डिफरेंशिएशन का परिचय

हेलो बच्चों, आज का हमारा जो अगला टॉपिक है, वो है Mathematical Tool, और उसके अंदर पढ़ेंगे हम Differentiation, और कई दिन से बच्चे हमसे बोल लें कि Canamatics पे Motion in One Dimension पे वीडियो बनाओ, Differentiation, Integration पे वीडियो बनाओ, तो हम लेके आ गए, जो बच्चे Canamatics या Motion in 1D के और kinematics motion in 1D दोनों simultaneously साथ चलेंगे इनका इस्तिमाल वहाँ पे करना है इसलिए आज हम बड़ा ही important topic start कर रहे हैं जो कि है differentiation तो बिना फाल्तो की बात कि आज start करते हैं अपना topic differentiation तो बच्चों differentiation के लिए कि आप बहुत बह� तो बच्चों differentiation में आपको school में आगर differentiation पढ़ाये गया है या आपने कहीं पढ़ा है तो आप बड़े confused होंगे कि क्या चीज है differentiation कैसे होता है तो या differentiation में तुमको ऐसे समझाता हूँ कि differentiation को तुम अभी समझो पहले की slope क्या होती है बच्चों तो जैसे मान लो मैं यह ग्राफ बना दूं यहाँ पे ले लिया y यहाँ पे ले लिया x और मैंने एक line खीच दी मैं पूछूं इस line की slope क्या है तो यह जो angle होता है बच्चो theta इसका जो tan theta होता है उसको हम बोलते है slope कोई भी line positive x axis से जो angle बनाती है उस angle का tan theta को हम बोलते है slope ठीक है तो यह इसका हो गया slope जैसे मानों के देखो अगर हम यहाँ पे भी angle बनाएं तो यहाँ पे भी theta आएगा और यहाँ पे भी angle बनाएं तो भी theta आएगा मालो मैंने एक ग्राफ बनाया Y वर्सेज X का कुछ ऐसा अब मैं पूछूं इस ग्राफ की स्लोप क्या है तो यार इस ग्राफ की स्लोप अगर यहाँ पे देखनी है तो इस पॉइंट पे एक टेंजेंट बनाओ ये एंगल देखो कितना है थीटा अब यह angle देखो इससे ज़ादा तो यह theta 1 तो यह theta 2 मैंने कहा यहाँ पे slope बताओ तो यहाँ पे tangent बनाया है angle और ज़ादा हो गया theta 3 वो स्लोप constant है जो angle है वो change नहीं हो रहा उसको आप देखो तो वो variable है ठीक है, वो change हो रही है, differentiation, integration, math का topic है, तो जब आप math के teacher से पढ़ोगे, तो वो बहुत detail में बताएगा, मैं सिर्फ उसकी वो बातें बताऊंगा बच्चो, जो important है, जो हम गम time में cover कर सके हो, जो हमारे physics के syllabus में आती हैं, तो इस आली ग्राफ में देखो जो एंगिल है जो थीटा है वो लगातार चेंज हो रहा है तो आप देखो लगातार एंगल बढ़ता जा रहा है टेंजेंट सबको पता होगा एक लाइन जो टच करती हुई जाए कट करती हुई जाए होना चाहिए पर टच करती हुई जाए हम बोलते हैं यहां पर और ये x, मैंने कहा इस ग्राफ की स्लोप बताईए, तो आप कुछ नहीं करोगे, यहाँ पे एक लाइन कीच लो, बोलो ये एंगल थीटा है, अब आपको क्या निकालना है, स्लोप, तो स्लोप का फॉर्मला बच्चो क्या है, tan थीटा, तो आपको tan थीट यहाँ पे x को बोला x2, y को बोला y2 और मैंने यहाँ से एक perpendicular किरा के इस तरह से एक triangle complete कर लिया बहुत बढ़िया, मेरे पास triangle बन चुका है बहुत बढ़िया, बहुत अच्छे triangle बन चुका है अब बच्चों इस ट्रैंगल को मैं बाहर निकाल लेता हूँ ये एंगल कितना है थीटा अब बच्चों मुझे ये बताओ कि ये लेंथ कितनी होगी इस पॉइंट का कॉर्डिनेट कितना है वाई वन तो ये होगी वाई वन औ यह वाइट वा अब आपसे मैं कुछ टैन थीटा क्या होगा तो perpendicular upon base मतलब y2-y1 upon x2-x1 यह आपने class 9, 10 में कहीं न कह y2-y1 upon x2-x1 यह आपको slope का formula पढ़ाया जाता था किस तरह से आया मैंने आपको समझाया slope tan theta होता है दो points लिए x1y1 x2y2 फिर मैंने कहा यह length कितनी है y1 यह length y2 यहाँ तक कितना है x1 यहाँ तक कितना है x2 तो यह लेंग x2-x1 यह y2-y1 tan theta perpendicular upon base तो y2-y1 upon x2-x1 कि आप यहाँ पे भी थीटा निकालते तो सेम निकालता है, यहाँ पे भी सेम, क्योंकि straight line है तो angle change नहीं हो रहा, मतलब इस graph की फायदर क्या था, कि यहाँ की slope क्या थी, constant थी, तो हम किसी भी point पे अगर slope जानना चाहे अब बच्चों इस ग्राफ में हमने कहा आप स्लोप बताईए तो आपने यहाँ पे टेंजन बनाया और ये बनाया एंगल थीटा फिर आपने यहाँ पे टेंजन बनाया और ये बनाया एंगल थीटा और दोनों ही angle देखो change हो गए ��ानि इस graph में दिक्कत क्या है इस graph की slope कैसी है variable है मतलब इस graph में जब तुम्हे slope निकालनी होगी मतलब यहाँ पे slope आप निकाल सकते हो at a point मैं बोलूं यहां की स्लोप, हर पॉइंट की स्लोप क्या होगी? अलग-अलग, पिछली बार हर पॉइंट की स्लोप क्या थी? यह बना थोड़ा और curve ले लेते हैं यह बना हमने यहाँ पर यह बनाया एंग्ल थीटा वन तो यहां तक गया एंग्ल चेंज लगातार एंग्ल चेंज हो रहा है तो हमने कहा तो हमने एक point यहाँ पर ले लिया first इसका coordinate हो जाएगा x1,y1 इसका coordinate हो गया x2,y2 ठीक है यह x1 दूर है x2 दूर है ठीक है फिर हमने कहा एक triangle बनाते हैं यह ठीक है हमने triangle बनाया है इस angle को बोला theta अब problem क्या है कि यह line tangent बनेगी ही नहीं ध्यान देखो इसको काटती भी चले जाएगी, प्रॉब्लम तो यह हो गए, कि आपने वो triangle तो complete कर लिया, आपने इसको बोल दिया यह कितना आ जाएगा, y2-y1, इसको भी बोल दिया x2-x1, प्रॉब्लम यह है कि यह जो line बनाओगे यह क यह वन पॉइंट को यहां से हटा कर तो कि एकदम बगल में ले आओ यह वन यह टू अब देखो जो टेंजन बनाओगे वह काम कर जाएगा अगर मैं यहाँ 2 को ले आता है यह 2, यह 1 अब देखो जो tangent बनाओगे वो काम कर जाएगा बहुत close, मतलब यह 1, यह 2 यह 1, यह 2, यह 1, यह 2 तो ये point 1 और ये point 2 इतनी close ले आओ दो point को कि जो tangent बने वो दोनों को touch करता हुआ जाए और cross करता हुआ ना जाए अच्छा इस case में ये length कितनी होगी y2-y1 और ये कितनी होगी x2-x1 और ये angle theta पर अब बात ये है कि 1 और 2 इतने समीप आ गए हैं इतने close आ गए हैं तो इतने close आ गए हैं 1 और 2 कि y2 minus y1 करीब कितना हो जाएगा 0 क्योंकि 1 और 2 इकदमी close हो गए जो x1 की value हो गई x2 इस तरह से x2 minus x1 भी करीब कितना होगा 0 तो ये करीब 0 होंगे exactly 0 नहीं होंगे ऐसी physics में quantity जो करीब 0 हो बहुत चोटी हो x2 minus x1 which tends to 0 ऐसी quantity को physics में हम बोलते हैं dx छोटा सा distance यानि इसको x2-x1 की जगा हम बोल देंगे dx इसी तरह से y2-y1 को हम बोल देंगे dy अब यहाँ से देखो tan theta या slope की value कितनी हो जाएगी slope या tan theta की value कितनी हो जाएगी, perpendicular upon base मतलब dy बटे d theta, perpendicular by base मतलब dy बटे d theta, तो ये जरवत थी differentiation की, ऐसा graph जिसकी slope change हो रही हो, उसकी slope किसी point पे अगर निकालनी है, किसी, किसी point पे अगर निकालनी है, तो उसका formula बनेगा dy by, so sorry, dy by dx, perpendicular upon base जैसे मैं बोलता कि अगर आप slope यहां से लेके यहां तक बताओ तो possibility नहीं था 1 और 2 को लेके, क्योंकि आप यह जो line बता रहे हो यह तो touch करते ही भी नहीं जा रही है, अब आप यहां से कैसे triangle बनाओगे, यह line तो ऐसे चोटी सी साइड बनेगी, ये चोटी सी साइड, बहुत चोटी सी साइड, इस साइड को हम बोलते हैं DX, इसलिए ये चोटी सी लेंग को ह बहुत है पर अभी भी एक पॉइंट नहीं है इतने क्लोस ले आओ कि जो पेंजेंट