डिफरेंशियल कैलकुलस लेक्चर नोट्स

परिचय

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• टॉपिक: डिफरेंशियल कैलकुलस (पहला टॉपिक: रोल्स थेरम)

रोल्स थेरम

• समझने के लिए बेसिक चीजें समझें:
  • निरंतरता (Continuous Function)
  • भिन्नात्मकता (Differential Function)
  • डेरिवेटिव

डेरिवेटिव के फॉर्मूले

• डेरिवेटिव फॉर्मूला:
  • ( f'(x) = n x^{n-1} )
  • ( \sin(x) \Rightarrow \cos(x) )
  • ( \cos(x) \Rightarrow -\sin(x) )
  • ( \log(x) \Rightarrow \frac{1}{x} )
  • शून्य का डेरिवेटिव: 0

U-V Rule

• डेरिवेटिव निकालने के लिए U-V Rule का प्रयोग करें:
  • अगर ( U ) और ( V ) हैं, तो ( U \cdot V \Rightarrow U'V + UV' )

इंटरवल की जानकारी

• ओपन और क्लोज़ इंटरवल:
  • ओपन: अंतिम मान सम्मिलित नहीं होता
  • क्लोज़: सभी मान सम्मिलित होते हैं

निरंतरता और भिन्नता

• निरंतरता (Continuous): -Polynomial: ( x^2 + 5 )

  • ट्रिग्नोमेट्रिक फ़ंक्शन: ( \sin(x), \cos(x) )

• भिन्नता (Differentiable):

  • यदि ( f(a) = f(b) ) हो, तो निरंतरता जरूरी है
  • लेफ्ट और राइट लिमिट चेक करना होगा

रोल्स थेरम की शर्तें

1. ( f(x) ) क्लोज़ इंटरवल में निरंतर होना चाहिए
2. ( f(x) ) ओपन इंटरवल में भिन्न होना चाहिए
3. ( f(a) = f(b) ) होना चाहिए

उदाहरण

उदाहरण 1: रोल्स थेरम वेरिफाई करना

1. ( f(x) = x^2 ) के लिए:
   • क्लोज़ इंटरवल: [-1, 1]
   • ( f(-1) = f(1) ) चेक करें
   • डेरिवेटिव निकालें: ( f'(x) = 2x )
   • ( C ) का मान निकालें।

उदाहरण 2: रोल्स थेरम वेरिफाई करना (नॉन-पोलिनोमियल)

1. ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2} ) के लिए:
   • चेक करें कि ये निरंतरता और भिन्नता की शर्तें पूरी करता है या नहीं।

निष्कर्ष

• रोल्स थेरम को समझना महत्वपूर्ण है।

• डेरिवेटिव और निरंतरता की बुनियादी जानकारी आवश्यक है।

• हर टॉपिक के लिए प्रैक्टिस करें और क्लास में सक्रिय रहें।

नोट्स को अच्छी तरह से पढ़ें और समझें। अगर कोई प्रश्न हो, तो स्पष्ट करें।