Lezione introduttiva di Analisi Matematica 1

Ok, quindi io sono Fabio Camilli, sarò il vostro docente per questo lungo corso di analisi di matematica 1 che sapete dura 12 crediti, 120 ore, quindi avremo modo di vederci durante l'anno. Prima di iniziare... dare nel dettaglio dei corsi alcune informazioni preliminari che possono essere utili anche per seguire il corso. Allora, innanzitutto come vi ho detto, alcune cose che l'ha già detto il professor Scherf, cioè il corso si articola, finisce alla fine dicembre e poi Poi ci sono le sessioni d'esame. In generale vi può essere utile sapere che le sessioni di esami, i periodi in cui potete sostenere gli esami sono gennaio e febbraio. In questa sessione avete due appelli. Cioè, due appelli vuol dire che potete sostenere l'esame per due volte, sperando di passare al primo, ma se nella brutta eventualità che non passate al primo potete ripetere una seconda volta. Avete altri due appelli a giugno, luglio, e infine un appello a settembre. Ovviamente nel periodo marzo-maggio seguirete i corsi del secondo semestre. Per quanto, quindi in totale, cinque appelli. Per quanto riguarda, diciamo, le informazioni relative al corso, cominciamo dai libri di testo. Allora... Il corso di Analisi Matematica 1 è un corso, diciamo, classico, articolato. Il programma è molto standard, nel senso, sono proprio i fondamenti della matematica, quindi libri di testo se ne trovano tantissimi, ognuno può anche chiedere. se ha già in casa dei libri di testo, in generale al 99% andranno bene. Quelli che io vi suggerisco, regolatevi anche per vostro gusto, sono questo libro di Bersh, Dal passo Giacomelli, I nomi di questi libri sono tutti senza una particolare fantasia, analisi matematica, e questo è della McGroheel. è adottato in molti dei corsi di laurea di ingegneria, quindi sicuramente lo trovate anche usato. Poi, più o meno equivalente, non ci sono grosse differenze, il Bramanti Il BERS è un pochino più esteso, può essere utile anche per la parte di Analisi 2 che seguirete il prossimo anno, mentre il Bramanti-Pagani-Salsa copre esattamente il programma di Analisi 1, questo ancora con meno fantasia si chiama Matematica, e è un libro della Zanichelli. E comunque appunto ci sono tanti altri libri che potete sicuramente trovare. Per quanto, anzi no, prima di dire i libri di esercizi, dalla mia pagina web, quindi se voi andate sulla pagina web, ci tornerò perché contiene varie informazioni, però se andate sulla mia pagina web, sbai uniroma1, .it Camilli potete scaricare degli appunti del corso Gli appunti sono un po'la traccia che io seguo a lezione, quindi trovate in forma molto sintetica rispetto a un libro. Nei libri trovate gli esempi, o magari più dettagliate le motivazioni, negli appunti trovate esattamente quello che io dico a lezione in più a lezione farò dei commenti degli esercizi però penso che siano un'utile traccia per anche per seguire insomma quindi questi li potete, è un file pdf potete scaricarlo dalla pagina web per quanto riguarda esercizi invece libri per esercizi qui veramente la scelta è quasi infinita direi Ovviamente su internet trovate ogni professore mette sulla sua pagina web esercizi svolti o qualsiasi altra cosa, di tutti i tipi, per esempio se volete fare degli esercizi per dire sulle equazioni differenziali, cercate equazioni differenziali ordinarie, esercizi svolti e là vi vengono infinite parti. di esercizi con la soluzione che possono essere utili per esercitarvi. Se però magari i libri, diciamo, avere un libro di riferimento può essere utile perché le cose vengono fatte in maniera progressiva e più organizzata, quindi i libri di esercizi per esempio c'è questo di Ammar Berzani. A Mar Berzani sono due docenti, non mi ricordo il titolo però, esercizi di analisi. Sono due docenti di questa facoltà, quindi anche questo è adottato da molti anni, il progetto Leonardo, trovate sicuramente usato. Ho un classico per gli esercizi e questo contiene esercizi svolti con soluzioni, almeno un suggerimento sulle soluzioni, i primi svolti in dettaglio per gli altri le soluzioni. Un classico per esercizi per il corso dell'analisi 1 è questo libro di Marcellini e Sbordone. Questo è un libro abbastanza vecchio ma ben fatto. che si chiama, vediamo un po', esercitazioni di matematica e questo è Liguori Editori Liguori Ok, diciamo, riguardo questo, l'unico svantaggio di questo libro, è un libro molto ben fatto, nel senso che gli esercizi sono progressivi, quindi parte da esercizi, soprattutto per chi magari non si sente molto sicuro sulle sue conoscenze dalle scuole superiori parte da esercizi molto semplici per arrivare a esercizi anche abbastanza sofisticati tutti gli esercizi, anche in questo caso i primi sono svolti in dettaglio gli altri di tutti da almeno un suggerimento quindi è un libro ben fatto l'unico svantaggio è che in realtà il programma è coperto da allora c'è il volume 1, parte 1 e parte 2 in realtà ciascun volume costa poco però eeeh Parte 2, quindi sono due volumi e in più serve anche volume 2, però questo magari potete decidere di comprarlo in un secondo tempo, la parte 1. Poiché questo era un libro pensato nei vecchi corsi in cui c'erano un corso istituzionale di analisi matematica 1 e un corso di analisi matematica 2, adesso invece con la riforma del 3 più 2, l'analisi matematica 1 e 2 è stata compattata tutta dentro analisi matematica. Quindi una parte del programma del nostro corso viene coperto dal volume 2. Poi ci sono tantissimi altri libri, non faccio un elenco, eventualmente potete chiedere, per esempio il salsa squellati. è il libro di esercizi relativo al Bramanti Pagani Salsa, questo anche in due volumi un classico dei libri di esercizi è questo libro russo De Midovich forse ne avrete sentito, De Midovich, Editori Riuniti questo nel puro stile dei libri russi contiene migliaia di esercizi ma di cui non dà nessuna soluzione trovate soltanto il numero alla fine ma non c'è però questo può essere un libro utile in una seconda fase cioè quando voi vi sentite abbastanza sicuri sugli esercizi base qui trovate quanti esercizi volete per esercitarvi E infine potete trovare, diciamo, anche sempre sulla mia pagina web, potrete trovare due cose utili. Innanzitutto i compiti di esame. Di questi c'è anche la soluzione, con soluzione. Questi però vi consiglio di utilizzarli alla fine, nel senso possono essere un buon modo per prepararsi a ridosso dell'esame, prendere un compito e provare a svolgerlo come se fosse un esame. Tieni conto che all'esame non potete utilizzare libri o niente, quindi tutto quello che dovete sapere lo dovete memorizzare, quindi questo può essere un buon modo per testare anche le vostre conoscenze. Poi sempre sulla pagina web trovate degli esercizi che ho messo in un corso alcuni anni fa, però questi sono degli esercizi abbastanza complicati, alcuni li svolgerò a lezione. In generale... Non sono proprio quelli da cui cominciare, quindi forse in una fase più avanzata potete vedere alcuni fogli di esercizi svolti, non svolti, non ci sono soluzioni, ma molti li farò a lezione. Ok, diciamo questo per quanto riguarda i libri di testo. Per adesso ho lasciato il ricevimento, ricevimento è una cosa un po'strana, nel senso che io fisso il ricevimento ma tanto non viene nessuno, quindi per adesso ho lasciato quello che c'era nel semestre precedente. che per voi però in realtà è scomodo perché va in sovrapposizione con le lezioni, quando avrete necessità di venire a parlarmi per chiedere spiegazioni, approfondimenti, dubbi, risolvere esercizi, mi potete contattare di persona e ci possiamo organizzare. Quindi il ricevimento che per adesso è l'unedì e venerdì. dalle 10.30 alle 11.30. Il mio ufficio si trova in Via Scarpa, quindi probabilmente avete fatto i test di ammissione a Via Scarpa o comunque a ridosso della città universitaria, Via Scarpa 16, Palazzina RM002. Citofono e trovate. Ok, quindi anche questo, quindi per contattarmi ovviamente mi potete contattare a lezione o altrimenti mi potete scrivere per posta elettronica, quindi il mio indirizzo di posta elettronica è il seguente, camilli at sbai uniroma1.it Quando vi scrivete per posta elettronica, io in genere rispondo a meno di cose particolari, quasi su tempi ragionevoli, però una cosa, firmate il messaggio, perché rispondere a kitty99 at yahoo.it, diciamo, se devo dare delle informazioni non è che sono molto contento quindi firmate il messaggio dicendo sono uno studente al corso del primo anno in ingegneria informatica diciamo in genere per posta elettronica se mi chiedete lo svolgimento di un esercizio posso darvi un suggerimento, però la posta elettronica usatela più per informazioni semplici da dare, tipo appunto ore di ricevimento, informazioni sul corso, sui libri di testo. Molte delle informazioni a cui ho riportato le trovate, come vi ho detto, sulla mia pagina web dove trovate anche il programma del corso, se vi volete fare un'idea degli argomenti che faremo quest'anno potete consultare il programma e vedere un un po'appunto quel tipo di argomenti che verranno svolti nel corso. Su appunto trovate quasi tutte le informazioni che ho riportato, le trovate sulla pagina web. Penso più o meno di aver detto tutto per questa parte introduttiva. Non ci saranno esoneri, questo tanto qualcuno prima o poi me lo chiede, tolgo subito, rispondo subito, non ci sono esoneri, faremo soltanto un test di autovalutazione che non valuterò, quindi... non ci sono esoneri nel corso ok quindi possiamo a questo punto questo partiamo entrare nel dettaglio del corso cioè entrare nella parte specificatamente del corso quello che vi ha detto il professor Scherf era quello che volevo dirvi io ma quindi non ve lo ripeto un'altra volta per non annoiarvi, l'unico suggerimento appunto, il suo suggerimento lo condivido pietamente ridursi all'ultimo momento per preparare gli esami è impossibile, ma non perché l'esame sia difficile, il corso di analisi matematica 1 non è difficile, è solo che è molto lungo, la difficoltà del corso è che contiene tanti tanti argomenti, infatti a un livello più che ragionevole, quindi però se uno vuole preparare all'ultimo momento è difficile, poi tenete conto che il corso finisce intorno al 20 dicembre, il primo appello l'anno scorso era il 9 gennaio. quindi in 18 giorni preparare sia la teoria che lo scritto è difficile. L'esame è solo scritto, non c'è l'orale, e lo scritto però contiene delle domande teoretiche. Quindi per esempio, poi potete farvi un'idea dai compiti sulla pagina web, tipicamente ci sono due domande teoriche, possono essere un toremma, una definizione, delle domande a scelta multipla, che sono un po'quelle che creano più difficoltà agli studenti, ma ne faremo diversi esercizi durante l'anno e vedremo come si risolvono. E poi dei classici esercizi, tipo calcolare il limite, risolvere l'integrale, studiare la funzione. Quindi lo scritto è abbastanza articolato, però l'esame è solo scritto. All'orale è una discussione degli errori del compito, quindi se voi potete chiedere spiegazioni sugli errori, io posso chiedere informazioni su quello che avete fatto allo scritto. Molti dei corsi si regolano in questa maniera perché capite che un singolo docente se dovesse interrogare all'orale 100 persone da un punto di vista è un peccato che non si faccia all'orale perché l'orale è unico per voi per imparare a parlare a comunicare cosa che vi servirà poi quando fare di colloqui lavoro ma anche per me per capire diciamo persone che rendono poco allo scritto e invece rendono molto di per l'ora però per esempio nella sessione di gennaio quando 60-70 persone superano lo scritto, se io dovessi interrogare tutti, arriverei fino a marzo, quindi è proprio materiale, quasi tutti i docenti si regolano in questa maniera. Se volete fare domande adesso, in generale, anche durante il corso, sia domande intelligenti che stupide, potete chiedere, interrompere, non ci sono problemi, chiedere di rispiegare dei passaggi, o sugli esercizi, qualsiasi cosa. Non siate timidi, quindi fate domande. Allo scritto non si può usare niente penna, gomma per cancellare e riga per fare le righe neanche la calcolatrice eh? Beh il compito va scritto a penna ogni tanto qualche... eh? per cancellare la pena. Ok, quindi no, allo scritto non si può usare nulla, perché contenendo domande teoriche sarebbe troppo facile. Poi ogni volta qualcuno prova a... portare più o meno aiuti ammessi o non ammessi però quello a vostro rischio è pericolo quindi regolatevi devo solo raccontarvi questo che secondo me è rimasto lo studente che ho ammirato di più in assoluto che aveva scritto su un pacchetto di fazzolette di carta aveva scritto tutto il programma di analisi matematica e scrivere su un fazzoletto di carta non è semplice ve lo garantisco sono che... tutto quanto, fazzoletto per fazzoletto solo l'unica cosa che tirava in continuazione fuori questi fazzoletti alla fine il mio collega con cui stavo facendo lezioni si è avvicinato e ha visto questo programma e questo mio collega ha conservato perché era veramente un capolavoro devo dire questa cosa poi vabbè ci sono tanti tanti pro però quello sta a vostro rischio e pericolo voi potete provare, io vi posso cacciare dall'alto fa parte del gioco, no? Giustamente. Quindi, entriamo quindi dopo questa lunga introduzione, andiamo nel dettaglio del corso, nei primi argomenti. Questa lezione sarà molto introduttiva, quindi molti la troveranno noiosa perché vi