip b4e 4 aob üçgeninin alanı 18 birim kare olduğuna göre a noktasının koordinatları Evet bir bak bakalım şimdi AC C B'nin 1/2 isi B noktası 4E 4 Tamam aob üçgeninin alanı birinci yol ikinci yolu yapayım size birinci yol arkadaşlar üçgen şimdi öyle alelade sıradan bir üçgen görünümüne sahip 4E 4 dik üçgen görünmüyor ikizkenar eşkenar hiçbir şey görünmüyor Yani kısacası ben bunun alanını nasıl bulacağım hocam dersen yapalım Bak şimdi şu k'ya 2K e Analitik düzlemde hep şuna dikkat et ko lar sayesinde dik üçgen ya da dikdörtgenler elde ediyoruz yani diklikler paralellikler elde ediyoruz haliyle paralellikte karşılıklı oranları aynı çok önemli bak benzerlikten beri söylüyorum k'ya 2K 4E 2 E ne oldu hocam ben şimdi buraya y desem yamuğun alanı alt taban Art üst taban çarp yükseklik bö 2 - dik üçgenin alanı y x 2/2 dik üçgenin alanı 4 x 4/2 eş aob alanı de Tabi ki öyle Bu sayede Ne oldu sadeleştirirsek 3y + 12 - y - 8 = 18 2y = 14 Y ne geldi 7 geldi y 7 gelince a noktasının apsisi zaten -2 ordinatı da 7 oldu işte buldum bu bir yol Gördüğün gibi paralelli karşılıklı oranlarının aynı olması getirisiyle hemen olayı güzelce Hallettik Bir de klasik alan bulurken bazen istenmeyen parçaları çıkar olayı hallet şimdi bakalım ikinci durumumuza aslında hani çok ekstra ekstra bir yol değil ama bunları not edin Siliyorum ben Müsaadenizle geri al ikinci yol dersin ki hocam ben bunu çizince paralel iki doğru arasındaki uzaklık değişmez AC üçgeni ile TCO üçgeninin alanı aynı yine Hocam ben bunu çekerim paraleli çektim böyle yani di diki indirdim Bu üçgenin alanı tabanı değiştirmediğim için Co tabanı değişmedi paralel iki doğru arasındaki uzaklık değişmez Evet o zaman Abo üçgeninin alanı CTR üçgeninin alanına eşit 2K ya K Burası e neydi 4 birimde apsis dolayı Burası da böyle 2 birim karşılıklı oranları aynı Şuraya bir yükseklik dersek üçgenin alanı H x 6 b e h x 6/2 Ne oldu 18 buradan H ne geldi e 6 geldi şimdi tamam bu bana ne katkı sağlayacak burası 6 r'nin 4 olduğunu biliyorum yamukta 2 birim aşağı indiğimde ne kadar artmış bak 2K aşağı indiğimde 2 artış var K indiğimde ne kadar artar 1 6 1 daha 7 yine apsis -2 ordinat 7 Bence iki yolu da böyle bir düşünmek güzeldi açıkçası ikisi not etmenizi isterim a CD kare d 4E 1 yukarıdaki verilere göre C noktasının koordinatlar çarpımı e pardon toplamı kaçtır diyorum şimdi Evet baktınız bir soruya uğraştınız değil mi kareler var ya Bunları olur olmaz öyle yerleştiriyorsunuz benzer 90 derece önem Alfa Beta teta Alfa teta 90 Bunlar bizim için önemli eşlik karenin kenarları aynı dik indirme karşılıklı köşelerin apsisleri toplama eşit karşılıklı köşelerin ordinatları toplama eşit Çünkü karede bir paralel kenar ha bunları düşüneceğiz İşte bunların üzerinden kafa y olacağız E sonuçta apsis ve ordinatı vermek Aslında dik uzaklık vermek demektir Mesela Burası 4 birim olur Şöyle bak burası 1 birim olur bunlar bile çok kıymetli yani ne