Bonjour ! Dans cette vidéo, je te propose de voir tout le cours sur les fonctions exponentielles. L'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre. Plus précisément, on verra comment est définie la fonction exponentielle, ses propriétés, on introduira le nombre e qui est lié à une autre notation de la fonction exponentielle, on verra les croissances comparées et enfin la fonction E2U.
Pour préparer un contrôle ou même un examen, il te faudra également t'entraîner sur des exercices et là je te conseille de cliquer sur le lien qui te mènera vers d'autres vidéos proposant de nombreux exercices sur les exponentielles. C'est parti, on peut commencer. Alors pour définir la fonction exponentielle, on va s'appuyer sur un théorème qui nous dit qu'il existe une unique fonction f dérivable sur r tel que d'abord f'égale à f, donc ça c'est particulier quand même, la fonction est égale à sa dérivée, mais c'est pas tout, deuxième condition, f de 0 égale à 1. Eh bien, si on a une fonction qui vérifie ces deux conditions-là, elle est unique. Alors on va pas le démontrer ici, si tu veux prendre connaissance de la démonstration, je t'invite à aller sur mon site mathétique et tu trouveras donc le cours avec la démonstration. Là dans la vidéo on n'a pas le temps de le faire, elle est assez longue la démonstration.
Et bien à partir de là on peut définir la fonction exponentielle parce que justement cette unique fonction, et bien c'est la fonction exponentielle, on la définit comme la fonction exponentielle. Et à partir de là on dit, on appelle fonction exponentielle l'unique fonction f dérivable sur r telle que f'égale à f et f de 0 égale à 1. Et bien cette fonction on va la noter, on va la noter exp dans un premier temps, exp on va très rapidement changer de notation, on va voir. Et bien qu'est-ce qu'on a comme conséquence immédiate ?
puisqu'elle est définie comme f de 0 égale à 1. Si cette fonction se note exp, on a exp de 0, exponentielle de 0, qui est égale à 1. Et on peut déjà, avant de regarder plus en détail l'étude de la fonction, on peut déjà afficher l'allure de la courbe. On retrouve donc notre image de 0 qui fait 1. On voit bien que la courbe traverse l'axe des ordonnées en 1. Et on peut déjà dire que cette fonction... est croissante et est strictement croissante.
C'est ça qui définit la notion d'exponentielle. Quand on parle de croissance exponentielle, on parle bien de croissance, mais ce n'est pas tout. L'idée d'exponentielle, ça veut dire que ça croît très rapidement. Et si tu demandes à ta calculatrice de t'afficher l'image de 21, rien que de 21, exponentielle de 21, eh bien tu verras que tu auras une valeur qui dépasse déjà le milliard.
La croissance d'exponentielle est extrêmement rapide. On peut passer à l'étude. Voilà, j'ai à nouveau représenté la fonction exponentielle, on va en parler tout de suite. On commence par la notion de dérivabilité.
Alors là, on l'a dit tout à l'heure, la fonction exponentielle est définie comme une fonction dérivable sur R. Autrement dit, elle va être continue et dérivable sur R, et on a dit qu'elle est définie comme une fonction dont sa dérivée lui est égale. Du coup, la d érivée d'exponentielle x, c'est exponentielle x.
Voilà une dérivée. Plutôt simple à retenir. Attention, on verra en fin de séquence, ceci n'est pas vrai si à la place de x, je mets une fonction. Fonction u, par exemple. Variation.
La fonction exponentielle est une fonction qui est strictement croissante sur r. On l'a vu tout à l'heure. Au niveau de ses limites, en moins l'infini, la limite est 0. Ce qui veut dire que ici, j'ai une asymptote d'équation y égale à 0. La courbe se rapproche de plus en plus de l'axe. des abscisses pourvu qu'on prenne des valeurs de x qui tendent vers moins l'infini. En plus l'infini, la limite est plus l'infini.
On peut lire, attention, il n'y a pas d'asymptote verticale ici. On a envie de croire ici qu'il y a une asymptote verticale car la fonction exponentielle croit tellement vite qu'on pourrait penser qu'elle se trouve ici bloquée par une droite. Ceci n'est pas vrai.
On peut trouver des valeurs de x aussi éloignées qu'on veut ici. vers des x qui deviennent de plus en plus grands. Donc non ici je n'ai pas d'asymptote.
