God aksje! Jeg vil i den her video bevise den sætning, som siger, hvordan man kan bestemme ligningen for en tangentplane til en funktion af to variable. Godt. Så den sætning siger sådan her. Hvis man har en funktion af to variable, den kan vi lige kalde for f af x,y, og man har et punkt, det kan vi kalde for p her, Og der er selvfølgelig koordinaterne kendt.
x0, y0 Og så z-koordinaten. Det hedder jo selvfølgelig f af x0, y0. Godt. Så kan vi bestemme en ligning fra tangentplanen til grafen for den funktion her i punktet p, ved hjælp af følgende form. Jeg bruger symbolet t for tangentplan.
Først og fremmest skal vi tage vores funktionsværdi i x0,y0 og så skal vi lægge en titel... Så skal vi lægge det sammen med den partielt afledte af f med hensyn til x i punktet her, og så gange med x0 minus x, og så skal vi lægge det sammen med den partielt afledte af f. af f med hensyn til y i x0,y0, og så gange med y minus y0. Godt nok.
Så det er altså den her ligning her, som du får ramme, som vi... Jeg skal få vist. Jeg tegner et koordinatsystem her. Sådan en 3D-missionørt sag her.
Der. Og der. Og der.
Der. Så heroppe af har vi selvfølgelig Z-aksen, og så må den her være X-aksen, og den her er et Y-aksen. Yes. Ja. Og så kommer det svære her, og det er...
Det er at prøve at finde ud af, hvordan man tegner en plan ind på. Det er jo noget 3-dimensionelt, som er sket på noget 2-dimensionelt. Så det er jo ikke sådan det nemmeste.
Men vi har i hvert fald punkt. Det er p. x0, y0. Og jeg kalder den lige for z0, den sidste der.
Den ligger der. Og så har vi en plan, og den går på en eller anden måde i stil med det her. Nu laver jeg bare et udslit af den her. Øh...
Sådan der. Det er jo et udsnit af planen, kan man sige. Ja...
Godt. Så kigger vi på et vilkårligt punkt på den plan her. Det ser vi, det ligger der.
x,y,z Yes. Altså, for at kunne udtrykke planen ved en ligning, så skal vi på en eller anden måde kunne udtrykke den der z-værdi. fordi det er funktionsværdien, som funktion af x og y, og selvfølgelig de her kendte størrelser hernede.
Så lad os prøve at se, hvordan vi kan bevæge os herfra. vores faste punkt P og op til det her variable punkt, som ligger deroppe. Det kan vi gøre f.eks. ved at starte med at gå lidt i x-aksens retning, og så gå i y-aksens retning bagefter.
Lad os lige prøve det. Hvis vi nu først går lidt i x-aksens retning. Der. Godt, så kommer vi selvfølgelig også lidt op i z-aksen her. Og så bagefter går vi lidt i y-aksens retning.
Der. Og så skal vi også ned op ad z-aksen. Sådan der. Hvis vi går derfra dertil, derfra dertil, så er vi da lige så godt oppe. Øhm, godt.
Så der er altså oversiden for den her z-værdi hernede. Der er, for at komme op til den z-værdi der, så ændrer den sig to steder. Den ændrer sig her, kan man sige.
Så det er det stykke her, det kan vi lige kalde for delta z. 1 kalder jeg det. Og så skal vi det her stykke op. Det er sådan den anden z-indring.
Den er ikke blevet så god. Sådan der. Den kalder jeg for delta z2.
Så vores z-værdi her, som vi jo på en måde skal udtrykke en ligning for, den kan vi altid finde, hvis vi tager vores z0 hernede. Og så lægger vi den sammen med den første sætændring. Delta z1 og så plus en anden z-ændring.
Delta z2. Så nu har vi jo allerede en form for ligning der, men vi kan bare ikke altid bruge den til noget, for hvad er det der delta z for noget? Så lad os se lidt nærmere på det. Vores delta z1 her. Den kan vi få, hvis vi nu kender...
Vi kan se, at vi har en trekant her. Hvis vi kender... Den her linje ligger parallelt med xy-planen, og den står parallelt med z-aksen.
Så vi har sådan set en trekant der, og vi har også en retvinget trekant her. Så vi kan bestemme den her, hvis vi kender hældningen af linjen her, og hvis vi kender længden af den der. Og eftersom vi bevæger os i x-aksens retning, så kender vi jo hældningen af linjen der, fordi den svarer til hældningen af grafen i det punkt i x-aksens retning.