बने वह दोनों के लिए कॉमन हो तो ऐसे ग्राफ की स्लोक होती है डिवाइब एडिएस तो डिवाइब एडिएस का काम क्या है डिवाइब एडिएस लोग पूति वर्सेज एक्स आप से यह बात याद रखनी है आपको डिवाइब एडिएक्स क्या है डिवाइब एडिएक्स इस दास्ट लोग डिवा एक्स ठीक है पिछले वाले में डिवाइब एक्स नहीं कर सकते थे वहां का डिवाइब एक्स कॉन्स्टेंट होगा यहां का डिवाइब एक्स वेरीबिल होगा ठीक है तो हम एक बात यहां पर साइड में लिख लेंगे जो कि हमारी dy by dx एसा, slope of graph of y versus x, अब इसको हम एक चीज और बोलते हैं, क्या बोलते हैं? अच्छा ध्यान से देखो, dy बे dx आया कहा से, मतलब किस जगह से आया? dy बे dx आया कहा से? तो मेरे ख्याल थे तो यहां से आया है, y2-y1 अपन x2-x1, किसकी value थी? tan theta की, फिर हमने बोला ये दो point बहुत close आ गए तो हमने y2-y1 की चेकर लगा dy x2-x1 की चेकर लिखा dx इतने close आ गए dx मतलब बहुत चोटा dy मतलब बहुत चोटा अब अगर देखो हम ये भी तो कह सकते हैं, it is the rate of change of y with respect to x, भाई ये क्या होता है, इसका change with respect to this, तो dy by dx can also be said rate of change of y, with respect to x x के respect में y कैसे change हो रहा भाई ये क्या होगा rate of change of y with respect to x हम लोग current को क्या बोलते है current को क्या बोलते है या हम लोग power को क्या बोलते है power क्या होता है rate of worth per unit time rate of worth rate of change of y किस के respect में with respect to x x के respect में y कैसे change हो रहा या तो ये बोल दो dy by dx को या dy by dx को आज से क्या समझोगे slope of y versus x तो ये बात आपकी दिमाग में जानी चाहिए भले ही पिछली बात है कि दिमाग में नहीं गई है कि dy by dx is rate of change of y with respect to x और dy by dx is equal to slow of graph of y versus x, ठीक है, बस इतनी ही बात है, आपको mathematical यहां से समझनी थी, इसके बाद मैं आपको कुछ formula कराता हूँ, जिसको आपको याद करना होगा, तो notes में आ जाएं कुछ formula याद करें differentiation के बिना याद के काम नहीं चलेगा अच्छा, definition आया कहां से कैसे निकालते हैं, जो formula मैं बता रहा हूँ, यह math में आप first truth से निकालोगे, जो कि first principle हम आपको यहाँ पर नहीं पढ़ाएंगे, math का part है, so मतलब y is equals to, अगर कोई constant number लिखा हो, y is equals to कोई constant number लिखा हो, तो dy by dx की value कितनी आएगी, 0, अगर y की value constant है, तो dy by dx, 0, मतलब इस graph की, फिर स 0, इस ग्राफ की slope कितनी होगी 0, मतलब tan theta की value कितनी होगी 0, मतलब theta कितना होगा 0, जब theta 0 होता है tan theta 0, इसको आप feel 5, यह हमने ले लिया 5, y is equals to 5 यह line बनेगी, इतनी math आपको आती है कि नहीं आती है, y is equals to 5, 1, 2, 3, 4, 5, y हमेशा कितना है, 5, इस graph की slope बताओ मुझे, slope क्या होता है, tan of theta, यह graph कितना angle बना रहा, 0 degree, तो tan 0, tan 0 का answer 0, इसलिए dy by dx की value 0, feel भी है साथ में, dy by dx 0 क्यों इस तरह से आपको कुछ formula याद करने होंगे, सबका field तो मैं आपको नहीं दे सकता, कुछ formula आपको रटने होंगे, तो पहला formula तो यह हो गया, दूसरा formula आप उतारे, y is equals to, very important, this is very important, y is equals to x to the power n, इसका differentiation करोगे, dy by dx आएगा, n x की power n minus 1, x की power n, differentiation करोगे, n x की power n Example, y is equals to x cube, dy by dx करोगे तो 3 बाहर आएगा, x की power लिखोगे आप 3 minus 1, मतलब 3x square. जैसे मैं लिखूं y is equals to x की power 6, तो dy by dx करोगे तो 6 बाहर आएगा, x की power एक कम हो जाएगी, मतलब 5. जैसे मैं लिखूं y is equals to x की power half. तो dy by dx करोगे तो power बाहर आ जाएगी और x की power हो जाएगी half minus 1 जो भी power लिखी हो उसमें से 1 minus कर दो तो half x की power कितनी हो जाएगी minus half जैसे हमारे पास लिखा है y is equals to under root x ठीक है y is equal to x की power 1 by 2 अब वो तो dy by dx और x के उपर जो पार है minus वन कर दो तो कितना हो जाएगा हाफ एक्स की पार माइनस हाफ ठीक है तो इस तरह से आपको सॉल्व करना है वाइज इक्वल्स टू एक्स की पावर एन वाले सवाल और यह आते भी हैं बड़े इंपोर्टेंट है जैसे मानों लिखा है वाइज इक्वल्स टू वन अपन एक्स क्यूब रूट वन अपन एक्स का क्यूब रूट इसको आपके लिख सकते हो वाइज इक्वल्स टू वन अपन एक्स की पार 1 by 3 cube root का मतलब होता है 1 by 3, अब इसको उपर ले आओ तो x की पार कितना हो जाएगा, minus 1 by 3, अब आप निकाल सकते हो dy by dx is equals to minus 1 by 3 x की पार minus 1 by ठीक है, तो पार में एक minus करना है, और जो पार है उसको आगे लाना है, ये y is equals to x की power n का differentiation होगा, जैसे लिखा हो, y is equals to x square, ये तो आपको याद हो जाना चाहिए, तो dy by dx कितना हो जाएगा, जल्दी से बोलो, 2 बाहर आएगा, x की power एक कम, y is equals to x cube, तो dy by dx कितना हो जाए अगला rule देखते हैं अगले बच्चों मान लो लिखा है तीसा rule मैं जानबूच के बना रहा हूँ although यह rule एक्सिस्ट नहीं करता एक पार अच्छा, चौथा रूल सुनो, मानू लिखा है y is equals to 5x cube, अब आपसे पूछता है dy by dx, तो इस 5 को मत छेड़ो, इसके साथ वही काम करो, 15 x square मान लिखा है y is equals to 2 x की पार 5 2 को as it is लिखे रहें दो अब ये 5 बाहर आएगा x की पार 5 minus 1 मतलब 4 तो कितना हो गया 10 x kipa पार 4 मानू लिखा है y is equals to 3 x तो 3 को मत छेड़ो और y is equals to x का differentiation कितना है 1 into 1 answer आ जाएगा 3 मानू लिखा है y is equals to 5 divide by x तो हम लिख सकते है 5 x की पार minus 1 अब 5 minus 1 इधर आ जाएगा और x की पार minus 1 तो minus 5 x की पार minus 2 समझ में आ रहा है x को पर लाए minus 1 ��तलब constant को नहीं छेड़ता लिखा रहे हैं तो माइनस वन बाहर लाए एक्सी पार माइनस वन और माइनस वन तो मेरे क्याल से बाद भी आपको क्लियर हो गई होगी अच्छा इसी तरह से बच्चों कई फॉर्मले है मैंने आपको दो तीन इंपोर्टेंट पाइट फॉर्मले ला दिए जो सबसे यादा यूज होते हैं सबसे यादा इस्तेमाल होते हैं ठीक है काफी इनफॉर्मेशन है इसमें लगेगा और मैं पढ़नी पड़ेगी और उसके लिए एग्जाम में डिवाइट करना पड़ेगा लास्ट में याद करना पड़ेगा तो इससे भी याद कर लेते हैं, तो हम next rule पे आते हैं, rule number 4 या 5 जो भी बनता है, comment करके मेरी गलती ज़रूर बताना, तो rule number 4 पे आ जाते हैं, तो rule number 4 हमसे बोलता है, if y is equals to e की power x, then dy by dx is equals to e की power x, मतलब e की power x को differentiate करेंगे e की power x आ जाएगा next rule if y is equal to log x तो दिवाई बाई दी एक्स इफेक्ट्स टू वन बाई एक्स नेक्स रूल इफ इस एक्वल्स टू ए टू दी पावर एक्स देन डी वाइड एक्स इस एक्वल्स टू एकी पार एक्स लॉग ए अब यही तीन फॉर्मले से सबसे यादा भूलते हैं क्योंकि confusing से हैं log x का differentiation 1 by x a की power x का a की power x log a इसका example दे देता हूँ इसका example है y is equals to 4 to the power x तो हम लिखनेंगे 4 की power x log 4 y is equals to 2 to the power x तो हम इसका differentiation करेंगे dy by dx कितना जाएगा 2 की पार x log 2 ठीक है तो a की पार x का a की पार x लिख लो और साथ में उसका log लिख लो ठीक है actually यहाँ पे भी यही हुआ है देखो e की पार x a की पार x अगर ध्यान से देखो तो E की पार X log E to the base E कितना हो जाएगा? 