Fonctions exponentielles : concepts clés

Sep 11, 2024

Cours sur les fonctions exponentielles

Introduction

  • Objectif de la séquence : expliquer les éléments clés des fonctions exponentielles.
  • Contenu : définition, propriétés de la fonction exponentielle, nombre e, croissances comparées, fonction E2U.
  • Importance des exercices pour la préparation d'un contrôle ou d'un examen.

Définition de la fonction exponentielle

  • Théorème : unique fonction f dérivable sur R telle que :
    1. f' = f
    2. f(0) = 1
  • Cette fonction est appelée la fonction exponentielle.
  • Notation : initialement notée exp, puis changée.

Propriétés immédiates

  • exp(0) = 1.
  • La fonction exponentielle est strictement croissante.
  • Valeur de exp(21) dépasse le milliard.

Étude de la fonction exponentielle

Dérivabilité

  • Fonction exponentielle est continue et dérivable sur R : f' = f.
  • Dérivée : exp'(x) = exp(x).

Limites

  • Limites en fonction des infinies :
    • lim (x → -∞) exp(x) = 0 (asymptote y = 0)
    • lim (x → +∞) exp(x) = +∞
  • Pas d'asymptote verticale.

Propriétés de la fonction exponentielle

Relation fonctionnelle

  • exp(x + y) = exp(x) * exp(y).
  • exp(-x) = 1/exp(x).

Introduction du nombre e

  • Nombre e : image de 1 par la fonction exponentielle : e = exp(1).
  • Valeur approximative : e ≈ 2,718 (nombre irrationnel).

Notation de la fonction exponentielle

  • exp(x) = e^x (fonction puissance avec base e).
  • Propriétés semblables à celles des fonctions puissance.

Propriétés fondamentales

  • e^0 = 1, e^1 = e.
  • exp(x) est strictement positive.
  • Dérivée reste exp(x).
  • Propriétés de la relation fonctionnelle avec la notation e.

Croissances comparées

Exponentielle vs Puissance

  • Limite en +∞ : exp(x) > x^n pour tout n.
  • Limite en -∞ : limite de x^n * exp(x) = 0.
  • Ordre hiérarchique : ln < x^n < exp(x).

Dérivée de E^u (u fonction)

  • Dérivée de e^u = u' * e^u.
  • Étude du sens de variation de e^u est liée à u.

Conclusion

  • Importance de pratiquer avec des exercices.
  • Révision des propriétés et concepts clés abordés durant la séquence.