हेलो स्टुडेंट्स मेरा नाम डॉक्टर गैजन पुरेटर आप देख रहे हैं हमारा यूट्यूब चैनल जहां पर मैं वीडियोस अपलोड करता हूँ और इंजिनेरिंग मेथमेटिक्स बीएसी इस तुन आज मैं आपके सामने फूरियर सीरीज के अंदर जो ओड और इवन का कंसेप्ट होता है उसके अंदर जो इवन का कंसेप्ट है कि जब भी हमारे पास कोई फंक्शन दे रहे हैं इवन तो उस वाले केस में फूरियर सीरीज क्या होगी और इस तुन कैसे हम पता करें� तो सुन जब भी हमारे पास Fourier सीर���स की बात करी जाती तो fx is equal to a0, summation n is equal to 1 to infinity, a in cos nx plus b in sin nx, अगर हमारे पास यहाँ पे देरिखा minus pi से pi, अगर minus l से l है तो n pi x upon l, n pi x upon l हो जाता है, मैं आपको बार पहले भी बता चुका हूँ कि कभी कुछ books में यहाँ पे a0 by 2 होत हम यहाँ पर जो यूज करते हैं, उसके अंदर हम यहाँ पर a by 2 नहीं लिखते हैं, तो उसके फार्मला हम यहाँ पर 1 by 2 लिख देते हैं, तो आपको इसको लेके परिशान होने की जरूरत नहीं है, जहाँ पर a0 का जो फार्मला होता है, 1 upon 2 pi fx dx होता है, अब इसलिए fx अग देखते हैं जैसे मैं आप सब लोग कि x sin x है तो यार यह हमारे पास इवन होगा क्योंकि जो x है यह ऑड फंक्शन है साइन भी ऑड है और माइनस इंटू माइनस जो होता है वह मारे पास प्लस होता मतलब यह फंक्शन हमारे पास तो यह आपको समझने की जरूरत है, आप बोलोगे गुर्जी इसकी जरूरत कहां पड़ रही है, क्योंकि जब भी हम फूरियर सीरीज की बात करते हैं, इसका जो फार्मला होता है, अगर हम बात करें, तो हमारे पास जो फार्मला होत एजी रो प्लस समेशन एन इग्ल टू इंफिनिटिव एन कॉस एन एक्स प्लस बीएन साइन एन एक्स होता है इस तरह पर एजी रो का जो फार्मला होता है वह होता है वन अपॉन टू पाई माइनस पाई से पाई एफेक्स डीएक्स है ना मैं आपको पहले फ्रेंड पर पास इवन है तो उस वाले किसमें क्या होगा पहले मैं फार्मला लेकर बताता हूं अ पहले मैं आपको फार्मुला लिखके बताता हूँ तो वन अपॉन एन आएगा यहाँ पे वन अपॉन पाई यहाँ पे जो एन आएगा वो आएगा अमारे पास वन अपॉन पाई माइनस पाई से पाई Fx कॉस एन एक्स दी एक्स आता है और जो बी एन होता है उसका फार्मुला होता है वन अपॉन पाई माइनस पाई से पाई Fx यहाँ पे आ जाएगा साइन एन एक्स दी एक्स अब हम जानते हैं चुकी फंक्शन हमारे पास यहाँ पे ईवन लिया है और even लिया, function यह even है, तो यह हमारे पास क्या होगा, even होगा, तो यह हम लिख सकते हैं, इसको twice करके, तो सुन जब twice करेंगे, तो 2 से 2 cancel हो जाएगा, तो यह आएगा 1 upon pi 0 से pi fx dx हो जाता है, इससे यह function even है, हमारे पास fx even लिया है, and इससे यह cost भी even होता है, यह हमारे पास क्या हो जाएगा टोटल यह जाएगा तो इसमें ट्वाइस कर देंगे तो यह आएगा ट्वाइस जीरो से पाई है ना हमारे पास में द टू बाई पाई जीरो से पाई हो जाएगा और एफेक्स यह जाएगा हमारे पास कॉस एनेक्स डी एक्स हो जाएगा है और अगर