Intro Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh Kita lanjutkan kembali kuliah kendali proses MG3217 Sekarang kita berada pada modul 02 mengenai transformasi Laplace Ya sekarang kita berada di modul 02 transformasi Laplace Apa gunanya transformasi laplas? Kenapa kita harus mempelajari transformasi laplas ini? Anda lihat, disini adalah kasus yang akan kita pelajari nanti.
Ini salah satu kasus yang kecil, yang sangat sederhana, di mana air ini dipanaskan, kemudian dijaga pada temperatur tertentu. Disini digunakan pemanas, jadi pemanas ini bisa berasal dari energi listrik atau berasal dari uap. Kemudian disini dipasang suatu sensor. Disini di... gunakan set point dan juga disini terdapat recorder dan disini juga controller jadi disini akan dibandingkan antara set point dengan temperatur yang diukur disini kemudian kalau misalnya terjadi perbedaan artinya sesuatu aksi itu harus diberikan baik memberikan energi kesini atau panas kesini sehingga temperatur ini naik atau mengurangi energi yang harus diberikan kesini untuk menurunkan temperatur disini.
Gangguannya dalam hal ini adalah air yang masuk ke dalam suatu tangki ini. Dari tangki ini kalau misalnya kita selesaikan Persamaan matematikanya, kita melihat neraca panas dalam hal ini, ada panas masuk, dikurang dengan panas keluar, terjadi akumulasi dari panas. Neraca panas secara umum dituliskan seperti persamaan di bawah ini. Anda lihat di sini, terdapat persamaan DT, Tnya T besar, sebagai fungsi dari T kecil, artinya perubahan temperatur terhadap waktu, ini yang berubah terus-menerus di dalam angki ini.
Tapi kalau misalnya dikenali proses, kita harapkan tidak lagi terjadi perubahan temperatur sebagai fungsi waktu atau dalam keran tunang. Baik, kita akan lihat nanti detail ya mengenai hal tersebut. Yang kita belajar hari ini adalah, atau saat ini adalah mengenai transformasi Laplace.
Apa guna transformasi Laplace? Anda lihat di sini muncul persamaan dt dibagi dengan dt, t-nya besar dan satu t kecil, temperatur dengan waktu. Ini akan mudah diselesaikan dengan menggunakan transformasi Laplace. Apalagi kalau misalnya kita membuat kasus yang seperti ini tadi. menjadi dalam bentuk diagram yang sudah pernah kita lihat sebelumnya.
Jadi kalau misalnya Anda lihat diagram blok ini, di sini terlihat adalah prosesnya itu sendiri. Jadi ini adalah dari tangki itu sendiri. Itu persamaan-nya akan menjadi seperti ini. Ini persamaan sudah ditransformasi Laplace. Kemudian termasuk gangguan juga ada di situ ya, dari Ti, jadi temperatur dari I yang masuk, sama dengan Ti yang ada di sini.
Kemudian di sini juga terdapat sensor. Sensornya adalah ini, satu dibagi dengan Toe MS. Ditambah dengan satu, ini merupakan transformasi Laplace dari sensor yang ada di bagian di sini, kemudian termasuk controller dan juga final control element itu ada di bagian di sini. Ini untuk menggambarkan apa yang terjadi di dalam controller dan juga di final control element. Jadi dengan menggunakan transformasi Laplace, persamaan yang tadinya diferensial seperti ini agak rumit kalau bisa diselesaikan.
Kalau misalnya di dalam fungsi Laplace, akan menjadi diagram blok, atau akan menjadi fungsi transfer seperti ini. Ya, di saat ini kita belajar lebih dahulu bagaimana mengubah suatu persamaan yang tadinya sebagai fungsi dari waktu, kita ubah menjadi persamaan yang ditransformasikan dalam bentuk S. S itu ada orang mengatakan bahwa itu S maksudnya adalah space atau ruang.
Ya ini orangnya Laplace, merupakan ilmuwan dari Perancis. Transformasi Laplace merupakan metode untuk menyelesaikan persamaan linier, diferensial, atau integral dengan sangat efisien. Artinya yang tadi persamaan rumit, kita bisa mengubah menjadi persamaan yang sederhana sehingga mudah sekali untuk diselesaikan.