parlerò un po'di cose che avete ben visto alle superiore, però giusto anche un po'per rompere il ghiaccio, insomma per avere un'entrata soft nel corso. Quindi quando vedrete gli appunti sto facendo riferimento al capitolo 0, questo che trovate negli appunti, questo capitolo 0 che riguarda 0 perché non è neanche capitolo 1, sono quasi tutte cose che avete già fatto ai superiori, però qualcosa di nuovo vedrete anche in questo capitolo. Allora, quindi l'oggetto più semplice che si considera in matematica in generale, in matematica è il concetto di insieme, quindi il concetto più semplice è il concetto di insieme. Tutti voi fin dall'elementare sapete bene che cosa vuol dire un insieme, almeno avete un'idea di che cosa vuol dire... un insieme di oggetti, cioè un insieme di oggetti è una classe di oggetti per cui sia ben definita una legge di appartenenza, quindi tale che voi potete stabilire in maniera univoca se un certo oggetto appartiene a questa classe oppure non vi appartiene. Esempio tipico, gli studenti iscritti al primo anno di ingegneria informatica, questa è una classe ben definita, ...perché posso prendere uno studente e se lui si è scritto fa parte della classe, se non si è scritto non fa parte della classe. Invece una classe che non è un insieme, per cui quindi non è ben definita una legge di appartenenza, sono per esempio... gli studenti bravi del corso di ingegneria informatica. Qui non è ben definito perché non è quantificato cosa vuol dire essere bravo o meno, quindi richiederebbe un'ulteriore specificazione del concetto di bravo. classe che non è un insieme. Indicheremo gli insiemi con delle lettere maiuscole, quindi A, B, C, eccetera, e gli oggetti, gli elementi di questi insiemi con delle lettere minuscole, quindi che possono essere tipiche relativamente A. Per dire che un certo oggetto appartiene ad un insieme scriveremo A in A e quindi leggiamo A appartiene ad A. Questo simbolo fa parte di una classe di simboli che in matematica si chiamano quantificatori e simboli logici. Questi simboli, che sono estremamente utili e di cui noi faremo largo uso durante il corso, Sono stati introdotti da un matematico, quantificatori e simboli logici, da un matematico italiano del secolo scorso, anzi di inizio novecento, simboli logici, Peano, che è un po'il fondatore della logica matematica, logici. Grazie. della logica matematica e quindi è un po'come se fosse un vostro nonno, fra virgolette, perché poi la logica matematica ha generato l'informatica teorica e quindi voi siete gli eredi di questa tradizione che in realtà ha un'origine anche da questo matematico e fu un matematico notevole e diede importanti contributi alla logica matematica. Quindi questi simboli logici molti li avrete già visti, per esempio questo che vuol dire esiste. questo simbolo che vuol dire, punto esclamativo, che vuol dire unico in combinazione questi due simboli si leggono esiste ed è unico poi vedremo che usandoli, insomma, adesso giusto per presentarli vedremo come si usano poi che altro possiamo dire le implicazioni Non si, solo si. Quindi, per esempio, qui se abbiamo una certa proposizione logica che chiamiamo P, allora P implica, cioè il fatto che P sia vera, implica che anche la proposizione logica Q sia vera, oppure l'equivalenza vuol dire che se una è vera, anche l'altra è necessariamente vera. Poi altri simboli che utilizzerò sono le negazioni di questi simboli, per esempio quando si sbarra lo si nega, quindi vuol dire non esiste, oppure se sbarro il simbolo di appartenenza non appartiene. e così via. Quando sbarrare vuol dire equivale a negare, ovviamente diverso. Poi altro simbolo che qualche volta utilizzo è questo qui, quando alla fine di un argomento si perviene a una contraddizione, quindi questo indica che genera una dimostrazione per assurdo, si perviene a una contraddizione e quindi indica il fatto. Infine, anche poi piano piano, magari li utilizzerò, quando voglio definire qualcosa, per esempio se voglio definire l'insieme P, metto due punti uguali per dire l'insieme è definito, per esempio potrebbe essere gli n appartenenti ad n, tale che n è un numero primo, per dire una qualsiasi cosa. Quindi quando metto i due punti... Significa, vedete, che sto definendo questo oggetto a partire dalla definizione che segue. Ok, diciamo, nella parte degli insiemi io in genere, poi è questione, però diventa automatica, io uso i due punti, però per esempio nel corso di un enunciato di un teorema, però magari queste cose piano piano le dico oppure utilizzo spesso pure questo. ...t puntato c tale che. Quindi quello, però piano piano, diciamo, queste cose verranno introdotte. Però diciamo, preferisco evitare la sbarra perché la sbarra potrebbe essere confusa con altri simboli matematici, per esempio modulo e così via. Quindi in generale preferisco evitarlo. E infine, appunto, forse sì, le relazioni sì, le inclusioni fra insiemi. Quando questa, diciamo, sono le inclusioni fra insiemi, quindi con per esempio A, Contenuto in B vuol dire che ogni elemento di A fa parte anche di un elemento di B. Se voglio dire che è contenuto propriamente, quindi A è un sottinsieme proprio di B, utilizzo anche questo simbolo, il contenuto con un uguale sbarrato sotto. Quindi questi sono più o meno una parte di simboli che utilizzeremo durante l'anno. Vediamo poi come si rappresenta un insieme, rappresentazione di insiemi. Anche questo penso sia una cosa che, diciamo, tutto quello che sto dicendo sia ben noto. Allora, un primo modo, ci sono sostanzialmente tre modi, in realtà due sono equivalenti, un primo modo è quello di elencare tutti gli elementi dell'insieme, quindi per esempio posso scrivere A uguale a... l'insieme composto dai numeri 1, 3, 7 e dall'elemento A. In questo modo elenco tutti gli oggetti che compongono l'insieme, quindi questo è per enumerazione, diciamo. Equivalentemente, diciamo, è comodo soprattutto quando si fanno le operazioni insieme, piuttosto che scrivere in questa maniera, utilizzare i diagrammi di Euler-Oven. Questi due, diciamo, sono equivalenti al precedente. in cui piuttosto che scrivere gli elementi fra due parentesi graffe separate da una virgola li racchiudo all'interno di una curva chiusa del piano e li elenco come dei puntini 1, 3, 7 ed A Ovviamente per enumerazione o elencazione posso descrivere soltanto insieme che siano costituiti da un numero finito di oggetti o come si dice in matematica abbiano cardinalità finita. Cardinalità esattamente vuol dire il numero di oggetti che costituisce l'insieme. Quindi se l'insieme ha cardinalità finita, in particolare non troppo grande, posso enumerare gli elementi dell'insieme. Altrimenti devo descriverli... non uso quella parte perché la telecamera non prende la parte esterna della lavagna, devo dargli per proprietà caratteristica, cioè specificare una proprietà che caratterizza gli elementi dell'insieme, come abbiamo già visto in realtà un esempio in basso, quindi la seconda per proprietà caratteristica. Quindi, non so, per esempio, appunto, un esempio è questo che abbiamo già fatto dei numeri primi, no? È l'insieme dei numeri naturali tale che n è un numero primo, o potrei, che ne so, un multiplo di 3, eccetera, un qualsiasi numero primo. Quindi, Dopo i due punti do una proprietà caratteristica che specifica gli oggetti e l'insieme. Questo mi consente di descrivere questo insieme che ha cardinalità infinite, cioè non è composto dal numero finito di oggetti. Ok, quindi i due primi, diciamo, numerazione e diagrammi di Alorvenne sono più o meno equalenti, questo riguarda soprattutto gli insiemi infiniti. Allora, abbiamo visto quindi questo concetto di insieme che è un concetto abbastanza semplice e naturale, intanto è vero che si introduce già alle scuole elementari, quindi si presuppone che possa essere compreso in maniera molto semplice. L'idea che in qualche modo i matematici del secolo scorso, a partire da Hilbert, forse avete sentito un nome molto famoso in matematica, si fece all'inizio del Novecento, era quello di rifondare tutta la matematica su dei concetti elementari. Quindi partire da questi concetti elementari e proprietà elementari per descrivere tutta la matematica, diciamo tutte le proprietà che poi venivano usate dai matematici. E questo Hilbert che era questo fratello. famosissimo matematico che ha dato tantissimi contributi, formulò questo programma, infatti si chiama il programma di Hilbert, in una famosa conferenza agli inizi del Novecento. Quindi in quel punto i matematici cercarono di sfrondare tutte le sovrastrutture e ridursi a capire quali erano i concetti elementari su cui fondare la matematica. Contributi importanti lì dietro di vari matematici, tra cui Cantor, Russell, Berzani Russell, eccetera. però quando nel momento in cui si andò a toccare questi fondamenti della matematica ci si accorse che sorgevano immediatamente delle contraddizioni e una di queste contraddizioni, la faccio soltanto a livello di curiosità diciamo non è fondamentale per il corso è questo ben noto paradosso di Russell Questo paradosso di Russell fa vedere che proprio in questo concetto elementare di insieme si annidano delle contraddizioni e quindi non è adatto come fondamento della matematica. Quindi consideriamo questo insieme. Questo insieme A, che definiamo in questo insieme, sono gli x tali che x ha un insieme che non contiene se stesso. Quindi, vedete, lo scrivo per proprietà caratteristica, questo lo leggo così. Sono tutti gli insiemi x che non contengono se stessi, cioè x è un insieme tale che x non appartiene ad x. È ben definito per proprietà caratteristica. E si vede subito che in questa... qui si annida una contraddizione immediatamente. Allora, è un insieme, è così da tutti gli insiemi, che non contengono se stessi. È una proprietà caratteristica, la definisco in questa maniera. X non appartiene a se stesso. Allora, adesso ci possiamo chiedere, A fa parte di questa classe o non fa parte? Allora, se A appartiene ad A, Mi sto chiedendo adesso se questo insieme che ho così definito fa parte di questa classe, di questo insieme, oppure non ne fa parte. Se A appartiene ad A, allora per definizione segue che proprietà caratteristica A non appartiene ad A. E quindi ho immediatamente ottenuto una contraddizione. Dovete riflettere, capisco che... rifletteteci un attimo, quindi definisco una classe di oggetti per proprietà caratteristica mi chiedo se questa classe di oggetti che ho definito cioè... questo oggetto appartiene a questa classe di oggetti. Se appartenesse a se stesso, ma per proprietà caratteristica, vuol dire che non vi appartiene, e quindi questa è una contraddizione. D'altra parte, se A non appartenesse ad A, allora verifica questa proprietà caratteristica, e quindi necessariamente A appartiene ad A. e quindi ho ancora ottenuto una contraddizione. Allora, questo esempio che sembra un giochino in realtà a questo livello, in realtà è il progenitore di tutta una classe di insiemi, scusate, non di classe, di paradossi che sono poi riformulati, che spesso si vedono anche nei film, nelle riviste di Enimissima, però sono basati tutti su questo semplice principio. E appunto, ottenere una contraddizione nella proprietà caratteristica. E però vedete, questo sembra un gioco, ma in realtà è una cosa importante. perché fa vedere che nella definizione di insieme, così come è data, ricordavo, insieme a una classe di oggetti per cui si ha ben definita una legge di appartenenza, si è nita una contraddizione. Quindi la nozione di insieme che sembra elementare non può essere presa a fondamento della matematica. Appunto era convinto di poter superare questa contraddizione, scrisse una opera enciclopedica in tre volumi che si chiama Principia Matematica, illegibile, una cosa... convinto di poter superare questa contraddizione. Russell tra l'altro fu uno dei più logico importantissimi, sono nomi importanti, non era una persona che per strada aveva deciso, era a Cambridge quindi per strada. persone, diciamo, matematici di primissimo piano. Quindi scrisse quest'opera monumentale, convinto di poter fondare la matematica su delle basi salde e certe, in realtà realizzarono che anche Russell non era riuscito a eliminare tutte le contraddizioni, finché negli anni 30 arrivò un matematico, Gedel, forse anche, diciamo, vi può essere capitato di sentirlo, che dimostrò un teorema fondamentale, si chiama il teorema dell'incompletezza di Gedel, che dimostrò che ogni sistema matematico contiene, fondato che contiene, diciamo, gli assiomi base, per esempio quello sui numeri naturali, contiene all'interno delle contraddizioni cioè ci sono delle proposizioni che non si possono decidere se sono vere o non sono vere e questo fu un risultato che sconvolse perché vuol dire in qualche modo la matematica fondava su delle basi di argilla, e quindi parallelamente a Gaiter, nello stesso periodo in fisica, Heisenberg diede il famoso principio di indeterminazione, quindi ci fu tutto un periodo in cui cose che erano ritenute vere e ben salde furono messe in discussione. In particolare Gaiter dimostrò che la matematica non può essere fondata su basi certe, quindi in particolare ci sono proposizioni per cui non possiamo decidere se sono vere o false. Ok, diciamo che queste sono tutte esperienze. speculazioni, però torniamo al mondo reale, in particolare gli ingegneri sono abbastanza disinteressati a queste perversioni dei matematici e sono molto più interessati a lavorare sulle cose