Lekcja pod tytułem Rozwiązywanie równania. Po poprzedniej lekcji, którą mam nadzieję wysłuchałeś, wiesz już czym jest równanie. I wiesz, że ta literka, która występuje w równaniu, oznacza niewiadomo, czyli coś, czego nie wiemy.
No i rozwiązanie równania polega na tym, że musimy się dowiedzieć, jaką wartość ma ta niewiadoma. Czyli jak na przykład mamy o takie sobie równanie, to po wykonaniu pewnych czynności musimy uzyskać coś takiego, że nasza niewiadoma, czyli x, równa się i tutaj jest liczba, która jest wynikiem. Tutaj zgaduję, absolutnie nie będę się zastanawiał, czy wpisuję prawdę, powiedzmy, że jest to 5. O, to jest rozwiązanie równania, że niewiadoma równa się ileś tam.
Do takiej sytuacji musimy doprowadzić. Czyli zobaczmy. Startujemy z takiej sytuacji, gdzie jest jakieś skomplikowane równanie I po iluś tam czynnościach, czasami po jednej czynności, a czasami po większej ilości Musimy uzyskać o coś takiego, że x równa się ileś Albo to samo może być zapisane w ten sposób O, że x będzie po prawej stronie równania Albo po lewej, albo po prawej, to jest obojętne tak naprawdę Czy x się znajdzie po lewej czy po prawej?
To trochę zależy od nas, a trochę od tych czynności, które będziemy wykonywali. Obie formy, x po lewej i x po prawej, są jak najbardziej poprawne. To już wyniknie tak naprawdę z tego, co będziemy robili po drodze, o, w czasie tych kroków, a czasami z tego, jak będzie nam się chciało, mówiąc szczerze.
Grunt, że czysty x nie może być absolutnie ujemny, o, tu minusika nie może być, absolutnie, już go ścieram. Tylko czysty, dodatni x po jednej stronie, a po drugiej liczba. To nazywamy rozwiązaniem naszego równania.
Dlaczego? No bo wtedy wiemy, jaka jest wartość tej niewiadomej. Powiedzmy, że to była cena jakiegoś buta.
Jak rozwiążemy równanie, to już wiemy, że ta cena buta jest równa 5, czy coś w tym rodzaju. No i teraz musimy się dowiedzieć, jak uzyskać, wychodząc od tego miejsca, tub, tub, tub, tub, uzyskać tą ostateczną formę. rozwiązania, czyli czysty x po lewej albo po prawej i liczba z drugiej strony równania. Dowiemy się tego na kolejnych kilkunastu przykładach.
No bo zobacz, naszym celem jest czysty x z jednej strony. No to przyjrzyjmy się temu pierwszemu równaniu. x dodać 2 równa się 7. Po pierwsze decyzja, z której strony będzie x. Skoro jest po lewej, to my chcemy dostać taką sytuację, że x na końcu będzie po lewej. Najwygodniej jest zawsze x zostawiać po tej stronie, po której on się pojawił.
Co zatem stoi na przeszkodzie, żeby x tutaj był samodzielny, a tutaj tylko liczba? No co nam przeszkadza? No ta dwójka nam przeszkadza, prawda?
Musimy się jej pozbyć. Cały proces rozwiązania, czyli cała metoda, będzie polegała na tym, że będziemy czyścili tą stronę, po której jest x, ze wszystkiego, co nam jest niepotrzebne. Zlicz, które dodają, zlicz, które odejmują.
Zobacz, co dalej będzie. Zlicz, które mnożą x, na następnej stronie zlicz, którego dzielą. Będzie musieli się tego wszystkiego pozbyć, żeby dostać czyściusieńkiego x.
Po lewej stronie w naszym wypadku. Jak się czyści? No popatrz, co ja zrobię.
Tutaj jest dodawanie. Co jest rzeczą odwrotną do dodawania? Odejmowanie. A więc ja powiem tak.
