Cours sur les fonctions exponentielles

Introduction

• Objectif de la séquence : expliquer les éléments clés des fonctions exponentielles.
• Contenu : définition, propriétés de la fonction exponentielle, nombre e, croissances comparées, fonction E2U.
• Importance des exercices pour la préparation d'un contrôle ou d'un examen.

Définition de la fonction exponentielle

• Théorème : unique fonction f dérivable sur R telle que :
  1. f' = f
  2. f(0) = 1
• Cette fonction est appelée la fonction exponentielle.
• Notation : initialement notée exp, puis changée.

Propriétés immédiates

• exp(0) = 1.
• La fonction exponentielle est strictement croissante.
• Valeur de exp(21) dépasse le milliard.

Étude de la fonction exponentielle

Dérivabilité

• Fonction exponentielle est continue et dérivable sur R : f' = f.
• Dérivée : exp'(x) = exp(x).

Limites

• Limites en fonction des infinies :
  • lim (x → -∞) exp(x) = 0 (asymptote y = 0)
  • lim (x → +∞) exp(x) = +∞
• Pas d'asymptote verticale.

Propriétés de la fonction exponentielle

Relation fonctionnelle

• exp(x + y) = exp(x) * exp(y).
• exp(-x) = 1/exp(x).

Introduction du nombre e

• Nombre e : image de 1 par la fonction exponentielle : e = exp(1).
• Valeur approximative : e ≈ 2,718 (nombre irrationnel).

Notation de la fonction exponentielle

• exp(x) = e^x (fonction puissance avec base e).
• Propriétés semblables à celles des fonctions puissance.

Propriétés fondamentales

• e^0 = 1, e^1 = e.
• exp(x) est strictement positive.
• Dérivée reste exp(x).
• Propriétés de la relation fonctionnelle avec la notation e.

Croissances comparées

Exponentielle vs Puissance

• Limite en +∞ : exp(x) > x^n pour tout n.
• Limite en -∞ : limite de x^n * exp(x) = 0.
• Ordre hiérarchique : ln < x^n < exp(x).

Dérivée de E^u (u fonction)

• Dérivée de e^u = u' * e^u.
• Étude du sens de variation de e^u est liée à u.

Conclusion

• Importance de pratiquer avec des exercices.
• Révision des propriétés et concepts clés abordés durant la séquence.