Jadi di sini misalkan diberikan suatu fungsi sebagai fungsi dari waktu, jadi f t, jadi sesuatu sebagai fungsi dari waktu. Dengan digunakan transformasi Laplace, jadi fungsi waktu ini diubah menjadi fungsi s, jadi f. Ft berubah menjadi Fs. Jadi Fs itu sama dengan integral, ini definisi dari transformasi Laplace untuk mentransformasikan dari t ke s. Itu sama dengan integral dari 0 ke tak terhingga dari f, jadi dari waktu, e pangkat minus s dikali dengan t, dt.
Atau bisa juga dituliskan dalam bentuk umum, Fs itu sama dengan transformasi Laplace, jadi L itu dari nama Laplace, L Laplace, dari Ft. Jadi bentuk transformasi Laplace dari FT itu sama dengan FS. Dituliskan kembali, bersamaan dalam fungsi waktu, ditransformasikan menjadi S. S itu space maksudnya. Karena menggunakan persamaan integral, integral dari 0 tak teringgal dari f t dikali dengan a minus s t dikali d t, ini diberikan kembali ya, bagi kita mungkin yang sudah lupa atau masih suara seharusnya masih segar ya, mengenai kalkulus, mengenai matematika, ini integral semua.
Jadi kalau misalnya integral dari a dx itu sama dengan a x, integral dari x pangkat a dx itu sama dengan x pangkat a ditambah 1, dibagi dengan a ditambah 1. Kemudian integral dari super x dx itu sama dengan len x. Integral e pangkat a x. Jadi ini mirip dengan integral minus st. Kalau misalnya di sini kasusnya. Integral e pangkat a x dx itu sama dengan 1 dibagi a e pangkat a x.
Kemudian integral dari cos. Cos x itu sama dengan sin x. Integral dari sin x sama dengan minus cos x.
Integral dari a x kali e pangkat b x dx itu sama dengan e pangkat b x. dibagi dengan A pangkat 2, ditambah dengan B pangkat 2, dikali dengan A sinus AX, ditambah dengan B cosinus AX. Kemudian ini juga mirip dengan di atasnya, 1 cos AX, ini sin AX, ini juga hampir mirip. Bedanya di sini, minus A cos AX, ini terlalu dari sini datangnya, kemudian satu lagi, B sin AX, tinggal kebalikannya saja.
Integral UDV tersama dengan UV dikurang dengan integral VDU. Kita lihat contoh. satu persatu mengenai transformasi Laplace ini yang pertama yang paling mudah kalau misalnya kita punya Ft merupakan suatu konstanta jadi sebagai fungsi waktu dia tetap harganya, katakanlah disini sama dengan 1 bagaimana transformasi Laplace dari 1 ini Ft sama dengan 1 kita masukkan ke persamaan yang umum untuk transformasi Laplace Fs itu sama dengan integral 0 ketat hingga Ft e-st dt Kita ganti f t ini dengan harga 1 di atas. Sehingga menjadi f s sama dengan integral 0 ketak tertinggal 1 dikali dengan eksponen minus s dikali t dt. Nah, dengan menggunakan persamaan yang ini, bagi yang lupa ya, integral e pangkat a x dx bersama dengan super a e pangkat a x.
Jadi kalau misalnya integral dari e pangkat minus s t dt, dengan menggunakan persamaan yang itu, sama dengan, ya kalau misalnya kita bandingkan, sama dengan minus. E minus ST, ini yang EAX dibagi dengan S, tidak lain adalah konstanta dari A ini ya. Dalam hal ini S minus itu muncul dari minus ST, integral dari 0 ke tak teringat. Kemudian kita masukkan di 0 berapa harganya, dari tak teringat berapa harganya, jadi jawabannya adalah 1 dibagi dengan S.
Itu contoh yang paling simple. Transformasi Laplace dari suatu konstanta, apapun konstantanya 1, A, B, dan seterusnya. Kalau misalnya dia suatu konstanta, itu sama dengan, kalau misalnya 1 super S, kalau misalnya disesama dengan A, artinya A dibagi S, kalau misalnya ini B, B dibagi S, dan seterusnya.