I to się zapisuje... za taką kreseczką po prawej stronie. Tu po prawej stronie matematyk za kreseczką zapisuje, co za chwilę zrobię.
Po co? Z dwóch przyczyn. Po pierwsze, żeby samemu się nie pogubić, a po drugie, na klasówce, albo jak robisz pracę domową, pani bądź pan nauczyciel lubi wiedzieć, co ty tutaj robiłeś.
Więc pisz to. Niektórzy mówią, ja to w głowie zrobiłem. No i później dziwią się, że mają obniżoną ocenę.
Lepiej pisać. Jak się przyzwyczaisz do tego pisania, tu na prawo od kreseczki, to już w gimnazjum, a później w liceum będziesz miał to przyzwyczajenie i wtedy popełnisz mniej błędów. Bo wierz mi, tak naprawdę na razie my rozwiązujemy bardzo proste równania. Później one się super skomplikują. I wtedy warto sobie zapisywać.
No dobra, po tych mądralach różnych, które tu powiedziałem, zaczynamy rozwiązywanie. Musimy się pozbyć tej dwójki. Jak powiedziałem...
Odwrotne do dodawania jest odejmowanie, więc ja mówię tak, skoro tak, to ja będę za chwilę odejmował. Odejmował dwa. Odejmował dwa z której strony? Z obu stron. Każdą czynność, którą sobie wymyślimy, Tą czynność czyszczącą musimy wykonywać z obu stron.
Popatrz, jak to będzie wyglądało. Przepisuję na początku to, co było, a teraz wykonuję tą czynność czyszczącą, czyli mówię minus 2. I z drugiej strony równania też to samo minus 2. Tą czynność, którą chcemy wykonać, tą czyszczącą, trzeba wykonywać koniecznie z obu stron równania. No i popatrz, co się stało.
2 minus 2... To jest 0, więc po lewej stronie został sam x. 7 minus 2 to jest 5. Po prawej została liczba.
I mamy rozwiązanie. To jest nasze pierwsze rozwiązanie, naszego pierwszego równania. Hura! Udało się.
Popatrzmy na następny przykład. x minus 5 równa się 4. Znowu chcemy oczyścić lewą stronę, bo x są po lewej. Musimy oczyścić z minus 5. No to my... Dodamy 5 do obu stron.
Robimy zawsze odwrotną czynność. Tu było dodać 2, to my minus 2. Tu jest minus 5, to my plus 5. Czynność odwrotną. No to proszę bardzo, wykonuję ją. Przepisałem, a teraz wykonuję tą czynność czyszczącą.
Czyli dodaję 5 do lewej strony i dodaję 5 do drugiej strony. Po lewej stronie minus 5 dodać 5 to jest 0, więc zostaje sam x. A po prawej 4 dodać 5 to jest 9. I mam rozwiązanie.
Wyczyściłem. Jest rozwiązanie. Następny przykład.
4x równa się 20. My pamiętamy, że to jest tak naprawdę 4 razy x. Czyli co tutaj nam przeszkadza? Ta czwórka mnożąca. Musimy się tej mnożącej czwórki pozbyć.
Co jest odwrotne do mnożenia? No, dzielenie oczywiście. Czyli żeby czyścić, my będziemy dzielili przez 4. No to dzielimy. 4x podzielić przez 4, bo pamięta, że kreska ułamkowa to jest dzielenie, a za chwilę zobaczysz, że to się bardziej opłaca tak pisać. I 20 podzielić przez 4. Zobacz, dlaczego się opłaca, bo od razu widzimy, że się skraca.
Ciach, ciach, skróciło się. 1, 1. I po lewej stronie nam zostaje sam x, a po prawej też się skróci. Tu jest 1, 4, tu jest 5, 4. 5 pierwszych, czyli 5. Udało się, znów rozwiązaliśmy.
Następny przykład. Dalej będziemy czyścili. Tutaj mamy x podzielić na 3. Równa się 5. Czyli co nam przeszkadza?
