Concetti Fondamentali dell'Entropia Termodinamica

Ciao, bentornato. Si sta per concludere il nostro percorso di termodinamica. Abbiamo detto tante cose fin qua e finalmente abbiamo gli strumenti per definire l'entropia. Ne ho già accennato in un primo video, ho fatto vedere che l'entropia aumenta nei fenomeni reversibili, però non abbiamo dato una definizione rigorosa. Cerchiamo in questa lezione di parlarne in modo rigoroso, definirla chiaramente, far vedere come si calcola. Premetto che in questo video parliamo del concetto di entropia secondo Clausius, quindi una definizione strettamente legata alla termodinamica, c'è poi un'altra definizione di entropia che illustrerò nell'ultimo video che è quella di Boltzmann che è più collegata al concetto di disordine e le due grandezze coincidono, però quindi è sempre la stessa grandezza fisica. Allora, forse nell'abito della fisica classica... Trattare l'entropia è forse l'argomento più complesso, è difficile da spiegare, è anche difficile da capire. Io cercherò di essere il più chiaro possibile, però anche tu devi concentrarti e fare la tua parte. Quindi proprio perché è difficile faccio un brevissimo riassunto di quello che è stato detto, perché dobbiamo collegare i concetti. Allora abbiamo dato due formulazioni. della seconda legge della dinamica, secondo Clausius, che dice che il calore non può passare spontaneamente da una sorgente fredda a una sorgente calda. Kelvin l'ha formulato dicendo che una macchina termica non può operare prelevando calore da un'unica sorgente, ma ci deve sempre essere anche una seconda sorgente. E Carnot, utilizzando questi due principi, ha dimostrato il teorema di Carnot che è equivalente ai principi precedenti e quindi può essere considerato una terza formulazione della seconda legge della dinamica che dice che il rendimento di una macchina reversibile è sempre maggiore o uguale al rendimento di un'altra macchina m qualunque e in particolare vale l'uguaglianza si parla di macchine a due sorgenti che sono le più semplici e vale l'uguaglianza se anche m reversibile quindi tutte le macchine macchine reversibili a due sorgenti hanno lo stesso rendimento invece vale il maggiore stretto se la macchina è irreversibile quindi qualunque macchina reversibile ha un rendimento migliore di una qualunque macchina irreversibile ora utilizzando il teorema di Carnot vediamo vediamo un'altra formulazione della seconda legge della dinamica che è è detta disuguaglianza di Clausius, quindi adesso dimostriamo la disuguaglianza di Clausius e poi con la disuguaglianza di Clausius possiamo dare una definizione di entropia e mostrare che l'entropia dell'universo non può diminuire ma anzi aumenta quando ci sono dei fenomeni irreversibili. Vediamo allora che cos'è questa disuguaglianza di Clausius, anzitutto premettiamo che è una disuguaglianza che si può applicare ai cicli termodinamici come ad esempio le macchine termiche che lavorano su dei cicli. Allora partiamo dal teorema di Carnot, cioè che il rendimento di una macchina reversibile è sempre maggiore o uguale al rendimento di un'altra macchina, che operano entrambe a due sorgenti. Quindi scriviamo questo teorema usando le formule dei rendimenti. 1-T2 fratto T1 è il rendimento di una macchina reversibile a due sorgenti, dove T1 è la temperatura calda e T2 è la temperatura fredda, invece 1-Q2 fratto Q1 è il rendimento di una macchina qualunque, quindi anche una macchina irreversibile. Ho messo Q2 in valore assoluto perché in realtà il calore uscente è negativo, però questo è un segno meno esplicito, cioè lo prendiamo positivo e poi cambiamo il segno. Ora, la disuguaglianza di Clausius... si ottiene semplicemente da questa disequazione riorganizzando i termini quindi basta fare dei semplici passaggi algebrici che adesso vediamo allora sottraiamo 1 ad ambo i membri poi cambiamo i segni quindi meno diventano più e allora dobbiamo anche invertire il segno di disuguaglianza poi portiamo T2 a secondo membro, quindi a denominatore, e Q1 a primo membro, quindi a numeratore, quindi si ottiene Q1 fratto T1 è minore del valore assoluto di Q2 fratto T2. Portiamo quindi tutto a primo membro, cambiando il segno, e ora ricordiamo che Q2 è negativo, quindi essendo in valore assoluto, il valore assoluto di un numero negativo è uguale a meno quel numero, quindi il valore assoluto di Q2 è uguale a meno Q2, in modo che diventi positivo, e poi meno per meno fa più. Quindi omettendo il valore assoluto diventa che Q1 fratto T1 più Q2 fratto T2 è minore o uguale a zero. E questa è detta disuguaglianza di Clausius, dove... Le temperature vanno sempre espresse in Kelvin, quindi sono sempre numeri positivi, invece il calore va considerato positivo quando entra nella macchina e negativo quando esce, perché nella disuguaglianza di Clausius non c'è più il valore assoluto e quindi se il calore esce dal sistema deve essere considerato negativo. Inoltre, dato che siamo partiti dal teorema di Carnot, cioè... rendimento di R maggiore o uguale al rendimento di M, abbiamo detto che c'è l'uguale se il ciclo è reversibile, cioè se anche la macchina M è reversibile, allora la disuguaglianza di Clausius diventa un'uguaglianza, cioè qua ci sarà uguale a zero se tutti i passaggi sono reversibili nel ciclo, quindi se un ciclo è interamente reversibile c'è l'uguale, perché la disuguaglianza di Clausius si può applicare. applicare qualunque ciclo termodinamico, che sia irreversibile, quindi avrà il minore stretto, o che sia reversibile e quindi avrà l'uguale. Inoltre la disuguaglianza di Clausius si può anche applicare a un ciclo che ha più di due sorgenti, 3, 4, 5, quanto si vuole, semplicemente ci saranno più addendi. Ad esempio vediamo qua un ciclo reversibile con tre temperature, Infatti ci sono diversi passaggi ma ci sono tre isoterme, vedete questi tre archi di perbole, dovete immaginare il piano di Clapeyron come tagliato da tante isoterme, quindi ad esempio A e B hanno la stessa temperatura, anche C e D hanno la stessa temperatura e poi questi isotermi sono collegati da delle adiabatiche BCDEFA, quindi ci sono tre temperature e tre scambi di calore perché nella diabatica non c'è scambio di calore quindi avremo q1 fratto t1 più q2 fratto t2 più q3 fratto t3 uguale a zero quindi la disuguaglianza di Clausius si opera anche su più sorgenti uguale a zero perché è un ciclo reversibile se invece fosse un ciclo irreversibile quindi ho riproposto il ciclo di prima però Ad esempio il passaggio EF, l'ho fatto così un po'spesso, un po'brutto, è il modo in cui si indica che è un passaggio irreversibile e allora se anche solo un passaggio irreversibile tutto il ciclo è irreversibile, allora la disuguaglianza di Clausius si scrive col minore stretto. In generale un qualunque ciclo termodinamico, cioè una qualunque linea chiusa, può essere approssimata a un insieme di cicli di Carnot operanti con temperature poco diverse tra loro. Quindi, vedete, questa linea circolare può essere considerata come la somma di tantissimi cicli di Carnot e più questi isotermi sono vicini tra loro, migliore l'approssimazione. Quindi, in un qualunque ciclo... anche che non abbia isoterme, lo possiamo approssimare come un ciclo con tanti isoterme, cioè in altre parole possiamo considerare la temperatura anziché variabile costante a tratti, e allora potremmo dire che Q1 fratto T1 più Q2 fratto T2 più Q3 fratto T3 eccetera è minore o uguale a 0, dove le varie temperature T1, T2 e T3 sono temperature che partono dalla temperatura di