Teorema Uji Kedivergenan

Definisi Teorema

• Jika ( \Sigma a_n ) (untuk ( n = 1 ) hingga ( \infty )) konvergen, maka ( \lim_{{n \to \infty}} a_n = 0 ).
• Teorema ekivalen: Jika ( \lim_{{n \to \infty}} a_n \neq 0 ), maka deret ( \Sigma a_n ) divergen.

Penerapan Teorema

• Penting: Jika ( \lim_{{n \to \infty}} a_n = 0 ), kita tidak bisa langsung menyimpulkan bahwa deret itu konvergen.
• Langkah:
  1. Jika ( \lim_{{n \to \infty}} a_n \neq 0 ), deret pasti divergen.
  2. Jika ( \lim_{{n \to \infty}} a_n = 0 ), lakukan uji deret positif untuk menentukan konvergensi._

Contoh Kasus

• Menguji deret ( \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3n^2 + 3n + 4} ):

  • Cari limit ( \lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2}{3n^2 + 3n + 4} ), bagi dengan pangkat tertinggi ( n^2 ).
  • Hasil limit ( = \frac{1}{3} \neq 0 ), maka deret divergen.

• Deret Harmonik:

  • Bentuk: ( \Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots )
  • Diketahui divergen meski ( \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0 ).

Kesimpulan

• Untuk menentukan deret divergen atau konvergen, lakukan:
  1. Hitung ( \lim_{{n \to \infty}} a_n ).
  2. Jika ( \neq 0 ), deret divergen.
  3. Jika ( = 0 ), lakukan uji deret positif._