Trigonometriska ettan är den mest använda formeln om man spås uppgifter i trigonometri tror jag. En jätteviktig formel för att omvandla mellan sinus och cosinus. Ofta om man har ekvationer och uttryck som ska förenklas och sådana grejer så måste vi kunna till exempel om det står ett uttryck med sinus så måste vi kanske göra om det till cosinus. Och står det ett uttryck med cosinus kanske vi ska göra om det till sinus.
Då står det ett uttryck med båda delarna. Kanske man vill göra om det till en sak av dem här. Och då säger den här formen att om man tar cosinus för en vinkel. Vi kan ta v och i kvadrat. Nu skriver jag så här först.
Och sen plus sinus för en vinkel i kvadrat. Så blir det lika med ett. Och det här skrivsättet brukar vi inte använda.
För i matte 4 så är det lite jobbigt tycker vi att skriva de här parenteserna. Så istället för att skriva parentes och upphöjt med två brukar man skriva så här. cos kvadrat v plus sin kvadrat v och lika med. Det betyder alltså precis samma sak. När ni ser cos och sen en tvåa och sen någonting så betyder det alltså hela cos-värdet i kvadrat.
Det är ett kortare skrivsätt. Så det här är den trigonometriska ettan som gör att vi kan omvandla hur vi vill från cosinus till sinus och tvärtom. Vet man cosinus för någonting så kan man räkna ut sinus. Då är det bara att stoppa in cosinus här och så lösa ut sinus och så räkna ut.
Och den här bygger på enhetscirkeln som allt annat. Man kan här redan på flera sätt. Ett sätt är med cirkelsekvation. Kommer ni ihåg cirkelsekvation från matte 3c? Hur var den?
Cirkelsekvation. Den var så här att om man tog från en viss punkt på cirkeln, man kallar en punkt för xy. Så tog man avståndet från x.
Till en annan punkt. Nu kommer vi välja 0,0 här. Men i cirkelsekvation så väljer man punkter a,b. Så avståndet där tog man i kvadrat.
Och plus samma sak här, y-b i kvadrat. Så ska det vara lika med radien på cirkeln i kvadrat. Jag ska inte härleda formen just nu för det är matte 3c. Men så var cirkelsekvation. Jag tror ni känner igen den.
Den är typ samma som den, bara det att i vårt fall så väljer vi en punkt på enhetscirkeln. Eller alla punkter på enhetscirkeln. Och så väljer vi 0,0 här. Enhetscirkeln ligger ju i origo. Eller hur?
Och stoppar vi in en nolla där och en nolla där. Vi provar vad som händer nu. Vi ska välja 0,0.
Nolla på den. Nolla på den medelpunkten. Och x.
på enhetscirkeln betyder alltid tangens. Vad betyder x? Cos. Cosinus för en vinkel. Och y betyder alltid sinus för en vinkel.
Och radien på enhetscirkeln är alltid 1. Själva radien, avståndet från härifrån och ut till randen. Så stoppar man in enhetscirkeln i cirkelsekvation Stoppar in cosinus och sinus så får man då att det här leder till den där fina cosinus för vinkeln i kvadrat. Som vi sa, plus sinus för vinkeln i kvadrat är lika med ett i kvadrat.
Så kan man enhet cirkel så är det. Och enhet cirkeln det var ju egentligen bara Pythagoras sats. Tar vi en punkt här. och tänker oss vad det betyder.
Vi litar någon typ av triangel så här. Så cos kvadrat v betyder egentligen att cosinus, avståndet här emellan i kvadrat, det är på tagare sats. Plus, alltså den sidan i kvadrat plus den sidan i kvadrat ska vara lika med 1. Lika med hypotenusen i kvadrat.
Det är på tagare sats som alltihopa bygger på. Hej, mamma. Då ska vi ta en svårare uppgift imorgon, men på sidan 17. Kan inte ni välja en uppgift som ni vill att jag ska ge mig? Prova. Om ni väljer en så ska vi bara se om jag lyckas med den.
Sida 17. Någon som ser bra ut som vi tar som exempel. 21D. Så, och det här är en typisk sån här uppgift där den trigonometriska ettan, alltså den här fina formen, kommer behöva användas.