yapacağız peki bundan sonra hocam dersen işte ş yapacağız Alfa teta Alfa teta Lütfen dikkat Şuradaki harf vereyim at üçgeninde tanın karşısı 4 90'ın karşısı karenin bir kenarı o zaman buraya da o diyelim aob üçgeninde 90'ın karşısı yine karenin bir kenarı eşlik geldi o zaman tanın karşısı Ne oldu Şu maviye boyadığım yer yine 4 olacak karşılık kenarlar eşit olduğu için 1 at'ye M gibi 3 kaldı bunun bana katkısı ne biliyor musun artık Kendiliğinden alfanın karşısının da 3 olduğunu gördüm sırf Şu 1 O yüzden vermiştim haliyle Burası 3 olduğuna göre yine alfanın karşısı olan bo da böyle 3 olmuş oldu bundan sonra B noktasının apsisini buldum -3 ordinat 0 a noktası 0a 4 D noktası 4E 1 soru bitti c noktası için ne diyeceğim 4 -3 daha 1 0 1 daha 1 Tamam sonra eee geliyorum 1 0 daha 1 4 -3 daha 1 Demek ki C noktasının koordinatları 1 ve -3 toplamları da -2 geldi böyle güzel bir soru BC kenarı X eksenine paralel olan dar açılı ABC üçgeninin AB ve AC kenarları birbirine eşittir üçgenin çevrel çemberinin Merkezi -1 7 A ve B olduğuna göre noktalar x'e 12 2'ye 3 C noktasının üçgenin ağırlık merkezine uzaklığı kaç birimdir analitiği gerçekten dediğim gibi seviyorum Kolay orta zor hiç fark etmez sorularla bazen yapamak da yani öğrenciyken de hoşuma giden bir ders yine bu soruya da ben sevdiğim için Yıldız koyacağım güzel bir soru olduğu için illa böyle her İlla sorunun zor olmasına gerek yok sevmemiz için BC kenarı x eksenine Paralel ne dedin uğraştın dar açılı üçgen dar açılı üçgen çevrel çemberin merkezi dar açılı üçgenin çevrel çemberinin merkezinde neye dikkat ederiz Merkez içeridedir böyle merkezin köşelere olan uzaklıkları birbirine eşittir çevrel çember neydi kenar orta dikmelerin Kesim noktası bunu hep hatırlatıyorum Çünkü Kafa karışıyor bazen dar açılı bir üçgen İlla bak böyle orta dikme dediğin şey köşeden geçmek zorunda değil işte geçerse o ikizkenar üçgen olur zaten bir tarafı bak mesela orta dikme köşeden geçerse ne olur Hocam işte üçgen ikizkenar olur hatta diğer orta dikme de köşeden geçerse ne olur e o artık o eşkenar üçgen olur Bu şekilde bir orta dikme geçerse sadece ikizkenar üçgen iki orta dikme birden geçerse kenarların hepsi birbirine eşit çıkacak doğal olarak çeşitkenar bir üçgen burada da bak ikizkenar bir üçgen örneği gördük Hatta eşkenar gördük bunları da böyle Detay olarak hatırlatmış olayım Şimdi o zaman baktığımızda Eee ikizkenar bir üçgen artık burada bakalım BC kenarı da X eksenine paralel BC kenarı X eksenine paralel o zaman AB ve AC de birbirine eşit çevrel çemberin merkezi şöyle bir -1 7 noktası o zaman bakalım bir ikizkenar üçgen olduğuna göre şöyle çizeyim bak böyle çizdim şimdi lütfen olaya gel toyu Aslında demin orada anlatırken verdim Hala uğraşmadan bir a köşesi Tepe noktamız değil mi AB ile AC eşit olduğu için arkadaşlar orta dikmeler bir tanesi yükseklik zaten bak diğerlerini çizeyim Hani çizeyim ve geçeyim sileyim bak Mesela