Música ¿Qué tal amigos? Espero que estén muy bien. Bienvenidos al curso de sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 y ahora veremos cómo solucionar cualquier sistema con fracciones.
Y en este vídeo les voy a explicar un método que se utiliza para que ya no nos queden fracciones. Simplemente eso es lo que les voy a explicar. Que ustedes tengan cualquier sistema de ecuaciones con fracciones.
Bueno, obviamente vamos a hacer varios ejemplos. este es el más fácil en el que solamente hay una fracción en cada ecuación. Pero ya vamos a ver cuando todos los términos tienen fracciones, ¿qué sucede?
Bueno, entonces lo que vamos a ver es lo siguiente, ¿cómo convertir un sistema que tiene fracciones en otro sistema que no las tiene? Borro un momentico el sistema en el que vamos a trabajar, porque primero les quiero explicar esto. El método que vamos a utilizar es el mismo método utilizado en el sistema de eliminación o reducción. que acuérdense que, bueno, espero que ya sepan ese método, en ese método lo que se hace es multiplicar las dos ecuaciones, yo voy a trabajar este ejemplo solamente con esta ecuación para recordarle lo siguiente, por ejemplo, esta ecuación si yo quiero puedo decir la multiplico toda la ecuación por 2 y pues al multiplicar aquí por 2 sería 3x por 2, 3 por 2, 6x más 2y por 2, 2 por 2, 4y igual a 5 por 2 10 qué fue lo que hice yo acá multiplique la primera ecuación por 2 y resultó otra ecuación y qué sucede con esas dos ecuaciones estas dos ecuaciones son exactamente iguales porque se sabe que son iguales si ustedes realizan la gráfica de esta ecuación les va a dar una línea recta y si realizan la gráfica de esta otra ecuación les va a dar exactamente la misma línea recta si a pesar de que tiene diferentes números pero las dos son la misma línea recta.
Entonces, ese es el método que vamos a utilizar. Vamos a multiplicar toda la ecuación por un número para quitar las fracciones. Y pues el primer ejemplo es el más fácil, que es este, ¿no? Entonces, cuando hay un solo denominador, ¿sí? Miren que aquí solamente hay una fracción, que es con denominador 2. Siempre que sea con una sola fracción, se multiplica toda la ecuación por ese denominador.
En este caso multiplicamos toda la ecuación por 2. Aquí voy a colocar las llaves, ya más pequeña porque van a ser sin fracciones, y cogemos cada término y lo multiplicamos por 2. Entonces el primer término es un medio de x. Acordémonos también que cuando dice así, ¿sí? O sea, cuando dice la x aquí al frente o arriba es lo mismo.
Generalmente yo la coloco arriba para que veamos fácilmente lo que se hace. Entonces aquí voy a multiplicar este término por 2, ¿sí? Entonces miren que, ¿para qué me sirve ese 2? Pues para eliminar el 2 que está abajo con el 2 que está arriba. ¿Y qué me quedó al multiplicar por 2?
Solamente me quedó una x. Que bueno, una x ya no se escribe el 1 sino solamente la x. Menos. El segundo término también lo multiplico por 2. y por 2 que es 2y igual a menos 5 por 2 que es menos 10. Acordémonos que lo que hay que tener cuidado es que debemos multiplicar toda la ecuación.
Y hacemos lo mismo con la segunda ecuación. Como son ecuaciones independientes, podemos multiplicar esta ecuación por otro número. En este caso, el denominador es 3. Entonces multiplicamos toda la ecuación por 3. Primer término, x por 3, que es 3x, más, y pues voy a hacerlo acá, ¿no?
Un tercio de y, que pues a mí me gusta colocar ya la y arriba, una y sobre 3. Y ese término también lo multiplicamos por 3. Entonces... ¿Para qué sirvió? Pues para eliminar el 3 con el otro 3, ¿sí?
Y nos queda una y, que pues una y se escribe y, igual a menos 3 por 3, entonces más por menos da menos, y 3 por 3, 9. Y aquí ya podemos resolver este sistema de ecuaciones por el método que ustedes quieran. Por cualquiera, ya todos los métodos los vimos en los videos anteriores, no voy a seguir resolviendo este sistema porque pues... Ya es sencillo, ¿sí?
Ya es como lo hemos visto en los videos anteriores, como les digo, ¿no? Aquí lo que vamos a ver solamente es eso, cómo cambiar de un sistema con fracciones a otro que va a ser más fácil de resolver porque no tiene fracciones. Vamos a hacer ahora el mismo proceso con este otro ejemplo que, como les decía, pues, entre comillas es más difícil, ¿no?
Ya tenemos un sistema con dos ecuaciones con fracciones. Aquí ya tenemos tres fracciones en una ecuación y dos fracciones en otra, ¿sí? Y vamos a convertirlo en un sistema más fácil de resolver.
Entonces, cuando hay varias fracciones, ¿qué es lo que se hace? Se miran todos los denominadores que haya. Por ejemplo, aquí hay tres denominadores. A esos tres denominadores le sacamos el mínimo común múltiplo. Acordémonos cómo se saca.