यह फंक्शन है तो ट्वाइस हो जाएगा राइट यह हमारे पास कंसेप्ट होता है तो इस विनापर हमारे पास जो बीएन होगा वह जीर हो जाएगा तो इस वाले केस में हमारे पास फूरियर सीरीज फाइनल है तीए वह हमारे पास यह रही है जीरो प्लस समिशन एन इजी को टू इंफिनिटिव एन कॉस एनेक्स हो जाएगा अगर फंक्शन हमारे पास यहां पर इवन कि फाइड फूरियर सीरीज ऑफ एफेक्स इग्ल एक्स इन एक्स बिट माइनस पाइट टू पाइट और हम यहां पर यह प्रूव करना है तो इसमें हम जानते हैं यहां पर इस एक्स इन एक्स जो होता है हमारे पास क्या था यह एक्स जो था और फंक्शन है पूरी अप्सीडीज होगी वह क्या होगी एजी रो प्लस समिशन एन इज इकुल टू वन से इंफिनिटिव यह आएगा एन कॉस एनेक्स हो जाएगा लेगा अब यहां पर करेंगे इस तुम एजी रो की वेल्यू निकालेंगे ना तो बटा जो एज अब इस विन अम जानते हैं वैसे वन अपन टू पाइमाइनस पाइमाइन से पाइमाइन पर सुन फंक्शन इवन है तो हम क्या करते एक्स है तो यह आएगा मेरे पास वन अपन पाई जीरो से पाई एक्स साइन एक्स इंटू डी एक्स हो जाएगा बटा इसको आईलेट से करते हैं तो यह आएगा मेरे पास अगर में डिग्रेशन करेंगे तो एक्स को छोड़ा इस विन साइन एक्स का मैं आपको बताना चाहता हूँ, सिन साइन एन पाई की जो वेली होती है, वो अमेशा जीरो होती है, कॉस एन पाई की जो वेली होती है, वो अमेशा माइनस वन पावर एन होती है, मैं पिछले वीडियो में भी बता चूँगा, अगर आपने मेरे पुराने वीडियो जो नहीं तो बटा यह आजाएगा हमारे पास माइनस का पाई और यह कॉस्ट पाई आएगा कॉस्ट पाई की वेलियो माइनस होती तो सुन साइन पाई हमारे पास जीरो हो जाएगा माइनस जहाँ पर एक समा जीरो रखने थे यह जीरो और यह भी जीरो हो जाएगा तो हमारे पास इसक वैसे यह इनका जो फार्मुला होता वह मेरे पास होता वन अपन पाई माइनस पाई से पाई एफ एक्स कॉस एन एक्स डी एक्स होता पर सुनिए यहां पर जीरो से पाई करके ट्वाइस कर देंगे तो ट्वाइस यह जीरो से पाई और यहां पर मेरे पास एफ एक्स बट कि साइन एक कॉस बी ना देखो यह साइन एक और स्विटाइट करा तो इसके जो फार्मला था वह हमारे पास क्या था वन बाई टू यह हमारे पास साइन ए प्लस बी प्लस साइन ए माइनस बी आएगा अगर आप साइन ए प्लस बी का फार्मला और बी जो है वो हमारे पास n है, तो यह formula आप apply करेंगे, तो बिटा यहां से हमारे पास इसकी value क्या हैगी, sin x cos nx, तो बिटा यहाँ है 1 by 2, इन दोनों को add करेंगे, तो यह x plus nx, तो मैं x common निकाल लेता हूँ, तो सुन यहाँ है, हमारे पास sin 1 plus n into x आजाएगा, plus sin 1 minus n into x आजाएगा, तो बिटा यह value उठाके हम यहां रखेंगे, जीवर से पाइट बटाई आएगा एक्स और यहां से मारे पास इसकी जो भी आईए वन बाइट है ना मैं बाइट को बाहर निकाल लेता तो बटाई कितना आएगा साइन वन प्लस एन इंटू एक्स प्लस साइन वन माइनस एन इंटू एक्स इंटू डीएक्स पाइट पिटा यह मारे पास यहां पर क्या इसकी वेलियो है कि मैं इ ताकि हमारे को सिमस्या नहीं है, calculation नहीं