Transformasi Laplace, ini harus dibuktikan bahwa dia bersifat linear. Kalau misalnya kita punya transformasi Laplace dari suatu persamaan A F1 T ditambah dengan B F2 kali T, jadi persamaan ini bisa ditulis dengan transformasi Laplace, jadi A-nya juga bisa dikeluarkan. A1 kosantai bisa keluar ke sana A dikali L dikali transformasi Laplace F1T kemudian B juga bisa dikeluarkan ke situ, B dikali dengan transformasi Laplace F2 kali T membuktikannya itu ada di bagian bawah di sini, jadi transformasi Laplace dari yang di atas ini itu sama dengan integral 0 tak terhingga A F1T kemudian ditambah dengan B F2T dikali dengan E pangkat minus STDT kemudian kita bisa uraikan jadi 2, jadi yang pertama A ini bisa dikeluarkan, jadi misalkan jadi 2 jadi yang satu F1, yang satu lagi F2, A integral dari 0 ketat teringat F1T E pangkat minus STDT kemudian yang keduanya B dikali dengan integral 0 ketat teringat F2T E pangkat minus STDT selanjutnya kalau misalnya kita lihat ini adalah A cos, kemudian yang ini 0 tak teringat F1T eksponen minus S di DT itu bisa kita ketulis dengan transformasi Laplace dari F1T. Hal yang sama juga untuk yang sebelahnya B dikali dengan transformasi Laplace dari F2 dikali dengan T.
Ini yang sebelumnya yang sudah disinggung jadi Fs itu sama dengan transformasi Laplace dari Ft. Fungsi anak tangga Fungsi anak tangga atau fungsi seperti ini itu sering ditemui di kendali proses. Kenapa itu penting?
Kalau misalnya kita lihat mengenai kendali proses, Kita hanya bisa mengendalikan sesuatu yang dari detik ini ke depan, dari 0 sekarang ini ke depan. Detik-detik yang berlalu, baru saja berlalu, kita tidak bisa melakukan kendali proses. Jadi sekali lagi, kendali proses itu hanya bisa dilakukan ke depan, dari sekarang ke depan. Yang baru saja berlalu, atau yang satu bulan yang lalu, satu minggu yang lalu, satu detik yang lalu, kita tidak bisa lagi mengendalikannya, itu sudah lewat, itu kendali proses. Untuk kendalikan proses ini, sering orang menggambarkan fungsinya sebagai fungsi dari anak tangga seperti ini.
Jadi pada T kurang dari 0, itu harganya 0. Ini juga kalau misalnya ada sinyalnya kita nggak bisa lagi melakukan apa-apa gitu ya. Jadi ini 0 biasanya, ini masa lalu, kita tidak bisa melakukan apa-apa lagi. 0 ke yang berikutnya, ini masa depan ini.
Ini yang bisa dikendalikan. Sama seperti hidup kita, kita tidak mungkin lagi dikendalikan yang kemarin. Kemarin, seharusnya saya melakukan itu kemarin. Gak bisa lagi, gak bisa lagi. Yang bisa kita lakukan adalah ke masa depan.
Mulai detik ini, ke depan. Apakah untuk 1 jam ke depan, 1 menit ke depan, 2 menit ke depan, 1 tahun ke depan, 50 tahun ke depan, kita bisa rencanakan. Tapi yang berlalu, gak bisa direncanakan. Itu biasanya dikenali proses dikatakan pada titik kurang dari 0 itu udah sama dengan 0. Kalau misalnya ada harganya juga, gak ada artinya harga tersebut.
Gak bisa lagi kita kendalikan, itu maksudnya. Oke, sekarang kalau misalnya fungsi anak tangga seperti ini, yang dilihat sekali lagi yang ke depan ya, yang karena kemarin nggak bisa lagi dikenalikan, transformasi Laplace dari fungsi anak tangga ini, dari U, T, jadi ini bisa dikatakan dengan transformasi Laplace dari U, T itu sama dengan 1, fungsi anak tangga ya, unit step, function, itu sama dengan 1, harganya 1, yang ke depan, jadi transformasi Laplacenya kalau misalnya kita gunakan, atau di contoh sebelumnya, di contoh yang 1 ini, jadi sama dengan, FT itu sama dengan 1, sehingga transformasi Laplace itu sama dengan 1 dibagi dengan S. Di sini, juga sama untuk fungsi tangga ini, karena UT itu sama dengan 1, Anda lihat di sini pada T1, sehingga transformasi Laplace dari 1 itu sama dengan 1 dibagi S. Kalau FT ini sama dengan A, maka transformasi Laplace itu sama dengan A dibagi dengan S. Ini yang sebelumnya yang sudah kita lihat, jadi transformasi Laplace dari suatu konstanta, 1, itu sama dengan 1 dibagi dengan S.