şöyle bir orta dikme ikizkenar üçgen ya Sonuçta bunlar farklı yerden geçecek köşeden geçmeyecek bu da geçti böyle ama üçüncüsü işte mis gibi hem orta dikme vazifesi görüyor hem de Gördüğün gibi yükseklik hem de açıortay bu vazifeyi gördü Tamam ne işime yarar Hocam şimdi bu sayede bunun Merkezi -1 7 ya A noktasının apsisi de aynı doğru üzerinde olduğu için böyle a neydi x'e 12 işte sana mesaj a Aslında -1 12 ymiş mevzu bu sen orada Aslında Tepe noktasının yükseklik üzerinde olduğunu yükseklik de ikizkenar üçgende orta dikmede olduğunu düşüneceksin böyle olayı halledeceksin C noktası Eee tamam B noktası ne 2'ye 3 şimdi 2'ye 3 o zaman B'yi şuraya alalım pardon b o zaman burada 2'ye 3 ise Lütfen dikkat et c noktasıyla b noktasının tam ortasında ne var şöyle bir x = -1 doğrusu var oradaki bütün noktaların özelliği apsislerin -1 olması bu bana ne sağlayacak 2 ile - 4'ün toplamının yarısı -1 dirir Bak sonuçta bu ve bu yüksekliğe eşit uzaklıktan yani yüksekliğin olduğu Tepe Tabana inen şöyle bir T noktası kesinlikle nerede bunların ortasında orta nokta nasıl bulunuyordu toplamların yarısı o zaman -4 oldu X eksenine paralel olduğu için BC C noktası da -4 3 oldu ve bu sayede ağırlık merkezini bulacağız üçgenin ağırlık merkezi neydi apsislerin toplamının yarısı şey 1/3 biri -1 -4 ve -2 + 2 değil mi o zaman Ne oldu şey -4 nereden çıktı ya pardon düzeltiyorum Ha varmış tamam -4 ve 2 Buradan da -5 23/3 ordinat 3 sonra 12 sonra 3/3 ne geldi Buradan -1 16 18/3 6 bu ağırlık merkezimize K diyelim C noktası da burada ne -4 3 2 nokta arasındaki uzaklık 3 kar + 3 kar 3 K2 geldi Arkadaşlar bakın Analitik geometride artık biz Aslında merkezlerle alakalı yorumlarımızı da kuvvetlendiriyor ben sana bir nevi bu konuda Hani şey oluyor ya Hocam onlar çok kolay işte ikizkenar üçgen dik üçgen ne olacak yükseklik falan filan buraya geldiğimiz zaman onların Yorumlarını da kullanma şansımız oluyor bir ikizkenar üçgenin tepe noktasından geçen yüksekliğin aynı zamanda bir orta dikme olduğunu doğal olarak çevrel çemberinin merkezinin o doğru üzerinde olduğunu düşünmek ve yola devam etmek orta nokta ilişkisi derken şimdi Bir Güzel soru daha birim karelere bölünmüş Analitik düzlemde dar açılı ABC ikizkenar üçgeninin AB kenarı ve diklik merkezi olan K noktası verilmiştir c x'e y ve ağırlık merkezi l - x 1 - y olduğuna göre b noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir Evet dene bakalım bir soruyorum güzel sorumuz şimdi Evet vallahi sorular da yoruc burada değil mi Ben anlatıyorum Tabii bir de anlatma derdi olunca bazen başı ağrıyor insanın Evet arkadaşlar neye dikkat edeceğiz diklik merkezi nedir Eee dar açılı bir üçgende diklik Merkezi içeridedir yüksekliklerin kesim noktasıdır yükseklikler nereden geçer köşeden geçer tabii Bak şey gibi değil orta dikme falan gibi değil normal dümdüz köşelerden Geçiyor Bak köşeden geçer yükseklik Yani senin şunu düşünmen lazım şimdi AB