है, इसलिए हम क्या करेंगे, यह 2 से 2 cancel हो गया हमारे पास, तो यहाँ से हमारे पास 1 by pi आ जाएगा, बिटा यहाँ पर हम isolate लगाएगे, isolate लगाएगी, तो मैंने अभी जो बताया था नहीं है, x sin x का, तो यह जो sin x इसकी जगह पूरी यह term हो जाएगी, तो मैं सीधा बताऊंगा, इसलिए x को छोड़ा, इसका integration करेंगे, इसका integration होगा, sin का होगा, minus का cos, 1 plus n x divided by 1 plus n, minus, इसलिए यह आएगा हमारे पास, cos, 1 minus वन माइनस एंड इससे ये हमारे पास वेलियो आईगी माइनस इससे इसका derivative करेंगे तो वन आएगा और इसको दो बार करेंगे तो इससे दोनों बार हमारे पास एक और कॉस्का करेंगे तो फिर साइन हो जाएगा, तो minus plus हो जाएगा, और इस विजियों यहाँ पर हमारे पास SQL हो जाएगी, साइन 1 plus n x upon 1 plus n का whole square है, दो बार नीचे आएगा न, प्लस इस विजियों यहाँ हमारे पास साइन 1 minus n x divided by 1 minus n का whole square हैगा, 0 से πाई आजाएगी, नाओ बटा limit put करेंगे, यहाँ 1 upon पाई, है इस पर कॉस एन पाइडी जो विली होती है वह थी माइनस वन पावर है चुकी आप एन प्लस वन है तो हमारे पास यहां पर इसकी जो विली है काम करो सबसे बेस्ट मरने इस विल्यू ठाकिया रखेंगे तो यहां आएगा हमारे पास माइनस का कॉस वन प्लस एन इंटू पाई अपन वन प्लस एन माइनस इस विल्यू आएगा कॉस वन माइनस एन इंटू पाई एंटू वन माइनस एन आएगा इस विल्यू यहां पर हम एक्स की अगर हम बात करें माइनस का कॉस इस पाइड को अंदर मल्टीप्लाई करते हैं पाइड प्लस एन पाइड आएगा और जानते हैं हमारे पास थर्ड कोडेट पर आता है पाइड प्लस टीटा थर्ड कोडेट पर आता है थर्ड कोडेट में जो कॉस होता है हमारे पास क्या होता पाइम माइनस एंड पाइम की जो वेलियो होती है वह भी हमारे पास सेकंड कॉडर्ड में आती है सेकंड कॉडर्ड में कॉस अगर नेगेटी होता है तो माइनस का कॉस एंड पाइम इसका अलग माइनस का वन पावर एन आजाएगा इसमें यह वेलियो उठाकर हम यहां रखेंगे तो यह क्या है देखिए तो यहां से मारे पास इसकी वेलियो हैगी यह पाइम तो कैंसल हो गया तो तो प्लस इस तुम्हें आएगा माइनस वन पावर एन अपन वन माइनस एन हैगा यह आपको ध्यान देने की आवश्यकता है अब इसको लेता हूं ताकि आपको कंसप्ट समझ में आ गया तब ठीक है इस तुम माइनस वन पावर एन को आपके एन माइनस वन माइनस एन आएगा इस तुम यहां पर इसका एलसीम ले लीजिए यहां पर आएगा वन माइनस एन प्लस वन प्लस एन डिवाइड एड बाय वन माइनस एन स्कूर गया था ना वन प्लस एन इंटू वन माइनस एन स्कूर आएगा बेट आप देख रहे हैं यहां से मारे पास एन से एन कैंसल हो गया ट्वाइस हो जाएगा तो यह सुन यहां से मारे पास वेली है कि ट्वाइस माइनस वन तो सुन यहां से अगर हम इस FX को खोले तो यार हमारे पास इसकी जो वेल्यू आईगी अगर मैं इसको यहां पर एरियस कर दो क्योंकि हम सबकी वेल्यू निकाल चुके हैं तो मैं थोड़ा सा आपको यहां पर ज्ञान देने की कोशिश करूँगा सुन यहां से हमारे