Så den hældning er lidt en partielt afdeling med hensyn til x i punktet. Så det vil sige, at det er et afdækning af hensyn til x, og så er det et punkt. Og så ganger vi det stykke her, og den her hedder x0, og den her, det svarer jo til den her x-værdi deroppe, så det vil sige, at det stykke der hedder bare x minus x0. Sådan.
Godt. Hvordan kan vi så udtrykke den her delta z2? Ja.
Men der har vi jo igen en trekant her, og hvis vi kender hældningen af den linje, altså den der er parallelt med xy-planen igen, og den der står venret på, så hvis vi kender hældningen af den linje her, og længden af den, så kan vi finde... den her kathedre her ved at sige hældningen gange længden i y-aksentrækningen. Så hældningen, eftersom vi jo netop bevæger os i y-aksentrækningen, så svarer hældningen af den der, den svarer til den partielt afledte med hensyn til y i punktet.
Godt. Og måske skulle jeg lige uddybe det lidt, fordi vi har jo det punkt hernede, det er jo det punkt, som tangentplanen og grafen har tilfældet. Så nu har jeg bare ikke tegnet et graf, for jeg vil jo aldrig få bøvlet på tegningen herinde. Og eftersom...
Så det er som sådan en plan her. I hvert punkt på den plan, der vil hældningen, når vi går i y-aksens retning, det vil være den samme. Og hældningen, når vi går i x-aksens retning, vil være den samme. Og det svarer netop til hældningen af grafen.
i det punkt. Godt. Nå jo, så vi havde hældningen i den retning der, det var en paratel aflemme hensyn til y, og så skal vi lige have bevægelsen hernede i xy-planen, og den er y minus y0.
Sådan der. Så kan vi begynde at sætte ind her, fordi vores z, det er også den, jeg bare kaldte t af x og y. Der kunne lige så godt have stået z, men nu bruger jeg t for tangentplanen, og for at indikere, at tangentplanen selvfølgelig også er en funktion. Godt, så i stedet for z, så skal jeg ikke komme i.
Og så har vi heroppe vores x0. Jamen, x0 er jo den dernede, som svarer til, altså det vil sige den tæt, som svarer til punktet x0,y0, som jo ligger på grafen her. Så det vil sige, at i stedet for at sætte 0, så kan vi skrive... f .
Sådan der. Og i stedet for delta z1, så havde vi altså det udtryk her. Sådan der.
Og så skal vi have et plus, og i stedet for deltilsæt 2, så har vi det her utryk her. y minus y0. Yes.
Så er beviset færdigt, fordi det her er fuldstændig magen til det, som står deroppe. Sådan en tegning her, den kan jo være lidt bøvlet at tegne om, og den skal også lidt... ...lidt bøvlet at aflæse.
Så jeg vil lige prøve at lave illustrationen, hvor vi ser det ved hjælp af niveaukurver. Beviset er for så vidt færdigt, det er bare for at illustrere, at man kan lave en anden tegning i stedet for den der. Så hvis vi nu ser det ved hjælp af niveaukurver, så har vi på en eller anden måde reduceret koordinatsystemet til 2D.
Så har vi... Y oppe af der og x oppe af der. Og så er det her jo tænkt som en melikorlig tangentplan.
Den er selvfølgelig vist tegnet sådan, at den vokser den vej der. Så det er stadigvæk en melikorlig tangentplan. Ingen mere tegner den bare lige, som den vokser den vej her.
Godt nok. Og så havde vi vores punkt hernede. P. x0,y0,z0 Godt nok. Og der skal selvfølgelig være lige lang mellem niveaukurvene her.
Fordi et heldning er den samme overalt på planen. Der, og så er der et eller andet løbepunkt her. Så handler det igen om at komme fra det punkt der til at se, hvad sker der med z-værdien, om vi bevæger os i x-aksens retning her. Så det punkt her, det stykke her, det må nødvendigvis hedde x minus x0.
Og så bevæger vi os i y-aksens retning. Godt. Den her hedder y, og den her hedder y0, som vedstykke hedder y minus y0. Det illustrerer, at om vi går den lige vej, eller på den vej, eller den vej, det giver det samme. Sådan er bevægelsen.
Så det vil sige, at vi kan køre samme argument herfra, med den illustration, hvis man ellers synes, at den er bedre. Yes, det var det. Tak for at I kiggede.