Musique Alors à présent on va passer au cours sur les matrices. Alors les matrices qu'est ce que c'est ? C'est tout simplement des tableaux de nombres. C'est à dire qu'en fait on a pris des nombres et on les a mis... dans des tableaux.
Et les tableaux que ça donne, c'est des matrices. Vous voyez ici, je vous ai pris quatre exemples de matrices. Alors, on serait tenté de se dire que ce qui est le plus important dans une matrice, c'est très certainement les nombres qu'on y a mis à l'intérieur.
Eh bien, pas vraiment. Bien sûr, ils ont leur importance, les nombres qui sont à l'intérieur des matrices. Mais ce qui est peut-être plus important que les nombres qui sont dans vos matrices, c'est le nombre de lignes et le nombre de colonnes que possèdent vos matrices.
C'est-à-dire, en fait, on appelle ça la dimension de vos matrices. Et là, vous voyez, il y a 4 matrices qui ont 4 dimensions différentes. Là, la première matrice, elle a 3 lignes et 3 colonnes. Celle-ci, vous voyez qu'elle a 3 lignes et 2 colonnes seulement.
Ça, il ne faut pas être déstabilisé. C'est aussi une matrice, vous le voyez, grâce aux parenthèses qui sont ici, qui sont aussi caractéristiques des matrices. C'est ça qui indique qu'on est en présence d'une matrice. Cette matrice-là, vous voyez, c'est ce qu'on appelle une matrice ligne parce que une seule ligne et vous avez quatre colonnes.
Et là, ici, vous l'aurez compris, vous avez une matrice colonne. Vous avez une seule colonne avec trois lignes. Bon. Et donc, comme le critère super important pour les matrices, c'est leur dimension, vous avez sans doute déjà vu une écriture de matrice dans votre cours qui ressemblait un petit peu à ça. Regardez.
Voilà. Vous avez sans doute dû déjà voir dans un de vos cours une matrice A générale qui ressemblait à ça. Et donc, quand on ne connaît pas l'écriture, c'est légitime de flipper un petit peu parce qu'on se dit, mais qu'est-ce que c'est que ça ? En réalité, ça, c'est tout simplement une matrice. Et tous ces A dans votre matrice qui possèdent deux indices, on va voir pourquoi, tous ces A là, ce sont des nombres exactement comme ceux-là.
Mais là, c'est dans le cas général. C'est une généralité. C'est comme des X ou des B, vous pouvez leur donner le nom que vous voulez. Alors pourquoi est-ce que chacun de ces A, pourquoi est-ce que chacun de ces nombres possède deux indices ?
Parce qu'on l'a dit, la chose la plus importante dans une matrice, c'est sa dimension, c'est-à-dire le nombre de lignes qu'elle possède et le nombre de colonnes qu'elle possède. Et donc là, en réalité, vos indices, à votre avis, qu'est-ce qu'ils indiquent ? Ils indiquent en réalité où se situe votre nombre par rapport aux lignes et aux colonnes.
Et alors ça, c'est une convention à connaître. Le nombre qui est ici, le premier nombre qui est ici, le premier indice, il indique sur quelle ligne se trouve le nombre A qui se trouve ici. Le premier nombre ici, il indique sur quelle ligne vous êtes.
A1 Il est sur la première ligne. Et le deuxième nombre que vous voyez ici, il indique sur quelle colonne se trouve votre nombre qui est ici. Et ici, vous voyez qu'on est sur la première colonne. Donc A11, c'est le coefficient qui se trouve sur la première ligne et sur la première colonne. Ce nombre-là, A31, c'est le coefficient de votre matrice qui se situe sur la troisième ligne, vous voyez, et sur la première colonne.
Il n'y a pas de problème. Donc vraiment retenir, retenir, retenir. Premier indice, c'est le numéro de la ligne. Le premier indice, c'est le numéro de la ligne. Le deuxième indice, c'est le numéro de votre colonne.