T1, T1 la temperatura iniziale, Tn la temperatura finale e poi questo passaggio lo suddivido in tante temperature che vanno da T1 verso Tn. Non so se T1 vale 100°C e Tn vale 200°C, posso fare a 100°C, a 101°C, a 102°C oppure se voglio essere più preciso a 100,1°C, a 100,2°C eccetera. Per ogni temperatura calcolo quanto calore fluisce in quella transizione di temperatura. Se immagino di avere infinite isoterme posso utilizzare questa scrittura con questo simbolo, con questo integrale circolare che sta proprio a indicare Si legge l'integrale circolare di dq fratto t che è questa somma, immagina, di infiniti addendi infinitamente piccoli. Se non conosci il calcolo integrale non ti preoccupare, l'importante è che tu capisci il concetto di questa scrittura, poi non calcoleremo integrali se non in uno specifico esempio che ti dirò. Comunque l'importante è che è chiaro che questa scrittura rappresenta in modo compatto per... rappresentare questa somma con tantissimi addendi. Ora che abbiamo ricavato la disuguaglianza di Clausius possiamo passare alla definizione di entropia, la definizione di Clausius appunto di entropia. Allora consideriamo un ciclo reversibile, cioè un ciclo che va da A verso B con una trasformazione reversibile e poi da B torna in A sempre con una trasformazione reversibile. Allora, in questo caso la disuguaglianza di Clausius è un'uguaglianza perché tutto il ciclo è reversibile, quindi q1 fratto t1 più q2 fratto t2 eccetera è uguale a 0 e questo si può anche scrivere col simbolo di integrale, quindi l'integrale circolare di dq fratto t è uguale a 0. Ora, questo integrale circolare, cioè questa somma di addendi, lo possiamo separare in due parti, il tratto da a a b lo chiamiamo l'integrale da a a b. Vedete che non c'è più il cerchietto di circolare perché non è un cammino chiuso ma è da a b. Più il percorso del ritorno, quindi più l'integrale da b ad a, si mette in basso il punto iniziale e in alto il punto finale, più l'integrale da b a a, sempre di dq fratto t, uguale a 0. Ora diamo la definizione di entropia. entropia e la definiamo come variazione di entropia perché come l'energia potenziale l'entropia si definisce attraverso la sua variazione, quindi potremmo dire che è definita meno di una costante additiva, cioè si decide arbitrariamente quanto vale l'entropia di un certo sistema e poi da lì si calcolano le variazioni, almeno nella definizione di Clausius. Allora la variazione di entropia delta S cioè per variazione si intende il valore finale meno il valore iniziale che ci dice di quanto è cambiata, se è positiva è aumentata, se è negativa è diminuita, quindi l'entropia di S, S è il simbolo di entropia, quindi l'entropia del punto B meno l'entropia di A è uguale per definizione, quindi questa è una formula data per definizione, non è da dimostrare, è uguale all'integrale da verso B di dq fratto t lungo un percorso reversibile. Quindi in pratica è data dalla somma, volendola scrivere in modo discreto, di q1 fratto t1 più q2 fratto t2 eccetera, fino ad andare da A fino a B, con un cammino reversibile. Però qual è la cosa bella? È che in realtà io posso calcolare l'entropia. immaginando un cammino reversibile però poi lo stesso risulta la stessa variazione vale anche se il cammino non fosse reversibile questo perché perché la variazione di entropia non dipende dal percorso quindi se io calcolassi la differenza di entropia tra e b anziché lungo questa linea reversibile la calcolassi lungo un'altra linea ad esempio questa qua rossa irreversibile allora delta s sarebbe uguale quindi uso il cammino io ho un cammino reale che è irreversibile ma io faccio il calcolo lungo un cammino reversibile tanto il risultato è lo stesso e perché non dipende dal percorso perché se io vado da a b e poi torno in a l'entropia è sempre la stessa perché ottengo delta s per andare da B seguendo questa formula e poi per andare da BA ottengo meno delta S perché sono gli stessi addendi però presi al contrario quindi con segno cambiato e quindi se mi faccio un mio giro da A e poi torno in A allora l'entropia non è variata quindi vuol dire che l'entropia non dipende dal percorso che è stato fatto per arrivare in A ma dipende solo dalle caratteristiche dello stato A Si dice che l'entropia è una funzione di stato per questo motivo. Prima di proseguire con la dimostrazione che l'entropia nei sistemi chiusi aumenta se ci sono trasformazioni irreversibili, vediamo come applicare questa formula, la definizione di entropia, ad alcuni casi pratici, perché finché non proviamo a risolvere qualche problema è difficile capire bene il significato di questa formula. Cominciamo con un esempio molto semplice. Calcola la variazione di entropia di 2 kg di ghiaccio. a 0 Celsius che si trasformano in acqua sempre a 0 Celsius. Quindi calcoliamo l'entropia durante un passaggio di stato, durante la fusione. Come dato ho riportato il calore latente di fusione del ghiaccio che vale 3,34 per 10 alla quinta Joule su Kelvin. Allora, applichiamo la definizione alla variazione di entropia, cioè Sb-Sa è uguale all'integrale da Ab di dq fratto t. Però in un passaggio di stato la temperatura è costante, quindi ho solo una temperatura, quindi questa integrale che rappresenterebbe Q1 fratto TA più Q2 fratto T2 eccetera è semplicemente uguale a Q fratto T, dove Q è quanto calore si trasferisce e T è la temperatura a cui avviene questo passaggio di calore. Quindi la variazione di entropia è uguale a Q fratto T. t e q è il calore che serve per effettuare il passaggio di stato, lo calcolo come calore latente di fusione per la massa, quindi l per m, fratto la temperatura che va espressa in kelvin, quindi 273 kelvin. Ora a numeratore faccio 3,34 per 10 alla quinta joule su chilogrammo per 2 chilogrammi Il tutto è diviso 273 Kelvin, se fate il calcolo con la calcolatrice, chilogrammi e chilogrammi si semplificano e rimane 2,45 per 10 alla terza Joule su Kelvin. Quindi l'entropia è aumentata di circa 2450 Joule su Kelvin. Osserviamo che l'entropia è aumentata e che l'acqua ha anche una struttura meno ordinata del ghiaccio, perché il ghiaccio è un solido. Le molecole occupano una certa posizione, hanno un certo ordine, mentre nell'acqua le molecole vanno a zonzo in modo casuale. Quindi questo poi ha fatto capire in futuro a Boltzmann che il concetto di entropia è collegato al concetto di ordine e disordine, quindi all'aumentare dell'entropia aumenta il disordine, ma questo lo vedremo in seguito. Passiamo a un secondo esempio. Calcolo la variazione di entropy associata a un trasferimento di 100 J di calore da una sorgente calda a temperatura 80°C verso una sorgente fredda a temperatura 20°C. E'la situazione illustrata qua, quindi 80 J di calore Q vanno da T caldo verso T freddo. Allora qui dobbiamo notare che ci sono due oggetti, c'è un sistema con temperatura calda. e un altro sistema con temperatura fredda. E l'entropia è una grandezza additiva, quindi l'entropia totale sarà data dalla somma dell'entropia calda più l'entropia del corpo freddo. Quindi la variazione di entropia delta S sarà uguale a delta SC, cioè la variazione di entropia del corpo caldo, più delta SF. Quindi dobbiamo fare... q fratto t caldo più q fratto t freddo allora la quantità q è sempre la stessa perché se sono 100 joule che escono dal corpo caldo sono anche 100 joule che entrano nel corpo freddo però dobbiamo ricordare che in termodinamica il calore è negativo quando esce da un sistema ed è positivo quando entra quindi per il corpo caldo