kenarına Ben dik indireceğim tamam mı Böyle indirdiğim zaman kenarı ikiye bölüyor mu Hayır o zaman arkadaşlar AB'nin tabanı olma şansı yok AB ikiz kenarlardan biri bunu fark edecektin işte sonuçta diklik merkezi ne demek e AB üçgenin bir kenarı İsa benim K'dan buna dik indirmem lazım indirdim ortadan ikiye böldüm ab'yi Hayır AB kaç birim 5 birim o zaman 5 birimlik bir doğru Peki nereden geçecek bu kenar arkadaşlar diklik Merkezi işte bu mavi doğrunun üzerinde ona Lütfen dikkat Çünkü diklik Merkezi bir köşesi bak aynı zamanda diklik merkezinin üçgenin de bir köşesi yani böyle bir C köşesi C nerede olacak o zaman mavi doğru üzerinde haliyle 5 birimlik nasıl elde ediyorum işte böyle 3 4 5 üçgeni gördün mü C AC 5 5 birim uzunluğunda aynı zamanda Nereye denk geldi Gördüğün gibi tabii ki Eee burada mavi doğrunun üzerine Gerçekten böyle olmalıydı işte bak artık ikizkenar üçgeni çizdim AC 5 birim Çünkü Tepe noktası şey Tepe noktası diyorum e diklik Merkezi muhakkak köşeden çıkmalı c'den indirdiğim yükseklik ab'yi dik kesiyor işte mevzumuz bu sırf C'yi buldurmak için ve ikizkenar üçgenin AB kenarının ikiz kenarlardan biri olduğunu buldurmak için o hamleyi yaptık bu şekilde gösterdik artık gönül rahatlığıyla şunu yapabiliriz CX y mi o zaman B bu 3 birim sağda x + 3 ordinatı 1 birim aşağıda y -1 a c'den Yani b ile aynı hizada x + 3 kaç birim yukarıda 5 birim ne olacak o zaman Y + 4 oldu işte Bu sayede artık yapacağımız iş ağırlık merkezini verdiğim için apsisleri topla x + x + 3 + x + 3/2 şey 2 diyorum 3 buradan x + 2 = - x x neymiş -1 güzel Y'ye bakalım şimdi y + y + 4 + y - 1/3 Buradan da ağırlık merkezinin ordinatı y + 1 O da 1 - y y de arkadaşlar 0 geldi b noktasının apsisi 2 ordinatı 0 yazınca yerine -1 bunun orijine olan uzaklığı 4 + 1in karekökü √5 geldi böyle güzel bir yorum yapmış olduk ikizkenar üçgene dair M merkezli çember x eksenine ve bir köşesi y ekseninde olan kareye K noktasında teğettir MB ve Ak X eksenine paralel ve K noktasının apsisi 5 olduğuna göre M noktasının koordinatları kaçtır Evet dene bakalım şimdi soruda önemli bir bilgi var MB ve Ak X eksenine paralel şimdi Ak yine orası çizerken şey oldu sıkıntı Şimdi bu x eksenine paralel MB de x eksenine paralel bunun bana katkısı ne olabilir Şimdi arkadaşlar bu çember analitiği değil normal Analitik ha her analitiğin içinde çember görürseniz çember denklemi sa orada çember denklemi sorarsak çember analitiği olur Ne yapacaksın merkezden TT bir di indir klasik yorumumuz bak şimdi bu birincisi şey K noktasına Tabii tam indirdiğimi düşün Böyle düzelteyim tam TT indirdim tamam mı Sonra arkadaşlar dik ve bu paralelliğini bana katkısı bu dik ve sevdalısı olduğum için de önemli yani o yüzden karşımıza geliyor Alfa Alfa teta Alfa yine bak teta böyle bir durum oldu Şimdi arkadaşlar bu bana şöyle bir güzellik katıyor e burada bakın m m 2m desen işte Neyi görüyorsun tanjant Alfa benzerlik de yapabilirsin