Noter fra forelæsning om tangentplan til en funktion af to variable

Introduktion

• Målet er at bevise sætningen om bestemmelse af ligningen for en tangentplan til en funktion af to variable.
• Funktion af to variable noteres som ( f(x, y) ).
• Punkt ( P ) med kendte koordinater ( (x_0, y_0, z_0) ), hvor ( z_0 = f(x_0, y_0) ).

Bestemmelse af tangentplan

• Ligning for tangentplanen ( T ) i punktet ( P ) er givet ved: [ T(x, y) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot (x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot (y - y_0) ]

Grafisk fremstilling

• 3D koordinatsystem: Z-akse, X-akse, Y-akse.
• Punkt ( P ) er ( (x_0, y_0, z_0) ).
• Plan repræsenteres som et udsnit parallelt med xy-planen.
• Variabelt punkt på planen: ( (x, y, z) ).

Udledning af ligning

• For at udtrykke ( z ), bevæger vi os fra punkt ( P ) langs x- og y-aksen.
• Ændring i ( z ) opdeles i to dele: ( \Delta z_1 ) og ( \Delta z_2 ).
• ( \Delta z_1 ) udtrykkes ved hældning i x-retningen ( \frac{\partial f}{\partial x} \cdot (x - x_0) ).
• ( \Delta z_2 ) udtrykkes ved hældning i y-retningen ( \frac{\partial f}{\partial y} \cdot (y - y_0) ).

Sammenfatning af bevis

• Z-værdi udtrykkes som sum af ( z_0 ), ( \Delta z_1 ) og ( \Delta z_2 ).
• Ligning beviser, at: [ z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot (x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot (y - y_0) ]

Alternativ illustration med niveaukurver

• Bruger niveaukurver til at illustrere hældning i 2D.
• X-akse og Y-akse bruges til at repræsentere bevægelser og ændringer.
• Bevægelse i x- og y-retning illustreres ved ( x - x_0 ) og ( y - y_0 ).

Afslutning

• Beviset er færdigt.
• Tilføjet illustration med niveaukurver for alternative forståelse.

Tak for opmærksomheden.