Première la ligne, deuxième colonne. Rentrez-le vous dans le crâne, je vous jure, c'est super important. Alors cette matrice, combien est-ce qu'elle a de lignes et combien est-ce qu'elle a de colonnes ?
Eh bien, on va regarder aux extrémités pour voir un petit peu. Là, vous voyez que si on part de A à 1 et qu'on se déplace de colonne en colonne, là, vous voyez, on passe bien évidemment à A1, 2, parce qu'on a changé de colonne. Donc, le deuxième indice, indice de la colonne, a augmenté d'unité, etc. Et on va jusqu'à A1, P. Alors, qu'est-ce que c'est que P ? P, tout simplement, c'est un entier naturel non nul, qui ici est supérieur à 2 dans cet exemple, mais dans le cas général, il appartient à...
N étoiles. Donc ça peut être 10 000, tout comme ça peut être 3, tout comme ça peut être 15, voilà, peu importe. P ici, c'est le nombre de colonnes que possède cette matrice.
Et vous voyez bien que si vous êtes ici, là, vous êtes sur la colonne P et que si vous descendez juste en dessous, là, En dessous de A1P, qu'est-ce que vous allez avoir ? Vous allez avoir A2P. Logique, on est passé de la première ligne à la deuxième ligne.
Donc l'indice de la ligne, le premier indice, va augmenter d'une unité. Alors combien de lignes possède cette matrice ? On va voir.
1, 2, 3, 4 et N. Elle en a N. Et ce N, vous l'aurez deviné, il appartient lui aussi à N étoiles.
Et si on va à l'extrémité de l'extrémité, c'est-à-dire dernière ligne, dernière colonne, on trouve ce coefficient qui est bien A. NP, vous êtes sur la NIM ligne et vous êtes sur la PIM colonne. Et donc, vous avez bien vos deux indices.
Premier indice, l'indice de la ligne qui est là. énième ligne et deuxième indice qui est l'indice de la colonne pème colonne donc ce coefficient à np c'est le coefficient qui se trouve sur la énième ligne et la pème colonne ok et bien par exemple dans cette matrice la 18 on pourrait l'appeler comment et bah c'est égal si on l'appelait à cette matrice et ben en fait 18 ce serait à 1 2 3 on est sur la troisième ligne et on est sur la deuxième colonne. Donc en fait, 18, c'est A3, 2. 5, lui, ce serait le A1, deuxième ligne, et première colonne.
Donc A2, 1. Ok ? Alors, je ne vais pas préciser, mais là, tous vos A, là, A1, 1, 1, 2, etc., tous ces coefficients-là, tous ces coefficients de matrice, ça peut être des réels. Pas de problème. Ça peut être des complexes. Pas de problème.
Mais ça peut aussi être des fonctions, par exemple. Vous pourrez très bien tomber sur des exercices où vous avez des matrices, et dans ces matrices-là, vous avez des fonctions. Le plus souvent, d'ailleurs, c'est des fonctions trigonométriques.
Ça veut dire qu'en fait, vous allez avoir une matrice, et votre premier élément, ça va être cosinus de x. Votre deuxième élément, ça va être sinus de x, etc. Et ça, il ne faut pas en avoir peur, parce que, en gros, qu'est-ce que ça veut dire ?
Là, vous êtes face à des matrices qui sont statiques. En gros, elles sont immobiles, elles sont constantes, ces matrices. Elles ne bougent pas. Là, c'est un bloc, 17, 48, 5. Voilà, c'est un truc monolithique, ça ne bouge pas. Tandis qu'une matrice dans laquelle vous avez des fonctions, par exemple, sin2x, cos2x, x², tout ça, si vous mettez des fonctions dans vos matrices, vous êtes d'accord que vous allez variabiliser les coefficients de vos matrices.
Et donc, en fonction d'un x, vos coefficients de matrices vont changer. Et donc, votre matrice va pouvoir prendre différentes valeurs. Vous voyez ?
là on sera sur une matrice variabilisée. C'était juste pour le petit spoiler, parce que bien sûr on va voir des exercices où vous avez des matrices qui contiennent des fonctions à l'intérieur. Alors juste petite précision, si tous les coefficients de votre matrice sont égaux à zéro, vous êtes face à ce qu'on appelle la matrice nulle.
