फूरियर सीरीज और इवन फंक्शन का कंसेप्ट

परिचय

• व्याख्याता: डॉक्टर गैजन पुरेटर
• विषय: फूरियर सीरीज में इवन फंक्शन का उपयोग
• फोकस: इवन फंक्शन के लिए फूरियर सीरीज की विशेषताएँ

फूरियर सीरीज का सामान्य रूप

• fx = a0 + Σ (n = 1 से ∞) (a_n cos nx + b_n sin nx)
• यदि सीमा
  • -π से π है तो: nπx
  • -l से l है तो: nπx/l

इवन फंक्शन की विशेषताएँ

• इवन फंक्शन के लिए, फूरियर सीरीज में b_n की वेल्यू 0 होती है।
• a0 = (\frac{1}{2π} \int_{-π}^{π} f(x) dx )
• a_n = (\frac{1}{π} \int_{0}^{π} f(x) cos(nx) dx )

उदाहरण: f(x) = x sin(x)

• x और sin(x) दोनों ऑड फंक्शन हैं, लेकिन उनका गुणनफल इवन होता है।
• फार्मूला: a0 + Σ (n = 1 से ∞) a_n cos(nx)

महत्वपूर्ण समीकरण

1. a0 का कैलकुलेशन
   • ( a_0 = \frac{π^2}{2} ) जब π के लिए लिया जाता है
2. a_n का कैलकुलेशन
   • ( a_n = \frac{-4(-1)^n}{n^2} )

सीरीज का विस्तार

• f(x) के लिए सीरीज: ( x^2 = \frac{π^2}{3} + 4 \sum \left(\frac{(-1)^n}{n^2}\right)cos(nx) )

प्रूफ और एप्लीकेशन

• प्रूफ: x को 0 और π पर रखकर सिद्ध करते हैं।
• प्रूफ: पाई के विभिन्न स्क्वायर फार्मुले से जोड़कर

निष्कर्ष

• इवन फंक्शन्स के लिए फूरियर सीरीज में केवल cos टर्म होती हैं।
• यह विशेषता विभिन्न गणितीय और इंजीनियरिंग समस्याओं में उपयोगी है।

अतिरिक्त संसाधन

• डॉक्टर गैजन पुरेटर की अन्य वीडियो और जनरल एप्टीट्यूड की किताबें उपलब्ध हैं।