concrete. Torniamo al mondo di tutti i giorni in cui la matematica in realtà funziona e serve per descrivere tante cose. Ok, quindi questo vediamo adesso, sempre parlando di insiemi, quali sono le operazioni base fra gli insiemi. Allora, molte non le ripeto, sono l'unione, quindi dati due insieme posso prendere A unione B, che è l'insieme costituito dagli elementi che fanno parte sia di A che di B, se volete possiamo i C tali che C appartiene ad A e C appartiene a B. L'intersezione fra insiemi, C appartiene ad A e questa volta deve appartenere anche a B, quindi queste sicuramente le conoscete, forse conoscete meno la differenza di insieme. Questa si chiama differenza di insiemi e notate il meno è messo in maniera obbligua come un backslash e questi sono gli A appartenenti ad A tale che A non appartiene a B. Quindi per esempio con i diagrammi di Euler-Houven, se questo è A, questo è B, A-B è questa parte, cioè questa sarebbe l'intersezione, no? Questa è A intersecato B. A-B è gli elementi di A che non sono nell'intersezione, cioè che non fanno parte di B. Infine il prodotto cartesiano di due insieme. A per B, che si indica con questo per a croce, sono le coppie ordinate A B, tale che il primo elemento appartiene ad A e il secondo elemento appartiene a B. viene A e è importante che sia, dunque, sono coppie ordinate, cioè l'ordine conta. A è un elemento distinto da B, ok? Conta l'ordine in cui le scrivo. Vediamo delle proprietà basi, ovviamente l'unione e l'intersezione, come si dice, commutano, quindi A unione B uguale a B unione A, quindi l'operazione di unione commuta, posso scambiare l'ordine, e anche l'intersezione commuta. Invece le altre due operazioni, cioè la differenza fra insieme e il prodotto cartesiano, non comutano. Per esempio, si vede facilmente che A-B è diverso da B-A. Infatti, vedete? A-B è questo insieme, B-A è quest'altro insieme, no? Quindi l'ordine, anche in questo caso, è importante. Commutando l'ordine degli elementi si trova un altro oggetto. E anche A per B, in generale, è diverso da B per A. Poiché, come ho detto, stiamo parlando di coppie ordinate, l'ordinamento conta, quindi se scambio, adesso magari vi faccio degli esempi numerici, se scambio i termini del prodotto cartesiano, forse questo l'ho detto che era prodotto cartesiano, prodotto cartesiano. Se scambio l'ordine di questi elementi del prodotto cartesiano, in generale troverò un altro elemento. Facciamo velocissimamente degli esempi. Prendiamo per esempio A uguale a 1, 2, 3, 4. B, forse ci sono messi un po'troppi, cancelliamone uno, B, 3 e 5. Facciamo le varie operazioni fra questi, allora, A unione B, è facile perché prendo gli elementi dell'insieme contati ovviamente una volta sola, quindi 1, 2, 3, 5. A intersezione B c'è un solo elemento in comune fra i due insiemi che è 3. A-B devo togliere da A l'unico elemento che è anche in B, quindi 1, 2. Notate che invece B-A Quanto è B-A? 5. Infine, A prodotto cartesiano B sono tutte le coppie in cui il primo elemento della coppia è in A e il secondo in B. Quindi possiamo fare 1, 3, 1, 5, 2, 3, 2, 5. 3, 3, 3, 5. In particolare notate che la cardinalità del prodotto, cioè il numero di elementi del prodotto cartesiano è dato dal numero elementi del primo insieme per il numero elementi del secondo insieme, quindi scrivo qui. Se la cardinalità di A, ok, card indica cardinalità, cioè il numero degli elementi dell'insieme è uguale ad n e la cardinalità di B è uguale ad m, quindi il primo insieme è composto da n elementi, il secondo insieme è composto da m elementi, la cardinalità del prodotto cartesiano è n per n. 2, 3, 6 quando faccio il prodotto cartesiano di insieme per se stesso quindi quando faccio A per A In generale lo indico con A al quadrato. Infine posso fare il prodotto cartesiano non solo di due insieme ma di più insiemi. Quindi posso fare A per B per C. o mettere quanti insiemi voglio in qualche modo. Allora queste sono le triple a questo punto ordinate di elementi in cui A, B, C tali che A appartiene ad A B appartiene a B e c appartiene a c. Quindi posso moltiplicare con questo prodotto cartesiano quanti insiemi voglio. In particolare, se faccio a per a per a puntini n volte, quindi se faccio il prodotto cartesiano di a per si stesso n volte, Piuttosto che scrivere così, mi risulta comodo scrivere a alla n, come se fosse un elevamento a potenza. Ok, quindi qua abbiamo detto quasi tutto per quanto riguarda gli insiemi. Adesso noi siamo interessati a degli insiemi particolari su cui vogliamo lavorare, che sono gli insiemi numerici. Ok, richiamo brevemente perché introdurre per bene gli insiemi numerici richiederebbe da solo un corso di 60 ore, ma noi non vogliamo fare questo. Quindi richiamo brevemente soltanto cosa sono gli insiemi numerici, cioè gli oggetti su cui noi lavoriamo. Allora, l'insieme più semplice da cui partiamo, che è anche quello che intuitivamente l'uomo conosce fin dall'inizio, è quello che è legato all'operazione di contare, quindi 0, 1, 2, 3. Sono i numeri naturali. Notate la doppia sbarra che si mette a fianco alla n, che serve per distinguere la n dei numeri naturali da un generico insieme n. Questi si chiamano simboli da lavagna, blackboard symbols si chiamano esattamente. Z, anche qui vedete la doppia sbarra, 0 più 1 e meno 1, più 2 meno 2. E questi sono i numeri interi. L'insieme dei numeri interi. Ovviamente i naturali sono un sottinsieme degli interi, quindi naturali contenuti negli interi. Poi abbiamo gli insiemi dei numeri razionali. Questi numeri razionali sono delle scritture del tipo P su Q, quindi dei rapporti di numeri, dove P e Q sono dei numeri interi. E ovviamente Q deve essere diverso da 0 perché non posso dividere per 0. E ovviamente, ancora nuovamente, 0 è contenuto in Q perché se prendo... 0 è contenuto nei razionali perché se prendo Q piccolo uguale a 1 trovo esattamente tutti gli elementi di Z. Infine R, i numeri reali. L'introduzione dell'insegno dei numeri reali, come vi dicevo, è molto delicata a partire da una costruzione appropriata, però per noi a questo livello ci basta dire che i numeri reali sono delle scritture del tipo P, alfa 0, alfa 1, alfa 2, puntini, puntini, tali che P appartiene a Z e gli alfa con I che sarebbero le cifre decimali del numero, sono degli elementi dell'insieme costituito dai numeri 0, 9 al variare dell'indice i in n. Quindi posso avere infinite di queste cifre, dipendono dall'indice i uguale a 0, 1, 2 e 3 e tutte queste cifre sono le cifre decimali, quindi per esempio Per esempio, pi greco uguale a 1, 4, 1, eccetera. Allora, questo sarebbe, puntini puntini, questo sarebbe pi, alfa 0, alfa 1, alfa 2, e così via all'infinito. Pi si dice la parte intera del numero reale. La parte dopo la virgola si chiama mantissa, però non è importante. I razionali sono un sottoinsieme dei reali, perché posso sempre portare questa scrittura a una scrittura di quel tipo, dove a un certo punto tutti i zeri come cifre decimali. In particolare sono un sottoinsieme proprio dei numeri reali perché l'insieme dei numeri reali che non sono razionali, quindi r meno q dove questa è la differenza di insiemi, è chiamato l'insieme dei numeri irrazionali. Quindi sono i numeri reali che non ammettono una scrittura finita, cioè che da un certo punto contiene tutti i zeri. Alle curiosità, diciamo, anche all'interno, questi sono tutti insieme di cartesini, cardinalità infinita, cioè contengono infiniti elementi, in realtà anche a livello di cardinalità infinita si possono dare dei diversi livelli di infinito, che vengono chiamati con delle lettere alef0, alef1, eccetera. Si può vedere che mentre questi hanno tutti una stessa cardinalità, quella del numerabile, cioè sono praticamente tutti a livello di infiniti, hanno la stessa cardinalità dei numeri reali, i numeri reali, e in particolare sotto insieme degli irrazionali, hanno una cardinalità di ordine superiore, che si chiama proprio Aleph 0. Quindi è un insieme a livello di infiniti molto più grande di tutti questi insieme. Allora, vediamo adesso, quindi, questi sono gli insiemi numerici su cui noi andremo a lavorare. Scusate, non ho detto, qui ovviamente c'è radice di 2, pi greco, radice di 3, quindi numeri razionali, appunto, molti di questi li conoscete, e il numero di nepero, sono tutti numeri irrazionali. Adesso introduciamo su questo insieme dei numeri reali, che di suo è soltanto un insieme di numeri, quello che si chiama una struttura matematica. In particolare andiamo a introdurre quella che si chiama la struttura di campo. Avete visto ai precorsi queste cose, struttura di campo? Più o meno sentito? Allora, in realtà la struttura di campo, diciamo, l'idea è questa. Uno, queste sono delle definizioni che vengono dopo, nel senso che appunto... All'inizio sono stati introdotti questi insiemi, poi si è visto che questi insiemi avevano delle proprietà che li definivano, che li caratterizzavano. Allora si è cercato di estrarre quali sono le proprietà fondamentali. reali che caratterizzano l'insieme dei reali, che sono poi le operazioni del contare. Allora, questa struttura di campo le riassume, quindi un campo in generale, in particolare a noi interessa il campo dei reali, è un insieme con due operazioni binarie che noi per convenzione chiamiamo somma e prodotto. Operazione binaria vuol dire che mettono in relazione due oggetti di questo insieme. È un insieme con due operazioni binarie. In particolare queste operazioni binarie, che noi per convenzione chiamiamo addizione e prodotto, soddisfano le seguenti proprietà. Uno, questa operazione commutativa. La computativa, come ben sapete, vuol dire che a più b uguale a b più a. Se voi prendete due numeri reali, non importa in quale ordine li sommate. Alla fine ottenete lo stesso risultato. Due associativa. Quando sommate dei numeri reali, potete sommare prima A più B e poi al risultato sommare C o potete fare la stessa cosa, potete sommare prima B e C tra loro e poi il risultato sommare A. Poi esiste un elemento neutro, cioè esiste un numero reale che sommato a qualsiasi altro numero lascia invariato il risultato. Nel nostro caso lo chiamiamo lo chiamiamo 0. E infine esiste l'inverso, che nel caso della somma in realtà chiamiamo opposto. Dato A appartenente, allora questo lo scrivo così, dato un numero reale A, esiste un altro numero reale che chiamiamo meno A, tale che la somma di questi due elementi mi porta nell'elemento neutro, per esempio 3 più meno 3 uguale a 0, cioè meno 3 è l'opposto di 3 o viceversa 3 è l'opposto di meno 3. Ok, stesse proprietà poi valgono per l'operazione di prodotto, quindi anche il prodotto è commutativo. A per B uguale B per A, per ogni A e B in R, associativo, A per B per C, posso moltiplicare prima A per B tra loro e poi il risultato moltiplicare in C, oppure posso fare A e moltiplicarlo a risultato B per C, per ogni A, B e C in R. Esiste l'elemento neutro 3. Vuol dire che esiste un elemento che comunque moltiplico qualsiasi numero reale per questo elemento e riottengo il numero reale stesso. In questo caso l'elemento neutro è 1 per il prodotto. C'è un elemento che non mi altera il numero e infine esiste, in questo caso lo chiamiamo l'inverso, A, esiste un numero tale che moltiplicato per il numero stesso, che chiamiamo 1 su A, mi da 1, questo per ogni A diverso da 0. Queste sono tutte cose che ben conoscete, l'inverso di 2 è un mezzo, eccetera. Infine, queste operazioni di addizione di prodotto sono legate da una proprietà che le coinvolge entrambi, che si chiama la proprietà distributiva. Infine, la somma si dice distributiva rispetto al prodotto. Questo vuol dire che se voi fate A per B più C, il risultato è anche uguale a A più A. Potete distribuire la somma rispetto al prodotto. Quindi o fate B più C e poi il risultato lo moltiplicate per A, oppure distribuite come si dice la somma rispetto al prodotto, fate A per B, A per C e sommate. Allora, queste proprietà si chiamano un insieme che soddisfa questo. Queste proprietà, con due operazioni binariche, in questo caso noi abbiamo chiamato addizione, il prodotto si chiama un campo. In realtà, in questa famiglia di insiemi numerici che abbiamo introdotto, c'è un altro campo che è l'insieme dei numeri razionali. Anche Q, con la sua operazione che è la stessa dell'insieme dei reali, è un campo. Infatti, tutte queste proprietà, l'esistenza commutativa associativa, eccetera, esiste il neutro, esiste l'opposto, eccetera, la proprietà distributiva, valgono esattamente anche in Q. Quindi, da un certo punto di vista, almeno Fino a questo livello R è indistinguibile da Q. Da un punto di vista matematico sono due oggetti con esattamente le stesse proprietà. Quindi a questo livello sono ancora indistinguibili. Quindi tutto questo vorrei dire perché alla fine noi lavoriamo sui reali, cioè perché l'insieme in cui introduciamo l'indice, limiti, integrali, equazioni differenziali, è proprio l'insieme dei reali e non, per esempio, l'insieme dei razionali. A questo livello hanno esattamente le stesse proprietà, quindi sono indistinguibili. Ok, adesso introduciamo un'altra proprietà che anche questa ben nota, diciamo, è fondamentale, che è l'ordinamento. In realtà... Su R potete introdurre un'altra operazione che è quella di ordinamento. Mettiamola col minore uguale. Allora, dati due numeri reali, comunque dato A, B in R, Noi sappiamo che possiamo dire quale dei numeri reali è più piccolo dell'altro, per esempio 1 è minore o uguale di 3, quindi