To dzielenie przez 3. Co jest odwrotne do dzielenia przez 3? Mnożenie przez 3. Czyli my będziemy mnożyli razy 3. Tylko zobacz, ja za chwilę... To x podzieli przez 3 troszeczkę inaczej zapiszę.
O, w ten sposób. I teraz dopiero wykonam to mnożenie przez 3, żebyś dobrze widział, bądź widziała, jak tu się ładnie skróci. No i teraz już wykonuję to mnożenie przez 3. Czyli 3 razy x trzecich równa się 3 razy 5. Tu się ciach, ciach skraca, zostaje sam x. A tu mamy 3 razy 5, 15. Gotowe. Więc popatrzmy raz jeszcze, jak czyściłem.
Gdy było dodawanie, ja odejmowałem. Gdy było odejmowanie, ja dodawałem. Gdy było mnożenie, ja dzieliłem. Gdy było dzielenie, ja mnożyłem.
Czyli czyszczenie to jest zawsze wykonanie tej odwrotnej czynności. Jak dodawanie, to odejmowanie. Jak odejmowanie, to dodawanie.
Czyli jak dodawanie, to my odejmujemy. Jak odejmowanie, to my dodajemy. Jak mnożenie, to my dzielimy.
Jak dzielenie, to my mnożymy. Tyle podstaw, tak można powiedzieć. A teraz już zaczniemy wykorzystywać tą naszą wiedzę i dalej rozwiążemy sobie trochę jeszcze przykładów, żeby utrwalić tą wiedzę o czyszczeniu. Proszę uprzejmie następny przykład. 2 trzecie x równa się 6. Co tu jest?
2 trzecie razy x, prawda? Musimy się pozbyć tych dwóch trzecich. No to my w takim razie będziemy dzielili przez 2 trzecie. A dzielić przez ułamek to znaczy, że mnożyć przez jednego odwrotność.
Czyli mnożymy tak naprawdę przez 3 drugie. No to mnożymy 3 drugie. razy i teraz to co tu było 2 trzecie x równa się 6 no i oczywiście tutaj też musimy zawsze z obiema stronami to samo robimy czyli 6 razy 3 drugie też wykonujemy Ciach, ciach, skróciło się.
Ciach, ciach, skróciło się. Tu zostaje x. No a tu trzeba przemnożyć.
O, tu nam się też notabene ładnie to wszystko przeposkraca. Tu jest jedna dwójka. Tu są trzy dwójki. Trzy razy trzy.
Dziewięć. Gotowe. Następny przykład.
Jeden i jedna trzecia x równa się trzy. Tu jest mnożenie. Dobrze jest, jak jest tego rodzaju mnożenie, zanim się zabierzemy za czyszczenie, czyli za rozwiązanie, zamienić to na ułamek.
Czyli zamienić to na taką formę, kiedy będzie ułamek, bo już wtedy wiemy, co mamy robić. Mnożyć przez odwrotność. No to zamieńmy na ułamek, bo tą liczbę mieszaną. No to mamy w takim razie tak. 3 w mianowniku, a w liczniku jest 1, dodać 1 razy 3, czyli 4 trzecie x.
Równa się 3. No i teraz już wiemy, co mamy robić. Mnożyć przez odwrotność tego ułamka, czyli przez 3 czwarte. Mnożymy.
3 czwarte razy 4 trzecie x równa się 3 czwarte razy 3. Ciach, ciach, ciach, ciach. Tu się wszystko poskracało, został sam x. No a tu się niestety nic nie skróci, więc mamy 3 razy 3, to jest 9 czwartych.
No jeszcze napiszmy to porządnie. 9 czwartych, więc to się równa ile? 2 i 1 czwarta. O, gotowe.
Dobrze powiesz, fajnie to działa. No a co jeżeli x jest z prawej strony? Dokładnie to samo. Dokładnie to samo, tylko w tym momencie my czyścimy prawą stronę. Do tej pory czyściliśmy lewą stronę, bo chcieliśmy x mieć po lewej, a teraz będziemy czyścić prawą.