1 E की पार X हो या A की पार X हो साथ में log A लिखना था यहाँ पे log E लिखते लॉगी की वैलू 1 होती है ठीक है तो यह आगे हमारे पास नेक्स्ट फॉर्मला बच्चों जो हमारे पास है वाई इस इक्वल्स टू साइन बेरी इंपोर्टेंट तो डिवाइड बाइड एक्स आएगा हमारा कॉस एक्स नेक्स्ट फॉर्मला हमारे पास है वाई इज इक्वल्स cos x, तो बच्चों, dy by dx आएगा हमारे पास, minus sin x, ठीक है, तो आप ऐसा रखना तो sin का cos आता है positive कॉस गंदा है तो कॉस का साइन आता है नेगेटिव, एक तो दोनों चेंज होते हैं, साइन से क्या आता है कॉस, कॉस से क्या आता है साइन, साइन अच्छा है तो पॉजिटि� प्लस के साथ, tan x का differentiation, sec square x, next बच्चों हमारे पास आ जाएगा, y is equals to sin cos tan, अब क्या बचा, sec x, तो dy by dx आ जाएगा, sec x tan x, ठीक है, फिर हमारे पास बच्चों बचा, y is equals to cosec x, तो dy by dx आ जाएगा, अब जरह इस pattern को ध्यान से देखो, sec x से क्या बना, sec x tan x बना, sec x क्या ब कोसेक x, और कौन बचा, कौट x, अब सेक वाला अच्छा होता है, तो अच्छा दिया, कोसेक वाला गंदा होता है तो negative दिया last हमारे पास क्या बचा? cortex, तो number 12 y is equals to cortex तो बच्चों dy तो यह बड़ी एक्स बन जाएगा हमारा को सेक्स क्वेट्स जैसे टैनिक से क्या बना सेक्स क्वेट्स वैसे कोटेक्स से बनेगा को से कि स्क्वेर एक्स अच्छा ता पॉजिटिव पर गंदा है तो नेगेटिव तो आप कमेंट लिखोगे कि कोई ट्रिक बताओ याद करना पड़ेगा, लिखना पड़ेगा, नोट करना पड़ेगा, पढ़ना पड़ेगा, मेहनत करनी पड़ेगी, तबी paper निकलेगा पावर x का एकी पावर x रहेगा, फिर आया log x का 1 by x रहेगा, फिर एकी पावर x का एकी पावर x log x रहेगा, log a रहेगा, sin x का cos x, cos x का minus sin अब क्या बचा सेकेक्स का सेकेक्स टैन एक्स अब जैसे सेकेक्स है वैसे को सेकेक्स है सेकेक्स क जैसे tan x का sec square x है वैसे cot x का cosec square x है tan x अच्छा positive cot x गंदा minus cosec square x तो ये सारे formula हो गए कुछ सवाल यहाँ पर हम line से लगाते हैं और आप देखते हैं आप कितने सवाल इसमें सवाल कर पाते हैं हमारे लिए तो कुछ सवाल करते हैं तो question number 1 है हमारे पास y is equal to 2x cube question number 2 है हमारे पास y is equal to e की power x question number 3 है हमारे पास y is equal to cosec x question number 4 है हमारे पास y is equal to tan x question number 5 हमारे पास y is equal to 3 to the power x question number 6 हमारे पास y is equal to 2x क्वेश्चन नमर 7 थे हमारे पास y is equals to sin x क्वेश्चन नमर 8 थे हमारे पास y is equals to cos x क्या आप इन सब के आंसर निकाल पाएंगे क्वेश्चन नमर 9 थे हमारे पास y is equals to sec x क्वेश्चन नमर 10 थे हमारे पास y is equals to cot x question number 11 था हमारे पास y is equals to log x question number 12 था हमारे पास y is equals to 12 चलिए आइए इन सब को solve करो तो आपका क्या निकालेंगे अब यहाँ? dy बटे dx निकालेंगे, ठीक है? dy बटे dx अब का निकालेंगे तो बच्चों, 2 को as it is रख दो अब x3 का 3 बाहर आएगा और पार 1 कम हो जाएगी, तो x2 है तो 2 3 का 6, x2 E की power X का differentiation E की power X अब cosec X का कैसे याद करें तो sec X का याद है क्या sec X tan X तो cosec X का क्या हो जाएगा cosec X कॉर्ट x और कैसा? नेगेटिव क्योंकि सेक्वाला पॉजिटिव टैन एक्स का क्या होता है? टैन एक्स का होता है सेक्वाला स्क्वेर एक्स टैन एक्स कैसा देता है? पॉजिटिव 3 की power x का 3 की power x log 3 2x तो 2 को as it is रखो और x का differentiation कितना बताया है मैंने 2 जब भी 2x लिखा हो 3x लिखा हो तो answer जो constant है वही आएगा sin x का differentiation cos x cos x का differentiation साइन एक्स साइन अच्छा तो आंसर पॉजिटिव कॉस गंदा अंसर नेगेटिव तो यहां पर आते हैं इन सबका बाइबाइडी एक्स निकालते हैं चलिए सेटिविक्स का क्या बनेगा सेटिविक्स टैनिक्स कैसा पॉजिटिव और कोशिक इससे कोशिक इस पॉइंट को तो कॉट एक्स का क्या बनेगा पॉइंट एक्स का बनेगा तैयार एक्स तो पॉइंट एक्स का बन जाएगा कोसेक स्क्वेर एक्स कैसा? नेगेटिव लॉग एक्स का क्या होता है? व�� बाई एक्स वाई इक्वल्स टुटेल का? जीरो क्योंकि ये क्या है? कॉंस्टेंट कॉंस्टेंट का डिफरेंशेशन? जीरो तो बच्चों ये कुछ बहुत ही basic differentiation के formulas थे जो आपको याद करने ही पड़ेंगे तो इन formulas को आप याद करने और उसके बाद मेरे साथ बोले जै माता दी और आगे बढ़ें अभी तो चाप्टर शुरू हुआ है बच्चों हां अजय को मजा आ रहा है बढ़िया लग रहा है खुशी हो रही है किसने कहा था क्लास लेवन पर साइंस लेने को दूर तो ले तो अभी तो शुरू हुआ है तो इतनी चीजें आपने नोट कर लिए उसको आप रिवाइस करेंगे दिमे-दिमे याद हो जाएगी तो यह फॉर्मलेस थे इनको आप याद करते रहें ऐसा नहीं है कि मैंने पहली बार 11 में फॉर्मले पढ़े वह सारे मुझे पहली बार याद हो गए इस टाइम बड़ा ही important question दे रहा हूँ मैं आपको, आप जाके अपने दोस्तों को जरूर परिशान करना, जो कि आप करते ही होगे, एक बड़ा ही बढ़िया question दे रहा हूँ मैं आपको, मानलो लिखा है, ई की पार x, यह मालू लिखा है y is equals to x square और मैं आपसे पूछूँ, dy बटे dx की value कितनी होगी? तो आप बोलोगे, कि 2 बाहर आजाएगा, x की power 1 कम होजाएगी. x की power n का differentiation क्या बताया हमने आपको? n बाहर आजाएगा, x की power n से 1 कम होजाएगी. तो 2 बाहर आएगा, x की power 1 कम होगे. मान लो मैं आपसे पूछूं dy बटे dt कितना होगा तो आप बोलो के ये कैसा सवाल है ये कैसी बात कर रहा है यह आपसे बुछूं डी वाई बटे डी आर कितना होगा अब वाई एक्स स्क्वेयर है अगर आर और एक्स में कोई रिलेशन नहीं है तो आर को एक स्क्वेर एक पॉइंटिटी दिखेगी आर को दिखेगा कि एक पॉइंट नहीं करता तो दिवाइड की वैलू हो जाएगी तो कंसेप्ट समझना है जैसे मान लो मैं लिखूं y is equals to sin theta और आप से पूछूं dy बटे d theta कितना है तो variable देखो ये वाला same है अब sin theta का differentiation कितना पूछू वाइज इक्वल्स टू साइन थीटा लिखकर कि डी वाइब बटे डी एक्स कितना होगा तो आप बोलोगे जी रोग अगर एक्स और थीटा कोई relation नहीं है तो x को sin theta कैसा दिखेगा constant theta कैसा दिखेगा constant तो constant का differentiation यह बड़ी important बात है बच्चे क्या करते हैं dy by dx में भी cos theta लिखते हैं नहीं यह variable और यह variable को मिला लेना दोनों same है कि नहीं y is equal to sin theta तो dy बटे d theta ही पूछा है कि नहीं जैसे सब यही सब सवाल आते हैं आते हैं वाइज इक्वल्स टू मानो चेंज करूं वैरिबल चलो एस इक्वल्स टू मानो लिखा ह तो देखो वैसा ही है यह हुआ यह एक्स हुआ डीएस बटे डीटी तो कितना हो जाएगा अभी वेलिबल सही है तो अंसर होता जीरो अगर एक टीम रिलेशन नहीं है तो अंसर कितना होगा जी तो आपको देखना है कि उसी वेरिबिल के टम यहाँ पे ये सब पाते भी आपसे खेली जाएगी तो बच्चों ये तो बहुत बेसिक बाते हुए डिफरेंशेशन की अब हम आज के आज ही के लेक्चर में आप से बात करेंगे algebra of