Et voilà donc le tableau de variation fonctions croissantes en moins l'infini 0 en plus l'infini plus l'infini. Alors au niveau des propriétés on va commencer par ce qui s'appelle la relation fonctionnelle. C'est une propriété qui permet de transformer une somme en un produit. On verra un peu plus tard lorsqu'on traitera la fonction logarithme, qui elle permet de faire le contraire, permet de transformer un produit en somme.
Et là, ce passage-là de produit en somme trouve de vraies applications dans le calcul. C'est un autre sujet, je ne développe pas plus. En tous les cas, donc celle-ci permet de transformer une somme en un produit.
Si on regarde bien sûr la lecture gauche-droite, ce qui fait que l'exponentielle de x plus y est égale à... exponentielle de x fois exponentielle de y. On va voir que tout ça, c'est tout à fait lié aux formules qu'on connaît déjà sur les puissances. On y revient dans la suite de cette séquence. D'autres propriétés, je te laisse les regarder.
Exponentielle de moins x est égale à 1 sur exponentielle de x, etc. Toutes ces propriétés, je ne développe pas plus, puisque là également, on va les voir dans la nouvelle notation qu'on aura avec les puissances. On peut passer à notre nombre e.
Alors le nombre e, voilà un nombre qui a passionné les mathématiciens, et 1 en particulier, c'est le mathématicien suisse Léonard Euler. Alors qu'est-ce que c'est que ce nombre e ? Au départ, on peut le définir tout simplement comme l'image de 1 par la fonction exponentielle.
Exp de 1 égale à e. Pourquoi pas ? Donc finalement, le nombre e, c'est quoi ? C'est l'exponentielle de 1. Et si on saisit sur la calculatrice exponentielle de 1, On va trouver un nombre qui s'affiche, qui est en réalité une valeur approchée. En général, on garde 2,718, c'est la valeur approchée la plus connue, mais on voit que ça se poursuit avec 28, 18, 28, etc.
Et oui, car le nombre e, comme le nombre pi, est un nombre irrationnel. C'est-à-dire que toutes ces décimales se suivent sans suite logique. Il n'y a pas de répétition, comme c'est le cas, par exemple, pour les nombres rationnels. Eh bien, à partir de ce nombre e, on va pouvoir...
donner une nouvelle notation pour notre fonction exponentielle. Et pour cela, on va la démontrer, on va la comprendre, cette notation. On va partir donc de exponentielle de x. Exponentielle de x que je pourrais écrire comme exponentielle de x multipliée par 1. Alors exponentielle de x multipliée par 1, je reviens donc sur les propriétés que j'ai affichées tout à l'heure. Je suis passé un peu vite dessus, mais je le répète, on va y revenir.
Il y en a une qui nous intéresse particulièrement. Exponentielle nx est égale à exponentielle de x puissance n. Alors, appliquons donc cette formule.
Attention, le x n'est pas dans la même position que dans la formule. Donc, du coup, ici, il va passer en exposant. Ça va nous donner quoi ? Ça va nous donner exponentielle de 1 puissance x. Je prends donc ici le nombre qui est placé en première position et je le sors, il arrive en exposant.
C'est bien ce que nous dit la formule. Mais exponentielle de 1, on a vu que exponentielle de 1, maintenant on peut le noter e. Du coup, à la place d'exponentielle de 1, je vais mettre e puissance x. Et bien voilà, je viens là, ici, d'introduire une nouvelle notation. Finalement, exponentielle de x, la fonction exponentielle, peut se noter e de x.
Mais e de x, là, qu'est-ce qui se passe là ? Quand j'écris e de x, j'ai en réalité une fonction puissance. Une fonction puissance de base e. Eh bien, en réalité, la fonction exponentielle est une fonction puissance. Fonction puissance de base e, e étant le nombre qu'on vient de définir à l'instant, environ égal à 2,718.
Mais dans la suite du cours, en réalité, on va n'utiliser que très rarement cette notation. et on va la plupart du temps utiliser celle-ci, qui nous permet d'utiliser plus intuitivement toutes les propriétés qu'on va rappeler maintenant sur les fonctions puissance. Alors voilà donc toutes nos propriétés pour la fonction exponentielle.
