Ich begrüße dich herzlich zu meinem Kanal MathisChillik. Es freut mich, dass du wieder hereinschaust. Mein heutiges Thema lautet Definitions-und Wertemenge einer Funktion. Es ist das vierte Video zum Thema Grundlagen zu Funktionen. Schauen wir uns die folgende Aufgabe an.
Bestimme von den folgenden Funktionen die Definitionsmenge und Wertemenge. f von x gleich 2x plus 3 g von x gleich 3, h von x gleich x² und i von x gleich 1 durch x. Schauen wir uns zuvor die Definition für Definitionsmenge und Definitionsbereich an.
Die Menge aller Zahlen Zahlen, man nennt sie auch die x-Werte, die du in die Funktionsgleichung einsetzen kannst, nennt man Definitionsmenge oder auch Definitionsbereich. Da das ja eine Zahlenmenge ist, Menge aller Zahlen, und Zahlenmengen ja auch als Zahlenbereich bezeichnet werden. Deswegen gibt es einmal den Begriff Definitionsmenge und Definitionsbereich.
Also zusammengefasst, die Zahl, die ich einsetzen kann in die Funktionslöchung, ist die Definitionsmenge. Schauen wir uns nun die Definition für Wertemenge bzw. Wertebereich an. Du setzt die Definitionsmenge in die Funktionsgleichung ein und guckst nach, welche Menge von Zahlen dann herauskommt.
Die Menge, die dann herauskommt. Diese Menge nennt man Wertemenge oder auch Wertebereich. Es ist also die Menge aller Funktionswerte, also aller y-Werte. Dies ist nicht die genaue Definition. Ich habe es jetzt einfach mal ein bisschen schülergerechter formuliert.
Schauen wir uns nun die Lösung der Aufgabe an. Es geht erst einmal um die Funktionsgleichung f von x gleich 2x plus 3. Ja, was kann ich denn alles für das x einsetzen? Wir halten uns ja, wie ich in dem Video 1. von Grundlagen erklärt habe im Zahlenbereich der reellen Zahlen auf. Ja, und für das x kann jede reelle Zahl einsetzen. Ich kann hier 2 einsetzen und einen Wert ausrechnen.
Ich kann hier 3 einsetzen. Ich kann hier Brüche einsetzen, ich kann hier Pi einsetzen, dann käme nämlich 2 Pi plus 3 raus. Das ist ein ungefährer Wert, den müsste man in den Taschenrechner eingeben. Ich kann hier eine Wurzel von 2 eingeben, ich kann die Eulische Zahl eingeben. Ich kann hier alles einsetzen, jede beliebige reelle Zahl und kann einen zugehörigen y-Wert berechnen.
Ja, und damit ist die Definitionsmenge alle reellen Zahlen. Ja, aber was ist denn nun mit der Wertemenge? Um das besser sehen zu können, habe ich jetzt hier mal den Graphen der Funktion gezeichnet. So, wenn ich jetzt alle x-Werte dort einsetze in die Funktion, auch zum Beispiel diesen hier, dann erhalte ich einen zugehörigen y-Wert.
Ja, und umso weiter ich ins Positive gehe, umso größer wird mein y-Wert. Gehe ich ins Negative, zum Beispiel minus 2, dann bekomme ich auch den zugehörigen y-Wert. Und da der Graph immer weiter verläuft, er kommt ja hier aus dem negativen y-Bereich und geht dann hoch ins positive y-Bereich, deswegen kann ich sagen, Wenn ich alle x-Werte einsetze, wird entsprechend jeder y-Wert herauskommen.
Und damit ist der Wertebereich also auch alle reellen Zahlen. Hier jetzt nochmal die Lösung. Der Definitionsbereich.
Von F ist alle reellen Zahlen, weil ich alle reellen Zahlen hier einsetzen kann. Und wenn ich dann gucke, was hinten rauskommt, die Menge dieser Zahlen sind wieder alle reellen Zahlen. uns die nächste Funktion an, die hieß g von x gleich 3. Ja, der Definitionsbereich war ja die Zahlenmenge, bzw.
die Definitionsmenge, die ich in das x einsetzen kann. Ich kann hier jede Zahl einsetzen. Egal, welche Zahl ich hier einsetze, es kommt immer 3 raus. Aber ich kann hier jede Zahl einsetzen. g von Pi ist 3, g von 1 ist 3, g von minus 3 ist 3, g von ein Fünftel ist 3, g von minus 1000 ist 3, g von die Wurzel aus 2 ist 3, g von minus Pi ist gleich 3 und und und.
Das heißt, der Definitionsbereich, bzw. die Definitionsmenge, lauten alle reellen Zahlen. Wenn ich jetzt wissen möchte, wie lautet die Wertemenge, bedeutet das ja, ich muss gucken, Was für eine Zahlenmenge kommt raus, wenn ich hier die Definitionsmenge einsetze?