differentiation algebra of differentiation algebra of differentiation मतलब कि differentiation में जोड घटाने को कैसे deal करना है माल लिए हमारे पास question लिखा है मैं question के तुरी समझाओंगा क्योंकि और हमसे कहा कि आप डिवाई वाई डीएक्स निकालो, तो आप टेंशन मत लेना, दोनों को अलग-अलग डिफरेंशेट कर देना, टेंशन मत लेना, दोनों को अलग-अलग डिफरेंशेट कर देना, एक्स स्क्वेर का डिफरेंशे है तो कुछ नहीं करना है एडिशन में दोनों को अलग-अलग डिफरेंशिएट चलो क्वेश्चन करो एक तो वाइज इक्वेल्स टू एक्स क्यूब प्लस इसमें आपको याद करने वाली चीजें है इसलिए मैं रिवाइस करा रहा हूं डिवाइब एक्स क्यूब का डिफरेंशेंट फ्री बाहर आएगा और पार एक कम हो जाएगी इसी पार एक्स का इसी पार एक्स लॉग एक्स का वन बाई एक्स को कोशिक एक्स का पोशिक एक्स का होगा कोशिक एक्स कॉट एक्स और साथ में क्या लगेगा माइनस हो गया है नेक्स्ट क्वेश्चन देखो, अपने स्ट्राइट करो, y is equals to 6x square plus 1 by root x plus 2 to the power x plus cos x, अब आपसे का इसको डिफिनिशियर करो, तो आप लगा दो, dy बटे dx, इस equals to, 2 बाहर आजाएगा, 6, 2's are 12, x ही पार 1 कम हो जाएगी, तो वन अपन रूट x को वन अपन x की पावर हाफ और इसको पर ले आओंगा तो क्या बन जाएगा x की पार minus 1 by 2 लिख सकते हैं कि नहीं तो x की पार minus 1 by 2 के लिए, minus 1 by 2 बाहर आया, x की पार minus 1 by 2 minus 1, तो कितनी हो जाएगी, minus 1 by 2 minus 1, माइनस 3 by 2, तो कितना हम लिख सकते हैं, माइनस half into x की पार, माइनस 3 by 2, फिर plus 2 की पावर x, तो 2 की पावर x, log 2, ये e की पावर x जैसा है, e की पावर x, log ही, और log ही कितना बनता है, 2 की पावर x, log 2, cos x का differentiation, cos x गंड़ा गंड़ा, तो साथ में minus, तो ये ता हमारा addition हो या subtraction हो अलग terms को अलग differentiate करना है ठीक है जूस पी बानू केरम रंबानू बंजानी लाइफ बहुत बढ़िया अब आए एलजेब्राउफ डिफरेंशेशन में हम मल्टिप्लिकेशन पर जो की सवाल सबसे आदा मिलेगा आपको मालों से क्वेश्चन दे रखा है कि y is equals to e की पावर x है अब आपको एक्स का डिफरेंटेशन पता है वन साइन एक्स का पता है कॉस एक्स यह दोनों मिला दिया है तो क्या तो बच्चों इसको हम बोलते हैं यूवी मेथड नोट में उताल ले यूवी मेथड तो हम बोलेंगे वाई इस इक्वल्स टू यूवी अब uv method का तरीका क्या है dy बट डी x is equal to u dv बट डी x plus v du बट डी x मतलब पहले U को बाहर करो और V को differentiate करो, फिर V को बाहर करो और U को differentiate करो, example पर समझाते हैं, dy बटे dx, पहले x को बाहर लिख लो, और sin x को differentiate करो, कितना आएगा, cos x, plus, अब sin x को बाहर करो, और x को differentiate करो, कितना आएगा, 1, U V method, अगला question लेते हैं, y is equals to x square e की power x हमें निकालना है दोनों में से किसी एक को बाहर ले लो किसी को भी ले सकते हैं तो मैंने एक्स स्क्वेयर को बाहर ले लिया और एकी पार एक्स का डिफरेंटेशन कितना होता है एकी पार एक्स प्लस अब इस बार किसको बाहर ले एकी पार एक्स को बाहर लिया एक्स स्क्वेयर को डिफरेंशिएट करो एक्स क्वेश्चन क्या होगा टू एक्स की पार वन बाहर आएगा की पारे कम हो जाएगी, that is the answer, चलो, अगला question कुछ कर देखाओ, y is equals to, y is equals to cos x, x कौन सा method है? UV method पहले एक को बाहर निकालो, दूसरे को differentiate करो, थे दूसरे को बाहर निकालो पहले को differentiate करो, इसको हम बोलते हैं UV method of multiplication या product method of differentiation सवाल सौल solve हो जाए अपना काम बन जाए अपना paper निकल जाए अपना concept समझ में आ जाए अपने पूरी प्रदेश को इतना ही काफी है जैसे माल लो हम अगला सवाल ले लेते हैं यही पे, एक और सवाल कर लो, चलो करके दिखाओ, दो नमर तो होगा नहीं, चौथा नमर होगा कम से कम, ठीक है चलो नमर तो ऐसे भी चला गया, y is equals to x cube, x cube sin x, च ठीक है, तो क्या किया, dy by dx is equals to, x cube को बाहर ले लिया, sin x का differentiation cos x plus, इस बार sin x को बाहर ले लिया, अब x cube का differentiation 3x square, आगे answer, तो ये हमारा था uv method of multiplication, एक को बाहर रखो, दूसरे को differentiate करो, दूसरे को बाहर रखो, पहले को differentiate करो, अच्छा, अब बच्चों बात करते हैं, y is equals to sin x बटे x की, मालिज ऐसा सवाल आजाए, sin x बटे x, इसको हम बनते हैं बच्चों, U बराबर V मेथड, U बटे V मेथड, तो कई बच्चे इसने दिमाग लगा रहे हैं कि सर एक स्कूप पर ले जाएंगे, एक पी पार माइनस वन लिख लेंगे, और U V मेथड से काम बन जाएगा, बहुत बढ़िया बन तो जाएगा, पर मालो नी DU बटे DX minus U DV बटे DX note करना पड़ेगा यह formula इस बार definitely note करना पड़ेगा इतना intelligent इतना मेधावी इतना तेज इतना खुंखार इतना हुशियार कोई नहीं है y is equal to u बटे v है तो dy बटे dx क्या हो जाएगा नीचे कर लो v का square ठीक है, फिर v बाहर, du बटे dx, इसको differentiate करो, उपर वाले को, minus, उपर वाला बाहर, और नीचे वाले को differentiate, तो इसमें एक बात याद रखनी यही होता है कि किसको रखें किसको रखें example लेते हैं यह example लाओ solve के dy बटे dx तो नीचे वाले को square कर लिया x square अब x को बाहर लो और sin x को differentiate करो sin x का definition cos x बीच में लगेगा minus अब sin x को बाहर लो और x को differentiate करो x का definition 1 this is the answer ठीक है अगला question लो, खुद से करो, y is equals to y is equals to y is equals to x square plus 1 divided by x cube चला ऐसा सवाल मिल गया हमको दी वाई बटेल डी एक्स तो नीचे वाले का स्क्वेर करो तो एक्स क्यूब का स्क्वेर करेंगे तो एक्स की पावर सिक्स फिर यहां पर लिखो एक्स क्यूब और इसको डिफरेंशेट करो कू अब इस पूरे को ये पूरा क्या है तुमारा यू और ये क्या है वी तो तुमने लिखा वी का स्क्वेर फिर वी को बाहर लिया और ये क अब क्या करना है, यू को बाहर लेना है, तो इसको बाहर लिया, x square plus 1 बाहर हुआ, अब, वी को differentiate करना है, मतलब x cube को differentiate करेंगे 3x square अब इस��ो solve कर लेंगे आंसर होगा, बोले समझ में आ रहा है, चलिए एक और सवाल करिये इसी पे, वी बटे यू मेथड पे एक सवाल और करिये, ठोड़ा सा वी बटे यू, यू बटे वी, सबको थोड़ा से दिखत होता है इसमें, ठीक है, पहली बार, अगर आपको हो रहा है तो इसमें को डिवाइडेड बाई साइन एक्स चलिए यहां भी चेंज कर लेते हैं यहां लेते हैं एक्स ठीक है अब मेरे पास यह सवाल है आइए सबसे पहले हमें क्या करना है वी का स्क्वेर करना है यह रहा वी और यह पूरा क्या बन गया मेरा यू तो डी वाई बटे डी एक्स तो वी का स्क्वेर किया तो एक्स स्क्वेर वी को बाहर रखा इसको differentiate करेंगे पूरे को x square का differentiation 2x x cube का differentiation 3x square 2x का differentiation 2 क्योंकि x का differentiation 1 होता है minus लगाएगा फिर क्या करना है u को बाहर करना है मतलब इस पूरे को बाहर करना है x square plus x cube plus 2x को बाहर किया u को बाहर करना है और db by dx यानि इसको definition करना है अब इसको आप solve कर लेंगे and that will be the answer तो ये था बच्चों, U बटे, V method, V को square करो, फिर V को उपर रखो, DU by DX, फिर minus U, DB by DX, तो ये कुछ rules थे, जिनकी हमदद से, हम