in diesem video beschäftigen wir uns mit dem aes prinzip kurz ice prinzip dabei ist das video wie folgt aufgebaut im ersten schritt geht es um die definition das heißt um die frage was ist das eis prinzip überhaupt im zweiten teil wird dann der nutzen thematisiert den wir uns vom eis prinzip versprechen und im dritten und letzten teil will ich das ganze dann anhand konkreten beispiel verdeutlicht wie immer steht das video unter einer freien lizenz ok starten wir mit der definition das eis prinzip geht auf den amerikanischen entwicklungspsychologen gerome bruner zurück er sagt dass jeder mathematische sachverhalt auf drei unterschiedlichen darstellungen ebenen geleert werden kann nämlich einmal inaktiv ikonisch und symbolisch daher auch der name eis prinzip das e für inaktiv das ifu komisch und dass es für symbolisch also insgesamt eis prinzip und inaktiv bedeutet handelt dh die lernenden arbeiten aktiv an konkreten lehrern gegenstand der sachverhalt wird sich also eigenständig quasi mit hand und fuß durch eine konkrete handlung an einem konkreten objekt erarbeitet und die objekte das können jetzt sowas wie holzklötzchen sein rechenschieber geo bretterwände plättchen und vieles mehr wie komisch bedeutet bildlich das heißt der sachverhalt wird durch ein bild bzw durch eine zeichnung dargestellt oder vermittelt hier sehen wir zum beispiel 20 prozent und das ganze wird veranschaulicht durch eine von fünf personen und die dritte darstellungs ebene ist die symbolische repräsentation die schülerinnen und schüler arbeiten hier abstrakt mit formalen symbolen bzw zeichen und gesetzen aus der welt der mathematik dabei wird mathematik als eine eigene sprache verstanden die formal durch eigene symbole verschriftlicht werden kann hier sehen wir zb die rechen operatoren plus minus x und geteilt und wir wissen was damit gemeint ist da wir uns innerhalb der mathematik darauf geeinigt haben was diese symbole bedeuten und bruder geht jetzt davon aus dass wir im verlauf unserer entwicklung am besten lernen wenn wir die drei aufeinanderfolgenden darstellungsform nutzen also vom inaktiven von konkreten über das ikonische hin zum symbolischen abstrakten gehen und da sind wir dann auch schon beim nutzen den wir uns vom eis prinzip versprechen die mathematik lehrpläne der schulen sind nämlich in der regel spiralförmig aufgebaut das heißt ein zentraler gegenstand aus der mathematik begegnet uns im laufe unserer schulzeit immer wieder allerdings auf unterschiedlichen niveaus bzw anforderung stufen zb der zahlen begriff in der primarstufe sind es die natürlichen zahlen in der sekundarstufe die ganzen rationalen und reellen zahlen und in der universität sind es dann sogar die komplexen zahlen mit dem wir uns beschäftigen dh es gibt immer um die leitidee zahl immer um denselben gegenstand aber halt auf unterschiedlichen niveaus und die drei darstellungsformen die wir kennen gelernt haben inaktiv wie komisch und symbolisch können helfen dass jedem kind auf jeder entwicklungsstufe jeder lehrer gegenstand in einer intellektuell ehrlichen form geleert werden kann und dazu wollen wir uns einmal ein beispiel anschauen und zwar geht es jetzt um die erste biologische form dh + b zum quadrat soll das gleiche sein wie a quadrat plus 2 a b + b quadrat und zunächst einmal wollen wir auf der inaktiven darstellungs ebene die formel am konkreten beispiel mit wende plättchen erkunden bzw erproben also ganz konkret nutzen wir für a und b jetzt die natürlichen zahlen 3 und 2 und dazu legen wir jetzt mit unseren händen ganz händisch also inaktiv drei wände plättchen dann plus zwei wände plättchen so dass wir fünf wende blättchen haben das nehmen wir gemäß der formel hier zum quadrat dh fünf mal fünf weil wir fünf reihen haben mit jeweils fünf plättchen das ganze füllen wir jetzt noch auf und dann können wir am ende durch zählen das müssen 25 plättchen sein oder halt wir rechnen fünf mal selbst und diese linke