Yang berikutnya adalah transformasi Laplace dari fungsi eksponensial. Sama seperti sebelumnya, jadi pada T kurang dari 0, itu nggak bisa lagi dilakukan apa-apa, sehingga harganya sama dengan 0. Ft sama dengan eksponen minus A T pada T lebih besar pada 0. Jadi fungsinya adalah bisa dikatakan seperti ini, Ft itu sama dengan E eksponen minus A dikali dengan T. Transformasi Laplace dari eksponen minus A dikali T itu sama dengan integral dari 0 tak terhingga E pangkat minus AT dikali dengan E pangkat minus ST. Sesuai dengan definisi dari selama mesin lapelas ini.
Jadi FT ini diganti dengan eksponen minus AT. Sehingga persamaannya bisa diculis dengan eksponen minus dalam kurung S ditambah A dikali dengan T DT. Ini kalau bisa diselesaikan lebih lanjut.
Mendapatkan hasil seperti ini. Jika menggunakan persamaan integral seperti yang ini ya. Minus 1 dibagi dengan S ditambah A.
Eksponen minus S. ditambah dengan A dikali dengan T, kemudian dianalisis, kalau misalnya diberikan syarat batasnya dari 0 ke tak terhingga, dari harganya tak terhingga ini diganti T-nya, kemudian pada 0 juga diganti T-nya, setelah ini didapatkan, itu sama dengan 1 dibagi dengan S ditambah A. Kita lihat, persamaan yang tadi mungkin agak rumit ya, ada eksponen minus A, T, kalau misalnya ditransformasi lapas, itu menjadi persamaan yang sangat sederhana. 1 dibagi dengan S ditambah A ini adalah persamaan aritmetika yang setelah itu kalau misalnya diselesaikan dimanipulasi, itu akan lebih memudahkan, itu kegunaan dari transformasi Laplace yang sudah dipikirkan oleh yang namanya Laplace tadi di tahun 1700an yang berikutnya adalah fungsi tanjakan atau rem function jadi naik, gitu ya, dengan kemendigan tertentu, disini contohnya adalah Ft itu sama dengan T pada T lebih besar daripada 0 transformasi Laplace dari T Bersama dengan 1 dibagi dengan S pangkat 2. Jadi bentuk kurvanya seperti ini aktualnya, supaya fungsi dari waktu, kalau misalnya transformasi Laplace, menjadi 1 dibagi dengan S pangkat 2. Berikutnya adalah yang untuk yang sinus.
Untuk yang sinus ini, transformasi Laplace dari sin KT pada T lebih besar daripada 0, ini didapatkan bersamanya akan menjadi Kalau misalnya dimasukkan secara beratas dari 0 ke tak terhingga bersama dengan K dibagi dengan S pangkat 2 ditambah dengan K pangkat 2. Oke, baik. Itu dasar mengenai transformasi Laplace. Yang berikutnya di segmen ke-2 dan ke-3 juga kita masih melanjutkan hal yang sama. Kita akan melihat kembali mengenai transformasi Laplace ini.
Anda di rumah mohon menggunakan kertas. Ya, mohon luluskan. Tidak bisa orang belajar hanya menonton video. Tidak akan bisa.
Anda harus coba. Begitu cerita matematika, cerita... Sesuatu yang harus dihitung ya, itu Anda harus menggunakan kertas. Memang saya tahu bahwa kecenderungan sekarang ini kebanyakan orang belajar dengan menggunakan atau menonton video, apalagi sekarang ini masih pandemi, video ini diharapkan dapat membantu, tapi bukan berarti bahwa Anda menghilangkan kertas untuk menulis, itu tetap saja masih wajib.
Jadi sebelumnya yang sudah saya sampaikan, Anda tulis kembali di buku Anda, kemudian juga lihat penurunannya pelan-pelan ya, cara menghitungnya pelan-pelan. Beram-beram bermanfaat. Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.