No przećwiczmy to dla pewności. Musimy się pozbyć tego plus 2. No to my robimy minus 2. Proszę bardzo, 4 minus 2 po lewej, x plus 2 i t minus 2, czyli mamy minus 2 minus 2 to jest 0, tu został sam x, a po lewej 4 minus 2, 2. O, gotowe. Drugi przykład z x po prawej.
x minus 8, tego się musimy pozbyć, tego minus 8. No to my w takim razie plus 8 do obu stron. A więc z lewa to jest plus 8, No i nasza prawa strona też plus 8. To się ładnie zniesie i zostanie nam sam x, a tu mamy 6 dodać 8, czyli 14. Po prawej mamy 3 razy x. Skoro jest 3 razy x, no to my dzielimy przez 3. Czyścimy prawą stronę.
Więc 2 podzielić na 3, a tu mamy 3x podzielić na 3. To się skróciło, czyli po prawej mamy samego x, a po lewej po prostu 2 trzecie i to jest nasze rozwiązanie. Ułamek jest bardzo dobrym rozwiązaniem. Następny jeszcze jeden przykład. x podzielić na 2, czyli x drugich.
Skoro x jest dzielony przez 2, no to co my robimy? Mnożymy razy 2. Obie strony, więc po lewej stronie razy 2 i po prawej stronie razy 2. Tu się poskracało, no a 4, 2 to jest 2. Po prawej został sam x. Czyli czy x po prawej, czy po lewej metoda jest ta sama.
Po prostu czyścimy lewą albo prawą stronę, wykonując czynności odwrotne. Czyli odwrotne do dodawania odejmowanie, do odejmowania dodawanie i tak dalej. No a co, kiedy przy x stoi minus?
Tak jak tu lub tu. Nic się nie zmienia. Dalej robimy to samo.
Czyścimy. odpowiednią stronę. No tutaj dałem przykład, że x jest po lewej, no to co, musimy się pozbyć tego.
No to odejmujemy dwójeczkę, żeby oczyścić z plus 2, no to my minus 2, no i patrz co się dzieje. Minus x plus 2, czyli to co do tej pory. Teraz minus 2, czyli czyszczę. Oczywiście po prawej też muszę napisać to minus 2 i zobacz co się zrobiło. To się zniesie, został minus x, a po prawej mam po prostu 3. Czy to koniec?
No nie. Pamiętasz, że na początku powiedziałem, teraz to przypomnę, że to ma być x dodatni, że tu nie może być minusa. Co to oznacza? Poczekaj, z tym pojadę troszkę niżej. Przeciągnę tego tutaj, pana, w dół, żeby nam nie przeszkadzał, bo go za wysoko narysowałem.
Co to oznacza? Jak się pozbyć tego minusa? Ano, tak naprawdę to, co tutaj jest, to jest minus 1 razy x. Czy teraz już wiesz, jak się pozbyć? Bo pamiętasz z innych może lekcji, że jedynki mnożącej nie wpisuje się, ale ona tutaj tak naprawdę i jest.
Czyli minus x to jest to samo co minus 1 razy x. Więc jak się pozbędziemy tego minus 1, tego mnożenia? Proszę bardzo, dzielimy obie strony przez minus 1. Popatrz, co się będzie działo. Minus 1x podzielić przez minus 1, a tu mamy 3. Podzielić przez minus 1. Tu nam się elegancko skraca, zostaje x, a tu jest co? 3 podzielić przez minus 1, to jest 3, tylko że z minusem.
Minus 3. I to jest nasze o. To jest nasz wynik. W efekcie o z tego doszliśmy do tego.
Czyli tak naprawdę minus zmienił swoją stronę. Z lewej na prawą został przerzucony. Prawidłowo tutaj Ci wytłumaczyłem dlaczego.