q è negativo per il corpo freddo è positivo Quindi ΔS è uguale a ΔS caldo più ΔS freddo, quindi è uguale a meno Q, perché lo consideriamo negativo, quindi ho messo meno il modulo di Q per chiarire che deve essere inteso negativo, fratto T caldo più Q fratto T freddo. Quindi vengono meno 100 J fratto 353 K più 100 J fratto 293 e questa somma sarà positiva. perché abbiamo lo stesso numeratore ma il termine positivo ha il denominatore più piccolo e quindi è una frazione più grande. Insomma se fai il calcolo con la calcolatrice vedi che viene un numero positivo cioè 0,058 Joule su Kelvin. Facciamo notare che il passaggio di calore da un corpo caldo a un corpo freddo è un passaggio spontaneo, cioè avviene senza che ci sia un intervento esterno e nelle trasformazioni spontanee l'entropia aumenta sempre, quindi osserviamo che l'entropia è aumentata in un processo spontaneo. Nel processo spontaneo aumenta perché se invece fosse un processo forzato potrebbe anche diminuire, ma colui che forza quel processo... avrà un aumento di entropia che l'andrà a compensare. Vediamo come ultimo esempio un caso un pochino più difficile, calcola la variazione di entropia relativa a un'espansione libera che raddoppia il volume di 5 moli di gas perfetto alla temperatura iniziale di 300 Kelvin. L'espansione libera vuol dire che il gas inizialmente occupa solo metà di questo contenitore, poi si espande e va in tutto il contenitore. Per espansione libera si intende un'espansione adiabatica, quindi senza flussi di calore, irreversibile perché il gas non può tornare spontaneamente tutto da una parte e che lascia la temperatura invariata, quindi la temperatura dello stato A è uguale alla temperatura dello stato B, cioè perché le molecole si spostano senza variare la loro energia cinetica media, semplicemente vanno spontaneamente un po'dall'altra parte. Allora, sebbene questa sia una trasformazione irreversibile, quindi rappresentata sul piano di Clapeyron è una crua irreversibile, quindi la rappresentiamo così con questa linea tutta a scosse, ma noi possiamo immaginare che si sposti da A a B lungo un isoterma reversibile, tanto il calcolo dell'entropia è lo stesso. La temperatura è costante perché è un isoterma. Nella realtà non lo è, perché in realtà ci possono essere delle variazioni di temperatura lungo il percorso, ma noi facciamo finta che sia sempre a temperatura costante, tanto l'entropia è una funzione di stato e il percorso non conta. Quindi ΔS è uguale a Q fratto T, nella trasformazione isoterma la variazione di energia interna è uguale a zero e quindi Q meno L. è uguale a zero per il primo principio, quindi Q è uguale a L, quindi Q fratto T è uguale a L il lavoro, cioè fratto la temperatura, e abbiamo dimostrato in un video precedente che il lavoro di un isoterma è nRT, logaritmo naturale del volume finale fratto il volume iniziale, dove R è la costante dei gas, N è il numero di moli e T è la temperatura in Kelvin. Quindi T e T si semplificano. e rimane che la variazione di entropia è il numero di moli per la costante dei gas per il logaritmo naturale di 2, perché il volume di B è il doppio del volume di A. Sostituendo i numeri si ottiene 28,8 J su Kelvin. Quindi osserviamo nuovamente che l'entropia è aumentata in un processo spontaneo. Ora, per mostrare che non dipende dal percorso, proviamo a ripetere questo calcolo. calcolo scegliendo un altro cammino, quindi anziché andare da AB lungo un iso terma, ci spostiamo così, come qua in figura, prima andiamo da C, quindi con una trasformazione volume costante, un iso cora, e poi da C ci spostiamo a B con una trasformazione a pressione costante, un isobara. Allora qua i calcoli sono più difficili, bisogna conoscere il calcolo integrale, quindi per non perdere tempo, se sei in grado di capire... capirli, lascio a te la schermata, se no procedi pure, quindi si calcola l'integrale, ti commento solo alcuni passaggi, dq si calcola con la formula della termodologia, calore specifico molare a volume costante per il numero di moli per dt e calore specifico a pressione costante per il numero di moli per dp, poi si calcola l'integrale che dà un logaritmo, poi al al posto di poi TA è uguale a TB, quindi ho messo semplicemente T e poi nell'ultimo passaggio ho sostituito CP-CV uguale a R e poi TC fratto TB è uguale a VC fratto VB perché nell'ultimo passaggio da C a B è una trasformazione isobara e quindi per le leggi di Gay-Lussac volume e temperatura sono direttamente proporzionali. Quindi facendo anche questo percorso si ottiene sempre lo stesso risultato di prima, cioè n per r per il logaritmo naturale di 2. Bene, ora che abbiamo più o meno capito come calcolare l'entropia, dimostriamo che in un sistema chiuso l'entropia aumenta se ci sono trasformazioni irreversibili, altrimenti rimane costante. Per fare ciò dobbiamo applicare la disuguaglianza di Clausius e la definizione di entropia a un ciclo termodinamico così costituito, una trasformazione da A a B irreversibile, quella segnata in rosso, e poi si torna da B ad A con una trasformazione reversibile. Quindi complessivamente il ciclo è irreversibile. Allora scrivo la disuguaglianza di Clausius col minore stretto e questo integrale l'ho separato in due parti, anziché l'integrale circolare come ho fatto prima ho messo l'integrale da a a b irreversibile più l'integrale da b a a reversibile e il tutto è minore di 0. Ora il secondo integrale Non è altro che la definizione di entropia, ma con gli estremi di integrazione invertiti. Nella definizione si va da A a B, lungo un ciclo reversibile, qua da B ad A. E quindi devo scrivere meno delta S, perché avrò la variazione negativa di entropia, perché sono tornato indietro. Quindi, rimaneggiando i termini, possiamo dire che spostando cioè ΔS a secondo membro e cambiando quindi il segno, diventa che la variazione di entropia ΔS è maggiore dell'integrale da AB di dQ su T. Questo integrale è detto integrale di Clausius, quindi se non è su un percorso chiuso ma su un percorso aperto, da AB è detto integrale di Clausius. e quindi la variazione di entropia è sempre maggiore dell'integrale di Clausius fatto su un percorso irreversibile. Se invece il percorso da A a B fosse stato reversibile, il ragionamento era uguale e però quanzi che il minore nella disuguaglianza di Clausius si metteva l'uguale, quindi veniva che la variazione di entropia era uguale all'integrale di Clausius. Ora, qui ho riportato i risultati che ho appena detto, la variazione di entropia è maggiore dell'integrale di Clausius se il passaggio è reversibile, uguale se il passaggio è reversibile. Ora, mettiamo l'ipotesi che il sistema sia isolato. Un sistema isolato è un sistema dal quale non entra e non esce né materia e neanche energia. Quindi non ci sono flussi di energia vuol dire... che Q è uguale a zero perché il calore è un flusso di energia. Quindi se il sistema è isolato Q che è il calore in ingresso e in uscita è uguale a zero e quindi quanto vale l'integrale di Clausius vale zero perché avremo zero a numeratore. Quindi in un sistema isolato delta S è maggiore di zero se il passaggio da AB è irreversibile. Quindi abbiamo concluso la dimostrazione. Invece, se il passaggio è reversibile, l'integrale di Clausius vale sempre 0 e quindi delta S è uguale a 0. Cioè l'entropia è aumentata nel primo caso ed è rimasta costante nel secondo caso. Attenzione, questo vale solo se il sistema è isolato. Oppure potremmo anche dire se tutto... tutte le trasformazioni sono adiabatiche, cioè se non