Alors je dis la matrice nulle, mais en réalité il y a plein de matrices nulles différentes. Parce que vous êtes d'accord avec moi que la matrice nulle dans ce cas là, ça ne va pas être la même matrice nulle que dans ce cas là. Là ici, vous allez avoir 1, 2, 3 par 3, vous allez avoir 9, 0. Ici, vous allez en avoir seulement 6. Tout comme dans une matrice colonne. Une matrice colonne nulle, ça n'a rien à voir avec la matrice nulle dans ce cas-là. Vous voyez ?
Vraiment, les dimensions sont extrêmement importantes. Alors, supposons un instant que A ici se soit égal à la matrice nulle qui comporte N lignes et P colonnes. Alors, comment est-ce qu'on écrit ça ? On l'écrit comme ça. Alors, il ne faut pas avoir peur de cette écriture.
Vous allez voir, c'est extrêmement simple. pour tout couple i, j qui appartient à 1n croix 1p à i, j est égal à 0. Alors ça veut dire quoi ? Ça veut dire que, regardez, là vous avez i qui est l'indice de la ligne, qui appartient à 1n, et là vous avez j, donc le deuxième indice, qui lui appartient à 1p.
Ça veut dire ça, pour tout... couple i, j qui appartient à 1n croix 1p, c'est à dire que c'est votre premier élément qui appartient au premier intervalle 1n et vous avez le deuxième élément j qui appartient lui au deuxième intervalle donc i lui appartient à 1n, j appartient à 1p donc ça veut dire que pour i qui est égal à 1 qui est égal à 2 qui est égal à 3, 4 jusqu'à n Et pour J qui vaut 1, qui vaut 2, qui vaut 3, qui vaut jusqu'à P, AIJ est égal à 0. Le I qui est ici, c'est le I de la ligne des AIJ, et le J qui est ici, c'est le J des AIJ, c'est le numéro de la colonne. Et bien là, qu'est-ce que ça veut dire ? C'est-à-dire que peu importe la ligne que je choisis, pour tout I qui appartient à N, et peu importe la colonne que je choisis, pour tout J qui appartient à 1P, et bah A, I, J, le numéro que je vais trouver à cet endroit, il est nul.
Donc ça, ça veut dire que toute cette matrice-là, c'est la matrice nulle. Et il se trouve que les matrices nulles, pour bien les différencier les unes des autres en fonction de leur dimension, on les note d'une certaine façon. Donc je vais effacer le nom de A et on la note comme ça.
C'est un zéro, mais attention, avec un indice très très important et qui va bien la distinguer de tout toutes les autres matrices nulles de d'autres dimensions. Et cet indice, c'est celui-là. Un joli M, voilà, M, indice NP de K. Alors, pourquoi ?
Qu'est-ce que c'est que cet indice ? En réalité, ça, là, c'est l'ensemble de toutes les matrices avec N lignes et P colonnes et avec des coefficients dans K. K qui est C ou R. Ok ? Donc ça, il faut vraiment l'avoir en tête.
M, NP de K. C'est l'ensemble des matrices à N lignes et P colonnes. Attention, c'est un ensemble, c'est un sac.
Ça veut dire que là-dedans, vous avez toutes, toutes, toutes, toutes les matrices qui possèdent N lignes et P colonnes. Par exemple, M, indice 3, 5, 2, K. Alors bien sûr, le M, en réalité, ici, vous l'aurez compris, c'est pour les matrices. Mais en tout cas, ça là, qu'est-ce que c'est ? C'est l'ensemble de toutes les matrices qui possèdent 3 lignes et 5 colonnes.
Et puis, vous avez aussi cet ensemble-là. Celui-là, c'est quoi ? Ça, c'est l'ensemble de toutes les matrices avec des coefficients soit réels, soit complexes. Mais ces matrices, elles possèdent une ligne et P colonnes.