c'è un ordinamento naturale nel senso che noi possiamo sempre identificare R con i punti della retta reale. Se noi identificiamo l'insieme di reali col punto, quindi il numero A per esempio, col punto che D sta A dall'origine, quindi identifichiamo l'insieme dei numeri reali con i punti di una retta reale, l'ordinamento è quello che va da sinistra verso destra, quindi in questo caso appunto A minore uguale a B vuol dire che sulla retta reale il numero A di coordinata A è più piccolo del numero di coordinata B. Ok, quindi con questa operazione R si chiama un campo ordinato. quindi con questo ordinamento naturale. Ma nuovamente anche Q, la stessa operazione di ordinamento, la potete utilizzare anche sui razionali, ha esattamente le stesse proprietà, anche Q, il campo dei razionali è un campo ordinato. Nuovamente a questo livello non esiste differenza tra i reali e. I razionali. Ok, per capire qual è il punto per cui noi utilizziamo i reali invece dei razionali, dobbiamo dare delle definizioni. Quindi adesso andiamo a dare delle nuove definizioni. Quindi, vedremo che a un certo punto queste due insieme che per adesso vanno in parallelo divergono, cioè R ha una proprietà in più che si chiama la completezza, che non è soddisfatta invece dei razionali. Però prima di arrivare a questo dobbiamo introdurre, dare delle definizioni. Prima di dare la definizione, fatemi richiamare soltanto... Quando scrivo così vuol dire un'osservazione, cioè sto parlando, facendo un inciso nel discorso. Voglio definire una classe di oggetti a partire da questa, quindi una classe di insieme, di insieme, di sotto insieme, di R. a partire dalla relazione d'ordine, gli intervalli. Allora, quindi, dati i due numeri reali A in R, Posso definire questi insiemi con a minore uguale a b, diciamo, più propriamente, all'insieme a b, che sono tutti i numeri reali x appartenenti ad r, tali che il numero reale x è compreso fra a e b. E questo lo chiamo intervallo aperto di estremi a e b. Ad esempio, 0 e 1 sono tutti i numeri reali che sono compresi fra 0 e 1. Notate che gli estremi sono esclusi, cioè 0 e 1 non fanno parte dell'insieme, poiché la diseguaglianza è stretta. Vedete, se mettete qui 1, questo non soddisfa questa relazione, quindi non fa parte dell'insieme. Quindi l'intervallo 0,1 comprende tutti i numeri reali che sono più grande di 0 e strettamente più piccoli di 1. Quindi se questa è l'asse reale, è questo intervallino estremi esclusi. Si utilizza anche, diciamo, per notare l'intervallo aperto, si utilizza spesso anche quest'altra notazione. con le parentesi quadre girate verso l'esterno. Io preferisco questa, però è una questione di gusto, quindi se voi volete utilizzare questa a vostra scelta, io preferisco utilizzare quella con le parentesi tonde. Però in realtà sono completamente equivalenti, potete utilizzare indifferentemente una delle due. Ok, quindi questo è l'intervallo aperto di estremi 0,1. Poi abbiamo l'intervallo chiuso di estremi A e B. Quindi, sempre dati due numeri reali a e b, tali che a è minore o uguale a b, con questa notazione indichiamo tutti i numeri reali che soddisfano la seguente proprietà caratteristica. Sono compresi fra a e b. E questo lo chiamiamo l'intervallo chiuso di estremi a e b. Quindi sono tutti i numeri reali, però questa volta anche inclusi i due estremi dell'intervallo. Quindi, per esempio, 0, 1, quindi esempio, sono gli x appartenenti ad r tali che 0 minore uguale di x minore uguale di 1. Quindi vedete in particolare se a posto di x mettete 0, questo soddisfa le due diseguaglianze e quindi appartiene all'insieme. Sulla retta reale questo è l'intervallo, è il segmento di estremi 0 e 1 con 0 e 1 questa volta inclusi. Ok. Poi posso avere, quindi nel primo caso escludevo gli estremi, nel secondo caso li includevo. Posso avere delle situazioni intermedie in cui includo uno degli estremi, ma escludo l'altro. Ok, nel primo caso ho incluso l'estremo a sinistra, infatti vedete ho chiuso la parentesi, ma ho lasciato parentesi tonda a destra, quindi A è incluso, B è escluso. Nel secondo caso, invece, situazione opposta, ho incluso l'estremo B, perché ho messo il minore uguale, però ho escluso l'estremo A. Quindi questo si chiama un intervallo... Aperto a destra, intervallo aperto a destra, chiuso a sinistra, i nomi poi non sono molto importanti, l'importante è sapere di che cosa si parla. E viceversa l'altra situazione è un intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra. Quindi a seconda che includa o escluda uno degli estremi. Infine posso avere degli... questi, vedete, corrispondono a tutti i sottinsieme di R limitati, cioè a segmenti limitati, quando faccio identifico R con i punti della retta reale. Quindi sono tutti segmenti di lunghezza finita. Posso avere i cosiddetti intervalli illimitati. Aperti, chiusi, eccetera. Quindi partiamo per esempio A più infinito. Questi sono gli x in R, tali che x è maggiore di A e basta. Quindi in questo caso prendo tutti i numeri reali più grandi di A. Ad esempio, se questo è lo 0, qui c'è A, prendo tutti i numeri reali più grandi di A. Posso includere A, mi basta chiudere l'intervallo. Quindi questi sono illimitati verso più infinito o più infinito, ci torneremo a un simbolo, non è un numero. È soltanto un simbolo che è utile per indicare intervalli illimitati in questo caso. E poi posso avere, quindi questi sono illimitati a destra, cioè verso più infinito, posso avere la situazione a sinistra. Questi sono tutti numeri reali minori di b. E ovviamente posso anche includere, chiudendo l'intervallo, Ok, quindi in questo caso si identificano, nell'identificazione, i numeri reali più piccoli di questo numero B. Questa è una famiglia importante di sottoinsieme di R, su cui appunto, diciamo, sarà un po'l'insieme standard su cui lavoreremo. Ok? Notate soltanto due situazioni estreme prima di procedere. Se prendo un intervallo aperto di questo tipo con tutti gli stessi estremi a destra e a sinistra quindi questo sarebbe x in R tali che a minore di x minore di a alla fine trovo l'insieme vuoto cioè l'insieme con questo simbolo, lo dovevo introdurre prima scusate questo simbolo rappresenta l'insieme vuoto cioè l'insieme che non contiene nessun elemento. Quindi se prendo un intervallo aperto come estremi a, a, cioè lo stesso numero reale a destra e a sinistra, trovo l'insieme vuoto. Se invece lo prendo chiuso, A questo punto troverò un elemento che è esattamente il numero A. si riduce al sole elemento A perché il numero A verifica, vedete, verifica entrambe queste e nessun altro numero le verifica quindi nella retta reale è un intervallo cosiddetto degenere che corrisponde a un solo punto, cioè al punto di coordinata A ok, quindi abbiamo introdotto questa famiglia intervalli che serve anche per produrre degli esempi alla definizione che vado a dare adesso Ok, quindi diciamo sostanzialmente questa che introduco adesso è la prima definizione, fra virgolette, seria di questo corso, nel senso è una definizione importante che utilizzeremo varie volte e forse diciamo una cosa parzialmente nuova rispetto a quello che avete visto all'estremo superiore. Quindi vado a questo paragrafo, si chiama minoranti, maggioranti Estremo superiore e estremo inferiore. Non riscrivo estremo, scrivo un po'est inferiore. Quindi andiamo a introdurre questi oggetti. Ricordate che il nostro obiettivo era sempre trovare una proprietà per cui l'insieme dei reali fosse più comodo rispetto ai razionali su cui introdurre i concetti del calcolo differenziale. E vedremo che proprio legato a questa definizione è questa proprietà che andremo a dare. Allora, prendiamo un insieme contenuto in R che non sia vuoto, quindi A diverso dall'insieme vuoto. Introdurrò una serie di definizioni. Uno, un numero, chiamiamolo S, appartenente ad R, si dice un maggiorante di A Sì, vale questa cosa. A è minore o uguale di S per ogni A in A. Quindi questo gesso verde, utilizziamolo, questa è la parola importante maggiorante e questa è la proprietà che lo caratterizza. Scrivo anche quella diminorante e poi faccio dei commenti. Quindi chiamalo sempre S S appartenente ad R, si dice. minorante questa volta, di A, se A è maggiore o uguale di S per ogni A in A. Allora, adesso, ok, questa è una definizione, vediamo degli esempi per capirla. Prendiamo per esempio, appunto proprio utilizzando la definizione appena data, prendiamo un intervallo, prendiamo l'intervallo, esempio quindi, l'intervallo 1, 3. Quindi sono tutti numeri reali compresi Allora, chi è un maggiorante di questo insieme? Quindi il nostro insieme A è l'intervallo 1-3, eh? È un insieme non vuoto, quindi posso applicare questa definizione. Chi è un maggiorante di questo insieme? Sì, 3 è un maggiorante di questo insieme, perfetto. Comunque 3 è un maggiorante. Perfetto. Infatti, vedete? Metto infatti. 3 è maggiore o uguale di x per ogni x appartenente, o di a diciamo, ho scritto da, per ogni a appartenente all'intervallo 1,3. Lo leggo proprio dalla definizione, infatti vedete, 3 è maggiore di ogni elemento dell'insieme, quindi è un maggiorante. Ci sono altri maggioranti di questo insieme? Ovviamente a maggior ragione tutti i numeri maggiori 3 sono ancora maggioranti, no? 152 è un maggiorante dell'insieme, ovviamente. Tutti i numeri reali più grandi, 3 incluso, tutti i numeri reali più grandi di 3 sono a loro volta maggioranti. Quindi abbiamo già osservato una prima priorità, se esiste un maggiorante in realtà automaticamente ne esistono infiniti, che sono tutti i numeri reali più grandi di questo maggiorante. Cambiamo esempio, facciamo un altro esempio, meno 1, 4. Non riscrivo adesso, avete capito la definizione. Chi ha un minorante di questo insieme? Meno 2 ha un minorante. Forse a questo punto la scrivo. Oh, mi ero fatto prendere alla bigrizia. Meno 1x minore uguale di 4. Infatti, vedete, tutti i numeri che fanno parte dell'insieme di A, insieme a A, sono più grandi di meno uno, quindi in particolare sono più grandi di meno due. Quindi meno due è più piccolo di tutti gli elementi dell'insieme. Ci sono altri minoranti? Adesso ci arriviamo, sì. Ci sono altri minoranti? Ovviamente qualsiasi numero più piccolo di meno 2 ha a sua volta un minorante, perché verifica immediatamente, quindi meno 2 minore uguale di a per ogni a in a. Ma se prendo meno 5 è ovviamente un minorante, perché se lo verifica a meno 2, perché non dovrebbe verificarlo anche a meno 5? In realtà, come osservava giustamente il vostro collega in prima fila, un altro minorante dell'insieme è meno 1. No, mi fa di più. Infatti vedete dalla definizione vi dice proprio che tutti gli elementi dell'insieme sono più grandi, maggiori o uguali di meno uno. Quindi la diseguaglianza che richiede una diseguaglianza debola non è stretta, quindi meno uno ha anche un minorante. Come vedremo fra un pochino meno uno ha un minorante particolare con una proprietà aggiuntiva. Facciamo un altro esempio leggermente meno immediato. Prendiamo i numeri naturali. Ah, quindi questa volta coincide con i numeri naturali. Chi è un maggiorante dei numeri naturali? Più in finito non è un numero, eh? Ho detto 5 minuti fa che più finita è un simbolo, non è un numero reale. Non esistono maggioranti dell'insieme perché comunque prendete un numero reale S, grande quanto potete pensare, esiste sempre un numero naturale N, tale che è strettamente maggiore di S Comunque prendo un numero reale grande quanto pensate. Posso sempre prendere il primo numero naturale più grande del numero reale dato e quindi l'insieme non ammette maggioranti in questo caso. Segue, cancello qui scusate, questo implica... che l'insieme n non ammette maggioranti o, come si dice, non è limitato superiormente. Allora, quando non ammette maggiorante, lo dico non limitato superiormente. Notate, prima di procedere, vedete come si scrivono velocemente con i quantificatori una frase in matematica invece di dire comunque preso il numero reale r posso sempre trovare un numero naturale n tale che il numero naturale n è più grande del numero reale con i quantificatori la frase viene molto più breve e ok, quindi non ammette maggioranti, ammette minoranti 0 minorante, ok, quindi 0 minorante di n. Allora, quando insieme ammetto un minorante, si dice limitato inferiormente, cioè n. Non è limitato superiormente, ma invece è limitato inferiormente. C'è qualcosa che lo limita dal basso. Mi sapreste fare un esempio di insieme che non ammette né maggioranti né minoranti? Che non sia R? Z. Z, l'insieme dei numeri interi, non è limitato né superiormente né inferiormente. Cioè, non ammette maggioranti né minoranti. Ahem ahem ahem E invece un esempio di insieme limitato superiormente ma non inferiormente in base a quello che abbiamo introdotto oggi un esempio di insieme limitato superiormente ma non inferiormente R-n non è eliminato superiormente né inferiormente perché z-n, quindi dai numeri interi tolgo i numeri naturali, che cosa rimane? Rimane meno 1, meno 2, meno 3, meno 4. Allora, questo ammette per esempio 0 a un maggiorante, quindi è limitato superiormente, ma non ammette minoranti. Se no, un altro esempio, diciamo, leggermente più semplice che mi aspettavo facevate era meno infinito 1, per esempio. Questo è limitato superiormente da 1, ma non è limitato inferiormente. Comunque, z-n è benissimo, perché? Ok, ci fermiamo qui, perché abbiamo fatto abbastanza cose, e domani procediamo con la definizione di estremo superiore e estremo inferiore. A domani!