ci sono flussi di calore, che è come dire che è isolato, perché chiaramente si suppone che non ci siano neanche perdite o aggiunte di massa, se no chiaramente varia l'entropia. Quindi questo concetto può essere riassunto in una formulazione più generale del secondo principio della dinamica, perché a questa conclusione siamo partiti. dagli annunciati di Clausius a Kelvin, che poi è stato dimostrato nel teorema di Carnot, che poi ha dimostrato la disuguaglianza di Clausius, e poi siamo arrivati, tramite la definizione di entropia, a questo concetto. Quindi possiamo dire che il secondo principio della termodinamica afferma che l'entropia di un sistema isolato non varia in un processo reversibile, mentre aumenta in un processo reversibile. Quindi riassumiamo e facciamo un'importante osservazione. Allora, abbiamo dato una definizione. di entropia, questa qua, abbiamo visto che una conseguenza della disuguaglianza di Clausius è che in un sistema isolato l'entropia aumenta. se ci sono delle trasformazioni irreversibili mentre rimane costante se tutte le trasformazioni sono reversibili e poi importante osservazione in un ciclo termodinamico la variazione di entropia è sempre uguale a zero sia che questo ciclo sia reversibile sia che sia irreversibile e come mai perché l'entropia è una funzione di stato e la macchina termodinamica dopo aver fatto un ciclo ritorna nelle condizioni iniziali quindi l'entropia deve essere la stessa, stessa macchina, stessa entropia e questo sembra in contraddizione con quanto abbiamo detto un attimo fa che per trasformazioni irreversibili l'entropia aumenta, certo perché un ciclo termodinamico non è un sistema isolato, una macchina termodinamica scambia calore tra sorgenti calde e sorgenti fredde, quindi l'entropia della macchina è vero che rimane costante, ma se ci sono trasformazioni irreversibili... l'entropia dell'universo o diciamo di un sistema isolato che racchiude questa macchina aumenterà. Facciamo due esempi, uno con una macchina reversibile e uno con una macchina irreversibile. Partiamo con la macchina di Carnot che è reversibile, quindi questo è il ciclo di Carnot, due isoterme 1, 2 e 3 e 4 collegate da due adiabatiche, questo è lo schemino della macchina, il calore Q1. esce dalla sorgente calda, entra nella macchina e la macchina cede Q2 alla sorgente fredda, quindi in un ciclo l'entropia della macchina è uguale a zero perché torna nelle condizioni iniziali. Poi abbiamo l'entropia della sorgente calda che diminuisce, come abbiamo visto prima, di una quantità meno Q1 fratto T1 e l'entropia della sorgente fredda che aumenta di una quantità Q2 fratto T2, Q2 in valore assoluto. perché l'entropia della sorgente 2 aumenta. Ora quanto vale la variazione dell'entropia dell'universo? L'entropia è una grandezza additiva quindi sommiamo queste tre quantità quindi l'entropia dell'universo vale 0 meno Q1 fratto T1 più Q2 fratto T2. Questa volta a differenza dell'esempio in cui il calore fluisce spontaneamente da T1 a T2 senza la macchina in mezzo. le due temperature denominatorie sono diverse. Ora, possiamo dimostrare facilmente che questa somma meno q1 fratto t1 più q2 fratto t2 è uguale a zero. Infatti, il rendimento di una macchina di Carnot si può calcolare come 1 meno t1 fratto t2, ma anche con la formula più generale, che vale per tutte le macchine, quindi anche quella di Carnot, 1 meno q1 fratto q2. E manipolando algebricamente questa equazione, facendo dei semplici... passaggi si vede che meno q1 fratto t1 più q2 fratto t2 è uguale a zero e quindi questi termini se ne vanno e rimane che la variazione dell'entropia dell'universo per una macchina di Carnot che è reversibile è appunto uguale a zero. Come secondo esempio consideriamo una macchina con due sorgenti t1 500 kelvin t2 300 Kelvin e poi sappiamo che il calore assorbito dalla macchina Q1 è 500 J. Inoltre un rendimento di 0,20. Il testo non ci dice se questa macchina è reversibile o irreversibile. Ci sono alcune domande, vediamo una alla volta. Prima domanda, calcola la variazione di entropia dell'universo sottointeso da un ciclo, causata da un ciclo di questa macchina. Allora... Q1 vale 500 J, calcoliamo anche il lavoro, il lavoro è Q1 per rendimento, quindi il 20% di 500 J è 100 J, quindi io metto dentro 500 J e ottengo 100 J utili di lavoro. Allora il calore ceduto Q2 lo calcolo per differenza, 500 meno 100 fa 400 J. Ora rispondiamo alla prima domanda. L'entropia dell'universo, la variazione della macchina più la variazione di S1 più la variazione di S2. La variazione della macchina è 0, anche se una macchina è irreversibile, non importa, torna nello stato iniziale. La variazione della sorgente calda è meno Q1 fratto T1, come abbiamo spiegato prima. La variazione della sorgente fredda è meno Q2 fratto T2. Mettendo i vari dati. Quindi Q1 500 J, Q2 400 J alle temperature 500 e 300 K fa il calcolo e viene 0,33 J su K. Quindi l'entropia dell'universo è aumentata. ci fa capire che questa è una macchina irreversibile. Ora, seconda domanda, calcola quale sarebbe il massimo rendimento possibile della macchina, sottointeso con queste temperature. Quindi sarà sicuramente un numero maggiore di 0,20, perché il massimo possibile è il rendimento che avrebbe la macchina se fosse reversibile, e deve essere maggiore di una macchina irreversibile. Come posso calcolare questo rendimento? E'banale questa domanda, basta usare la formula del rendimento della macchina di Carnot, che rappresenta anche il rendimento massimo di una macchina a due temperature, quindi 1-T2 fratto T1, quindi 1-300K fratto 500K fa 1-0,6 che fa 0,4. Questo è il rendimento che è un numero senza unità di misura, adimensionale. Ora, terza domanda, ricalcola la variazione di entropia col nuovo rendimento. E dato che questo è il massimo possibile, deve essere una macchina reversibile, quindi deve venire questa volta 0. Allora, rifacciamo i calcoli di prima, però questa volta dobbiamo ricalcolare il lavoro, quindi Q1 è sempre 500 J. Il lavoro, dato che il rendimento è del 40%. sarà 200 J che è il 40% di 500 e quindi Q2 per differenza è solo più 300. Ora se riapplico la formula di prima verrà 0 meno 500 fratto 500 più 300 fratto 300 che fa meno 1 più 1, 0. Quindi con questo rendimento la macchina non varia in tropia perché questo rendimento è 0,4. testo ci avesse dato un rendimento di 0,5 certo facendo i calcoli veniva che l'entropia diminuiva ma 0,5 non è un rendimento accettabile perché nessuna macchina può avere un rendimento migliore di una macchina reversibile quindi quel rendimento come ha dimostrato Carnot e quindi quel rendimento no cioè quella macchina non può essere non può avere quelle caratteristiche quindi l'entropia non può diminuire Bene, questo faticosissimo video è terminato, ci sarà solo più una video lezione conclusiva nella quale si definirà l'entropia secondo Boltzmann, quindi l'entropia come misura del disordine dell'universo, però attenzione la parola disordine va presa con le molle perché bisogna capire bene cosa si intende con disordine, perché ad esempio una miscela di acqua e ghiaccio e più ordinata di acqua pura, anche se apparentemente acqua e ghiaccio è una cosa più caotica, mentre l'acqua è tutta lì uguale, quindi sembrerebbe più ordinata, ma non è così. E poi soprattutto capire come misurare questo disordine, perché l'entropia, scusate, la fisica è una scienza quantitative, quindi bisogna anche spiegare come misurare le grandezze che la definiscono. Ma per oggi è tutto. Grazie e buona giornata.