Donc ça, en gros, c'est l'ensemble de toutes les matrices lignes. AP colonne. Et donc tous ces ensembles, mais vous en avez d'autres des ensembles de matrices, vous avez par exemple MN1.
MN1 qu'est-ce que c'est ? C'est l'ensemble des matrices qui possèdent N lignes et une colonne. Donc c'est l'ensemble des matrices colonne avec N lignes.
Et bien tous ces ensembles, celui-là, celui-là, celui-là, n'importe quel ensemble de matrices, et bien ils possèdent tous un élément nul. Ils possèdent tous une matrice nulle qui leur est propre. C'est-à-dire que la matrice nulle de MNP, ça n'est pas la même que celle... de M3,5.
Et pour bien différencier chacune de ces matrices nulles les unes des autres parce qu'elles n'appartiennent pas au même ensemble de matrices, et bien cette matrice nulle, on va l'indicer avec l'ensemble auquel elle appartient. Pardon, la matrice nulle de M3,5 de K, comment est-ce qu'on la note ? C'est 0 indicé M3,5 de K.
et la matrice nulle qui appartient à cet ensemble, c'est 0 indicé. grand M de 1P de K. Alors, il faut que je vous avoue quelque chose, c'est que parfois, et assez souvent à vrai dire, on tombe sur des matrices qui possèdent le même nombre de lignes que de colonnes.
On appelle ça des matrices carrées. Donc, c'est le cas où, en fait, ici, P est égal à N. Donc, lorsque P est égal à N, vous êtes face à l'espace MN, N de K. Mais, et ça c'est une convention, vous voyez, j'ai N lignes, j'ai N colonnes.
On ne va pas réécrire 2 fois n, c'est bon, on a compris. On va simplement écrire mn de k. Donc mn de k, en fait, on n'indique pas le nombre de colonnes.
En fait, on dit simplement que mn de k, c'est l'ensemble des matrices carrées qui possèdent n lignes et n colonnes. Parce qu'il y a une seule information qui nous sert à définir le nombre de lignes et le nombre de colonnes. Donc lorsque vous avez un seul indice ici, il faut bien comprendre que vous êtes face à l'ensemble des matrices carrées qui possèdent n lignes et n colonnes. Alors si on revient au cas général, alors A ici du coup c'est plus la matrice nulle, c'est une matrice quelconque, P et N bien sûr ce sont des entiers non nulles, donc juste une histoire de notation. Donc A c'est égal à tout ça, il faut savoir que A aussi elle s'écrit comme ça, tout ça c'est égal au nombre Aij que vous mettez entre parenthèses avec i qui est compris entre 1 et n et j qui est compris entre 1 et p.
Voilà, ça c'est juste pour la notation qu'il faut connaître et dont il ne faut pas avoir peur. Ça, ça veut dire quoi ? C'est-à-dire que A, en fait, oubliez tout ce tableau-là. Tout ce tableau-là, il découle tout simplement de l'écriture de Aij qui est ici. Si vous oubliez ce tableau-là, vous dites A, il est égal à ça.
C'est-à-dire que A, c'est égal à une matrice dont les coefficients A, indice I et J Ces coefficients, vous voyez que le premier est compris entre 1 et n, donc vous êtes face à une matrice qui possède n lignes, et le deuxième indice, j, est compris entre 1 et p, donc c'est-à-dire que la matrice qui est ici, la matrice A, elle possède p colonnes. Donc ça, c'est un moyen synthétique d'écrire A. Plutôt que d'écrire toute votre matrice comme ça, parce que ça prend quand même pas mal de place, vous dites simplement que A, c'est égal, vous condensez à A et j, avec i qui est compris entre 1 et n, et j qui est compris entre 1 et p. C'est quand même plus simple et plus condensé que d'écrire tout ce tableau de nombres.
Et on comprend très intuitivement le rapport entre ça et ça. Il n'y a pas besoin de tout ce tableau-là.