Cogemos los denominadores 3, 4 y 6. y le hallamos todos los factores primos que se pueda. Por ejemplo, aquí podemos sacar mitad, mitad de 3 no se puede, entonces se baja, acordémonos que no es que no se pueda, sino que cuando la mitad no es un número entero, se dice que no se puede, porque la mitad de 3 es 1.5, entonces mitad de 3 no se puede, se baja, mitad de 4, 2, y mitad de 6, 3. Podemos volver a sacar mitad, Entonces mitad de 3, otra vez como no se puede, se baja. Mitad de 2, 1 y mitad de 3, no se puede, entonces se baja.
Aquí podemos sacar tercera. Tercera de 3 es 1 y tercera de 3, 1. ¿Cuál es el número clave? El número clave es la multiplicación de estos números. 2 por 2, 4 por 3, 12. O sea que toda esta ecuación se tiene que multiplicar por 12. Entonces pues simplemente la multiplicamos. Entonces aquí miren que lo que cambia es...
¿Cómo buscar el número por el que se multiplica? Claro que en el siguiente ejercicio vamos a ver otra cosita diferente, ¿no? Pero bueno, aquí multiplicamos toda la ecuación por 12. Entonces aquí el primer término, que es 2 tercios de x.
La x la coloco arriba como para no equivocarme. Y ese término lo multiplico por 12. Entonces siempre se va a poder hacer esta división, ¿sí? Si sacamos bien el mínimo común múltiplo, siempre se va a poder hacer la división. Aquí 12 dividido en 3, eso es 4. Entonces, ¿qué fue lo que nos quedó?
4 por 2x. Hay que hacer esa operación. 4 por 2, 8x. Luego sigue el segundo término, que es menos 3 cuartos de y. Así lo coloco.
Menos 3 cuartos de y. Y aquí lo multiplicamos por 12, siempre después del signo, porque si no nos quedaría 12 menos, ¿no? Entonces colocamos el 12 y multiplicamos. Siempre se divide primero por el de abajo. Entonces 12 dividido en 4, que eso es 3. Y que nos quedó menos 3 por 3, 9y igual y hacemos lo mismo con este, ya me va a saltar un paso, ¿no?
Entonces vamos a multiplicar por 12, 12 dividido en 6 que eso es 2 y ese 2 por 1 da 2. Y hacemos lo mismo en la segunda ecuación, entonces en este caso los denominadores son 8 y 6, solamente hay dos denominadores, entonces cogemos esos dos, 8 y 6. Aquí mitad de 8. 4 y mitad de 6, 3, nuevamente mitad de 4, 2, el 3 no se puede, entonces se baja, mitad de 2, 1 y el 3 se baja y tercera de 3, 1. Aquí cuál fue el número clave, 2 por 2, 4, por 2, 8, por 3, 24, entonces multiplicamos la segunda ecuación por 24. Entonces ya un poco más rápido, aquí coloco el primer término que es y sobre 8. y ese término lo multiplicamos por 24 entonces aquí 24 dividido en 8 eso es 3 y que fue lo que nos quedó 3 lo mismo con el segundo término menos 5 x sobre 6 menos 5 x sobre 6 y lo multiplicamos también por 24 aquí nuevamente la división siempre primero la división 24 dividido en 6 que eso es 4 y ese 4 entonces aquí queda menos 4 por 5, que eso es 20x, igual, y 12 por 24, 12 por 12, 144, 288. Y nuevamente miren que aquí ya tenemos dos ecuaciones que ya no tienen fracciones, las podemos resolver por el método que queramos. Bueno, acordémonos que antes de resolver, aquí deberíamos organizar, ¿no? Siempre primero va, o generalmente.
va primero la x luego la y y luego el número aquí sería primero la x o sea primero menos 20 x luego la y más 3 y igual a 288 y vamos ahora con el último ejemplo que obviamente es diferente a los primeros dos entonces ahora vamos a ver cuando las fracciones ya contienen varios términos en el numerador la primera parte se hace igual siempre se mira cuántos denominadores hay que en este caso es el 3 y el 6 entonces sacamos el mínimo común múltiplo bueno ya no lo voy a hacer Aquí el mínimo común múltiplo es 6, ¿sí? Y multiplicamos todo por 6. Cuidado porque en este caso hay un término, dos términos y tres términos. Todos esos se multiplican por 6. Entonces, cogemos el primer término, x menos 3 sobre 3, y lo multiplicamos por 6. Siempre se coloca solamente atrás el 6. Miren que siempre se va a hacer primero la división. 6 dividido en 3, eso es 2. y cuidado porque lo que cambia aquí bueno además de otra cosita es que ese 2 se multiplica por los dos términos que están en el numerador aquí colocó la llave y voy colocando el resultado entonces 2 por x que es 2 x y 2 por menos 3 cuidado porque hay que multiplicarlo por los 2 2 por menos 3, entonces más por menos da menos, y 2 por 3, 6. Ahora, el segundo término. Cuidado porque cuando hay negativo hay que tener cuidado haciéndolo de la siguiente forma.