Premetto che in questo video parliamo del concetto di entropia secondo Clausius, quindi una definizione strettamente legata alla termodinamica, c'è poi un'altra definizione di entropia che illustrerò nell'ultimo video che è quella di Boltzmann che è più collegata al concetto di disordine e le due grandezze coincidono, però quindi è sempre la stessa grandezza fisica. Allora, forse nell'abito della fisica classica... Trattare l'entropia è forse l'argomento più complesso, è difficile da spiegare, è anche difficile da capire.

Io cercherò di essere il più chiaro possibile, però anche tu devi concentrarti e fare la tua parte. Quindi proprio perché è difficile faccio un brevissimo riassunto di quello che è stato detto, perché dobbiamo collegare i concetti. Allora abbiamo dato due formulazioni.

della seconda legge della dinamica, secondo Clausius, che dice che il calore non può passare spontaneamente da una sorgente fredda a una sorgente calda. Kelvin l'ha formulato dicendo che una macchina termica non può operare prelevando calore da un'unica sorgente, ma ci deve sempre essere anche una seconda sorgente. E Carnot, utilizzando questi due principi, ha dimostrato il teorema di Carnot che è equivalente ai principi precedenti e quindi può essere considerato una terza formulazione della seconda legge della dinamica che dice che il rendimento di una macchina reversibile è sempre maggiore o uguale al rendimento di un'altra macchina m qualunque e in particolare vale l'uguaglianza si parla di macchine a due sorgenti che sono le più semplici e vale l'uguaglianza se anche m reversibile quindi tutte le macchine macchine reversibili a due sorgenti hanno lo stesso rendimento invece vale il maggiore stretto se la macchina è irreversibile quindi qualunque macchina reversibile ha un rendimento migliore di una qualunque macchina irreversibile ora utilizzando il teorema di Carnot vediamo vediamo un'altra formulazione della seconda legge della dinamica che è è detta disuguaglianza di Clausius, quindi adesso dimostriamo la disuguaglianza di Clausius e poi con la disuguaglianza di Clausius possiamo dare una definizione di entropia e mostrare che l'entropia dell'universo non può diminuire ma anzi aumenta quando ci sono dei fenomeni irreversibili.

Vediamo allora che cos'è questa disuguaglianza di Clausius, anzitutto premettiamo che è una disuguaglianza che si può applicare ai cicli termodinamici come ad esempio le macchine termiche che lavorano su dei cicli. Allora partiamo dal teorema di Carnot, cioè che il rendimento di una macchina reversibile è sempre maggiore o uguale al rendimento di un'altra macchina, che operano entrambe a due sorgenti. Quindi scriviamo questo teorema usando le formule dei rendimenti.

1-T2 fratto T1 è il rendimento di una macchina reversibile a due sorgenti, dove T1 è la temperatura calda e T2 è la temperatura fredda, invece 1-Q2 fratto Q1 è il rendimento di una macchina qualunque, quindi anche una macchina irreversibile. Ho messo Q2 in valore assoluto perché in realtà il calore uscente è negativo, però questo è un segno meno esplicito, cioè lo prendiamo positivo e poi cambiamo il segno. Ora, la disuguaglianza di Clausius... si ottiene semplicemente da questa disequazione riorganizzando i termini quindi basta fare dei semplici passaggi algebrici che adesso vediamo allora sottraiamo 1 ad ambo i membri poi cambiamo i segni quindi meno diventano più e allora dobbiamo anche invertire il segno di disuguaglianza poi portiamo T2 a secondo membro, quindi a denominatore, e Q1 a primo membro, quindi a numeratore, quindi si ottiene Q1 fratto T1 è minore del valore assoluto di Q2 fratto T2. Portiamo quindi tutto a primo membro, cambiando il segno, e ora ricordiamo che Q2 è negativo, quindi essendo in valore assoluto, il valore assoluto di un numero negativo è uguale a meno quel numero, quindi il valore assoluto di Q2 è uguale a meno Q2, in modo che diventi positivo, e poi meno per meno fa più.

Quindi omettendo il valore assoluto diventa che Q1 fratto T1 più Q2 fratto T2 è minore o uguale a zero. E questa è detta disuguaglianza di Clausius, dove... Le temperature vanno sempre espresse in Kelvin, quindi sono sempre numeri positivi, invece il calore va considerato positivo quando entra nella macchina e negativo quando esce, perché nella disuguaglianza di Clausius non c'è più il valore assoluto e quindi se il calore esce dal sistema deve essere considerato negativo. Inoltre, dato che siamo partiti dal teorema di Carnot, cioè... rendimento di R maggiore o uguale al rendimento di M, abbiamo detto che c'è l'uguale se il ciclo è reversibile, cioè se anche la macchina M è reversibile, allora la disuguaglianza di Clausius diventa un'uguaglianza, cioè qua ci sarà uguale a zero se tutti i passaggi sono reversibili nel ciclo, quindi se un ciclo è interamente reversibile c'è l'uguale, perché la disuguaglianza di Clausius si può applicare.

applicare qualunque ciclo termodinamico, che sia irreversibile, quindi avrà il minore stretto, o che sia reversibile e quindi avrà l'uguale. Inoltre la disuguaglianza di Clausius si può anche applicare a un ciclo che ha più di due sorgenti, 3, 4, 5, quanto si vuole, semplicemente ci saranno più addendi. Ad esempio vediamo qua un ciclo reversibile con tre temperature, Infatti ci sono diversi passaggi ma ci sono tre isoterme, vedete questi tre archi di perbole, dovete immaginare il piano di Clapeyron come tagliato da tante isoterme, quindi ad esempio A e B hanno la stessa temperatura, anche C e D hanno la stessa temperatura e poi questi isotermi sono collegati da delle adiabatiche BCDEFA, quindi ci sono tre temperature e tre scambi di calore perché nella diabatica non c'è scambio di calore quindi avremo q1 fratto t1 più q2 fratto t2 più q3 fratto t3 uguale a zero quindi la disuguaglianza di Clausius si opera anche su più sorgenti uguale a zero perché è un ciclo reversibile se invece fosse un ciclo irreversibile quindi ho riproposto il ciclo di prima però Ad esempio il passaggio EF, l'ho fatto così un po'spesso, un po'brutto, è il modo in cui si indica che è un passaggio irreversibile e allora se anche solo un passaggio irreversibile tutto il ciclo è irreversibile, allora la disuguaglianza di Clausius si scrive col minore stretto.

In generale un qualunque ciclo termodinamico, cioè una qualunque linea chiusa, può essere approssimata a un insieme di cicli di Carnot operanti con temperature poco diverse tra loro. Quindi, vedete, questa linea circolare può essere considerata come la somma di tantissimi cicli di Carnot e più questi isotermi sono vicini tra loro, migliore l'approssimazione. Quindi, in un qualunque ciclo... anche che non abbia isoterme, lo possiamo approssimare come un ciclo con tanti isoterme, cioè in altre parole possiamo considerare la temperatura anziché variabile costante a tratti, e allora potremmo dire che Q1 fratto T1 più Q2 fratto T2 più Q3 fratto T3 eccetera è minore o uguale a 0, dove le varie temperature T1, T2 e T3 sono temperature che partono dalla temperatura di T1, T1 la temperatura iniziale, Tn la temperatura finale e poi questo passaggio lo suddivido in tante temperature che vanno da T1 verso Tn.