Dert değil karşı bölü komşudan tanjant Alfa 1/2 geliyor yani şimdi bak Ben buradan bir dik indirdiğim zaman k noktasının apsisini yorumlayacak birazdan tanjant Alfa 1/2 ya Şuraya K diyorum buraya 2K diyorum hem Böylece kesirlerle ve köklerle uğraşman Burası oldu sana K K5 karenin diğer kenarı zaten 2K K5 yine o zaman burada tanjant Alfa 2K K5 olması için ne olur karşı bölü komşu 1/2 olduğu için bak a2a A5 üçgeni 2K 4K 2K K5 üçgeni bu Sağ de K noktasının apsisi işte bak şu K noktasının yani y eksenine uzaklığı Burası 5K geldi ve 5K neye eşit arkadaşlar soruda vermişim 5'e K buradan Ne oldu 1 artık m'yi bulabiliriz Çünkü arkadaşlar 2K olduğu için yine tanjant alfan bak burası 1/2 olduğu için 4K Ve tabii ki M noktası 4K 5K daha 9k k'yı 1 bulduğum için 9 sonra gel bakalım Yarıçap 2K 4K 2K √5 yani Yarıçap da ne oldu 2 K5 merkezden TT inen doğru diktir ve yarıçaptan arkadaşlar B köşesi 1 bölgede yer alan ABCD dikdörtgeninin BD köşegeni X eksenine d20 noktasında dik ve AC köşegenini Taşıyan doğru orijinden geçmektedir C noktasının orijinal uzaklığı a noktasının orijinal uzaklığının 4 katıdır Buna göre dikdörtgenin alanı kaç birimdir Evet bak bakalım sona mı geliyoruz Yavaş yavaş Evet sona geliyoruz güzel 15 tane iyi soruyla uğraşmış olduk şimdi şöyle bir Analitik düzlemi çizeceğim Niye Çünkü özel durumlar yine verilmiş Orijin X eksenine dik havada uçuşuyor özel durumlar Şimdi arkadaşlar bir köşegen imiz X eksenine dik bak Taşıyan doğru şudur hani mesela bir kenar düşün tamam mı Bu kenarı Taşıyan doğru bak bu demek Sonuçta kenar sonsuz bir şey değil doğru parçası veya köşegen sonsuz bir şey değil doğru parçası ama mavi doğru sonsuz haliyle verdiği mesaj o yani Dolayısıyla dik dörtgeni inşa edelim Dikdörtgenin köşegenleri eşit ve dik kesişmiyor Tabii kare değilse doğal olarak ne oluyor o zaman ben şöyle bir köşegeni çizeceğim bak şimdi gel buraya bir köşegeni çizdim diğer köşegeni de çizdim bak böyle dikdörtgen oluşturdum gördün mü Bir tane köşegenin e dik şeye dik şöyle bir dikdörtgen Hani yamuk yumuk da biraz görünse Sonuçta sınav esnasında Vay sen biraz onu yamuk yumuk çizmişsin demiyorlar yeter K Hani abartılı bir şey de olmasın sıkıntılı bir durum bak böyle bir dikdörtgen çizdim haliyle a köşesi daha yakın orijine C köşesi böyle sonra D köşesi tam dik olduğu yer B ABCD dikdörtgeni bak sıralı okuduğumuz zaman hakikaten oluyor şimdi Çünkü bu önemli sıralıdır tamam mı Hani A'dan sonra B B'den sonra C c'den sonra D okuyabilmeniz tam D noktasında X eksenine dik olduğunu unutmayalım a noktasına kesirlerle uğraşmamak için Müsaadenizle 2m diyeceğim a noktasının Orijin olun uzaklığına C noktasının Orijin olun uzaklığı da buradan 8M olur Böylece Hani kesirler u aşmam 3 m'ye 3M demiş olurum dikdörtgenin köşegen parçalarının eşit olduğunu sakın unutma 3 3M Bu sayede Ne oldu güzel bir görüntü oluştu Bak burada arkadaşlar acyi Taşıyan doğru orijinden geçiyor