Il y a des nouveautés qui sont importantes, on va le voir, et on retrouve dans la ligne petit c, les propriétés que j'avais passées rapidement tout à l'heure avec exp, qui là sont données avec la nouvelle notation. Alors, Je commence par la première ligne rapidement parce que c'est assez simple. E de 0 égale à 1. Bien oui, puisque exp de 0 égale à 1, forcément E de 0 égale à 1. Et là, ça tombe bien parce que E de 0 égale à 1, ça nous fait penser à quelque chose de plus ancien. A puissance 0 égale à 1. Pour une puissance, n'importe quoi à la puissance 0 nous donne toujours 1. Ici, on parle donc d'une fonction puissance de base E. À la place de A, on met E.
La formule reste évidemment E. la même. E de 1 égale à E, ça c'est ce qui définit la fonction exponentielle. Exp de 1 égale à E, donc E de 1 égale à E. Ensuite, deuxième ligne, alors voilà quelque chose de terriblement important.
Exponentielle de x est strictement positive. Ça c'est quelque chose dont on n'a pas encore parlé. On peut rappeler la courbe qui nous montre que la fonction exponentielle est strictement positive. La courbe se trouve toujours au-dessus de l'axe des abscisses.
On a une asymptote. en moins l'infini, l'asymptote étant en dessous, et après, la fonction étant croissante, on se trouve toujours au-dessus de l'axe des abscisses. Donc exponentielle de x est une fonction strictement positive.
Au niveau de la dérivée, je passe rapidement. La dérivée d'exponentielle, c'est exponentielle, on l'a déjà dit plusieurs fois. Puis on arrive sur la ligne c, avec toutes ces propriétés qu'on a vues rapidement tout à l'heure, et qui là, nous font terriblement penser aux propriétés qu'on connaît déjà. sur les fonctions puissance. Je ne rentre pas dans les détails, mais si je regarde déjà la première, E de X plus Y égale à E de X fois E de Y.
C'est ce que j'ai appelé tout à l'heure la relation fonctionnelle. Elle est là présentée avec la notation sous forme de puissance, mais on connaissait déjà par le passé A puissance X plus Y égale à A puissance X, A puissance Y. C'est exactement la même propriété. Et pour les autres, c'est pareil. Avec e puissance x moins y, c'est e de x sur e de y, etc.
Je te laisse regarder ça de plus près. Et surtout, je le répète, faire des exercices qui utilisent ces formules, c'est évidemment très important. Sur la dernière ligne, je passe rapidement aussi, puisque c'était les limites.
En moins l'infini, on a dit que c'était 0. En plus l'infini, c'est plus l'infini. Puis arrivent les deux dernières propriétés qui sont fondamentales dans la résolution d'équations et d'inéquations où on trouve des exponentielles. Alors, la première, elle nous dit que E2A égale E2B est équivalent à A égale AB.
Donc, si on a l'égalité sur l'exponentielle, alors on a l'égalité sur les exposants. Mais attention, par exemple, ceci est équivalent à X égale A. 2y. A la place de a, j'ai mis x. A la place de b, j'ai mis 2y.
Mais cette équivalence-là est vraie que si on a exponentielle à gauche et à droite. Si jamais, là par exemple, je mets un petit 2, alors là, c'est fini. Je ne peux rien faire, je suis coincé.
Si là, je mets un plus 3, c'est pareil, je suis coincé. Il faut vraiment avoir exponentielle de quelque chose égale exponentielle d'autre chose. Là, on peut avoir... l'équivalence et donc l'égalité sur les exposants. Mais il faut que ça soit tout simplement écrit comme c'est écrit ici dans la formule.
Et d'ailleurs c'est exactement la même chose au niveau des inéquations. E2a inférieur à E2b, c'est pareil que cet équivalent à a inférieur à b. Ça, ça se justifie très simplement par la croissance de la fonction exponentielle, ce qui fait que l'inégalité ne se retourne pas.
Alors, on arrive aux croissances comparées. Alors ça, ce sont vraiment des propriétés qui sont essentielles. D'abord, il faut bien les comprendre, bien comprendre le sens pour intuitivement savoir où on va, mais il faut aussi savoir les appliquer.
Alors, pour les applications, ici, je ne le ferai pas. Je t'invite à visionner d'autres vidéos qui présentent des exercices d'application. Ici, je vais juste expliquer le sens de ces propriétés.