In generale vi può essere utile sapere che le sessioni di esami, i periodi in cui potete sostenere gli esami sono gennaio e febbraio. In questa sessione avete due appelli. Cioè, due appelli vuol dire che potete sostenere l'esame per due volte, sperando di passare al primo, ma se nella brutta eventualità che non passate al primo potete ripetere una seconda volta.

Avete altri due appelli a giugno, luglio, e infine un appello a settembre. Ovviamente nel periodo marzo-maggio seguirete i corsi del secondo semestre. Per quanto, quindi in totale, cinque appelli. Per quanto riguarda, diciamo, le informazioni relative al corso, cominciamo dai libri di testo.

Allora... Il corso di Analisi Matematica 1 è un corso, diciamo, classico, articolato. Il programma è molto standard, nel senso, sono proprio i fondamenti della matematica, quindi libri di testo se ne trovano tantissimi, ognuno può anche chiedere.

se ha già in casa dei libri di testo, in generale al 99% andranno bene. Quelli che io vi suggerisco, regolatevi anche per vostro gusto, sono questo libro di Bersh, Dal passo Giacomelli, I nomi di questi libri sono tutti senza una particolare fantasia, analisi matematica, e questo è della McGroheel. è adottato in molti dei corsi di laurea di ingegneria, quindi sicuramente lo trovate anche usato.

Poi, più o meno equivalente, non ci sono grosse differenze, il Bramanti Il BERS è un pochino più esteso, può essere utile anche per la parte di Analisi 2 che seguirete il prossimo anno, mentre il Bramanti-Pagani-Salsa copre esattamente il programma di Analisi 1, questo ancora con meno fantasia si chiama Matematica, e è un libro della Zanichelli. E comunque appunto ci sono tanti altri libri che potete sicuramente trovare. Per quanto, anzi no, prima di dire i libri di esercizi, dalla mia pagina web, quindi se voi andate sulla pagina web, ci tornerò perché contiene varie informazioni, però se andate sulla mia pagina web, sbai uniroma1, .it Camilli potete scaricare degli appunti del corso Gli appunti sono un po'la traccia che io seguo a lezione, quindi trovate in forma molto sintetica rispetto a un libro.

Nei libri trovate gli esempi, o magari più dettagliate le motivazioni, negli appunti trovate esattamente quello che io dico a lezione in più a lezione farò dei commenti degli esercizi però penso che siano un'utile traccia per anche per seguire insomma quindi questi li potete, è un file pdf potete scaricarlo dalla pagina web per quanto riguarda esercizi invece libri per esercizi qui veramente la scelta è quasi infinita direi Ovviamente su internet trovate ogni professore mette sulla sua pagina web esercizi svolti o qualsiasi altra cosa, di tutti i tipi, per esempio se volete fare degli esercizi per dire sulle equazioni differenziali, cercate equazioni differenziali ordinarie, esercizi svolti e là vi vengono infinite parti. di esercizi con la soluzione che possono essere utili per esercitarvi. Se però magari i libri, diciamo, avere un libro di riferimento può essere utile perché le cose vengono fatte in maniera progressiva e più organizzata, quindi i libri di esercizi per esempio c'è questo di Ammar Berzani.

A Mar Berzani sono due docenti, non mi ricordo il titolo però, esercizi di analisi. Sono due docenti di questa facoltà, quindi anche questo è adottato da molti anni, il progetto Leonardo, trovate sicuramente usato. Ho un classico per gli esercizi e questo contiene esercizi svolti con soluzioni, almeno un suggerimento sulle soluzioni, i primi svolti in dettaglio per gli altri le soluzioni.

Un classico per esercizi per il corso dell'analisi 1 è questo libro di Marcellini e Sbordone. Questo è un libro abbastanza vecchio ma ben fatto. che si chiama, vediamo un po', esercitazioni di matematica e questo è Liguori Editori Liguori Ok, diciamo, riguardo questo, l'unico svantaggio di questo libro, è un libro molto ben fatto, nel senso che gli esercizi sono progressivi, quindi parte da esercizi, soprattutto per chi magari non si sente molto sicuro sulle sue conoscenze dalle scuole superiori parte da esercizi molto semplici per arrivare a esercizi anche abbastanza sofisticati tutti gli esercizi, anche in questo caso i primi sono svolti in dettaglio gli altri di tutti da almeno un suggerimento quindi è un libro ben fatto l'unico svantaggio è che in realtà il programma è coperto da allora c'è il volume 1, parte 1 e parte 2 in realtà ciascun volume costa poco però eeeh Parte 2, quindi sono due volumi e in più serve anche volume 2, però questo magari potete decidere di comprarlo in un secondo tempo, la parte 1. Poiché questo era un libro pensato nei vecchi corsi in cui c'erano un corso istituzionale di analisi matematica 1 e un corso di analisi matematica 2, adesso invece con la riforma del 3 più 2, l'analisi matematica 1 e 2 è stata compattata tutta dentro analisi matematica.

Quindi una parte del programma del nostro corso viene coperto dal volume 2. Poi ci sono tantissimi altri libri, non faccio un elenco, eventualmente potete chiedere, per esempio il salsa squellati. è il libro di esercizi relativo al Bramanti Pagani Salsa, questo anche in due volumi un classico dei libri di esercizi è questo libro russo De Midovich forse ne avrete sentito, De Midovich, Editori Riuniti questo nel puro stile dei libri russi contiene migliaia di esercizi ma di cui non dà nessuna soluzione trovate soltanto il numero alla fine ma non c'è però questo può essere un libro utile in una seconda fase cioè quando voi vi sentite abbastanza sicuri sugli esercizi base qui trovate quanti esercizi volete per esercitarvi E infine potete trovare, diciamo, anche sempre sulla mia pagina web, potrete trovare due cose utili. Innanzitutto i compiti di esame.

Di questi c'è anche la soluzione, con soluzione. Questi però vi consiglio di utilizzarli alla fine, nel senso possono essere un buon modo per prepararsi a ridosso dell'esame, prendere un compito e provare a svolgerlo come se fosse un esame. Tieni conto che all'esame non potete utilizzare libri o niente, quindi tutto quello che dovete sapere lo dovete memorizzare, quindi questo può essere un buon modo per testare anche le vostre conoscenze. Poi sempre sulla pagina web trovate degli esercizi che ho messo in un corso alcuni anni fa, però questi sono degli esercizi abbastanza complicati, alcuni li svolgerò a lezione.

In generale... Non sono proprio quelli da cui cominciare, quindi forse in una fase più avanzata potete vedere alcuni fogli di esercizi svolti, non svolti, non ci sono soluzioni, ma molti li farò a lezione. Ok, diciamo questo per quanto riguarda i libri di testo. Per adesso ho lasciato il ricevimento, ricevimento è una cosa un po'strana, nel senso che io fisso il ricevimento ma tanto non viene nessuno, quindi per adesso ho lasciato quello che c'era nel semestre precedente. che per voi però in realtà è scomodo perché va in sovrapposizione con le lezioni, quando avrete necessità di venire a parlarmi per chiedere spiegazioni, approfondimenti, dubbi, risolvere esercizi, mi potete contattare di persona e ci possiamo organizzare.

Quindi il ricevimento che per adesso è l'unedì e venerdì. dalle 10.30 alle 11.30. Il mio ufficio si trova in Via Scarpa, quindi probabilmente avete fatto i test di ammissione a Via Scarpa o comunque a ridosso della città universitaria, Via Scarpa 16, Palazzina RM002.

Citofono e trovate. Ok, quindi anche questo, quindi per contattarmi ovviamente mi potete contattare a lezione o altrimenti mi potete scrivere per posta elettronica, quindi il mio indirizzo di posta elettronica è il seguente, camilli at sbai uniroma1.it Quando vi scrivete per posta elettronica, io in genere rispondo a meno di cose particolari, quasi su tempi ragionevoli, però una cosa, firmate il messaggio, perché rispondere a kitty99 at yahoo.it, diciamo, se devo dare delle informazioni non è che sono molto contento quindi firmate il messaggio dicendo sono uno studente al corso del primo anno in ingegneria informatica diciamo in genere per posta elettronica se mi chiedete lo svolgimento di un esercizio posso darvi un suggerimento, però la posta elettronica usatela più per informazioni semplici da dare, tipo appunto ore di ricevimento, informazioni sul corso, sui libri di testo. Molte delle informazioni a cui ho riportato le trovate, come vi ho detto, sulla mia pagina web dove trovate anche il programma del corso, se vi volete fare un'idea degli argomenti che faremo quest'anno potete consultare il programma e vedere un un po'appunto quel tipo di argomenti che verranno svolti nel corso.

Su appunto trovate quasi tutte le informazioni che ho riportato, le trovate sulla pagina web. Penso più o meno di aver detto tutto per questa parte introduttiva. Non ci saranno esoneri, questo tanto qualcuno prima o poi me lo chiede, tolgo subito, rispondo subito, non ci sono esoneri, faremo soltanto un test di autovalutazione che non valuterò, quindi...

non ci sono esoneri nel corso ok quindi possiamo a questo punto questo partiamo entrare nel dettaglio del corso cioè entrare nella parte specificatamente del corso quello che vi ha detto il professor Scherf era quello che volevo dirvi io ma quindi non ve lo ripeto un'altra volta per non annoiarvi, l'unico suggerimento appunto, il suo suggerimento lo condivido pietamente ridursi all'ultimo momento per preparare gli esami è impossibile, ma non perché l'esame sia difficile, il corso di analisi matematica 1 non è difficile, è solo che è molto lungo, la difficoltà del corso è che contiene tanti tanti argomenti, infatti a un livello più che ragionevole, quindi però se uno vuole preparare all'ultimo momento è difficile, poi tenete conto che il corso finisce intorno al 20 dicembre, il primo appello l'anno scorso era il 9 gennaio. quindi in 18 giorni preparare sia la teoria che lo scritto è difficile. L'esame è solo scritto, non c'è l'orale, e lo scritto però contiene delle domande teoretiche.

Quindi per esempio, poi potete farvi un'idea dai compiti sulla pagina web, tipicamente ci sono due domande teoriche, possono essere un toremma, una definizione, delle domande a scelta multipla, che sono un po'quelle che creano più difficoltà agli studenti, ma ne faremo diversi esercizi durante l'anno e vedremo come si risolvono. E poi dei classici esercizi, tipo calcolare il limite, risolvere l'integrale, studiare la funzione. Quindi lo scritto è abbastanza articolato, però l'esame è solo scritto. All'orale è una discussione degli errori del compito, quindi se voi potete chiedere spiegazioni sugli errori, io posso chiedere informazioni su quello che avete fatto allo scritto. Molti dei corsi si regolano in questa maniera perché capite che un singolo docente se dovesse interrogare all'orale 100 persone da un punto di vista è un peccato che non si faccia all'orale perché l'orale è unico per voi per imparare a parlare a comunicare cosa che vi servirà poi quando fare di colloqui lavoro ma anche per me per capire diciamo persone che rendono poco allo scritto e invece rendono molto di per l'ora però per esempio nella sessione di gennaio quando 60-70 persone superano lo scritto, se io dovessi interrogare tutti, arriverei fino a marzo, quindi è proprio materiale, quasi tutti i docenti si regolano in questa maniera.

Se volete fare domande adesso, in generale, anche durante il corso, sia domande intelligenti che stupide, potete chiedere, interrompere, non ci sono problemi, chiedere di rispiegare dei passaggi, o sugli esercizi, qualsiasi cosa. Non siate timidi, quindi fate domande. Allo scritto non si può usare niente penna, gomma per cancellare e riga per fare le righe neanche la calcolatrice eh? Beh il compito va scritto a penna ogni tanto qualche... eh?

per cancellare la pena. Ok, quindi no, allo scritto non si può usare nulla, perché contenendo domande teoriche sarebbe troppo facile. Poi ogni volta qualcuno prova a...

portare più o meno aiuti ammessi o non ammessi però quello a vostro rischio è pericolo quindi regolatevi devo solo raccontarvi questo che secondo me è rimasto lo studente che ho ammirato di più in assoluto che aveva scritto su un pacchetto di fazzolette di carta aveva scritto tutto il programma di analisi matematica e scrivere su un fazzoletto di carta non è semplice ve lo garantisco sono che... tutto quanto, fazzoletto per fazzoletto solo l'unica cosa che tirava in continuazione fuori questi fazzoletti alla fine il mio collega con cui stavo facendo lezioni si è avvicinato e ha visto questo programma e questo mio collega ha conservato perché era veramente un capolavoro devo dire questa cosa poi vabbè ci sono tanti tanti pro però quello sta a vostro rischio e pericolo voi potete provare, io vi posso cacciare dall'alto fa parte del gioco, no? Giustamente. Quindi, entriamo quindi dopo questa lunga introduzione, andiamo nel dettaglio del corso, nei primi argomenti. Questa lezione sarà molto introduttiva, quindi molti la troveranno noiosa perché vi parlerò un po'di cose che avete ben visto alle superiore, però giusto anche un po'per rompere il ghiaccio, insomma per avere un'entrata soft nel corso.