No właśnie dlatego, że to jest mnożenie przez minus 1. Jak będziesz pamiętać, żeby... O, jak zobaczę minus, to tu se wpiszę 1 i już wiem, co dalej robić. Oczyścić z tego mnożenia przez minus 1. Popatrzmy na ten przypadek.
Co tutaj mamy? Minus 2 razy x. No to co będziemy robili? Co nam przeszkadza?
No mnożenie przez minus 2. No to my dzielimy przez minus 2. No problem. Dzielmy. Minus 2 razy x podzielić przez minus 2, tu mamy po prawej 4 podzielić przez minus 2. Ciach, ciach, zostaje sam x, a po prawej 4 podzielić przez 2 to jest ile?
2. No ale oczywiście z minusem i wynik gotów. Teraz jeszcze tak na sam koniec kilka trudniejszych przykładów. No bo do tej pory nasz x był z jednej strony. Albo z lewej, albo z prawej.
I czyściliśmy, wykonując czynności odwrotne. Czyli jak dodawanie, to myśmy odejmowali, jak odejmowanie, to myśmy dodawali i tak dalej. No a teraz może być też taka sytuacja jak tutaj, że x jest z obu stron.
Hmm, co tu zrobić? Zanim zaczniemy czyścić, to musimy doprowadzić do takiej postaci, żeby x był tylko z jednej strony. Czyli x z jednej strony musimy się pozbyć.
Zanim będziemy czyścili, to tylko z lewej albo tylko z prawej, to jest nasza decyzja, z której ma zostać x. Jak to zrobić? Którego x wybrać do czyszczenia? Tak naprawdę to jak Ci się podoba, ale ja Ci proponuję, żeby przyjrzeć się, po której stronie jest więcej x.
Zobacz, tu są dwa x, bo dwa razy x, a tu jest tylko jeden x. Więc ja osobiście zostawiłbym x po tej stronie. Tak samo w tym.
Drugim, który za chwilę zrobimy. Tu jest 6 x, a tu jest ich aż 12. Zostawiłbym tutaj po prawej stronie, a pozbywał się tych po lewej. Czy będziesz tak robić?
To już jest twoja sprawa. Ja tak ci proponuję. I mówiąc szczerze, tak jest najzręczniej, więc radzę to zapamiętać. No a teraz doprowadźmy do tej sytuacji, w której x są tylko po jednej stronie. Czyli ja się decyduję, że x mają zostać po tej stronie.
No to strej, trzeba się ich pozbyć. Jakie tu mam x? Tu mam minus x, pamiętaj, zawsze ze znakiem.
Tego się muszę pozbyć z prawej strony. Minus x. Jak się pozbywam? Tak samo jak do tej pory, tą metodą czyszczenia.
Czyli jak tu jest minus x, to ja do obu stron plus x dorzucę i się wtedy go pozbędę. No to zróbmy to. Piszę 2x, dodać 5. Teraz tego plus x dopisuję do lewej i po prawej. 4 minus x to co było i x tego czyszczącego dopisuję.
Popatrzmy co się dzieje. Minus x dodać x to się zniesie i po prawej zostanie samo 4, a po lewej co mamy? 2x dodać x to są 3x, no i dodać to 5. I popatrz, już nam zostało normalne równanko z x po jednej stronie, które już umiemy rozwiązywać.
Prawda? Rozwiążmy je, co nam szkodzi. Najpierw się tego pozbędziemy, czyli czyścimy. Skoro tam jest plus 5, to my minus 5. I mamy 3x plus 5 minus 5 równa się 4 minus 5. To się zniesie, zostaje nam samo 3x.
A 4 minus 5, kto wie ile to jest? Minus 1. Teraz tu musimy się pozbyć tej trójki, czyli tego 3 razy x. Skoro trójka mnoży, to my dzielimy przez trójkę. O, znowu mam za mało miejsca.
Źle se to zaplanowałem. Dziam, dziak ze mnie. O, jadę w dół. Dobra, dzielimy przez trzy.