Overview
आज के लेक्चर में Mathematical Tool के अंतर्गत Differentiation की बेसिक समझ, जरूरी फॉर्मूले, एल्गेब्रा, UV एवं U/V Method, Chain Rule और Maxima-Minima की बेसिक थियोरी पढ़ाई गई।
Slope (ढाल) और Differentiation का परिचय
- ग्राफ की स्लोप पॉइंट पर टेंजन्ट के एंगल (theta) का tan होता है।
- स्ट्रेट लाइन में स्लोप constant होती है, कर्व में बदलती रहती है।
- स्लोप का फॉर्मूला: (y2-y1)/(x2-x1)।
- पॉइंट्स बहुत पास लाने पर स्लोप dy/dx = लिमिटिंग फॉर्म बन जाता है।
- dy/dx किसी पॉइंट पर ग्राफ की स्लोप है।
- dy/dx का अर्थ है x के respect में y का rate of change।
Differentiation के जरूरी फॉर्मूले
- y = constant ⇒ dy/dx = 0
- y = x^n ⇒ dy/dx = n x^(n-1)
- y = e^x ⇒ dy/dx = e^x
- y = log x ⇒ dy/dx = 1/x
- y = a^x ⇒ dy/dx = a^x log a
- y = sin x ⇒ dy/dx = cos x
- y = cos x ⇒ dy/dx = -sin x
- y = tan x ⇒ dy/dx = sec²x
- y = sec x ⇒ dy/dx = sec x tan x
- y = cosec x ⇒ dy/dx = -cosec x cot x
- y = cot x ⇒ dy/dx = -cosec²x
एल्जेब्रा ऑफ डिफरेंशिएशन
- जोड़/घटाव: दोनों टर्म्स को अलग-अलग डिफरेंशिएट करो।
- गुणा (UV Method): dy/dx = u dv/dx + v du/dx
- भाग (U/V Method): dy/dx = [v du/dx - u dv/dx]/v²
Chain Rule (श्रृंखला नियम)
- y = f(g(x)) का differentiation: पहले outer function का derivative, फिर inner का derivative multiply करो।
- उदाहरण: y = sin(x²) ⇒ dy/dx = cos(x²) × 2x
Maxima-Minima
- जहाँ dy/dx = 0, वहाँ y maximum या minimum हो सकता है।
- d²y/dx² > 0 : y minimum, d²y/dx² < 0 : y maximum
Key Terms & Definitions
- Slope (ढाल) — ग्राफ की किसी पॉइंट पर टेंजन्ट का tan theta
- Differentiation — किसी function की rate of change निकालना
- UV Method — दो function के गुणा का डिफरेंशिएशन
- U/V Method — भाग देने पर डिफरेंशिएशन का नियम
- Chain Rule — समाहित (composite) function का डिफरेंशिएशन
- Maxima/Minima — किसी function की सबसे बड़ी या सबसे छोटी value
Action Items / Next Steps
- दिए गए differentiation के फॉर्मूलों को याद करें।
- uv और u/v method के questions खुद से solve करें।
- Chain rule के प्रैक्टिस questions लिखें।
- Maxima-minima के concept पर 2-3 सवाल अभ्यास करें।
- अगले लेक्चर में integration और kinematics पढ़ने हेतु तैयार रहें।