En gros, il y en a deux. Même si tu vois quatre exemples ici, il y a en gros deux parce que... Les deux premiers, les exemples de gauche, sont des cas particuliers des exemples de droite. L'idée est de pouvoir comparer deux types de fonctions. Évidemment, la fonction exponentielle, puisqu'on travaille avec dans ce chapitre, et la fonction puissance, les fonctions puissance.
Il y aura un troisième type de fonction qui va arriver ensuite, mais ça sera dans un autre chapitre. Ça sera... La fonction ln, mais on n'y est pas encore, alors n'en parlons pas.
Bien, comme le dit le nom de la fonction exponentielle, quand c'est exponentielle, c'est que ça va très vite. Cela veut dire que, intuitivement, on peut penser que quand on fait des calculs de limites, eh bien, c'est l'exponentielle qui va l'emporter. Et c'est l'exponentielle qui va imposer sa limite à la fonction puissance, ceci quoi qu'il arrive.
Mais ça, c'est juste pour comprendre le sens. On ne peut pas dire ça comme ça dans un exercice. Dans un exercice, il faudra nécessairement se raccrocher à une de ces propriétés, une de ces formules. Mais attention, il faudra vraiment s'appuyer sur ces formules.
Parfois, on se trouve dans des exercices où... On y est presque, mais on n'y est pas, et on conclut quand même. Eh bien, si on n'y est pas complètement, on n'a pas complètement tous les points à la question.
Donc il faudra être prudent. Alors, regardons d'abord la première limite. Alors la première limite quand x tend vers plus l'infini de e de x sur x.
x est donc un cas particulier d'une fonction de puissance. J'ai parlé tout à l'heure de x puissance n, x c'est du x puissance 1, donc n égale 1. E de x... sur x. Je cherche la limite en plus l'infini. Qu'en est-il de e de x ?
En plus l'infini, on sait maintenant que ceci tend vers plus l'infini. C'est une notation schématique pour le brouillon, certainement pas pour une copie. En plus l'infini, si x tend vers plus l'infini, x tend vers plus l'infini, bien évidemment.
Du coup, qu'est-ce qu'il arrive ? J'obtiens là une limite du type infini sur infini. Et ça, on sait que c'est une forme indéterminée, donc on ne peut pas conclure.
Et pourtant là, on a une réponse qui nous dit que c'est plus l'infini. Pourquoi ça ? Eh bien, affichons la représentation graphique de la fonction exponentielle et de la fonction x.
Comme je l'ai dit tout à l'heure, la fonction exponentielle qui croît de façon exponentielle croît vers plus l'infini beaucoup plus rapidement que la fonction x. On voit que la fonction exponentielle, elle part et elle laisse quasiment sur place la fonction x. Elle croît tellement rapidement que, en termes de limite, eh bien la fonction exponentielle va l'emporter devant la fonction x. C'est ce que j'ai dit tout à l'heure.
Et du coup, la limite en plus l'infini ici, donnée par la fonction exponentielle, l'emporte devant celle-ci. C'est comme si celle-ci devenait négligeable et que c'est celle-ci qui impose sa limite. Eh bien, on le voit dans le résultat.
La limite en plus l'infini de e2x sur x est plus l'infini. Tout court, c'est comme si on avait oublié. cette limite-là.
Et quand on regarde dans le cas général, eh bien il en est exactement de même, parce que autant E2x l'emporte sur x, qu'elle l'emporte également sur toutes les fonctions puissance. Sur x², elle l'emporte également. Sur x³, elle l'emporte également.
Et même si on peut avoir quelques doutes, quand on regarde au départ, par exemple, avec une fonction x puissance 5, c'est vrai qu'on a l'impression que la fonction x puissance 5 est plus balèze que la fonction exponentielle. Oui, elle l'est ! Au début, mais regardons ce qui se passe un peu plus loin.
Et si on regarde ce qui se passe un peu plus loin, on voit qu'à un moment ou l'autre, la fonction exponentielle va dépasser la fonction puissance 5 pour ne plus jamais se faire rattraper et ensuite la semer complètement. Donc, quoi qu'il arrive, n peut être aussi grand qu'on veut. L'exponentielle de x s'impose devant x puissance n et la limite d'exponentielle l'emporte devant la limite de la fonction puissance.
C'est pour ça qu'on retrouve le même résultat pour la limite en l'infini de E2x sur x puissance n. Qu'en est-il pour du x puissance n fois E2x ? Alors, x puissance n fois E2x.