ne demek Burası doğrusal bu şekilde Bak gördün mü toplamda 3M 2m 5M e burası da 3M 3 4 5 üçgeninden od Ne oldu 4M oldu peki D ne verilmiş 20 o zaman arkadaşlar 4M 20 olduğuna göre m kaç geldi 5 Ne yapacağız şimdi hemen şu kenarda göstereyim köşegenlerin kesim noktasına K diyeyim a şey okd üçgeni şöyle bir a noktası var oa artık 5 olduğu için Burası 10 Burası 15 şurası arkadaşlar 15 Burası da 20 hemen diklikten dolayı şunu diyebilirsin 20 Ç Biraz daha büyük yazayım 20 x 15/2 eş 150 alanlar oranı tabanlar oranı 10un 15'e oranı ne 2/3 o zaman arkadaşlar ne olur burası 60 birim kare Burası da 90 birim kare bak akdy 90 birim kare buldum alanlar oranı tabanlar oranından 2 m'nin 3 m'ye oranı 60'ın 90 oranı gördün mü İşte olay bu artık dikdörtgenin alanı 4 eşit parçaya ayrıldığı için alan olarak 90 90 90 toplamda Ne oldu 360 birimkare geldi işte mevzumuz bu bu şekilde çizim yapmak önemli çizdikten sonra onu Analitik olarak böyle yorumlamak çok daha önemli Arkadaşlar bunu söylemiş olayım ABCD ikizkenar yamuk ad bcye eşit AB paralel DC akd üçgeninin Eee AB üzerindeki bir k noktasından katlandığında ad köşegeni BD köşegeni üzerine denk geliyormuş K 2 6 B 56 a üssü L 4 birim başlangıçta a noktasının koordinatlar toplamı kaçtır şimdi Evet bakalım ne diyeceksin bir uğraş eski haline bir getirelim klasik şöyle bir yapayım burada böyle Dursun Şuraya bir a noktası diyelim ak la ka üssü eşit a üss d ile ad birbirine eşit sonra K noktası 2'ye 6 B noktası 5e 6 o zaman arkadaşlar ne oldu 2 5 aralarındaki uzaklık 3 birim geldi Yani aslında burada neyi gördük biz bu iken Analitik düzlemde rastgele çizdiğimi düşün Analitik düzlemde Aslında X eksenine paralel demek bu tamam mı haliyle burada A da K da B'de ordinatları aynı noktalar K ve B'nin aynıysa ordinatı A da bu doğrunun üzerindeyse Tabii ki A'nın da ordinatı aynı doğal olarak a noktasının En azından ordinatına 6D Mesele ne buradaki apsisi bulmak nasıl bulacağız Şimdi bunu siliyorum sadece Maksat göstermek paralel olduğunu X eksenine aynı zamanda Şimdi ne yapacağım bundan sonra arkadaşlar a ü l 4 şimdi olaya gel A'ya a dedim Sonra buraya da a dedim Tamam güzel Başka ne yapacağız hocam bundan sonra E şimdi çok güzel bir durum paralel artı açıortay Ne zamandır gelmiyordu değil mi geldi bak simetri ekseni açıortay Z'den dolayı ikizkenar yamuk paralellik Burası ne oldu a + 4 ister ik iskar olsun ister olmasın zaten ne olursa olsun mevzumuz nedir orada bir paralellik olduğu an yamuk da olsa zaten Z'den dolayı a + 4 diyecektim Bak burası bizim için kıymetli Şimdi ne olacak hocam dersen artık benzerlik bakın kelebek benzerliği görüyor musunuz bu sayede Ben A'nın 4E oranı 3'ün a + 4'e oranı derim A'ya 2 versem oluyor mu hakikaten oluyor İçler dışlar yapmama bile gerek kalmadı ama yapsam da bulacaktım zaten a'yı 2 doğal olarak artık arkadaşlar A2 olduğuna göre ne diyoruz aynı hiz adılar zaten aynı hizada olunca ordinatları