Quindi quando vedrete gli appunti sto facendo riferimento al capitolo 0, questo che trovate negli appunti, questo capitolo 0 che riguarda 0 perché non è neanche capitolo 1, sono quasi tutte cose che avete già fatto ai superiori, però qualcosa di nuovo vedrete anche in questo capitolo. Allora, quindi l'oggetto più semplice che si considera in matematica in generale, in matematica è il concetto di insieme, quindi il concetto più semplice è il concetto di insieme. Tutti voi fin dall'elementare sapete bene che cosa vuol dire un insieme, almeno avete un'idea di che cosa vuol dire... un insieme di oggetti, cioè un insieme di oggetti è una classe di oggetti per cui sia ben definita una legge di appartenenza, quindi tale che voi potete stabilire in maniera univoca se un certo oggetto appartiene a questa classe oppure non vi appartiene. Esempio tipico, gli studenti iscritti al primo anno di ingegneria informatica, questa è una classe ben definita, ...perché posso prendere uno studente e se lui si è scritto fa parte della classe, se non si è scritto non fa parte della classe.

Invece una classe che non è un insieme, per cui quindi non è ben definita una legge di appartenenza, sono per esempio... gli studenti bravi del corso di ingegneria informatica. Qui non è ben definito perché non è quantificato cosa vuol dire essere bravo o meno, quindi richiederebbe un'ulteriore specificazione del concetto di bravo.

classe che non è un insieme. Indicheremo gli insiemi con delle lettere maiuscole, quindi A, B, C, eccetera, e gli oggetti, gli elementi di questi insiemi con delle lettere minuscole, quindi che possono essere tipiche relativamente A. Per dire che un certo oggetto appartiene ad un insieme scriveremo A in A e quindi leggiamo A appartiene ad A. Questo simbolo fa parte di una classe di simboli che in matematica si chiamano quantificatori e simboli logici.

Questi simboli, che sono estremamente utili e di cui noi faremo largo uso durante il corso, Sono stati introdotti da un matematico, quantificatori e simboli logici, da un matematico italiano del secolo scorso, anzi di inizio novecento, simboli logici, Peano, che è un po'il fondatore della logica matematica, logici. Grazie. della logica matematica e quindi è un po'come se fosse un vostro nonno, fra virgolette, perché poi la logica matematica ha generato l'informatica teorica e quindi voi siete gli eredi di questa tradizione che in realtà ha un'origine anche da questo matematico e fu un matematico notevole e diede importanti contributi alla logica matematica. Quindi questi simboli logici molti li avrete già visti, per esempio questo che vuol dire esiste. questo simbolo che vuol dire, punto esclamativo, che vuol dire unico in combinazione questi due simboli si leggono esiste ed è unico poi vedremo che usandoli, insomma, adesso giusto per presentarli vedremo come si usano poi che altro possiamo dire le implicazioni Non si, solo si.

Quindi, per esempio, qui se abbiamo una certa proposizione logica che chiamiamo P, allora P implica, cioè il fatto che P sia vera, implica che anche la proposizione logica Q sia vera, oppure l'equivalenza vuol dire che se una è vera, anche l'altra è necessariamente vera. Poi altri simboli che utilizzerò sono le negazioni di questi simboli, per esempio quando si sbarra lo si nega, quindi vuol dire non esiste, oppure se sbarro il simbolo di appartenenza non appartiene. e così via.

Quando sbarrare vuol dire equivale a negare, ovviamente diverso. Poi altro simbolo che qualche volta utilizzo è questo qui, quando alla fine di un argomento si perviene a una contraddizione, quindi questo indica che genera una dimostrazione per assurdo, si perviene a una contraddizione e quindi indica il fatto. Infine, anche poi piano piano, magari li utilizzerò, quando voglio definire qualcosa, per esempio se voglio definire l'insieme P, metto due punti uguali per dire l'insieme è definito, per esempio potrebbe essere gli n appartenenti ad n, tale che n è un numero primo, per dire una qualsiasi cosa.

Quindi quando metto i due punti... Significa, vedete, che sto definendo questo oggetto a partire dalla definizione che segue. Ok, diciamo, nella parte degli insiemi io in genere, poi è questione, però diventa automatica, io uso i due punti, però per esempio nel corso di un enunciato di un teorema, però magari queste cose piano piano le dico oppure utilizzo spesso pure questo. ...t puntato c tale che.

Quindi quello, però piano piano, diciamo, queste cose verranno introdotte. Però diciamo, preferisco evitare la sbarra perché la sbarra potrebbe essere confusa con altri simboli matematici, per esempio modulo e così via. Quindi in generale preferisco evitarlo.

E infine, appunto, forse sì, le relazioni sì, le inclusioni fra insiemi. Quando questa, diciamo, sono le inclusioni fra insiemi, quindi con per esempio A, Contenuto in B vuol dire che ogni elemento di A fa parte anche di un elemento di B. Se voglio dire che è contenuto propriamente, quindi A è un sottinsieme proprio di B, utilizzo anche questo simbolo, il contenuto con un uguale sbarrato sotto.

Quindi questi sono più o meno una parte di simboli che utilizzeremo durante l'anno. Vediamo poi come si rappresenta un insieme, rappresentazione di insiemi. Anche questo penso sia una cosa che, diciamo, tutto quello che sto dicendo sia ben noto. Allora, un primo modo, ci sono sostanzialmente tre modi, in realtà due sono equivalenti, un primo modo è quello di elencare tutti gli elementi dell'insieme, quindi per esempio posso scrivere A uguale a... l'insieme composto dai numeri 1, 3, 7 e dall'elemento A.

In questo modo elenco tutti gli oggetti che compongono l'insieme, quindi questo è per enumerazione, diciamo. Equivalentemente, diciamo, è comodo soprattutto quando si fanno le operazioni insieme, piuttosto che scrivere in questa maniera, utilizzare i diagrammi di Euler-Oven. Questi due, diciamo, sono equivalenti al precedente. in cui piuttosto che scrivere gli elementi fra due parentesi graffe separate da una virgola li racchiudo all'interno di una curva chiusa del piano e li elenco come dei puntini 1, 3, 7 ed A Ovviamente per enumerazione o elencazione posso descrivere soltanto insieme che siano costituiti da un numero finito di oggetti o come si dice in matematica abbiano cardinalità finita.

Cardinalità esattamente vuol dire il numero di oggetti che costituisce l'insieme. Quindi se l'insieme ha cardinalità finita, in particolare non troppo grande, posso enumerare gli elementi dell'insieme. Altrimenti devo descriverli...

non uso quella parte perché la telecamera non prende la parte esterna della lavagna, devo dargli per proprietà caratteristica, cioè specificare una proprietà che caratterizza gli elementi dell'insieme, come abbiamo già visto in realtà un esempio in basso, quindi la seconda per proprietà caratteristica. Quindi, non so, per esempio, appunto, un esempio è questo che abbiamo già fatto dei numeri primi, no? È l'insieme dei numeri naturali tale che n è un numero primo, o potrei, che ne so, un multiplo di 3, eccetera, un qualsiasi numero primo. Quindi, Dopo i due punti do una proprietà caratteristica che specifica gli oggetti e l'insieme. Questo mi consente di descrivere questo insieme che ha cardinalità infinite, cioè non è composto dal numero finito di oggetti.

Ok, quindi i due primi, diciamo, numerazione e diagrammi di Alorvenne sono più o meno equalenti, questo riguarda soprattutto gli insiemi infiniti. Allora, abbiamo visto quindi questo concetto di insieme che è un concetto abbastanza semplice e naturale, intanto è vero che si introduce già alle scuole elementari, quindi si presuppone che possa essere compreso in maniera molto semplice. L'idea che in qualche modo i matematici del secolo scorso, a partire da Hilbert, forse avete sentito un nome molto famoso in matematica, si fece all'inizio del Novecento, era quello di rifondare tutta la matematica su dei concetti elementari. Quindi partire da questi concetti elementari e proprietà elementari per descrivere tutta la matematica, diciamo tutte le proprietà che poi venivano usate dai matematici. E questo Hilbert che era questo fratello.

famosissimo matematico che ha dato tantissimi contributi, formulò questo programma, infatti si chiama il programma di Hilbert, in una famosa conferenza agli inizi del Novecento. Quindi in quel punto i matematici cercarono di sfrondare tutte le sovrastrutture e ridursi a capire quali erano i concetti elementari su cui fondare la matematica. Contributi importanti lì dietro di vari matematici, tra cui Cantor, Russell, Berzani Russell, eccetera.

però quando nel momento in cui si andò a toccare questi fondamenti della matematica ci si accorse che sorgevano immediatamente delle contraddizioni e una di queste contraddizioni, la faccio soltanto a livello di curiosità diciamo non è fondamentale per il corso è questo ben noto paradosso di Russell Questo paradosso di Russell fa vedere che proprio in questo concetto elementare di insieme si annidano delle contraddizioni e quindi non è adatto come fondamento della matematica. Quindi consideriamo questo insieme. Questo insieme A, che definiamo in questo insieme, sono gli x tali che x ha un insieme che non contiene se stesso.

Quindi, vedete, lo scrivo per proprietà caratteristica, questo lo leggo così. Sono tutti gli insiemi x che non contengono se stessi, cioè x è un insieme tale che x non appartiene ad x. È ben definito per proprietà caratteristica.

E si vede subito che in questa... qui si annida una contraddizione immediatamente. Allora, è un insieme, è così da tutti gli insiemi, che non contengono se stessi.

È una proprietà caratteristica, la definisco in questa maniera. X non appartiene a se stesso. Allora, adesso ci possiamo chiedere, A fa parte di questa classe o non fa parte?

Allora, se A appartiene ad A, Mi sto chiedendo adesso se questo insieme che ho così definito fa parte di questa classe, di questo insieme, oppure non ne fa parte. Se A appartiene ad A, allora per definizione segue che proprietà caratteristica A non appartiene ad A. E quindi ho immediatamente ottenuto una contraddizione. Dovete riflettere, capisco che...

rifletteteci un attimo, quindi definisco una classe di oggetti per proprietà caratteristica mi chiedo se questa classe di oggetti che ho definito cioè... questo oggetto appartiene a questa classe di oggetti. Se appartenesse a se stesso, ma per proprietà caratteristica, vuol dire che non vi appartiene, e quindi questa è una contraddizione. D'altra parte, se A non appartenesse ad A, allora verifica questa proprietà caratteristica, e quindi necessariamente A appartiene ad A.

e quindi ho ancora ottenuto una contraddizione. Allora, questo esempio che sembra un giochino in realtà a questo livello, in realtà è il progenitore di tutta una classe di insiemi, scusate, non di classe, di paradossi che sono poi riformulati, che spesso si vedono anche nei film, nelle riviste di Enimissima, però sono basati tutti su questo semplice principio. E appunto, ottenere una contraddizione nella proprietà caratteristica.

E però vedete, questo sembra un gioco, ma in realtà è una cosa importante. perché fa vedere che nella definizione di insieme, così come è data, ricordavo, insieme a una classe di oggetti per cui si ha ben definita una legge di appartenenza, si è nita una contraddizione. Quindi la nozione di insieme che sembra elementare non può essere presa a fondamento della matematica.

Appunto era convinto di poter superare questa contraddizione, scrisse una opera enciclopedica in tre volumi che si chiama Principia Matematica, illegibile, una cosa... convinto di poter superare questa contraddizione. Russell tra l'altro fu uno dei più logico importantissimi, sono nomi importanti, non era una persona che per strada aveva deciso, era a Cambridge quindi per strada. persone, diciamo, matematici di primissimo piano. Quindi scrisse quest'opera monumentale, convinto di poter fondare la matematica su delle basi salde e certe, in realtà realizzarono che anche Russell non era riuscito a eliminare tutte le contraddizioni, finché negli anni 30 arrivò un matematico, Gedel, forse anche, diciamo, vi può essere capitato di sentirlo, che dimostrò un teorema fondamentale, si chiama il teorema dell'incompletezza di Gedel, che dimostrò che ogni sistema matematico contiene, fondato che contiene, diciamo, gli assiomi base, per esempio quello sui numeri naturali, contiene all'interno delle contraddizioni cioè ci sono delle proposizioni che non si possono decidere se sono vere o non sono vere e questo fu un risultato che sconvolse perché vuol dire in qualche modo la matematica fondava su delle basi di argilla, e quindi parallelamente a Gaiter, nello stesso periodo in fisica, Heisenberg diede il famoso principio di indeterminazione, quindi ci fu tutto un periodo in cui cose che erano ritenute vere e ben salde furono messe in discussione.

In particolare Gaiter dimostrò che la matematica non può essere fondata su basi certe, quindi in particolare ci sono proposizioni per cui non possiamo decidere se sono vere o false. Ok, diciamo che queste sono tutte esperienze. speculazioni, però torniamo al mondo reale, in particolare gli ingegneri sono abbastanza disinteressati a queste perversioni dei matematici e sono molto più interessati a lavorare sulle cose concrete. Torniamo al mondo di tutti i giorni in cui la matematica in realtà funziona e serve per descrivere tante cose. Ok, quindi questo vediamo adesso, sempre parlando di insiemi, quali sono le operazioni base fra gli insiemi.

Allora, molte non le ripeto, sono l'unione, quindi dati due insieme posso prendere A unione B, che è l'insieme costituito dagli elementi che fanno parte sia di A che di B, se volete possiamo i C tali che C appartiene ad A e C appartiene a B. L'intersezione fra insiemi, C appartiene ad A e questa volta deve appartenere anche a B, quindi queste sicuramente le conoscete, forse conoscete meno la differenza di insieme. Questa si chiama differenza di insiemi e notate il meno è messo in maniera obbligua come un backslash e questi sono gli A appartenenti ad A tale che A non appartiene a B. Quindi per esempio con i diagrammi di Euler-Houven, se questo è A, questo è B, A-B è questa parte, cioè questa sarebbe l'intersezione, no?