differentiation के अच्छे question को solve कर सकते हैं, बढ़िया सवा कर दिया जाए, क्या कहते हैं आप, यही तो बात है आप कुछ कहते नहीं, और मैं कहता रहता हूँ, ठीक है, तो, चलिए, खतम कर देते हैं, एक concept वारे हमारा, last concept जो हमारे differentiation में बच गया है, वो है chain rule, although concept तो बहुत देर सारे, हमेशा मैं बोलता हूँ, कहीं ख अब इसको आप कैसे differentiate करोगे? बोलो बोलो कैसे करोगे इसको differentiate? अब दिमाग लग रहा है यार ये कैसे हो सकता है? अगर मैं लिखता y is equal to x square plus 1 तुम तुरिंड differentiate करके मुझको answer बता लेते x square का differentiation 2x 1 contact notation 0 answer आगे था अब क्या करें अब क्या करें chain rule अब क्या करें अब क्या करें? अब आप एक काम करो, आप चाहते थे कि इसके अंदर x होता, आप चाहते थे इसके अंदर x होता तो काम बन जाता, अगर इस root के अंदर x होता तो काम बन जाता, माल लोगा लिखा होता y is equal to under root x, तो काम बन जाता, आप क्या करते हैं? आप लिखते हैं x की पार 1 by 2 फिर dy by dx निकाल लेते हैं बड़ा सांथा हाफ x की पार हाफ minus 1 तो आप चाहते थे इसके अंदर x लिखा हो, पर इसके अंदर लिखा था x square plus 1, ठीक है, तो आप अपने दिमाग में imagine करो, कि इसके अंदर x ही लिखा है, अब differentiate कर दो, तो आप मानोगे, कि x square plus 1 की पार कितनी है, आप लिखिये तो आप half को x square plus 1 को as it is रहन दो क्योंकि ये x है आप उपर लिखोगे half minus 1 ठीक है, इसके बाद chain rule है, मतलब chain की तरह चलना है, इसके बाद इस अंदर वाले term को differentiate कर दो, अंदर वाले term को, क्योंकि यह x है नहीं, तुमने सोचा यह x है, पर यह x है नहीं, तो इसको differentiate कर दो, तो x square plus 1 का differentiation, x square का एक example और लेते हैं इसी बात को समझाने के लिए मान दो लिका है y is equals to e की power 2x e की power x का answer क्या आएगा? e की power x आएगा कि नहीं? अभी क्या लिख किया आगया है E की पावर 2X? तो DY by DX अब आप चाहोगे कि 2X की जगा दिमाग में अपने इमेजिन कर लो कि X ही लिखा है दिमाग में अपने इमेजिन कर लो कि X ही लिखा है तो dy by dx क्या होगा e की power 2x भाई जो चीज है वही आई की अब जाके इस अंदर वाले x को जिसको तुमने x माना है उसको differentiate करो तो 2x का differentiation कितना होगा 2 2x के definition कितना होगा? एक और example लेते हैं, दीमे समझ में आएगा y is equals to मालू लिखा है sin x square सबसे बढ़ीन सवाल होते हैं sin x square तो बच्चो यहाँ बात यह थी कि आप चाह रहे थे कि साइन x लिखाओ साइन x square नहीं आप ये चाहे रहे थे कि sin x लिखा होता तो आप dy by dx cos x लिख देते काम खतम हो जाता है तो ठीक है अपने मन में आप imagine कर लो कि ये sin x square नहीं sin x है तो dy by dx कितना हो जाएगा cos इसको आपने x माना है ये आपका x है इस टाइम अब अंदर जाके इस अपने बड़े वाले x जो तुमने दिमाग में imagine किया है उसको differentiate कर दो x square का differentiation कितना होगा 2x तो answer हो जाएगा 2x into cos x square पता नहीं स्कूल में इसको कैसे पढ़ाया गया टीचर ने, मैं जानता हूँ वो टी लेके, ऐसे देखें, ऐसे पढ़ाएं, पता नहीं क्यों उस तरह से पढ़ा रहे हैं टीचर, मुझे समझ में नही ठीक है, खुब variation ला रहा हूँ, log 3x square, तो क्या करेंगे अपने, dy by dx, अब तुम दिमाग में imagine कर रहे थे कि इसकी जखा पूरे की जखा क्या होता, x, तो log x का differentiation तो हमें पता है, log x का differentiation होता है, 1 by x, तो तुम लिख लो, 1 upon 3x square, और फिर इस 3x square को एक्स बटे थी एक्स स्क्वेर एक एक्स मर गया थी टू जा सिक्स तो तू बटे एक्स विल बी डिफाइन आंसर चेन रूल कि आप अंदर जा जाकर डिफरेंशिएट करते जाओ मतलब म नस्टू एक्स प्लस फोर्ट, हमसे कहा डिवाई बाई डिएक्स निकालो, आप कहो कि कैसी दुविदा है, अगर कॉस एक्स लिखके दे x square plus 2x plus 4 अब इस बड़े वाले x को differentiate करके multiply कर दो तो x square का 2x 2 का differentiation 2x x square का क्या होगा 2x 2x का differentiation 2 आएगा x का differentiation 1 और 4 constant है तो 0 तो final answer will be minus 2x plus 2 multiplied by sin x square plus 2x plus 4 ठीक है जैसे मैं लेते हैं वाई इस इक्वल्स टू वाई इक्वल अब यह अगर वन बाई एक ही अंडर रूट एक्स होता तो आप आसानी सॉल्व कर सकते हैं देखो इसको आप पहले भी क्या लिख लो इसको आप लिख लो वाई इस इक्वल्स ट� माइनस हाफ बाहर आएगा x square plus x plus 1 पावर कितनी हो जाएगी माइनस हाफ माइनस वन माइनस हाफ बाहर आया इस पूरे को x माल लिया ना तो x की पार माइनस हाफ तो माइनस हाफ x की पार माइनस हाफ minus 1, वही, x t par n का definition क्या है, n x t par n minus 1, वही लगा दिया, आप पूरे को आपने x1 है तो अब इसको उठा के differentiate कर दो तो x square का differentiation 2x x का जो भी चीज़ है उसको डिफरेंशिएट करके multiply करना है, सोचना नहीं है, जो भी चीज़ है, उसको differentiate करके, जो भी चीज़ है, उसको differentiate करके, multiply करना है, मतलब अंदर जाओ, जो भी चीज़ तुम्हें लग रहे है, यह काश x होती है, उसको x मान लो, तुम्हें लग रहा था, काश यह x होता, मान लो x cos x का differentiation minus sin x और फिर उस चीज़ को differentiate कर दो तो x की पार minus half होता तो minus half x की पार minus half minus one differentiate कर दो chain rule ठीक है इसका जो traditional तरीका है पर इसको पढ़ाने का वह है कि पहलें टी मानों फिर दी वाइड इन इतना समय नहीं है हमारे पास ठीक है वालो इस पर टू एक्स अ हमारे पास सवाल ऐसा आ गया y is equal to sine of e की power 2x अब दो तीन function मिले हुए हैं तो dy by dx is equal to आप चाह रहे थे ये पूरा x होता तो मान लो तो साइम का differentiation हो जाएगा cos e की power 2x अब इसको अंदर वाले को डिफनिशिएट करो क्योंकि यह x है नहीं पूरा यह तो e की पार 2x है तो E की power 2X का definition क्या होगा E की power 2X का definition होगा E की power 2X इसमें भी आपने सोचा कि E की power X होता तब ही तो E की power पावर x आता, पर असल में क्या है e की पावर 2x, तो e की पावर 2x आया, अब 2x का differentiation क्या होगा, 2, so this will be the answer, तो बच्चों इस तरह से chain rule में अंदर जाते हैं, although यह last वाला सवाल मैंने थोड़ा सा बढ़ा दिया, बढ़ता जाएगा practice के साथ सद, इस तरह के सवाल आपके chain rule of differentiation म चैनल को लें और आपके पास प्रश्न पर प्रश् मालो बच्चों y is equals to कोई function लिखा है x square plus x plus 1 कोई भी function है ठीक है या x square minus x plus 1 कोई भी function है मैंने लिखा ला dy by dx कितना होगा 2x minus 1 x का definition 1 और 1 का definition 0 मैंने कहा dy by dx की value कहाँ पर 0 है dy by dx की value कहाँ पर 0 है तो 2x minus 1 की value 0 रखी 2x is equals to 1 x की value 1 by 2 बच्चों अगर dy by dx 0 है ये मान लो कोई function है ये मानने कोई function है मुझे ये बताओ कहाँ पे dy by dx 0 है अगर आप भूल गए हो बातें तो असलियत में dy by dx क्या था slow भूल गए क्या divide by dx क्या था slope और slope का मतलब क्या था time फिका दिवाई बाई दी एक जीरो है, मतलब स्लोब जीरो है, मतलब टैन थीटा जीरो है, मतलब थीटा जीरो है, मुझे यह बताओ किस जगह पर दिवाई बाई दी एक जीरो हो सकता है, यहाँ पर, न, यहाँ पर, यस, यह वो जगह है जहाँ पर दि वो कैसा बने है? horizontal, this is very important horizontal tangent का मतलब ही होता है कि dy by dx 0 अब बताओ कहाँ पे slope 0 दिख रही, कहाँ पे tangent horizontal है? ए, इस जगह पर यहाँ पे बन रहा है horizontal? इस जगह पर तो यहाँ पर dy by dx की value कितनी है? 