पास इस इस एक अगर आप देखेंगे तो यह आएगा यहां पर जब रखेंगे तो एवं कॉस एक्स आएगा प्लस यहां पर आप पर जो हमारे पास यह नोट इक्वल टू वन है तो हम क्या करेंगे इस तरह यहां से एवं को मलग मिकाल देंगे अब यहां पर हम समझ लगा देते पर सुन इस A1 की value हमें निकालनी पड़ेगी कि A1 की value हमारे पास exactly क्या आ रही है, तो सुन यह जो A1 है, यह हमारे पास A and A, इसमें 1 की value हम निकाल लेते हैं, तो मैं यहाँ पर 1 की value निकालता हूँ, चुके हमें A1 अलग से चाहिए, तो सुन यहाँ पर X, sin X आएगा यहाँ पर, इस तुन यहाँ पर 2 है, तो आप देखेंगे 2 sin X cos X, है तो सुनिए हमारे पास साइन ट्विट्स हो जाएगा तो अगर आप देखेंगे यह पर तो इसकी जो वेलियों यह वन अपन पाई जीवर से भाई इस प्रेसिडी जाएगा और यह हमारे पास हो जाएगा साइन ट्विट्स अरे मेरे भाई यह समझने कोशिश करवा ना इस प्रेसिडी तो यहां से हमारे पास वन अपन पाएगा अब मैं सीधा करूंगा इस एक्स को छोड़ा इसका करेंगे तो यह माइनस का कॉस्ट 2x अपन 2 और इसका डिफरेंशन करेंगे 1 और इसको दो बार करेंगे तो यार minus plus हो जाएगा और यह आएगा sin 2x अपन 4 हो जाएगा नाओ 0 से pi limit put कर देंगे सुन जहाँ पर भी x और pi रखेंगे तो बटा यहाँ से हमारे पास इसकी value क्या आएगी minus का pi यह इस विन कॉस्ट पाइक वेल्यू वन होती है ना तो यह वन आएगा बाई टू तो ही है इस विन साइन टू पाइक जीरो होगा जीरो पर बाकि सब जीरो हैगा पाई सपाई कैंसल करेंगे तो इस विन यहां से माइनस वन बाई टू इसकी वेल्यू इग्गुडू इसमें जो एजीरो इसकी वेल्यू वन आ रही है इसमें जो हमारे पास एवं है इस इसकी वेल्यू माइनस का वन बाइट वाली तो बटा यह आएगा माइनस का वन बाइट टू कॉस आएगा प्लस समिशन एन इज इक्वल टू यहां पर हमारे पास का सब्सक्राइब यहां पर यह आपको ध्यान देने की जरूरत है इसके सीरीज खोलेंगे आप, यार यह हमारे पास क्या आएगा, fx is equal to 1 minus 1 by 2 cos x, बटा जहाँ पर भी हमारे पास n है, वहाँ पर 2 रखना start करते हैं, तो यार यह minus 1 power 2 है, वो हमारे पास 1 हो जाएगा, तो 1 minus 2 square, अगर आप देखेंगे, तो सुन यह हमारे पास minus का 3 आ रहा है, यह द्यान दे और नीचे आएगा 1-3 का square, तो यह minus का 8 आएगा, तो minus plus हो जाएगा, इस तरह से हम यहाँ पर क्या पूछा क्या जाएगा, आपको यह पूछा जाएगा, ऐसी कौन सी वेल्यू रखें वैसे एफेक्स जो है वह हमारे पास यहां पर कहा रहे हैं हमें एफेक्स की विल्यू रखें तो एफेक्स हमारे पास यहां पर क्या बिल्टाइज जो सीरीज है किसकी आ रही है एक्स साइन एक्स क्या रही है हम इस आई नहीं आएगा तो सुनिए करेंगे आप एक्स की जरूर क्या करते हैं यहां पर पुट एक्स इग्ल टू अ पाइट प्रटाइट एक्सप्रॉइंट रखूंगा यह पाइट और साइन पाइट हमारे पास कितना होता है वन हो जाता है ना इसी बेटा यह कॉस पाइट आ जाएगा और कॉस पाइट की वेल्यू कितनी होती माइनस वन इस तीन पाइट वेल्यू होती है अब मैं क्या करता