On va traiter les deux cas d'un coup. De toute façon, maintenant, tu as compris que l'un est un cas particulier de l'autre. Qu'en est-il de la limite de x puissance n en moins l'infini ? Là, regardons graphiquement. Ça va dépendre de la parité de n.
On voit ici pour des valeurs de n paires, 2, pour 4, pour 6, et bien x puissance n tend vers plus l'infini. Pour des valeurs de n impaires, 3, pour 5, pour 7, et bien x puissance n tend vers moins l'infini. Donc en gros, c'est soit plus, soit moins.
Donc ce qu'on va faire ici, c'est qu'on va mettre juste infini. Ça tend vers l'un des deux infinis. Qu'en est-il pour e2x ?
Alors e2x, ça on sait... On l'a étudié tout à l'heure, en moins l'infini, elle tend vers 0. Du coup, on a là un produit de limite du type infini fois 0. Et ça, on sait que c'est une forme indéterminée. Mais, on a vu tout à l'heure que l'exponentiel s'imposait devant la fonction puissance, devant les fonctions puissance.
Du coup, on peut considérer que ceci, pour des valeurs négatives de plus en plus grandes, devient négligeable. et que c'est l'exponentielle qui va imposer sa limite, et c'est pour cette raison qu'on trouve que la limite en moins l'infini de x puissance n e de x est égale à 0, ou, cas particulier, x e de x est également égale à 0. Voilà, tout ceci, il faut bien s'en souvenir, c'est assez simple à se souvenir, si on se rappelle juste de l'ordre hiérarchique entre la fonction exponentielle et la fonction puissance. Et sans trahir de secret, quand tu feras le chapitre logarithme, tu verras que la fonction logarithme se situe encore avant les deux.
Donc il y aura vraiment un ordre hiérarchique. D'abord la fonction ln, puis ensuite les fonctions puissance, et enfin la plus balèze de tous, la fonction exponentielle. Vient une dernière propriété sur les limites. Elle sert un peu moins souvent, mais ça vaut le coup de la connaître quand même. Lorsque x tend vers 0, e puissance x moins 1 sur x, temps vert 1. Voilà, et enfin, alors là ça va aller très vite pour le cours, mais ça sera beaucoup beaucoup plus long pour les exercices, parce que c'est l'essentiel du travail en fait, c'est la fonction de la forme, les fonctions de la forme e2u, où u est elle-même une fonction.
Au niveau des connaissances, il y a en gros une chose à savoir, c'est la dérivée de e2u. Je l'ai dit tout à l'heure, e2x a pour dérivée e2x, mais si à la place de x je mets une fonction, alors là c'est autre chose, et on le voit. ici, et bien la dérivée de la fonction e de u où u est donc une fonction qui dépend elle-même de x est égale à u prime de x e de u de x.
Juste un petit exemple pour comprendre si j'ai la fonction f de x égale à e de x au carré et bien comme ça, on aurait envie de dire que sa dérivée est e de x au carré et bien non, c'est ce que j'ai dit avant attention, ceci est vrai si j'ai x Mais là, j'ai une fonction qui dépend de x, pas un x tout court. Eh bien, là j'ai donc ici notre u, u de x. Donc je vais devoir placer en facteur devant e de u, notre u prime, c'est-à-dire la dérivée de la fonction qui est en exposant.
La dérivée de la fonction qui est en exposant, c'est la dérivée de x au carré. La dérivée de x au carré, c'est de x, ce qui veut dire que j'aurai ici en facteur de x. on retrouve bien ici e de u qui a pour dérivée u prime e de u.
Dans la pratique, on fait exactement comme je viens de le faire. On recopie e de u sans se poser de questions et on met en facteur la dérivée de la fonction qui est en exposant. Et pour finir, une petite propriété qui peut être bien pratique quand la fonction qui est en exposant est très lourde, ça arrive de temps en temps, c'est de savoir que finalement u de x et E de U de X ont le même sens de variation. Du coup, si je veux étudier le sens de variation de E de U de X, en fait, j'étudie juste le sens de variation de U de X et j'aurai les variations de toute la fonction. Voilà, ça peut permettre d'avoir des calculs un petit peu moins lourds.
En tous les cas, cette séquence est terminée, mais n'oublie pas de faire des exercices, c'est très important.