0, या तो यहाँ पे 0 मतलब जिस जगह पर y की value सबसे जादा है या जिस जगह पर y की value सबसे कम है देखो इस जगह का घ्यान से देखो तो y की value कैसी है minimum इस जगह पर देखो तो y की value कैसी है maximum तो जहाँ पे y minimum होता है या जहाँ पे y maximum होता है वहाँ पे dy by dx 0 होता है यह concept भी अपने दिमाग में डाल लो कि जहाँ पे y की value maximum होगी या जहाँ पे y की value minimum होगी वहाँ पे dy by dx 0 मतलब x is equal to half रखने पे या तो y की value maximum आएगी या तो y की value minimum आएगी कि मतलब अगर हमें कोई बोलता है कि आप बताओ कि वह कहां पर मैक्सिमा या मैक्सिमम अभी समझ लो या वह कहां minimum हो रहा है तो आप dy by dx is equal to 0 करके check कर लेना x की वो value मिल जाएगी x की x की x की वो value मिल जाएगी जिस पे या तो y maximum होगा, या तो y minimum होगा, आपके दिमाग में सवाल है, मुझे पता है कि कैसे पता चलेगा कब maximum, क दिमे समझ में आएगा ये भी बात बताई जाएगी अभी मैंने इतना बताया कि dy by dx 0 का मतलब होता है कि tangent जो बनेगा वो horizontal मतलब y maximum अगर हम से पूछता कि ये ग्राफ, ये function, ये expression कहाँ पे maximum होगा, तो आप बोलोगे ये x is equal to half पे या तो maximum होगा, या तो minimum होगा, उस जगह पे maximum minimum होता है जहाँ पे dy by dx की value कितनी आजाए, 0 आजाए, ठीक है, कर लेते हैं जिससे पता चल जाए कि maximum minimum कैसे पता चल जाए तो माल लीजिए हमें दे रखा है y is equals to x cube बटे 3 plus 5x x2 बटेटू प्लस 6x हमसे कहा है आप x की वो values बताईए जिन पे y की value या तो maximum है या तो minimum है और आप exactly बताईए भाईया कि x की किस value पे y maximum है x की किस value पे y minimum है दोनों पूछ लिया आप exact कहाँ पे x की value पे y maximum कहाँ पे minimum तो maximum minimum का सवाल आते ही पहले आप dy by dx को कितना कर दो 0 कर दो तो इसको आप differentiate करोगे, x3 by 3 का differentiation होगा, 1 by 3 as it is लिखा रहेगा, constant है, x3 by 3, x की power 1 कम हो जाएगी, x2, plus 5 by 2 को as it is लिखा रहें दो, x2 का differentiation होगा, 2, x की power 1, 6x में 6 as it is लिखा रहेगा, प्रश्निशन होता है 1 and this will be equal to 0 3 ने 3 को मारा, 2 ने 2 को मारा तो बचा x square plus 5x plus 6 is equal to 0 so this is a quadratic equation so x square plus क्या लिख ले? 2x plus 3x plus 6 is equal to 0 लिख सकते हैं? 2, 3 जा 6 यहां से x common, x plus 2 plus 3 common, x plus 2 is equal to 0 x plus 2 common लिया, क्या बचा? x plus 3 इस इक्वल्स टू जीरो सो यहां से कह सकते हैं इधर एक्स प्लस टू जीरो और एक्स प्लस ट्री जीरो तो या तो x की value minus 2 है या तो x की value minus 3 है, तो x is equals to minus 2 पे maximum या minimum होगा, x is equals to minus 3 पे maximum या minimum, x की उन value पे maximum minimum होता है, जिनके लिए dy by dx की value 0 हो, तो क्या करो, differentiate करो, dy by dx को 0 रखा, दिवाई बाई डी एक जीरो देखा, एक्स की दो वैलूज पे डीवाई बाई डी एक जीरो हो रहा है, माइनस टू पे और माइनस थी पे, तब हमें पता चलना है कि किस पे मैक्सिमम, किस पे मिनिमम, तो अब मैं last आपको rule बता रहा हूँ note करना पड़ेगा ये भी dy by dx is equals to 0 का 2 मतलब होता है या तो maximum value है या तो minimum value है चेक करने के लिए आप निकालो d2y by dx square अब ये क्या चीज है sir इसको फिर से differentiate कर दो, dy by dx को फिर से differentiate कर दो, ये जो भी answer आया है, ये क्या है, what is all this, this is dy by dx, dy by dx को फिर से differentiate कर दो x के respect में, और check करो कि value positive y या negative y, positive y की तो minimum होगा, negative y की तो maximum होगा, बड़ा चोटा सा रूल है, इसको आप डब्बे में बनाये हैं, आप कॉपी में उताल लें क्या करना है पहले divide by dx को 0 करना है उससे x की values आएंगी अब check करना है कि वो maximum की value है कि minimum की मैक्सिमम की वैलू है की? मिनिमम की तो आप क्या निकाल लो? D2Y by DX2 मतलब इसको फिरिसे डिफरेंशिट कर दो फिरिसे डिफरेंशिट कर दो किस के respect में? x के respect में अब चेक कर लो कि इसकी value positive है कि negative है नतीजा आपके सामने होगा आईए है तो हमारे पास दो वैल्यूज है एक्स माइनस टू है या एक्स माइनस थी है यहीं लिख लेते हैं या तो एक्स की minus 2 है या तो x की value minus 2 है dy by dx की value हमें मिल चुकी है which is x square plus 5x plus 6 यहाँ तो differentiate करोगे यह किया हुआ तो हमने dy by dx की value है x square plus 5x plus 6 अब आप क्या करो इसको फिर से differentiate कर दो x के respect में यानि dy by dx को फिर से differentiate कर दिया with respect to x इस पूरी quantity को फिर से differentiate कर दिया with respect to x D यानि इसका differentiation with respect to x तो D दो बार हो गया तो क्या बन जाएगा D2y और नीचे क्या DX square लिखने का तरीका है यानि DY by DX को दूसरी बार जब differentiate करते हैं तो लिखते हैं उसको d2y by dx square इसको differentiation करो x square का differentiation 2x x2 का differentiation 2x पक्का है सबको 5x का differentiation plus 5 6 का differentiation 0 तो d2y by dx2 की जो value है वो है 2x plus 5 अब d2y by dx2 अगर positive है तो minimum अगर negative है तो maximum कहाँ पे x की values पे x की दो values चेक करनी है minus 2 यहाँ पे रखो एक बार minus 2 एक बार minus 3 दोनों रखके आए चेक करते हैं एक बार x की value minus 2, x की value minus 3, minus 2 रखा, minus 2, तो किसकी value चेक करनी है, d2y बटे dx square, तो 2 into minus 2 plus 5, minus 4 plus 5, कितना असर आया, 1 मतलब d2y by dx square कैसा है? positive. मतलब यहाँ पे क्या है? minimum. तो x is equal to minus 2 पे y की value कैसी होने वाली है? minimum. क्या इसके perfect सबूत मिल चुके हैं बिल्कुल? पहला सबूत था dy by dx की value कितनी है? 0. कब? जब x की value minus 2 है. दूसरा d2y by dx square की value कैसी आ रही है positive positive मतलब यहाँ पे आओ, d2y by dx square की value चेक करो, x is equal to minus 3 पे, तो 2 into minus 3 plus 5, minus 6 plus 5, answer आया minus 1, मतलब d2y by dx square negative, मतलब ये कैसी value है, maximum, तो y की value maximum हो रही है, कब x is equal to minus 3 के लिए, सबूफ क्या है, dy by dx कितना आ रहा, 0, और d2y by dx square कैसा आ रहा, कैसा आ रहा, कैसा आ रहा, कैसा आ रहा, negative, तो negative पे maximum, positive पे minimum, तो मेरे ख्याल से आज की class में, आपको जरूर होगी इन कंसेप्स को रिवाइज करने के लिए साथ में कायोमेटिक भी चलेगा और केमिस्ट्री भी आने वाला है और वेस्ट पढ़ाई करते रहे हैं