हूं इसको सिंप्लीफाई कर लेता हूं इसमें हम सिंप्लीफाई करेंगे तो यह आएगा पाई बाई 2 इस इक्वल टू वन प्लस इसमें यहां से हमारे पास टू और यह माइनस प्लस वन बाई थ्री माइनस का वन बाई यहां से हमारे पास 1 by 3 आ रहा है, तो 1 by 3 को मैं लिख सकता हूँ 1.3, इसलिए यहां पे minus का 15 है, इसको मैं लिख सकता हूँ 1 upon 3.5, तो यहां पे क्या है, इसका relation है, और इस तरह से हम इसको बहुत easily prove कर सकता है, इसलिए इस पूरे question को explain करा जाए, यहां मैंने बताने है तो मेरी जनरल आप टीट की बुक अमेज़न पर अवेलेबल है आईएटीजम के लिए वाली बुक अवेलेबल है एंड सीएस है वह थी समिशन एन इग्ल्ड वन टो इंफिनिटिव एन कि कॉस एनेक्स होता बीएन की वेल्यू हमारे पास यहां पर क्या होती भाई या जीरो होती है अगर मैं एजीरो की वेल्यू निकालने की बात करूं यहां पर तो बेटाइजी वहां पास क्या होता है वैसे वन अपॉन टू पाइ होता है याद अगर आप तो बेटा यहाँ से हमारे पास इसकी value होगी वो क्या हैगी सुन यहाँ आएगा 1 upon pi और इसकी value होगी x3 by 3 limit 0 से by इसलिए आएगा pi और यहाँ से इसकी value होगी वो pi3 by 3 minus 0 बेटा इसको simplify करेंगे तो एजी रूपी जो वेली होगी वह मारे पास पाइस को रहे थी आएगा ना अब हम क्या करेंगे भी यह इनकी वेली निकालेंगे तो इस जो एन आता है उसका फार्मला मारे पास यहां पर क्या था सुन एन का फार्मला होता है टू अपन पाई जीरो से पाई एफेक्स इसमें आपको बताना चाहता है वैसे यह का जो फार्मल होता है वह हमारे पास ही होता है वन अपन पाई माइनस पाई से पाई एफेक्स कॉस एन एक्स डी एक्स होता है पर सुन फंक्शन यह इवन है तो यार यह भी हमारे पास इवन होता कि इस ना को बताना चाहिए कि जो कॉस एंड पाइ होता है मैं आपको बताता कि आर कॉस एंड पाइ की जो वेली होती है माइनस वन पावर एन होती है एंड साइन एंड पाइ जो होता है भाईया वह मेरे पास क्या ताजीर तो य इंटेग्रेशन करेंगे बेटा इसका जो इंटेग्रेशन आएगा वह हमारे पास यहां पर क्या है देखिए इस तुम यहां पर यह एन आएगा इसी को टू पॉइंट पाइट बेटा यहां पर एक्स स्कॉर को छोड़ा है ना कॉस का इंटेग्रेशन आएगा बेटा कितना आएगा साइन एन एक्स अपन यहां पर एन आएगा माइनस इसका डेरिविटिव आएगा तो इसका विटेज टू एक्स सुन कॉस का इंटेग्रेशन आएगा तो आएगा हमारे पास साइन एन एक्स अपन एन इंटो डी एक्स और कि इस विनिया हमारे पास इंटेग्रेशन हो चुका है तो यहां पर तो मिलिट पूट कर सकते हैं जहां पर भी एक समापाई रखेंगे साइन पाई जी होता है जीरो पर भी यार यह हमारे पास वेलीज होती है जीरो जाती तो इसका इंटेग्रेशन बाहर निकाल नहीं जीवर पाइल मिलते हैं यह नहीं जीवर माइनस का फूर अपन एन पाइल में तक क्या करेंगे हम एक्स को छोड़ा साइन का किएंगे तो यह बड़ा यहां गा कॉस एन एक्स अपने माइनस इसका डेरिविटी वन और साइन को दो बार करेंगे तो और बटा यह साइन एक्स दो बार एन आएगा तो यह एन स्कूल है गास लिमिट जीरो से पाई हो जाएगा