aynıysa apsisler farkı bize zaten uzaklığı veriyordu o zaman 2'den 2 birim geri git 0 geldi Sonuçta Bak burada hani 5'ten 2 azaldı 3 bir azalacak 2 daha azalacak 2 2 - 2'den 0 oldu apsisleri bu şekilde 0 ordinatı 6 bulmuş olduk benden neyi istiyordu soru a noktasının koordinatlar toplamı başlangıçta 0a 6'dan 6 geldi Arkadaşlar bu şekilde böyle güzel bir soruyu aynı zamanda eski bilgilerimizi de tartarak yaptık Şimdi güzel bir soruyla bitiriyoruz hemen oku kendin çöz Ben sonra okuyayım Aşağıda verilen haritada siyah noktada bulunan bulunca mı bulunan diyelim oraya Bunlar acaba şey Hani bazen herhalde onlarda otomatik yazma gibi bir şey olabilir çünkü bunda Bence bende doğru görünüyordu bu PDF kısmında Bana gönderilen sonra bak burada çıkışta en son çıkış hatası herhalde Neyse sorun değil ama yine de yazalım Hani bazen bundan b tedir gen oluyor Bir dakika hocam orada bir şey mi demek istedi falan yok canım O yanlış yazılmış siyah noktada bulunan Esra a b c noktalarına eşit uzaklıkta bulunmaktadır bunları İşte o yüzden önce okuyun diyorum şimdi ben bunu okuyorum Bak Altını çiziyorum falan bu sefer yönlendiriyorum seni oku sınav mış gibi düşünelim üzerine bakalım Yoksa bazen şey oluyor o kadar da zor değil ya zaten sorunun en önemli noktasını söylüyoruz Esra En kısa yoldan BC ve AC Yollarına d ve e noktalarına gelerek ulaştığında eşit mesafede yol almıştır ki burası çok önemli a ile b arasındaki siyah çizgiyle gösterilen uzaklık gerçeklikte 24 km olduğuna göre AB BC AC gerçeklikte kaç kilometredir en önemli yerler zaten bir o fosforlum yer ikincisi şu arkadaşlar üçgenin içinde bulunan bir nokta üçgene eşit uzaklıktayız bu noktanın özelliği nedir çevrel çemberin merkezi köşelere eşit uzaklıkta olan çevrel çemberin merkezidir Bunu unutma Hep hatırlatıyorum Yeri geliyor bak soruların içine de yerleştiriyor böyle bir ABC üçgeninde mevzu bu yani ikizkenar üçgen eşkenar üçgen dar açılı üçgen cart curt falan ona girmiyorum önce hangi üçgen olursa olsun eşit uzaklıktayız kenar da olsa evet köşelere olan uzaklık eşit olduğunda çevrel çemberin merkezi sonra burada a -3 -1 b de - 3'e 7 Tamam c 0a k böyle Ayrıca Hani burada da göstereyim istedim başka soruda güzel güzel bir bilgi daha söylemiş arkadaşlar sana açıortay tanımı yapmış bak Neden biliyor musun Bir bir noktadan bir doğruya en kısa uzaklık arkadaşlar dik uzaklıktır bir noktadan bir doğruya en kısa uzaklık dik uzaklıktır Tamam hocam Ne alakası var hani bunun açı ortayla burada eşit mesafede yol almışım yani Bak Esra'ya e desek e'de Gerçi e varmış Pardon p diyelim FD ile Fe eşit kollara indirilen Dikler ne zaman eşit Tabii ki açıortayda daha da özelini şimdi söyleyeyim mi arkadaşlar bu açıortayı ben devam ettirdiğim zaman Normalde açıortay dersin ama bir açıortay şimdi lütfen dikkat burada ikizkenar üçgen var şöyle bak ikizkenar bir üçgende Alt tarafı için söylüyorum afd ikizkenar bir üçgen şimdi c'den