अच्छा ध्यान से देखो, dy बे dx आया कहा से, मतलब किस जगह से आया? dy बे dx आया कहा से? तो मेरे ख्याल थे तो यहां से आया है, y2-y1 अपन x2-x1, किसकी value थी? tan theta की, फिर हमने बोला ये दो point बहुत close आ गए तो हमने y2-y1 की चेकर लगा dy x2-x1 की चेकर लिखा dx इतने close आ गए dx मतलब बहुत चोटा dy मतलब बहुत चोटा अब अगर देखो हम ये भी तो कह सकते हैं, it is the rate of change of y with respect to x, भाई ये क्या होता है, इसका change with respect to this, तो dy by dx can also be said rate of change of y, with respect to x x के respect में y कैसे change हो रहा भाई ये क्या होगा rate of change of y with respect to x हम लोग current को क्या बोलते है current को क्या बोलते है या हम लोग power को क्या बोलते है power क्या होता है rate of worth per unit time rate of worth rate of change of y किस के respect में with respect to x x के respect में y कैसे change हो रहा या तो ये बोल दो dy by dx को या dy by dx को आज से क्या समझोगे slope of y versus x तो ये बात आपकी दिमाग में जानी चाहिए भले ही पिछली बात है कि दिमाग में नहीं गई है कि dy by dx is rate of change of y with respect to x और dy by dx is equal to slow of graph of y versus x, ठीक है, बस इतनी ही बात है, आपको mathematical यहां से समझनी थी, इसके बाद मैं आपको कुछ formula कराता हूँ, जिसको आपको याद करना होगा, तो notes में आ जाएं कुछ formula याद करें differentiation के बिना याद के काम नहीं चलेगा अच्छा, definition आया कहां से कैसे निकालते हैं, जो formula मैं बता रहा हूँ, यह math में आप first truth से निकालोगे, जो कि first principle हम आपको यहाँ पर नहीं पढ़ाएंगे, math का part है, so मतलब y is equals to, अगर कोई constant number लिखा हो, y is equals to कोई constant number लिखा हो, तो dy by dx की value कितनी आएगी, 0, अगर y की value constant है, तो dy by dx, 0, मतलब इस graph की, फिर स 0, इस ग्राफ की slope कितनी होगी 0, मतलब tan theta की value कितनी होगी 0, मतलब theta कितना होगा 0, जब theta 0 होता है tan theta 0, इसको आप feel 5, यह हमने ले लिया 5, y is equals to 5 यह line बनेगी, इतनी math आपको आती है कि नहीं आती है, y is equals to 5, 1, 2, 3, 4, 5, y हमेशा कितना है, 5, इस graph की slope बताओ मुझे, slope क्या होता है, tan of theta, यह graph कितना angle बना रहा, 0 degree, तो tan 0, tan 0 का answer 0, इसलिए dy by dx की value 0, feel भी है साथ में, dy by dx 0 क्यों इस तरह से आपको कुछ formula याद करने होंगे, सबका field तो मैं आपको नहीं दे सकता, कुछ formula आपको रटने होंगे, तो पहला formula तो यह हो गया, दूसरा formula आप उतारे, y is equals to, very important, this is very important, y is equals to x to the power n, इसका differentiation करोगे, dy by dx आएगा, n x की power n minus 1, x की power n, differentiation करोगे, n x की power n Example, y is equals to x cube, dy by dx करोगे तो 3 बाहर आएगा, x की power लिखोगे आप 3 minus 1, मतलब 3x square. जैसे मैं लिखूं y is equals to x की power 6, तो dy by dx करोगे तो 6 बाहर आएगा, x की power एक कम हो जाएगी, मतलब 5. जैसे मैं लिखूं y is equals to x की power half.

तो dy by dx करोगे तो power बाहर आ जाएगी और x की power हो जाएगी half minus 1 जो भी power लिखी हो उसमें से 1 minus कर दो तो half x की power कितनी हो जाएगी minus half जैसे हमारे पास लिखा है y is equals to under root x ठीक है y is equal to x की power 1 by 2 अब वो तो dy by dx और x के उपर जो पार है minus वन कर दो तो कितना हो जाएगा हाफ एक्स की पार माइनस हाफ ठीक है तो इस तरह से आपको सॉल्व करना है वाइज इक्वल्स टू एक्स की पावर एन वाले सवाल और यह आते भी हैं बड़े इंपोर्टेंट है जैसे मानों लिखा है वाइज इक्वल्स टू वन अपन एक्स क्यूब रूट वन अपन एक्स का क्यूब रूट इसको आपके लिख सकते हो वाइज इक्वल्स टू वन अपन एक्स की पार 1 by 3 cube root का मतलब होता है 1 by 3, अब इसको उपर ले आओ तो x की पार कितना हो जाएगा, minus 1 by 3, अब आप निकाल सकते हो dy by dx is equals to minus 1 by 3 x की पार minus 1 by ठीक है, तो पार में एक minus करना है, और जो पार है उसको आगे लाना है, ये y is equals to x की power n का differentiation होगा, जैसे लिखा हो, y is equals to x square, ये तो आपको याद हो जाना चाहिए, तो dy by dx कितना हो जाएगा, जल्दी से बोलो, 2 बाहर आएगा, x की power एक कम, y is equals to x cube, तो dy by dx कितना हो जाए अगला rule देखते हैं अगले बच्चों मान लो लिखा है तीसा rule मैं जानबूच के बना रहा हूँ although यह rule एक्सिस्ट नहीं करता एक पार अच्छा, चौथा रूल सुनो, मानू लिखा है y is equals to 5x cube, अब आपसे पूछता है dy by dx, तो इस 5 को मत छेड़ो, इसके साथ वही काम करो, 15 x square मान लिखा है y is equals to 2 x की पार 5 2 को as it is लिखे रहें दो अब ये 5 बाहर आएगा x की पार 5 minus 1 मतलब 4 तो कितना हो गया 10 x kipa पार 4 मानू लिखा है y is equals to 3 x तो 3 को मत छेड़ो और y is equals to x का differentiation कितना है 1 into 1 answer आ जाएगा 3 मानू लिखा है y is equals to 5 divide by x तो हम लिख सकते है 5 x की पार minus 1 अब 5 minus 1 इधर आ जाएगा और x की पार minus 1 तो minus 5 x की पार minus 2 समझ में आ रहा है x को पर लाए minus 1 ���तलब constant को नहीं छेड़ता लिखा रहे हैं तो माइनस वन बाहर लाए एक्सी पार माइनस वन और माइनस वन तो मेरे क्याल से बाद भी आपको क्लियर हो गई होगी अच्छा इसी तरह से बच्चों कई फॉर्मले है मैंने आपको दो तीन इंपोर्टेंट पाइट फॉर्मले ला दिए जो सबसे यादा यूज होते हैं सबसे यादा इस्तेमाल होते हैं ठीक है काफी इनफॉर्मेशन है इसमें लगेगा और मैं पढ़नी पड़ेगी और उसके लिए एग्जाम में डिवाइट करना पड़ेगा लास्ट में याद करना पड़ेगा तो इससे भी याद कर लेते हैं, तो हम next rule पे आते हैं, rule number 4 या 5 जो भी बनता है, comment करके मेरी गलती ज़रूर बताना, तो rule number 4 पे आ जाते हैं, तो rule number 4 हमसे बोलता है, if y is equals to e की power x, then dy by dx is equals to e की power x, मतलब e की power x को differentiate करेंगे e की power x आ जाएगा next rule if y is equal to log x तो दिवाई बाई दी एक्स इफेक्ट्स टू वन बाई एक्स नेक्स रूल इफ इस एक्वल्स टू ए टू दी पावर एक्स देन डी वाइड एक्स इस एक्वल्स टू एकी पार एक्स लॉग ए अब यही तीन फॉर्मले से सबसे यादा भूलते हैं क्योंकि confusing से हैं log x का differentiation 1 by x a की power x का a की power x log a इसका example दे देता हूँ इसका example है y is equals to 4 to the power x तो हम लिखनेंगे 4 की power x log 4 y is equals to 2 to the power x तो हम इसका differentiation करेंगे dy by dx कितना जाएगा 2 की पार x log 2 ठीक है तो a की पार x का a की पार x लिख लो और साथ में उसका log लिख लो ठीक है actually यहाँ पे भी यही हुआ है देखो e की पार x a की पार x अगर ध्यान से देखो तो E की पार X log E to the base E कितना हो जाएगा? 