Non so se T1 vale 100°C e Tn vale 200°C, posso fare a 100°C, a 101°C, a 102°C oppure se voglio essere più preciso a 100,1°C, a 100,2°C eccetera. Per ogni temperatura calcolo quanto calore fluisce in quella transizione di temperatura. Se immagino di avere infinite isoterme posso utilizzare questa scrittura con questo simbolo, con questo integrale circolare che sta proprio a indicare Si legge l'integrale circolare di dq fratto t che è questa somma, immagina, di infiniti addendi infinitamente piccoli. Se non conosci il calcolo integrale non ti preoccupare, l'importante è che tu capisci il concetto di questa scrittura, poi non calcoleremo integrali se non in uno specifico esempio che ti dirò. Comunque l'importante è che è chiaro che questa scrittura rappresenta in modo compatto per...

rappresentare questa somma con tantissimi addendi. Ora che abbiamo ricavato la disuguaglianza di Clausius possiamo passare alla definizione di entropia, la definizione di Clausius appunto di entropia. Allora consideriamo un ciclo reversibile, cioè un ciclo che va da A verso B con una trasformazione reversibile e poi da B torna in A sempre con una trasformazione reversibile. Allora, in questo caso la disuguaglianza di Clausius è un'uguaglianza perché tutto il ciclo è reversibile, quindi q1 fratto t1 più q2 fratto t2 eccetera è uguale a 0 e questo si può anche scrivere col simbolo di integrale, quindi l'integrale circolare di dq fratto t è uguale a 0. Ora, questo integrale circolare, cioè questa somma di addendi, lo possiamo separare in due parti, il tratto da a a b lo chiamiamo l'integrale da a a b.

Vedete che non c'è più il cerchietto di circolare perché non è un cammino chiuso ma è da a b. Più il percorso del ritorno, quindi più l'integrale da b ad a, si mette in basso il punto iniziale e in alto il punto finale, più l'integrale da b a a, sempre di dq fratto t, uguale a 0. Ora diamo la definizione di entropia. entropia e la definiamo come variazione di entropia perché come l'energia potenziale l'entropia si definisce attraverso la sua variazione, quindi potremmo dire che è definita meno di una costante additiva, cioè si decide arbitrariamente quanto vale l'entropia di un certo sistema e poi da lì si calcolano le variazioni, almeno nella definizione di Clausius.

Allora la variazione di entropia delta S cioè per variazione si intende il valore finale meno il valore iniziale che ci dice di quanto è cambiata, se è positiva è aumentata, se è negativa è diminuita, quindi l'entropia di S, S è il simbolo di entropia, quindi l'entropia del punto B meno l'entropia di A è uguale per definizione, quindi questa è una formula data per definizione, non è da dimostrare, è uguale all'integrale da verso B di dq fratto t lungo un percorso reversibile. Quindi in pratica è data dalla somma, volendola scrivere in modo discreto, di q1 fratto t1 più q2 fratto t2 eccetera, fino ad andare da A fino a B, con un cammino reversibile. Però qual è la cosa bella? È che in realtà io posso calcolare l'entropia.

immaginando un cammino reversibile però poi lo stesso risulta la stessa variazione vale anche se il cammino non fosse reversibile questo perché perché la variazione di entropia non dipende dal percorso quindi se io calcolassi la differenza di entropia tra e b anziché lungo questa linea reversibile la calcolassi lungo un'altra linea ad esempio questa qua rossa irreversibile allora delta s sarebbe uguale quindi uso il cammino io ho un cammino reale che è irreversibile ma io faccio il calcolo lungo un cammino reversibile tanto il risultato è lo stesso e perché non dipende dal percorso perché se io vado da a b e poi torno in a l'entropia è sempre la stessa perché ottengo delta s per andare da B seguendo questa formula e poi per andare da BA ottengo meno delta S perché sono gli stessi addendi però presi al contrario quindi con segno cambiato e quindi se mi faccio un mio giro da A e poi torno in A allora l'entropia non è variata quindi vuol dire che l'entropia non dipende dal percorso che è stato fatto per arrivare in A ma dipende solo dalle caratteristiche dello stato A Si dice che l'entropia è una funzione di stato per questo motivo. Prima di proseguire con la dimostrazione che l'entropia nei sistemi chiusi aumenta se ci sono trasformazioni irreversibili, vediamo come applicare questa formula, la definizione di entropia, ad alcuni casi pratici, perché finché non proviamo a risolvere qualche problema è difficile capire bene il significato di questa formula. Cominciamo con un esempio molto semplice.

Calcola la variazione di entropia di 2 kg di ghiaccio. a 0 Celsius che si trasformano in acqua sempre a 0 Celsius. Quindi calcoliamo l'entropia durante un passaggio di stato, durante la fusione.

Come dato ho riportato il calore latente di fusione del ghiaccio che vale 3,34 per 10 alla quinta Joule su Kelvin. Allora, applichiamo la definizione alla variazione di entropia, cioè Sb-Sa è uguale all'integrale da Ab di dq fratto t. Però in un passaggio di stato la temperatura è costante, quindi ho solo una temperatura, quindi questa integrale che rappresenterebbe Q1 fratto TA più Q2 fratto T2 eccetera è semplicemente uguale a Q fratto T, dove Q è quanto calore si trasferisce e T è la temperatura a cui avviene questo passaggio di calore. Quindi la variazione di entropia è uguale a Q fratto T.

t e q è il calore che serve per effettuare il passaggio di stato, lo calcolo come calore latente di fusione per la massa, quindi l per m, fratto la temperatura che va espressa in kelvin, quindi 273 kelvin. Ora a numeratore faccio 3,34 per 10 alla quinta joule su chilogrammo per 2 chilogrammi Il tutto è diviso 273 Kelvin, se fate il calcolo con la calcolatrice, chilogrammi e chilogrammi si semplificano e rimane 2,45 per 10 alla terza Joule su Kelvin. Quindi l'entropia è aumentata di circa 2450 Joule su Kelvin. Osserviamo che l'entropia è aumentata e che l'acqua ha anche una struttura meno ordinata del ghiaccio, perché il ghiaccio è un solido.

Le molecole occupano una certa posizione, hanno un certo ordine, mentre nell'acqua le molecole vanno a zonzo in modo casuale. Quindi questo poi ha fatto capire in futuro a Boltzmann che il concetto di entropia è collegato al concetto di ordine e disordine, quindi all'aumentare dell'entropia aumenta il disordine, ma questo lo vedremo in seguito. Passiamo a un secondo esempio. Calcolo la variazione di entropy associata a un trasferimento di 100 J di calore da una sorgente calda a temperatura 80°C verso una sorgente fredda a temperatura 20°C.

E'la situazione illustrata qua, quindi 80 J di calore Q vanno da T caldo verso T freddo. Allora qui dobbiamo notare che ci sono due oggetti, c'è un sistema con temperatura calda. e un altro sistema con temperatura fredda. E l'entropia è una grandezza additiva, quindi l'entropia totale sarà data dalla somma dell'entropia calda più l'entropia del corpo freddo.

Quindi la variazione di entropia delta S sarà uguale a delta SC, cioè la variazione di entropia del corpo caldo, più delta SF. Quindi dobbiamo fare... q fratto t caldo più q fratto t freddo allora la quantità q è sempre la stessa perché se sono 100 joule che escono dal corpo caldo sono anche 100 joule che entrano nel corpo freddo però dobbiamo ricordare che in termodinamica il calore è negativo quando esce da un sistema ed è positivo quando entra quindi per il corpo caldo q è negativo per il corpo freddo è positivo Quindi ΔS è uguale a ΔS caldo più ΔS freddo, quindi è uguale a meno Q, perché lo consideriamo negativo, quindi ho messo meno il modulo di Q per chiarire che deve essere inteso negativo, fratto T caldo più Q fratto T freddo. Quindi vengono meno 100 J fratto 353 K più 100 J fratto 293 e questa somma sarà positiva. perché abbiamo lo stesso numeratore ma il termine positivo ha il denominatore più piccolo e quindi è una frazione più grande.