ना बटा यह विल्यू यह यादा माइनस फोर अपन एंड पाइड और नियुक्त वेल्यू पूट करेंगे जहां पर भी एक समापाई रखें तो इस विजय यादा माइनस का पाई यह आएगा कॉस एंड पाइड अपन नीचे हमारे पास एन आ रहा है एंड सुनिया पर रखेंगे यार साइन तो एन इस इक्वल टो माइनस का फूर अपन अ एन पाइ एंड सुनिया आएगा माइनस का पाइ और इसकी वेली होगी माइनस वन पावर एन अपॉन एन तो आप देख रहे सुन पाइ से पाइ तो कैंसल हो रहा माइनस प्लस हो रहा तो सुनिया आएगा माइनस का फॉर इंटू माइनस पावर एन अपॉन एन स्कूर सुनिए मारे पास यहां पर जाएगा एन आ जाएगा एजी रोर एन की वेली उठाकर हम यहां फूरियर सीरीज हैगी एफेक्स इग्जू एजी रोए जीरी को यहां पर स्कूर अपॉन यहां पर तरीय आ रहा है और इस तरह यह हमारे पास क्या हैगा summation n is equal to 1 to infinity यह आएगा 4 minus 1 power n, n square, इस तरह cos nx आएगा, अब हमें prove करना है, जब भी prove करना है तो इसको खुलना पड़ेगा series को, तो इस तरह यहाँ पर हमारे पास जो fx है इसकी जगह हम रख देंगे यहाँ पर x square, is equal to यहाँ है अगर हम कि कॉस्ट वेडियो अपने इसका माइनस का कॉस्ट थ्री एक्स अपने थ्री स्कॉर सुन यह मेरे पास यहां पर किया है इसकी सेरीज चलेगी इस तरह क्या बोल रहा है कि वन टू स्कॉर्ट इसका मतलब सभी टर्म चाहिए मतलब जो कॉस्ट put x is equal to 0, दोनों रखके देखते हैं न, क्या हो रहा है, सुन जो पाई रखेंगे तो यहाँ हमारे पास यहाँ पर इसकी जो value हैगी, वो क्या है कि बिटा, पाई स्क्वार is equal to पाई स्क्वार by 3 plus 4, इसने कोस पाई की value minus 1 होती है, तो minus 1 plus हो जाएगा, इसने 2 पाई तो 1 ही होता है, इसने 3 पाई minus होती है, यह भी 1 हो जाएगा, यहाँ हमारे पास series आएगे, बिटा इसको इधर ले लो, तो पाई स्क्वार minus का पाई स्क्वार by 3 is equal to 4, कि यह सब्सक्राइब करें और प्राइटिंग हमारे पास पूपाई स्कूल बाई थ्री इग्ल टू फॉर वन बाय वन स्कूल प्लस वन नेक्स्ट बात करते हैं सुन यहाँ पर इसके लिए x is equal to 0 के लिए तो जब x is equal to 0 रखेंगे बिल्टा यह 0 हो जाएगा और यह आएगा हमारे पास पाई स्क्वार बाई 3 प्लस 4 इस तुम जहां पर भी एक समाच 0 रखेंगे तो कॉस तो माइनस का पाई स्कूल बैठे और यहां से माइनस को मन निकला माइनस को मन निकलेंगे यह जाएगा वन बाए वन स्कूल 3 square है ना यह हमारे पास यह आएगा इसने आप देखें minus cancel और 4 को divide करते हैं बिटा यह आएगा हमारे पास pi square by 2 L is equal to 1 by 1 square minus का 1 by 2 प्लस का वन बाइ थ्री स्कूल ना यह हमारे पास आ जाएगा इसमें गबीगबी एग्जाम में यह भी पूछ लिया जाएगा कि पाई जोड़ ली जाए ना यह मेरे पास फर्स्ट रिजल्ट है और यह मेरे पास सेकंड रिजल्ट ना तो इस विज फर्स्ट रिजल्ट है औ कि वह हमारे पास क्या इसने थोड़ा सा चेंज कर लेता हूं ताकि ठीक रहेगा है ना तो इसने यहां से हमारे पास विश्व वह हमारे पास क्या है कि सुन पाइस