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Fonctions exponentielles : concepts clés
Sep 11, 2024
Cours sur les fonctions exponentielles
Introduction
Objectif de la séquence : expliquer les éléments clés des fonctions exponentielles.
Contenu : définition, propriétés de la fonction exponentielle, nombre e, croissances comparées, fonction E2U.
Importance des exercices pour la préparation d'un contrôle ou d'un examen.
Définition de la fonction exponentielle
Théorème : unique fonction f dérivable sur R telle que :
f' = f
f(0) = 1
Cette fonction est appelée la fonction exponentielle.
Notation : initialement notée exp, puis changée.
Propriétés immédiates
exp(0) = 1.
La fonction exponentielle est strictement croissante.
Valeur de exp(21) dépasse le milliard.
Étude de la fonction exponentielle
Dérivabilité
Fonction exponentielle est continue et dérivable sur R : f' = f.
Dérivée : exp'(x) = exp(x).
Limites
Limites en fonction des infinies :
lim (x → -∞) exp(x) = 0 (asymptote y = 0)
lim (x → +∞) exp(x) = +∞
Pas d'asymptote verticale.
Propriétés de la fonction exponentielle
Relation fonctionnelle
exp(x + y) = exp(x) * exp(y).
exp(-x) = 1/exp(x).
Introduction du nombre e
Nombre e : image de 1 par la fonction exponentielle : e = exp(1).
Valeur approximative : e ≈ 2,718 (nombre irrationnel).
Notation de la fonction exponentielle
exp(x) = e^x (fonction puissance avec base e).
Propriétés semblables à celles des fonctions puissance.
Propriétés fondamentales
e^0 = 1, e^1 = e.
exp(x) est strictement positive.
Dérivée reste exp(x).
Propriétés de la relation fonctionnelle avec la notation e.
Croissances comparées
Exponentielle vs Puissance
Limite en +∞ : exp(x) > x^n pour tout n.
Limite en -∞ : limite de x^n * exp(x) = 0.
Ordre hiérarchique : ln < x^n < exp(x).
Dérivée de E^u (u fonction)
Dérivée de e^u = u' * e^u.
Étude du sens de variation de e^u est liée à u.
Conclusion
Importance de pratiquer avec des exercices.
Révision des propriétés et concepts clés abordés durant la séquence.
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