Ja, nej, cosinus inte kvadrerat. Så, är det rätt? 21d. Ja, så det här är en typisk sån uppgift där vi ska förenkla någonting.
Och så har vi en blandning mellan sinus och cosinus. Och ska vi förenkla någonting då vill vi inte ha båda och då vill vi välja. Antingen skriver vi allting med sinus eller med cosinus. Och förhoppningsvis kanske det går att förkorta bort någonting så att det blir lättare. Är ni med mig på tanken?
Hur? Sin kvadrat x har vi här. Din finns med i formen.
Det är bra. Förhoppningsvis kanske vi kommer kunna använda det här. Och få så att det blir en etta någonstans. Här har vi två stycken olika termer. Det känns ju jobbigt.
När jag ser att jag har ett uttryck med två olika termer. Så känner jag att det vore skönt att få det så att det blir på gemensamt bråksträck. Det brukar vara en nyckel när jag ser en sån här uppgift.
Så jag nämner den här biten. Jag tänker att jag lägger och förlänger den här. Så att jag får samma nämnare.
Och ska jag ha nämnaren 1 plus osx, vad måste jag förlänga ettan med? Det måste vara samma sak. Så.
Nu vet inte jag om det här är rätt spår. För jag har inte löst den här förut men jag skulle tro att det är en bra strategi. Så vi gör om ettan till det där. Och sen sätter vi på gemensamt bråksträck.
Det brukar vara smart. Det är en bra tanke liksom. Så har vi två olika termer.
Sätt dem på gemensamt bråksträck. Oftast en bra strategi. Så 1 plus cosx minus sin2x. Kanske inte det här är bästa.
Vi får se här. Vad ska vi göra? Den här kan man ju använda åt båda hållen.
Man kan använda den för att göra om ettor till det här. Eller så kan man använda det för att göra om sådana här saker till ettor. Hela sådana uttryck till ettor. Eller kanske bara den till ett minus en sån här grej.
Ännu mer lite beroende på hur man använder formen. Så vi skulle kunna använda formen för att göra om sin kvadrat. Till exempel här.
Sin kvadrat har vi där till ett minus cos kvadrat. Det är ett sätt att använda formen. Eller så använder vi formen för att göra om den ett.
Den till det här. Kanske funkar båda lika bra. Jag är sugen på att göra om ettan till den här. Vi provar. Vad gör du?
In kvadrat x plus cos kvadrat x. Nu ska jag vara i fel ordning. Hoppas att det är lugnt.
In kvadrat x delat på ett plus cos x. Hittar man fel alternativ som kanske går så prova något. Går det inte så provar jag något annat. Ho ho!
Sin kvadrat x minus sin kvadrat x funkar bra. Jag har glömt ett cos x. Ja, för det ska ju inte finnas. Ja, plus cos x då.
Så stod det. Och den där är... Den där blev alltså till den här biten. Stryker sin kvadrat x. Vi stryker sin kvadrat x. Och nu ser vi att vi är på god väg.
Cos kvadrat x plus cos x. 1 plus cos x. Om vi har ett rationellt uttryck, eller ett uttryck med bråksträck, så är det smart att försöka faktorisera så att täljaren innehåller den biten som en faktor.
För då kan vi stryka. Så fort vi har ett bråksträck, försöka få så att täljaren innehåller den faktorn. Faktorisera.
Ja, bryta ut cosinus x. För den finns ju där och där. Så vi får prova.
cos x är en tes. Och så ska vi se vad som blir kvar. cos x gånger någonting ska bli det där.
Det borde vara cos x. cos x gånger någonting ska bli cos x. Det borde vara en etta. Och nu ser vi att vi råkade få samma faktor.
Och så får vi cos x. Och det hade säkert gått alldeles utmärkt att istället för att göra om ettan till den här. Hade det säkert blivit likadant och lika lätt om man hade gjort om sin kvadrat x. Och löst ut den från den här och skrivit 1 minus cos kvadrat x. Det hade säkert funkat lika bra att stoppat in den biten så istället.
Så att man ofta kan välja liksom. Är ni med mig på tanken? Ja, det kommer vi ihåg till imorgon!