indirdiğimde bir açıortay hemen görelim bak Alfa diyorum Alfa diyorum şimdi buraya ne diyeceğim Alfa diyeceğim Çünkü üçgen şu çevrel çemberin merkezi olduğu için kenardan da gör bak burada da göstereyim Alfa Alfa dedim açıortaydan dolayı Alfa Alfa buraya da dedim e bak eş üçgen olduğunu ve eşkenar olduğunu iddia etmiyorum O yüzden buraya teta yazacağım buraya da teta yazacağım Sonuçta üçgen burada öyle olsa eşkenar üçgen olur bak böyle teta teta Dedim sonuçta ikizkenar bir üçgen çıktı fark ettiniz mi Alfa Tet da Alfa teta da burası da Alfa Alfa hocam oralar talara Alfa Alfa olmaz mı Hayır onu bilemezsin sorunun sonunda anca anlarsın çünkü burada arkadaşlar Evet burada açılardan dolayı eşlik var da Tamam atıyorum bak burası 8 Burası 10 olur soru gördün gibi ikizkenar üçgen bu ayrı bir açı şu aynı bir açı Ama burası atıyorum uydurarak söylüyorum Burası 100 100 Derece Burası da işte 160 D olur mu Olur Hepsi aynı olursa eşkenar üçgen olur biliyor muyum Hayır onunla ilgili bir bilgim yok Dolayısıyla Arkadaşlar burası şimdi bakalım E hemen Görelim kaç birim uzaklıkta -3 -3 0 7 - -1 8 Evet ba 8 birim uzaklıkta E bir kenar sonra ikizkenar üçgen çıktı Ne yapacağız hocam ikizkenar üçgen Analitik Bir de İki nokta arasındaki uzaklık aynı c ile CB eşit çıktı arkadaşlar bunu Analitik olarak nasıl yorumlarsınız karesi k - 7 kares eşittir dersin acin karesine yani 0 - -3'ten 3ün karesi k - -1 k + 1in karesi k k - 144k + 49 k k + 2K + 1 k kareler gitti buradan 48 = e 16K oldu K arkadaşlar 3 gelmiş oldu işte Bu sayede k'yı artık 3 bulduğum için İki nokta arasındaki uzaklık Hemen yapalım k'yı burada 0a 3 buldum 0 - -3 3ün kares 3 - -1 4ün karesi Demek ki buradan karekökten AC 5 oldu bunu bulmaya bile gerek yok ikizkenar üçgen istersen bul her türlü 5 olduğunu göreceksin Böylece üçgenin kenarlarının toplamı 18 geldi Ne demiş Soru 8 birim arkadaşlar gerçekte 24 kreye denk geliyor o zaman 18 birim doğru orantılı olarak kaç kilometreye denk gelecek 54 kreye işte Arkadaşlar bu şekilde mevzumuz güzel bir E hem çevrel çember bak Hem merkezleri de inceledik aslında burada çaktırmadan onu da aradan çıkardık anlamlarını görmüş olduk karşılıklarını görmüş olduk hem de sorularda karşımıza geldiği zaman 2i 3 bilgi birleşince Acaba ne oluyu da test etmiş olduk dolayısıyla böyle iyi bir soru bunlar bu tarz böyle kaliteli yorum soruları analitikte devam edecek arkadaşlar o yüzden lütfen analitiğinde testlerin ii soru bankaların zdan güzelce çözün olayı iyi halledin ben olsam bu konuya özel sadece bir soru bankasından değil ikinci bir soru bankasından da Bitiririm E çünkü çok önemli sonra gelin doğru analitiği bunları da sağlam bilerek artık çok uzun orada bayağı böyle e en uzun konularımız biri olacak şekilde çok detaylı en artık burada da gördüğünüz gibi noktadan başladık daha ilerledik ya orada da doğrunun eğiminden Baş başlayıp ta sonuna kadar gideceğiz Görüşmek üzere İyi çalışmalar