Egal was ich hier einsetze, es kommt immer die 3 heraus. Das heißt, die Wertemenge hat nur ein Element, und zwar die Zahl 3. So, wenn wir uns das am Graphen ansehen, das ist eine Parallele zur x-Achse. Die Funktion nennt man konstante Funktion, das greife ich jetzt mal voraus schon. Und egal welchen Wert ich einsetze, jedes Mal kommt die 3 raus. Das heißt, die Definitionsmenge von g ist alle reellen Zahlen und die Wertemenge von g ist die Zahl 3. Schauen wir uns die nächste Funktion an, h von x gleich x².
Ja, man kann sich schon, glaube ich, schnell... erklären. Auch hier kann ich für das x jede Zahl einsetzen. Und zwar hier kann ich eine 1 einsetzen, dann steht da eine 1, also 1 Quadrat ergibt 1. Hier kann ich eine 2 einsetzen, 2, ist 4. Ich kann hier Pi einsetzen, dann ergibt das Pi² gleich etwas mehr als 9, noch etwas.
Ich kann hier beispielsweise die Euler'sche Zahl einsetzen, das wäre E² gleich 2,71 sowieso zum Quadrat. Ich kann hier jede beliebige Zahl einsetzen. Ich kann hier 0 einsetzen, das wäre ist 0. Ich kann negative Zahlen einsetzen, zum Beispiel minus 3, dann ergibt das minus 3 in Klammern zum Quadrat.
Er gibt plus 9. Ich kann Brüche einsetzen. Das heißt, die Definitionsmenge ist alle reelle Zahlen. Schauen wir uns mal den Graphen an. Der Graph sieht folgendermaßen aus. Für ganz große negative x-Werte kommt der Graph von hier oben.
Umso kleiner diese negative x-Werte wären, das heißt minus 1 zum Beispiel, strebt er immer mehr hier gegen die 0. Das heißt, für x gleich 0 kriegt man 0 raus. Das heißt, der Graph berührt den Ursprung. Werden jetzt die x-Werte, die positiven x-Werte immer größer, so strebt der Graph wieder Richtung Plus unendlich. Das heißt, der kleinste y-Wert, den der Graph annehmen kann, ist die y-Koordinate vom Ursprung, nämlich 0. Und er strebt er gegen Plus unendlich, des Weiteren nimmt er jeden positiven y-Wert an.
Der Vergraph verläuft aber nicht unterhalb der x-Achse. Deswegen können wir also sagen, Die Wertemenge von h ist alle reellen Zahlen, die positiv sind, mit der 0. Wiederholen nochmal, die Definitionsmenge von h ist also alle reellen Zahlen und die Wertmenge von h ist alle reellen Zahlen, die positiv sind mit der 0. Schauen wir uns nun die letzte Funktion an. i von x ist gleich 1 durch x. Ja, welche Zahlen kann ich für x einsetzen?
Da das x unterm Bruchstrich ist, man nennt das ja auch Nenner, steht hier 1 geteilt durch diese Zahl. Aber ich kann nicht durch 0 dividieren bzw. teilen. Und deswegen muss ich die 0 ausschließen. Wenn ihr es mir nicht glaubt, dann tippt doch meinen Taschenrechner 1 geteilt durch 0. Bei älteren Taschenrechnern steht da ein großes E für Error.
Und bei entsprechenden aktuelleren guten wissenschaftlichen Taschenregelungen steht da mathematischer Fehler, weil es nicht möglich ist, durch 0 zu dividieren. Damit weiß ich also jetzt schon mal, das sind alle reellen Zahlen ohne die 0. Weil ich kann ja zum Beispiel hier den 3 einsetzen, dann wäre es ein Drittel. Ich kann minus 3 einsetzen, dann wäre es minus ein Drittel. Ich kann hier Pi einsetzen, dann wäre es ein Pietel. Ich kann minus Pi einsetzen, dann wäre es minus ein Pietel.
Das geht alles. Schauen wir uns mal den Graphen an. Hier haben wir ihn.
Das heißt, für ganz große negative Werte kommt er hier und dann, wenn er sich der Null nähert, die Null muss man hier rausnehmen, geht er ins Negative. Für entsprechende positive Werte, die fast Null sind, aber nicht Null sind, kommt davon hier oben und strebt dann immer weiter hier gegen die x-Achse. Man nennt diese x-Achse deswegen auch Nährungsgrade oder auch waagerechte Asymptote.
Da er sich hier der y-Achse nähert, nennt man sie auch Nährungsgrade. Näherungsgrade, und zwar senkrechte Näherungsgrade, also senkrechte Asymptote. Weil der x-Wert 0 nie erreicht wird, gilt, dass die Definitionsmenge der Funktion i allgemein alle reellen Zahlen ohne 0 sind. Dieser Schrägstrich von links oben nach rechts unten heißt ohne.
Der Wertebereich, beziehungsweise die Wertemenge von i, ist gleich auch alle reellen Zahlen ohne die 0, weil der y-Wert 0 nie erreicht wird. So ihr Lieben, das war's für heute. Ich hoffe, es hat euch gefallen.
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Tschüss.