Insomma se fai il calcolo con la calcolatrice vedi che viene un numero positivo cioè 0,058 Joule su Kelvin. Facciamo notare che il passaggio di calore da un corpo caldo a un corpo freddo è un passaggio spontaneo, cioè avviene senza che ci sia un intervento esterno e nelle trasformazioni spontanee l'entropia aumenta sempre, quindi osserviamo che l'entropia è aumentata in un processo spontaneo. Nel processo spontaneo aumenta perché se invece fosse un processo forzato potrebbe anche diminuire, ma colui che forza quel processo... avrà un aumento di entropia che l'andrà a compensare.

Vediamo come ultimo esempio un caso un pochino più difficile, calcola la variazione di entropia relativa a un'espansione libera che raddoppia il volume di 5 moli di gas perfetto alla temperatura iniziale di 300 Kelvin. L'espansione libera vuol dire che il gas inizialmente occupa solo metà di questo contenitore, poi si espande e va in tutto il contenitore. Per espansione libera si intende un'espansione adiabatica, quindi senza flussi di calore, irreversibile perché il gas non può tornare spontaneamente tutto da una parte e che lascia la temperatura invariata, quindi la temperatura dello stato A è uguale alla temperatura dello stato B, cioè perché le molecole si spostano senza variare la loro energia cinetica media, semplicemente vanno spontaneamente un po'dall'altra parte.

Allora, sebbene questa sia una trasformazione irreversibile, quindi rappresentata sul piano di Clapeyron è una crua irreversibile, quindi la rappresentiamo così con questa linea tutta a scosse, ma noi possiamo immaginare che si sposti da A a B lungo un isoterma reversibile, tanto il calcolo dell'entropia è lo stesso. La temperatura è costante perché è un isoterma. Nella realtà non lo è, perché in realtà ci possono essere delle variazioni di temperatura lungo il percorso, ma noi facciamo finta che sia sempre a temperatura costante, tanto l'entropia è una funzione di stato e il percorso non conta.

Quindi ΔS è uguale a Q fratto T, nella trasformazione isoterma la variazione di energia interna è uguale a zero e quindi Q meno L. è uguale a zero per il primo principio, quindi Q è uguale a L, quindi Q fratto T è uguale a L il lavoro, cioè fratto la temperatura, e abbiamo dimostrato in un video precedente che il lavoro di un isoterma è nRT, logaritmo naturale del volume finale fratto il volume iniziale, dove R è la costante dei gas, N è il numero di moli e T è la temperatura in Kelvin. Quindi T e T si semplificano.

e rimane che la variazione di entropia è il numero di moli per la costante dei gas per il logaritmo naturale di 2, perché il volume di B è il doppio del volume di A. Sostituendo i numeri si ottiene 28,8 J su Kelvin. Quindi osserviamo nuovamente che l'entropia è aumentata in un processo spontaneo. Ora, per mostrare che non dipende dal percorso, proviamo a ripetere questo calcolo. calcolo scegliendo un altro cammino, quindi anziché andare da AB lungo un iso terma, ci spostiamo così, come qua in figura, prima andiamo da C, quindi con una trasformazione volume costante, un iso cora, e poi da C ci spostiamo a B con una trasformazione a pressione costante, un isobara.

Allora qua i calcoli sono più difficili, bisogna conoscere il calcolo integrale, quindi per non perdere tempo, se sei in grado di capire... capirli, lascio a te la schermata, se no procedi pure, quindi si calcola l'integrale, ti commento solo alcuni passaggi, dq si calcola con la formula della termodologia, calore specifico molare a volume costante per il numero di moli per dt e calore specifico a pressione costante per il numero di moli per dp, poi si calcola l'integrale che dà un logaritmo, poi al al posto di poi TA è uguale a TB, quindi ho messo semplicemente T e poi nell'ultimo passaggio ho sostituito CP-CV uguale a R e poi TC fratto TB è uguale a VC fratto VB perché nell'ultimo passaggio da C a B è una trasformazione isobara e quindi per le leggi di Gay-Lussac volume e temperatura sono direttamente proporzionali. Quindi facendo anche questo percorso si ottiene sempre lo stesso risultato di prima, cioè n per r per il logaritmo naturale di 2. Bene, ora che abbiamo più o meno capito come calcolare l'entropia, dimostriamo che in un sistema chiuso l'entropia aumenta se ci sono trasformazioni irreversibili, altrimenti rimane costante.

Per fare ciò dobbiamo applicare la disuguaglianza di Clausius e la definizione di entropia a un ciclo termodinamico così costituito, una trasformazione da A a B irreversibile, quella segnata in rosso, e poi si torna da B ad A con una trasformazione reversibile. Quindi complessivamente il ciclo è irreversibile. Allora scrivo la disuguaglianza di Clausius col minore stretto e questo integrale l'ho separato in due parti, anziché l'integrale circolare come ho fatto prima ho messo l'integrale da a a b irreversibile più l'integrale da b a a reversibile e il tutto è minore di 0. Ora il secondo integrale Non è altro che la definizione di entropia, ma con gli estremi di integrazione invertiti.

Nella definizione si va da A a B, lungo un ciclo reversibile, qua da B ad A. E quindi devo scrivere meno delta S, perché avrò la variazione negativa di entropia, perché sono tornato indietro. Quindi, rimaneggiando i termini, possiamo dire che spostando cioè ΔS a secondo membro e cambiando quindi il segno, diventa che la variazione di entropia ΔS è maggiore dell'integrale da AB di dQ su T.

Questo integrale è detto integrale di Clausius, quindi se non è su un percorso chiuso ma su un percorso aperto, da AB è detto integrale di Clausius. e quindi la variazione di entropia è sempre maggiore dell'integrale di Clausius fatto su un percorso irreversibile. Se invece il percorso da A a B fosse stato reversibile, il ragionamento era uguale e però quanzi che il minore nella disuguaglianza di Clausius si metteva l'uguale, quindi veniva che la variazione di entropia era uguale all'integrale di Clausius. Ora, qui ho riportato i risultati che ho appena detto, la variazione di entropia è maggiore dell'integrale di Clausius se il passaggio è reversibile, uguale se il passaggio è reversibile. Ora, mettiamo l'ipotesi che il sistema sia isolato.

Un sistema isolato è un sistema dal quale non entra e non esce né materia e neanche energia. Quindi non ci sono flussi di energia vuol dire... che Q è uguale a zero perché il calore è un flusso di energia. Quindi se il sistema è isolato Q che è il calore in ingresso e in uscita è uguale a zero e quindi quanto vale l'integrale di Clausius vale zero perché avremo zero a numeratore.

Quindi in un sistema isolato delta S è maggiore di zero se il passaggio da AB è irreversibile. Quindi abbiamo concluso la dimostrazione. Invece, se il passaggio è reversibile, l'integrale di Clausius vale sempre 0 e quindi delta S è uguale a 0. Cioè l'entropia è aumentata nel primo caso ed è rimasta costante nel secondo caso. Attenzione, questo vale solo se il sistema è isolato. Oppure potremmo anche dire se tutto...

tutte le trasformazioni sono adiabatiche, cioè se non ci sono flussi di calore, che è come dire che è isolato, perché chiaramente si suppone che non ci siano neanche perdite o aggiunte di massa, se no chiaramente varia l'entropia. Quindi questo concetto può essere riassunto in una formulazione più generale del secondo principio della dinamica, perché a questa conclusione siamo partiti. dagli annunciati di Clausius a Kelvin, che poi è stato dimostrato nel teorema di Carnot, che poi ha dimostrato la disuguaglianza di Clausius, e poi siamo arrivati, tramite la definizione di entropia, a questo concetto. Quindi possiamo dire che il secondo principio della termodinamica afferma che l'entropia di un sistema isolato non varia in un processo reversibile, mentre aumenta in un processo reversibile. Quindi riassumiamo e facciamo un'importante osservazione.