Questa è A intersecato B. A-B è gli elementi di A che non sono nell'intersezione, cioè che non fanno parte di B. Infine il prodotto cartesiano di due insieme. A per B, che si indica con questo per a croce, sono le coppie ordinate A B, tale che il primo elemento appartiene ad A e il secondo elemento appartiene a B.

viene A e è importante che sia, dunque, sono coppie ordinate, cioè l'ordine conta. A è un elemento distinto da B, ok? Conta l'ordine in cui le scrivo. Vediamo delle proprietà basi, ovviamente l'unione e l'intersezione, come si dice, commutano, quindi A unione B uguale a B unione A, quindi l'operazione di unione commuta, posso scambiare l'ordine, e anche l'intersezione commuta.

Invece le altre due operazioni, cioè la differenza fra insieme e il prodotto cartesiano, non comutano. Per esempio, si vede facilmente che A-B è diverso da B-A. Infatti, vedete? A-B è questo insieme, B-A è quest'altro insieme, no? Quindi l'ordine, anche in questo caso, è importante.

Commutando l'ordine degli elementi si trova un altro oggetto. E anche A per B, in generale, è diverso da B per A. Poiché, come ho detto, stiamo parlando di coppie ordinate, l'ordinamento conta, quindi se scambio, adesso magari vi faccio degli esempi numerici, se scambio i termini del prodotto cartesiano, forse questo l'ho detto che era prodotto cartesiano, prodotto cartesiano. Se scambio l'ordine di questi elementi del prodotto cartesiano, in generale troverò un altro elemento. Facciamo velocissimamente degli esempi.

Prendiamo per esempio A uguale a 1, 2, 3, 4. B, forse ci sono messi un po'troppi, cancelliamone uno, B, 3 e 5. Facciamo le varie operazioni fra questi, allora, A unione B, è facile perché prendo gli elementi dell'insieme contati ovviamente una volta sola, quindi 1, 2, 3, 5. A intersezione B c'è un solo elemento in comune fra i due insiemi che è 3. A-B devo togliere da A l'unico elemento che è anche in B, quindi 1, 2. Notate che invece B-A Quanto è B-A? 5. Infine, A prodotto cartesiano B sono tutte le coppie in cui il primo elemento della coppia è in A e il secondo in B. Quindi possiamo fare 1, 3, 1, 5, 2, 3, 2, 5. 3, 3, 3, 5. In particolare notate che la cardinalità del prodotto, cioè il numero di elementi del prodotto cartesiano è dato dal numero elementi del primo insieme per il numero elementi del secondo insieme, quindi scrivo qui. Se la cardinalità di A, ok, card indica cardinalità, cioè il numero degli elementi dell'insieme è uguale ad n e la cardinalità di B è uguale ad m, quindi il primo insieme è composto da n elementi, il secondo insieme è composto da m elementi, la cardinalità del prodotto cartesiano è n per n.

2, 3, 6 quando faccio il prodotto cartesiano di insieme per se stesso quindi quando faccio A per A In generale lo indico con A al quadrato. Infine posso fare il prodotto cartesiano non solo di due insieme ma di più insiemi. Quindi posso fare A per B per C. o mettere quanti insiemi voglio in qualche modo.

Allora queste sono le triple a questo punto ordinate di elementi in cui A, B, C tali che A appartiene ad A B appartiene a B e c appartiene a c. Quindi posso moltiplicare con questo prodotto cartesiano quanti insiemi voglio. In particolare, se faccio a per a per a puntini n volte, quindi se faccio il prodotto cartesiano di a per si stesso n volte, Piuttosto che scrivere così, mi risulta comodo scrivere a alla n, come se fosse un elevamento a potenza.

Ok, quindi qua abbiamo detto quasi tutto per quanto riguarda gli insiemi. Adesso noi siamo interessati a degli insiemi particolari su cui vogliamo lavorare, che sono gli insiemi numerici. Ok, richiamo brevemente perché introdurre per bene gli insiemi numerici richiederebbe da solo un corso di 60 ore, ma noi non vogliamo fare questo. Quindi richiamo brevemente soltanto cosa sono gli insiemi numerici, cioè gli oggetti su cui noi lavoriamo. Allora, l'insieme più semplice da cui partiamo, che è anche quello che intuitivamente l'uomo conosce fin dall'inizio, è quello che è legato all'operazione di contare, quindi 0, 1, 2, 3. Sono i numeri naturali.

Notate la doppia sbarra che si mette a fianco alla n, che serve per distinguere la n dei numeri naturali da un generico insieme n. Questi si chiamano simboli da lavagna, blackboard symbols si chiamano esattamente. Z, anche qui vedete la doppia sbarra, 0 più 1 e meno 1, più 2 meno 2. E questi sono i numeri interi. L'insieme dei numeri interi.

Ovviamente i naturali sono un sottinsieme degli interi, quindi naturali contenuti negli interi. Poi abbiamo gli insiemi dei numeri razionali. Questi numeri razionali sono delle scritture del tipo P su Q, quindi dei rapporti di numeri, dove P e Q sono dei numeri interi. E ovviamente Q deve essere diverso da 0 perché non posso dividere per 0. E ovviamente, ancora nuovamente, 0 è contenuto in Q perché se prendo...

0 è contenuto nei razionali perché se prendo Q piccolo uguale a 1 trovo esattamente tutti gli elementi di Z. Infine R, i numeri reali. L'introduzione dell'insegno dei numeri reali, come vi dicevo, è molto delicata a partire da una costruzione appropriata, però per noi a questo livello ci basta dire che i numeri reali sono delle scritture del tipo P, alfa 0, alfa 1, alfa 2, puntini, puntini, tali che P appartiene a Z e gli alfa con I che sarebbero le cifre decimali del numero, sono degli elementi dell'insieme costituito dai numeri 0, 9 al variare dell'indice i in n. Quindi posso avere infinite di queste cifre, dipendono dall'indice i uguale a 0, 1, 2 e 3 e tutte queste cifre sono le cifre decimali, quindi per esempio Per esempio, pi greco uguale a 1, 4, 1, eccetera.

Allora, questo sarebbe, puntini puntini, questo sarebbe pi, alfa 0, alfa 1, alfa 2, e così via all'infinito. Pi si dice la parte intera del numero reale. La parte dopo la virgola si chiama mantissa, però non è importante. I razionali sono un sottoinsieme dei reali, perché posso sempre portare questa scrittura a una scrittura di quel tipo, dove a un certo punto tutti i zeri come cifre decimali.

In particolare sono un sottoinsieme proprio dei numeri reali perché l'insieme dei numeri reali che non sono razionali, quindi r meno q dove questa è la differenza di insiemi, è chiamato l'insieme dei numeri irrazionali. Quindi sono i numeri reali che non ammettono una scrittura finita, cioè che da un certo punto contiene tutti i zeri. Alle curiosità, diciamo, anche all'interno, questi sono tutti insieme di cartesini, cardinalità infinita, cioè contengono infiniti elementi, in realtà anche a livello di cardinalità infinita si possono dare dei diversi livelli di infinito, che vengono chiamati con delle lettere alef0, alef1, eccetera.

Si può vedere che mentre questi hanno tutti una stessa cardinalità, quella del numerabile, cioè sono praticamente tutti a livello di infiniti, hanno la stessa cardinalità dei numeri reali, i numeri reali, e in particolare sotto insieme degli irrazionali, hanno una cardinalità di ordine superiore, che si chiama proprio Aleph 0. Quindi è un insieme a livello di infiniti molto più grande di tutti questi insieme. Allora, vediamo adesso, quindi, questi sono gli insiemi numerici su cui noi andremo a lavorare. Scusate, non ho detto, qui ovviamente c'è radice di 2, pi greco, radice di 3, quindi numeri razionali, appunto, molti di questi li conoscete, e il numero di nepero, sono tutti numeri irrazionali.

Adesso introduciamo su questo insieme dei numeri reali, che di suo è soltanto un insieme di numeri, quello che si chiama una struttura matematica. In particolare andiamo a introdurre quella che si chiama la struttura di campo. Avete visto ai precorsi queste cose, struttura di campo? Più o meno sentito? Allora, in realtà la struttura di campo, diciamo, l'idea è questa.

Uno, queste sono delle definizioni che vengono dopo, nel senso che appunto... All'inizio sono stati introdotti questi insiemi, poi si è visto che questi insiemi avevano delle proprietà che li definivano, che li caratterizzavano. Allora si è cercato di estrarre quali sono le proprietà fondamentali.

reali che caratterizzano l'insieme dei reali, che sono poi le operazioni del contare. Allora, questa struttura di campo le riassume, quindi un campo in generale, in particolare a noi interessa il campo dei reali, è un insieme con due operazioni binarie che noi per convenzione chiamiamo somma e prodotto. Operazione binaria vuol dire che mettono in relazione due oggetti di questo insieme.

È un insieme con due operazioni binarie. In particolare queste operazioni binarie, che noi per convenzione chiamiamo addizione e prodotto, soddisfano le seguenti proprietà. Uno, questa operazione commutativa.

La computativa, come ben sapete, vuol dire che a più b uguale a b più a. Se voi prendete due numeri reali, non importa in quale ordine li sommate. Alla fine ottenete lo stesso risultato. Due associativa. Quando sommate dei numeri reali, potete sommare prima A più B e poi al risultato sommare C o potete fare la stessa cosa, potete sommare prima B e C tra loro e poi il risultato sommare A.

Poi esiste un elemento neutro, cioè esiste un numero reale che sommato a qualsiasi altro numero lascia invariato il risultato. Nel nostro caso lo chiamiamo lo chiamiamo 0. E infine esiste l'inverso, che nel caso della somma in realtà chiamiamo opposto. Dato A appartenente, allora questo lo scrivo così, dato un numero reale A, esiste un altro numero reale che chiamiamo meno A, tale che la somma di questi due elementi mi porta nell'elemento neutro, per esempio 3 più meno 3 uguale a 0, cioè meno 3 è l'opposto di 3 o viceversa 3 è l'opposto di meno 3. Ok, stesse proprietà poi valgono per l'operazione di prodotto, quindi anche il prodotto è commutativo. A per B uguale B per A, per ogni A e B in R, associativo, A per B per C, posso moltiplicare prima A per B tra loro e poi il risultato moltiplicare in C, oppure posso fare A e moltiplicarlo a risultato B per C, per ogni A, B e C in R.

Esiste l'elemento neutro 3. Vuol dire che esiste un elemento che comunque moltiplico qualsiasi numero reale per questo elemento e riottengo il numero reale stesso. In questo caso l'elemento neutro è 1 per il prodotto. C'è un elemento che non mi altera il numero e infine esiste, in questo caso lo chiamiamo l'inverso, A, esiste un numero tale che moltiplicato per il numero stesso, che chiamiamo 1 su A, mi da 1, questo per ogni A diverso da 0. Queste sono tutte cose che ben conoscete, l'inverso di 2 è un mezzo, eccetera.

Infine, queste operazioni di addizione di prodotto sono legate da una proprietà che le coinvolge entrambi, che si chiama la proprietà distributiva. Infine, la somma si dice distributiva rispetto al prodotto. Questo vuol dire che se voi fate A per B più C, il risultato è anche uguale a A più A.

Potete distribuire la somma rispetto al prodotto. Quindi o fate B più C e poi il risultato lo moltiplicate per A, oppure distribuite come si dice la somma rispetto al prodotto, fate A per B, A per C e sommate. Allora, queste proprietà si chiamano un insieme che soddisfa questo. Queste proprietà, con due operazioni binariche, in questo caso noi abbiamo chiamato addizione, il prodotto si chiama un campo.

In realtà, in questa famiglia di insiemi numerici che abbiamo introdotto, c'è un altro campo che è l'insieme dei numeri razionali. Anche Q, con la sua operazione che è la stessa dell'insieme dei reali, è un campo. Infatti, tutte queste proprietà, l'esistenza commutativa associativa, eccetera, esiste il neutro, esiste l'opposto, eccetera, la proprietà distributiva, valgono esattamente anche in Q. Quindi, da un certo punto di vista, almeno Fino a questo livello R è indistinguibile da Q.

Da un punto di vista matematico sono due oggetti con esattamente le stesse proprietà. Quindi a questo livello sono ancora indistinguibili. Quindi tutto questo vorrei dire perché alla fine noi lavoriamo sui reali, cioè perché l'insieme in cui introduciamo l'indice, limiti, integrali, equazioni differenziali, è proprio l'insieme dei reali e non, per esempio, l'insieme dei razionali.

A questo livello hanno esattamente le stesse proprietà, quindi sono indistinguibili. Ok, adesso introduciamo un'altra proprietà che anche questa ben nota, diciamo, è fondamentale, che è l'ordinamento. In realtà...

Su R potete introdurre un'altra operazione che è quella di ordinamento. Mettiamola col minore uguale. Allora, dati due numeri reali, comunque dato A, B in R, Noi sappiamo che possiamo dire quale dei numeri reali è più piccolo dell'altro, per esempio 1 è minore o uguale di 3, quindi c'è un ordinamento naturale nel senso che noi possiamo sempre identificare R con i punti della retta reale. Se noi identificiamo l'insieme di reali col punto, quindi il numero A per esempio, col punto che D sta A dall'origine, quindi identifichiamo l'insieme dei numeri reali con i punti di una retta reale, l'ordinamento è quello che va da sinistra verso destra, quindi in questo caso appunto A minore uguale a B vuol dire che sulla retta reale il numero A di coordinata A è più piccolo del numero di coordinata B.