Entonces dice menos y menos 4 sobre 6. Y multiplicamos también por 6. Miren que el 6 yo lo coloco acá después del signo, porque si lo coloco atrás ya no quedaría multiplicando sino restando, ¿no? Sería 6 menos, ¿no? Entonces multiplicamos por 6. En este caso miren que simplemente el 6 se elimina con el 6. Pero bueno, les voy a explicar qué es lo que sucede si... o bueno, de una vez.
Miren que aquí 6 dividido en 6 da 1. Hay que colocar ese número porque ese número se multiplica por los dos. Cuidado porque en este caso dice menos 1 por los dos, ¿sí? O cualquier número con su negativo por los dos. Entonces aquí, menos 1 por y, eso es menos y.
Y nuevamente, menos 1. por menos 4 que eso es menos por menos da más y 1 por 4 4 cuidado con esto porque siempre ese digámoslo así que la forma más correcta de colocarlo sería que multiplicamos el 6 por toda la fracción y lo mismo aquí el 6 por toda la fracción entonces por eso ese 1 queda multiplicando a los dos términos de arriba bueno aquí con lo que mal era aquí en esta parte menos y más 4 Porque estoy todavía trabajando con la ecuación de arriba. Entonces aquí vamos acá igual y 0 por 6 que eso es 0. Y hacemos el mismo proceso con la ecuación de abajo, con la segunda ecuación. Entonces aquí los denominadores son 2 y 5. Ya no voy a sacar el mínimo común múltiplo pero es el número 10. Entonces multiplico todo por 10. Miren que siempre es hacer primero la división y luego la multiplicación. Entonces ya me voy a empezar a saltar un paso. 10 dividido en 2 da 5 y ese 5 es el que multiplico por lo de arriba.
Entonces aquí nos quedaría 5, ¿sí? El resultado de dividir 10 entre 2, saltándome un paso. 5 por x da 5x y menos 5 por 4 que es 20. Aquí sigue más y cuando es más no hay problema, ¿no? Entonces ahora dividimos 10. dividido en 5 que es 2 y ese 2 es el que multiplico por estos dos, entonces 2 por y, 2y más 2 por 2, 4, igual y aquí también multiplicamos por 10, todo por 10, 3 por 10 que eso es, 30 aquí ya no tenemos fracciones pero acordémonos que para poder empezar a resolver un sistema hay que ordenarlo no si se acostumbra a ordenarlo voy a ordenarlo por este lado siempre o generalmente se coloca primero la equis luego la y luego el número entonces primero la x 2 x luego el término que tiene la y menos igual y al otro lado generalmente el número no entonces aquí dice menos 6 más 4 eso es menos 2 y si ese menos 2 lo paso para el otro lado pasa como más 2 entonces quedaría 0 más 2 que es 2 esto ya lo estoy haciendo rápido porque ya lo expliqué en vídeos anteriores aquí primero el término que tiene la x 5x luego el término que tiene la y más 2 y igual y al otro lado el número entonces aquí dice 20 perdón menos 20 más 4 que es menos 16 y si ese menos 16 lo paso para el otro lado que haría aquí más 16 entonces 30 más 16 que es 46 y ahora sí aquí está el sistema para que lo resuelvan por el método que quieran y con esto terminó la explicación como siempre por último les voy a dejar unos ejercicios para que ustedes practiquen ya saben que pueden pausar el vídeo ustedes van a realizar lo mismo que vimos en el vídeo o sea estos dos sistemas los van a escribir como dos sistemas sin fracciones y la respuesta va a aparecer en 3 2, 1, en el primero simplemente se multiplica por el número que está como denominador, solo hay un denominador, se multiplica todo por 12, aquí sería 12 dividido en 12 que es 1 y ese 1 por 5x da 5x, aquí la y por 12 da 12y y 9 por 12 que es 108. Segunda ecuación, multiplicamos todo por 4, 4 por x que es 4x, aquí como está la fracción entonces 4, ese 4 dividido en 4 da 1 y 1 por 3y da 3y.
Y 15 por 4, 60. En el segundo, el mínimo común múltiplo de los denominadores era el 12. Si multiplicamos todo por 12, entonces en el primer término, 12 dividido en 6 es 2, y ese 2 por x da 2x. Ahora, 12 dividido en 4 es 3, y ese 3 por 3 da 9y. Y aquí, 12 por 2, 24. No se olviden de multiplicar todo por el número, ¿no? Aquí...
todo por 10 porque el mínimo común múltiplo de los denominadores es el 10 10 dividido en 5 da 2 y ese 2 por 2x da 4x. El 10 por 3y es 30y. Y aquí 10 dividido en 10 da 1 y ese 1 por 3 da 3. Bueno amigos, espero que les haya gustado la clase.
Si les gustó, los invito a que vean el curso completo para que profundicen un poco más sobre este tema o algunos videos recomendados. Y si están aquí por alguna tarea o evaluación, espero que les vaya muy bien. Los invito a que se suscriban. comenten, compartan y den like al video y no siendo más. Bye bye.