Allora, abbiamo dato una definizione. di entropia, questa qua, abbiamo visto che una conseguenza della disuguaglianza di Clausius è che in un sistema isolato l'entropia aumenta. se ci sono delle trasformazioni irreversibili mentre rimane costante se tutte le trasformazioni sono reversibili e poi importante osservazione in un ciclo termodinamico la variazione di entropia è sempre uguale a zero sia che questo ciclo sia reversibile sia che sia irreversibile e come mai perché l'entropia è una funzione di stato e la macchina termodinamica dopo aver fatto un ciclo ritorna nelle condizioni iniziali quindi l'entropia deve essere la stessa, stessa macchina, stessa entropia e questo sembra in contraddizione con quanto abbiamo detto un attimo fa che per trasformazioni irreversibili l'entropia aumenta, certo perché un ciclo termodinamico non è un sistema isolato, una macchina termodinamica scambia calore tra sorgenti calde e sorgenti fredde, quindi l'entropia della macchina è vero che rimane costante, ma se ci sono trasformazioni irreversibili...

l'entropia dell'universo o diciamo di un sistema isolato che racchiude questa macchina aumenterà. Facciamo due esempi, uno con una macchina reversibile e uno con una macchina irreversibile. Partiamo con la macchina di Carnot che è reversibile, quindi questo è il ciclo di Carnot, due isoterme 1, 2 e 3 e 4 collegate da due adiabatiche, questo è lo schemino della macchina, il calore Q1.

esce dalla sorgente calda, entra nella macchina e la macchina cede Q2 alla sorgente fredda, quindi in un ciclo l'entropia della macchina è uguale a zero perché torna nelle condizioni iniziali. Poi abbiamo l'entropia della sorgente calda che diminuisce, come abbiamo visto prima, di una quantità meno Q1 fratto T1 e l'entropia della sorgente fredda che aumenta di una quantità Q2 fratto T2, Q2 in valore assoluto. perché l'entropia della sorgente 2 aumenta. Ora quanto vale la variazione dell'entropia dell'universo? L'entropia è una grandezza additiva quindi sommiamo queste tre quantità quindi l'entropia dell'universo vale 0 meno Q1 fratto T1 più Q2 fratto T2.

Questa volta a differenza dell'esempio in cui il calore fluisce spontaneamente da T1 a T2 senza la macchina in mezzo. le due temperature denominatorie sono diverse. Ora, possiamo dimostrare facilmente che questa somma meno q1 fratto t1 più q2 fratto t2 è uguale a zero. Infatti, il rendimento di una macchina di Carnot si può calcolare come 1 meno t1 fratto t2, ma anche con la formula più generale, che vale per tutte le macchine, quindi anche quella di Carnot, 1 meno q1 fratto q2.

E manipolando algebricamente questa equazione, facendo dei semplici... passaggi si vede che meno q1 fratto t1 più q2 fratto t2 è uguale a zero e quindi questi termini se ne vanno e rimane che la variazione dell'entropia dell'universo per una macchina di Carnot che è reversibile è appunto uguale a zero. Come secondo esempio consideriamo una macchina con due sorgenti t1 500 kelvin t2 300 Kelvin e poi sappiamo che il calore assorbito dalla macchina Q1 è 500 J.

Inoltre un rendimento di 0,20. Il testo non ci dice se questa macchina è reversibile o irreversibile. Ci sono alcune domande, vediamo una alla volta. Prima domanda, calcola la variazione di entropia dell'universo sottointeso da un ciclo, causata da un ciclo di questa macchina. Allora...

Q1 vale 500 J, calcoliamo anche il lavoro, il lavoro è Q1 per rendimento, quindi il 20% di 500 J è 100 J, quindi io metto dentro 500 J e ottengo 100 J utili di lavoro. Allora il calore ceduto Q2 lo calcolo per differenza, 500 meno 100 fa 400 J. Ora rispondiamo alla prima domanda.

L'entropia dell'universo, la variazione della macchina più la variazione di S1 più la variazione di S2. La variazione della macchina è 0, anche se una macchina è irreversibile, non importa, torna nello stato iniziale. La variazione della sorgente calda è meno Q1 fratto T1, come abbiamo spiegato prima.

La variazione della sorgente fredda è meno Q2 fratto T2. Mettendo i vari dati. Quindi Q1 500 J, Q2 400 J alle temperature 500 e 300 K fa il calcolo e viene 0,33 J su K.

Quindi l'entropia dell'universo è aumentata. ci fa capire che questa è una macchina irreversibile. Ora, seconda domanda, calcola quale sarebbe il massimo rendimento possibile della macchina, sottointeso con queste temperature.

Quindi sarà sicuramente un numero maggiore di 0,20, perché il massimo possibile è il rendimento che avrebbe la macchina se fosse reversibile, e deve essere maggiore di una macchina irreversibile. Come posso calcolare questo rendimento? E'banale questa domanda, basta usare la formula del rendimento della macchina di Carnot, che rappresenta anche il rendimento massimo di una macchina a due temperature, quindi 1-T2 fratto T1, quindi 1-300K fratto 500K fa 1-0,6 che fa 0,4. Questo è il rendimento che è un numero senza unità di misura, adimensionale. Ora, terza domanda, ricalcola la variazione di entropia col nuovo rendimento.

E dato che questo è il massimo possibile, deve essere una macchina reversibile, quindi deve venire questa volta 0. Allora, rifacciamo i calcoli di prima, però questa volta dobbiamo ricalcolare il lavoro, quindi Q1 è sempre 500 J. Il lavoro, dato che il rendimento è del 40%. sarà 200 J che è il 40% di 500 e quindi Q2 per differenza è solo più 300. Ora se riapplico la formula di prima verrà 0 meno 500 fratto 500 più 300 fratto 300 che fa meno 1 più 1, 0. Quindi con questo rendimento la macchina non varia in tropia perché questo rendimento è 0,4. testo ci avesse dato un rendimento di 0,5 certo facendo i calcoli veniva che l'entropia diminuiva ma 0,5 non è un rendimento accettabile perché nessuna macchina può avere un rendimento migliore di una macchina reversibile quindi quel rendimento come ha dimostrato Carnot e quindi quel rendimento no cioè quella macchina non può essere non può avere quelle caratteristiche quindi l'entropia non può diminuire Bene, questo faticosissimo video è terminato, ci sarà solo più una video lezione conclusiva nella quale si definirà l'entropia secondo Boltzmann, quindi l'entropia come misura del disordine dell'universo, però attenzione la parola disordine va presa con le molle perché bisogna capire bene cosa si intende con disordine, perché ad esempio una miscela di acqua e ghiaccio e più ordinata di acqua pura, anche se apparentemente acqua e ghiaccio è una cosa più caotica, mentre l'acqua è tutta lì uguale, quindi sembrerebbe più ordinata, ma non è così.

E poi soprattutto capire come misurare questo disordine, perché l'entropia, scusate, la fisica è una scienza quantitative, quindi bisogna anche spiegare come misurare le grandezze che la definiscono. Ma per oggi è tutto. Grazie e buona giornata.

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