क्वायर बाय 6 प्लस पाइस क्वायर बाय 12 करेंगे इसी कोड जब इसको ऐड करेंगे तो इसमें बाहर निकालेंगे तो यह हमारे पास आएगा तो जब सिंपलिफिकेशन करेंगे तो जब तरीके ने तो इसने पाइस क्वायर बाय फॉर आओगा और टू को डिवाइड करेंगे अ तो सुन यहां से हमारे पास यह पूर्व जाएगा पाइस्कॉर्ड एट इज इकुडू वन बाइ वन स्क्वायर प्लस वन बाइ थ्री स्क्वायर तो इस तरह से हम यहां पर प्रूव कर सकते हैं तो यह बड़ा अच्छा क्वेश्चन है और इस पर बेस्ट एक्जामे क्वे और इवन है तो हमारे पास जो फूरियर सीरीज होगी वो एजी रो समेशन एन इग्ल टू इंफिनिटिव एन कॉस एन एक्स होगा तो इसमें यहां पर जो एजी रो का फार्मल होता है वह होता है वन अपन पाई जीरो से पाई होता है एफेक्स डी एक्स एफेक्स पर हमारे पास यहां पर क्या मोड एक्स को एक्स ही रखेंगे क्योंकि हमने माइनस पाई से पाई को जीरो से पाई करके ट्वा� काम खतम हो गया ना, तो हम यह रखेंगे, नाओ इसको simplify करेंगे, तो 1 upon pi, बटा इसका integration होगा x square by 2 0 से pi, तो यहाँ पर जब solve करेंगे, तो यहाँ से मारे पास होगा pi square by 2 minus 0, बटा इसको simplify करेंगे, तो यहाँ pi से pi cancel, तो यहाँ pi by 2 हमारे पास यहाँ पर क्या है का इसका answer आ� तो बटा यहाँ पर क्या करेंगे, 0 से πाई करके ट्वाइस कर देंगे, क्योंकि मॉड एक्स हमारे पास एवन होता है, तो 0 से पाई करके ट्वाइस करेंगे, और यह हमारे पास 0 से पाई हो गया, अब हम क्या करेंगे, सीधा इसका इंटेग्रेशन कर देंगे, और जब इसका इंटेग्रेशन करेंगे, तो हमारे पास यहाँ पर क्या जाएगा, तो बटा क्या आएगा, इसका इंटेग्रेशन करेंगे, तो एक्स को छोड़ा, कॉसका किया तो यहाँ आएगा, साइन, एन एक्स अपने माइन इसका डेरिविटिव वन होगा और कॉस को दो बार करेंगे तो एक बार होगा साइन और दूसरी बार होगा माइनस का कॉस तो माइनस प्लस तो यह आएगा कॉस एन एक्स अपने स्क्वेट जीरो से पाई हो जाएगा इस जाएगा यह आएगा कॉस एन पाई तो माइनस वन पावर एन अपने इसका माइनस सेकंड यहां पर यह जीरो जाता है और को जीरो की वेलियों हमारे पास यहां पर इसकी वन हो जाएगी पैट इसको सिंपलीफाइड करेंगे तो इस विघ्न हमारे पास आएगा टू बाई पाई एंड माइनस वन पावर भाई माइनस वन पावर एन अपने स्कूल माइनस वन अपने स्कूल एन स्कूल का एलसी मिलियर पैट जो एजीरो एन है तो fx हमारे पास यह आएगा, बटा a0 की जो value आ रही है, वो हमारे पास आ रही है, pi by 2, and इसकी जो value आ रही है, वो आ रही है, हमारे पास 2 by pi को तो बाहर निकाल दीजिए, summation n is equal to 1 to infinity, बटा इसकी value रखेंगे, minus 1 power n, minus 1, upon n square, और यह आएगा हमारे पास cos nx, तो इसलिए जो mod x प्लीज कमेंट करके जरूर बताइए अगर आप मेरी फूरियर सीरीज की पुरानी वाली वीडियो देखना चाहे पूरी की पूरी प्लेलिस्ट आपको यहाँ जाके मिल जाएगी इस दुनिकर आप CSI, ARNET, GATE या CUT एक्जम की तैयारी कर रहे हैं अपना जनरल अप्टिटू