Ok, quindi con questa operazione R si chiama un campo ordinato. quindi con questo ordinamento naturale. Ma nuovamente anche Q, la stessa operazione di ordinamento, la potete utilizzare anche sui razionali, ha esattamente le stesse proprietà, anche Q, il campo dei razionali è un campo ordinato. Nuovamente a questo livello non esiste differenza tra i reali e. I razionali.

Ok, per capire qual è il punto per cui noi utilizziamo i reali invece dei razionali, dobbiamo dare delle definizioni. Quindi adesso andiamo a dare delle nuove definizioni. Quindi, vedremo che a un certo punto queste due insieme che per adesso vanno in parallelo divergono, cioè R ha una proprietà in più che si chiama la completezza, che non è soddisfatta invece dei razionali. Però prima di arrivare a questo dobbiamo introdurre, dare delle definizioni. Prima di dare la definizione, fatemi richiamare soltanto...

Quando scrivo così vuol dire un'osservazione, cioè sto parlando, facendo un inciso nel discorso. Voglio definire una classe di oggetti a partire da questa, quindi una classe di insieme, di insieme, di sotto insieme, di R. a partire dalla relazione d'ordine, gli intervalli.

Allora, quindi, dati i due numeri reali A in R, Posso definire questi insiemi con a minore uguale a b, diciamo, più propriamente, all'insieme a b, che sono tutti i numeri reali x appartenenti ad r, tali che il numero reale x è compreso fra a e b. E questo lo chiamo intervallo aperto di estremi a e b. Ad esempio, 0 e 1 sono tutti i numeri reali che sono compresi fra 0 e 1. Notate che gli estremi sono esclusi, cioè 0 e 1 non fanno parte dell'insieme, poiché la diseguaglianza è stretta.

Vedete, se mettete qui 1, questo non soddisfa questa relazione, quindi non fa parte dell'insieme. Quindi l'intervallo 0,1 comprende tutti i numeri reali che sono più grande di 0 e strettamente più piccoli di 1. Quindi se questa è l'asse reale, è questo intervallino estremi esclusi. Si utilizza anche, diciamo, per notare l'intervallo aperto, si utilizza spesso anche quest'altra notazione.

con le parentesi quadre girate verso l'esterno. Io preferisco questa, però è una questione di gusto, quindi se voi volete utilizzare questa a vostra scelta, io preferisco utilizzare quella con le parentesi tonde. Però in realtà sono completamente equivalenti, potete utilizzare indifferentemente una delle due.

Ok, quindi questo è l'intervallo aperto di estremi 0,1. Poi abbiamo l'intervallo chiuso di estremi A e B. Quindi, sempre dati due numeri reali a e b, tali che a è minore o uguale a b, con questa notazione indichiamo tutti i numeri reali che soddisfano la seguente proprietà caratteristica.

Sono compresi fra a e b. E questo lo chiamiamo l'intervallo chiuso di estremi a e b. Quindi sono tutti i numeri reali, però questa volta anche inclusi i due estremi dell'intervallo. Quindi, per esempio, 0, 1, quindi esempio, sono gli x appartenenti ad r tali che 0 minore uguale di x minore uguale di 1. Quindi vedete in particolare se a posto di x mettete 0, questo soddisfa le due diseguaglianze e quindi appartiene all'insieme.

Sulla retta reale questo è l'intervallo, è il segmento di estremi 0 e 1 con 0 e 1 questa volta inclusi. Ok. Poi posso avere, quindi nel primo caso escludevo gli estremi, nel secondo caso li includevo.

Posso avere delle situazioni intermedie in cui includo uno degli estremi, ma escludo l'altro. Ok, nel primo caso ho incluso l'estremo a sinistra, infatti vedete ho chiuso la parentesi, ma ho lasciato parentesi tonda a destra, quindi A è incluso, B è escluso. Nel secondo caso, invece, situazione opposta, ho incluso l'estremo B, perché ho messo il minore uguale, però ho escluso l'estremo A. Quindi questo si chiama un intervallo... Aperto a destra, intervallo aperto a destra, chiuso a sinistra, i nomi poi non sono molto importanti, l'importante è sapere di che cosa si parla.

E viceversa l'altra situazione è un intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra. Quindi a seconda che includa o escluda uno degli estremi. Infine posso avere degli... questi, vedete, corrispondono a tutti i sottinsieme di R limitati, cioè a segmenti limitati, quando faccio identifico R con i punti della retta reale. Quindi sono tutti segmenti di lunghezza finita.

Posso avere i cosiddetti intervalli illimitati. Aperti, chiusi, eccetera. Quindi partiamo per esempio A più infinito. Questi sono gli x in R, tali che x è maggiore di A e basta.

Quindi in questo caso prendo tutti i numeri reali più grandi di A. Ad esempio, se questo è lo 0, qui c'è A, prendo tutti i numeri reali più grandi di A. Posso includere A, mi basta chiudere l'intervallo.

Quindi questi sono illimitati verso più infinito o più infinito, ci torneremo a un simbolo, non è un numero. È soltanto un simbolo che è utile per indicare intervalli illimitati in questo caso. E poi posso avere, quindi questi sono illimitati a destra, cioè verso più infinito, posso avere la situazione a sinistra. Questi sono tutti numeri reali minori di b. E ovviamente posso anche includere, chiudendo l'intervallo, Ok, quindi in questo caso si identificano, nell'identificazione, i numeri reali più piccoli di questo numero B.

Questa è una famiglia importante di sottoinsieme di R, su cui appunto, diciamo, sarà un po'l'insieme standard su cui lavoreremo. Ok? Notate soltanto due situazioni estreme prima di procedere. Se prendo un intervallo aperto di questo tipo con tutti gli stessi estremi a destra e a sinistra quindi questo sarebbe x in R tali che a minore di x minore di a alla fine trovo l'insieme vuoto cioè l'insieme con questo simbolo, lo dovevo introdurre prima scusate questo simbolo rappresenta l'insieme vuoto cioè l'insieme che non contiene nessun elemento. Quindi se prendo un intervallo aperto come estremi a, a, cioè lo stesso numero reale a destra e a sinistra, trovo l'insieme vuoto.

Se invece lo prendo chiuso, A questo punto troverò un elemento che è esattamente il numero A. si riduce al sole elemento A perché il numero A verifica, vedete, verifica entrambe queste e nessun altro numero le verifica quindi nella retta reale è un intervallo cosiddetto degenere che corrisponde a un solo punto, cioè al punto di coordinata A ok, quindi abbiamo introdotto questa famiglia intervalli che serve anche per produrre degli esempi alla definizione che vado a dare adesso Ok, quindi diciamo sostanzialmente questa che introduco adesso è la prima definizione, fra virgolette, seria di questo corso, nel senso è una definizione importante che utilizzeremo varie volte e forse diciamo una cosa parzialmente nuova rispetto a quello che avete visto all'estremo superiore. Quindi vado a questo paragrafo, si chiama minoranti, maggioranti Estremo superiore e estremo inferiore. Non riscrivo estremo, scrivo un po'est inferiore.

Quindi andiamo a introdurre questi oggetti. Ricordate che il nostro obiettivo era sempre trovare una proprietà per cui l'insieme dei reali fosse più comodo rispetto ai razionali su cui introdurre i concetti del calcolo differenziale. E vedremo che proprio legato a questa definizione è questa proprietà che andremo a dare. Allora, prendiamo un insieme contenuto in R che non sia vuoto, quindi A diverso dall'insieme vuoto. Introdurrò una serie di definizioni.

Uno, un numero, chiamiamolo S, appartenente ad R, si dice un maggiorante di A Sì, vale questa cosa. A è minore o uguale di S per ogni A in A. Quindi questo gesso verde, utilizziamolo, questa è la parola importante maggiorante e questa è la proprietà che lo caratterizza.

Scrivo anche quella diminorante e poi faccio dei commenti. Quindi chiamalo sempre S S appartenente ad R, si dice. minorante questa volta, di A, se A è maggiore o uguale di S per ogni A in A. Allora, adesso, ok, questa è una definizione, vediamo degli esempi per capirla. Prendiamo per esempio, appunto proprio utilizzando la definizione appena data, prendiamo un intervallo, prendiamo l'intervallo, esempio quindi, l'intervallo 1, 3. Quindi sono tutti numeri reali compresi Allora, chi è un maggiorante di questo insieme?

Quindi il nostro insieme A è l'intervallo 1-3, eh? È un insieme non vuoto, quindi posso applicare questa definizione. Chi è un maggiorante di questo insieme? Sì, 3 è un maggiorante di questo insieme, perfetto. Comunque 3 è un maggiorante.

Perfetto. Infatti, vedete? Metto infatti.

3 è maggiore o uguale di x per ogni x appartenente, o di a diciamo, ho scritto da, per ogni a appartenente all'intervallo 1,3. Lo leggo proprio dalla definizione, infatti vedete, 3 è maggiore di ogni elemento dell'insieme, quindi è un maggiorante. Ci sono altri maggioranti di questo insieme?

Ovviamente a maggior ragione tutti i numeri maggiori 3 sono ancora maggioranti, no? 152 è un maggiorante dell'insieme, ovviamente. Tutti i numeri reali più grandi, 3 incluso, tutti i numeri reali più grandi di 3 sono a loro volta maggioranti.

Quindi abbiamo già osservato una prima priorità, se esiste un maggiorante in realtà automaticamente ne esistono infiniti, che sono tutti i numeri reali più grandi di questo maggiorante. Cambiamo esempio, facciamo un altro esempio, meno 1, 4. Non riscrivo adesso, avete capito la definizione. Chi ha un minorante di questo insieme? Meno 2 ha un minorante.

Forse a questo punto la scrivo. Oh, mi ero fatto prendere alla bigrizia. Meno 1x minore uguale di 4. Infatti, vedete, tutti i numeri che fanno parte dell'insieme di A, insieme a A, sono più grandi di meno uno, quindi in particolare sono più grandi di meno due. Quindi meno due è più piccolo di tutti gli elementi dell'insieme.

Ci sono altri minoranti? Adesso ci arriviamo, sì. Ci sono altri minoranti?

Ovviamente qualsiasi numero più piccolo di meno 2 ha a sua volta un minorante, perché verifica immediatamente, quindi meno 2 minore uguale di a per ogni a in a. Ma se prendo meno 5 è ovviamente un minorante, perché se lo verifica a meno 2, perché non dovrebbe verificarlo anche a meno 5? In realtà, come osservava giustamente il vostro collega in prima fila, un altro minorante dell'insieme è meno 1. No, mi fa di più. Infatti vedete dalla definizione vi dice proprio che tutti gli elementi dell'insieme sono più grandi, maggiori o uguali di meno uno. Quindi la diseguaglianza che richiede una diseguaglianza debola non è stretta, quindi meno uno ha anche un minorante.

Come vedremo fra un pochino meno uno ha un minorante particolare con una proprietà aggiuntiva. Facciamo un altro esempio leggermente meno immediato. Prendiamo i numeri naturali.

Ah, quindi questa volta coincide con i numeri naturali. Chi è un maggiorante dei numeri naturali? Più in finito non è un numero, eh? Ho detto 5 minuti fa che più finita è un simbolo, non è un numero reale.

Non esistono maggioranti dell'insieme perché comunque prendete un numero reale S, grande quanto potete pensare, esiste sempre un numero naturale N, tale che è strettamente maggiore di S Comunque prendo un numero reale grande quanto pensate. Posso sempre prendere il primo numero naturale più grande del numero reale dato e quindi l'insieme non ammette maggioranti in questo caso. Segue, cancello qui scusate, questo implica...

che l'insieme n non ammette maggioranti o, come si dice, non è limitato superiormente. Allora, quando non ammette maggiorante, lo dico non limitato superiormente. Notate, prima di procedere, vedete come si scrivono velocemente con i quantificatori una frase in matematica invece di dire comunque preso il numero reale r posso sempre trovare un numero naturale n tale che il numero naturale n è più grande del numero reale con i quantificatori la frase viene molto più breve e ok, quindi non ammette maggioranti, ammette minoranti 0 minorante, ok, quindi 0 minorante di n. Allora, quando insieme ammetto un minorante, si dice limitato inferiormente, cioè n. Non è limitato superiormente, ma invece è limitato inferiormente.

C'è qualcosa che lo limita dal basso. Mi sapreste fare un esempio di insieme che non ammette né maggioranti né minoranti? Che non sia R? Z. Z, l'insieme dei numeri interi, non è limitato né superiormente né inferiormente. Cioè, non ammette maggioranti né minoranti.

Ahem ahem ahem E invece un esempio di insieme limitato superiormente ma non inferiormente in base a quello che abbiamo introdotto oggi un esempio di insieme limitato superiormente ma non inferiormente R-n non è eliminato superiormente né inferiormente perché z-n, quindi dai numeri interi tolgo i numeri naturali, che cosa rimane? Rimane meno 1, meno 2, meno 3, meno 4. Allora, questo ammette per esempio 0 a un maggiorante, quindi è limitato superiormente, ma non ammette minoranti. Se no, un altro esempio, diciamo, leggermente più semplice che mi aspettavo facevate era meno infinito 1, per esempio. Questo è limitato superiormente da 1, ma non è limitato inferiormente. Comunque, z-n è benissimo, perché?

Ok, ci fermiamo qui, perché abbiamo fatto abbastanza cose, e domani procediamo con la definizione di estremo superiore e estremo inferiore. A domani!

Transcript for:Lezione introduttiva di Analisi Matematica 1

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