seite soll jetzt das gleiche sein wie 3 zum quadrat dh drei mal drei das sind hier diese neun plättchen plus 3 x 2 und das ganze kommt zweimal vor gemäß dieser formel also auch das legen wir jetzt aktiv aus und am ende haben wir zwei zum quadrat also vier päckchen jetzt könnten wir uns auf den weg machen und durch zählen um die gleichheit festzustellen also dass das auf der linken seite genau so viele wände plättchen sind wir auf der rechten seite oder aber man lebt hier so päckchen und kann es dann auch direkt erkennen ganz ganz noch mal ein bisschen visualisieren dieses päckchen hier drei hoch 2 also neun haben wir hier auch also sowohl auf der linken als auf der rechten seite dieses päckchen haben wir auch das ganze kommt sogar zweimal vor und das kleine päckchen mit zwei zum quadrat haben wir hier auch und für a und b kann man das mit allen natürlichen zahlen machen und durch diese aktive handlung am konkreten beispiel bekommt man wirklich ein gutes gefühl dafür dass die formel wohl stimmt ein beweis ist das natürlich aber noch nicht aber ein erster guter eindruck und man hat das ganze quasi am eigenen körper erfahrbar gemacht diese erste bionische formel auf der ikonischen darstellungs ebene wollen wir nun die erste biologische formel für positive reelle zahlen a und b beweis wir interpretieren a und b als die längen von zwei strecken wir haben also die länge und die länge b zusammen ist das hier unten also die länge a + b das ganze nehmen wir gemäß dieser formel zum quadrat das heißt wenn wir ab + b x h + b nehmen dann haben wir geometrisch gesehen den flächen inhalt dieses quadrates mit den seitenlänge nahtlos b und dieser flächen inhalt also a + b zum quadrat soll gleich groß sein via quadrat +2 r b + b quartal also schauen wir ob wir das hier auch irgendwie geometrisch sie denn finden in dieser zeichnung und da sehen wir quadrat ist auch ein quadrat was hier oder flächen eines quadrates hier liegt x b kommt gleich zweimal vor awb einmal hier und da mal b einmal hier und dann haben wir noch das kleine quadrat wie quadrat nämlich und ganz offensichtlich ist der flächen inhalt des großen quadrates mit der seitenlänge a+ b genauso groß wie die flächen inhalte der vier kleine rechtecke und an der zeichnung erkennt man dass dies für blieben gelingen geht könnte jetzt a und b verändern und habe trotzdem noch diese struktur also das große quadrat mit der seitenlänge abschluss b lässt sich immer unterteilt in die vier kleinen rechteck quadrat zweimal a b und b quadrat und demnach gilt diese gleichung das heißt wir haben die erste biologische formel für längen also für positive zahlen mit hilfe einer zeichnung auf der ikonischen ebene bewiesen auf der symbolischen darstellungs ebene wollen wir nun die erste bionische formel für alle reellen zahlen a und b beweisen also auch für die negativen zahlen es wird also immer abstrakter und allgemeiner starten wir mit a + b zum quadrat wir haben also die basis a + b und den exponenten 2 dh die basis a + b wird zweimal mit sich selbst multipliziert jetzt nutzen wir das destruktive gesetz und multiplizieren aus dh x h x b + b x a + b x b dann kommen wir auf diesen tag da nutzen wir jetzt das kommunikativ gesetz und schreiben b x h x b das haben wir deswegen gemacht weil wir jetzt hier sehr schön zusammenfassen können denn wir haben einmal a x b x h x b das sind 2 x b und da sind wir dann auch schon auf der rechten seite unserer ersten genomische form das heißt wir haben die genomische formel die erste biologische formel bewiesen und das alles symbolisch algebra unter verwendung bereits bewiesener gesetze beziehungsweise sachverhalte und diese abstrakte ebene kennen wir vor allem aus der weiterführenden schule oder der universität ok ich hoffe wie immer dass euch das video insgesamt ein wenig geholfen hat und am ende habe ich euch nochmal die quellen zusammengefasst und ja würde mich freuen wenn euch das video gefallen hat