1 E की पार X हो या A की पार X हो साथ में log A लिखना था यहाँ पे log E लिखते लॉगी की वैलू 1 होती है ठीक है तो यह आगे हमारे पास नेक्स्ट फॉर्मला बच्चों जो हमारे पास है वाई इस इक्वल्स टू साइन बेरी इंपोर्टेंट तो डिवाइड बाइड एक्स आएगा हमारा कॉस एक्स नेक्स्ट फॉर्मला हमारे पास है वाई इज इक्वल्स cos x, तो बच्चों, dy by dx आएगा हमारे पास, minus sin x, ठीक है, तो आप ऐसा रखना तो sin का cos आता है positive कॉस गंदा है तो कॉस का साइन आता है नेगेटिव, एक तो दोनों चेंज होते हैं, साइन से क्या आता है कॉस, कॉस से क्या आता है साइन, साइन अच्छा है तो पॉजिटि� प्लस के साथ, tan x का differentiation, sec square x, next बच्चों हमारे पास आ जाएगा, y is equals to sin cos tan, अब क्या बचा, sec x, तो dy by dx आ जाएगा, sec x tan x, ठीक है, फिर हमारे पास बच्चों बचा, y is equals to cosec x, तो dy by dx आ जाएगा, अब जरह इस pattern को ध्यान से देखो, sec x से क्या बना, sec x tan x बना, sec x क्या ब कोसेक x, और कौन बचा, कौट x, अब सेक वाला अच्छा होता है, तो अच्छा दिया, कोसेक वाला गंदा होता है तो negative दिया last हमारे पास क्या बचा? cortex, तो number 12 y is equals to cortex तो बच्चों dy तो यह बड़ी एक्स बन जाएगा हमारा को सेक्स क्वेट्स जैसे टैनिक से क्या बना सेक्स क्वेट्स वैसे कोटेक्स से बनेगा को से कि स्क्वेर एक्स अच्छा ता पॉजिटिव पर गंदा है तो नेगेटिव तो आप कमेंट लिखोगे कि कोई ट्रिक बताओ याद करना पड़ेगा, लिखना पड़ेगा, नोट करना पड़ेगा, पढ़ना पड़ेगा, मेहनत करनी पड़ेगी, तबी paper निकलेगा पावर x का एकी पावर x रहेगा, फिर आया log x का 1 by x रहेगा, फिर एकी पावर x का एकी पावर x log x रहेगा, log a रहेगा, sin x का cos x, cos x का minus sin अब क्या बचा सेकेक्स का सेकेक्स टैन एक्स अब जैसे सेकेक्स है वैसे को सेकेक्स है सेकेक्स क जैसे tan x का sec square x है वैसे cot x का cosec square x है tan x अच्छा positive cot x गंदा minus cosec square x तो ये सारे formula हो गए कुछ सवाल यहाँ पर हम line से लगाते हैं और आप देखते हैं आप कितने सवाल इसमें सवाल कर पाते हैं हमारे लिए तो कुछ सवाल करते हैं तो question number 1 है हमारे पास y is equal to 2x cube question number 2 है हमारे पास y is equal to e की power x question number 3 है हमारे पास y is equal to cosec x question number 4 है हमारे पास y is equal to tan x question number 5 हमारे पास y is equal to 3 to the power x question number 6 हमारे पास y is equal to 2x क्वेश्चन नमर 7 थे हमारे पास y is equals to sin x क्वेश्चन नमर 8 थे हमारे पास y is equals to cos x क्या आप इन सब के आंसर निकाल पाएंगे क्वेश्चन नमर 9 थे हमारे पास y is equals to sec x क्वेश्चन नमर 10 थे हमारे पास y is equals to cot x question number 11 था हमारे पास y is equals to log x question number 12 था हमारे पास y is equals to 12 चलिए आइए इन सब को solve करो तो आपका क्या निकालेंगे अब यहाँ?

dy बटे dx निकालेंगे, ठीक है? dy बटे dx अब का निकालेंगे तो बच्चों, 2 को as it is रख दो अब x3 का 3 बाहर आएगा और पार 1 कम हो जाएगी, तो x2 है तो 2 3 का 6, x2 E की power X का differentiation E की power X अब cosec X का कैसे याद करें तो sec X का याद है क्या sec X tan X तो cosec X का क्या हो जाएगा cosec X कॉर्ट x और कैसा? नेगेटिव क्योंकि सेक्वाला पॉजिटिव टैन एक्स का क्या होता है? टैन एक्स का होता है सेक्वाला स्क्वेर एक्स टैन एक्स कैसा देता है? पॉजिटिव 3 की power x का 3 की power x log 3 2x तो 2 को as it is रखो और x का differentiation कितना बताया है मैंने 2 जब भी 2x लिखा हो 3x लिखा हो तो answer जो constant है वही आएगा sin x का differentiation cos x cos x का differentiation साइन एक्स साइन अच्छा तो आंसर पॉजिटिव कॉस गंदा अंसर नेगेटिव तो यहां पर आते हैं इन सबका बाइबाइडी एक्स निकालते हैं चलिए सेटिविक्स का क्या बनेगा सेटिविक्स टैनिक्स कैसा पॉजिटिव और कोशिक इससे कोशिक इस पॉइंट को तो कॉट एक्स का क्या बनेगा पॉइंट एक्स का बनेगा तैयार एक्स तो पॉइंट एक्स का बन जाएगा कोसेक स्क्वेर एक्स कैसा?

नेगेटिव लॉग एक्स का क्या होता है? व��� बाई एक्स वाई इक्वल्स टुटेल का? जीरो क्योंकि ये क्या है?

कॉंस्टेंट कॉंस्टेंट का डिफरेंशेशन? जीरो तो बच्चों ये कुछ बहुत ही basic differentiation के formulas थे जो आपको याद करने ही पड़ेंगे तो इन formulas को आप याद करने और उसके बाद मेरे साथ बोले जै माता दी और आगे बढ़ें अभी तो चाप्टर शुरू हुआ है बच्चों हां अजय को मजा आ रहा है बढ़िया लग रहा है खुशी हो रही है किसने कहा था क्लास लेवन पर साइंस लेने को दूर तो ले तो अभी तो शुरू हुआ है तो इतनी चीजें आपने नोट कर लिए उसको आप रिवाइस करेंगे दिमे-दिमे याद हो जाएगी तो यह फॉर्मलेस थे इनको आप याद करते रहें ऐसा नहीं है कि मैंने पहली बार 11 में फॉर्मले पढ़े वह सारे मुझे पहली बार याद हो गए इस टाइम बड़ा ही important question दे रहा हूँ मैं आपको, आप जाके अपने दोस्तों को जरूर परिशान करना, जो कि आप करते ही होगे, एक बड़ा ही बढ़िया question दे रहा हूँ मैं आपको, मानलो लिखा है, ई की पार x, यह मालू लिखा है y is equals to x square और मैं आपसे पूछूँ, dy बटे dx की value कितनी होगी? तो आप बोलोगे, कि 2 बाहर आजाएगा, x की power 1 कम होजाएगी.

x की power n का differentiation क्या बताया हमने आपको? n बाहर आजाएगा, x की power n से 1 कम होजाएगी. तो 2 बाहर आएगा, x की power 1 कम होगे. मान लो मैं आपसे पूछूं dy बटे dt कितना होगा तो आप बोलो के ये कैसा सवाल है ये कैसी बात कर रहा है यह आपसे बुछूं डी वाई बटे डी आर कितना होगा अब वाई एक्स स्क्वेयर है अगर आर और एक्स में कोई रिलेशन नहीं है तो आर को एक स्क्वेर एक पॉइंटिटी दिखेगी आर को दिखेगा कि एक पॉइंट नहीं करता तो दिवाइड की वैलू हो जाएगी तो कंसेप्ट समझना है जैसे मान लो मैं लिखूं y is equals to sin theta और आप से पूछूं dy बटे d theta कितना है तो variable देखो ये वाला same है अब sin theta का differentiation कितना पूछू वाइज इक्वल्स टू साइन थीटा लिखकर कि डी वाइब बटे डी एक्स कितना होगा तो आप बोलोगे जी रोग अगर एक्स और थीटा कोई relation नहीं है तो x को sin theta कैसा दिखेगा constant theta कैसा दिखेगा constant तो constant का differentiation यह बड़ी important बात है बच्चे क्या करते हैं dy by dx में भी cos theta लिखते हैं नहीं यह variable और यह variable को मिला लेना दोनों same है कि नहीं y is equal to sin theta तो dy बटे d theta ही पूछा है कि नहीं जैसे सब यही सब सवाल आते हैं आते हैं वाइज इक्वल्स टू मानो चेंज करूं वैरिबल चलो एस इक्वल्स टू मानो लिखा ह तो देखो वैसा ही है यह हुआ यह एक्स हुआ डीएस बटे डीटी तो कितना हो जाएगा अभी वेलिबल सही है तो अंसर होता जीरो अगर एक टीम रिलेशन नहीं है तो अंसर कितना होगा जी तो आपको देखना है कि उसी वेरिबिल के टम यहाँ पे ये सब पाते भी आपसे खेली जाएगी तो बच्चों ये तो बहुत बेसिक बाते हुए डिफरेंशेशन की अब हम आज के आज ही के लेक्चर में आप से बात करेंगे algebra of differentiation algebra of differentiation algebra of differentiation मतलब कि differentiation में जोड घटाने को कैसे deal करना है माल लिए हमारे पास question लिखा है मैं question के तुरी समझाओंगा क्योंकि और हमसे कहा कि आप डिवाई वाई डीएक्स निकालो, तो आप टेंशन मत लेना, दोनों को अलग-अलग डिफरेंशेट कर देना, टेंशन मत लेना, दोनों को अलग-अलग डिफरेंशेट कर देना, एक्स स्क्वेर का डिफरेंशे है तो कुछ नहीं करना है एडिशन में दोनों को अलग-अलग डिफरेंशिएट चलो क्वेश्चन करो एक तो वाइज इक्वेल्स टू एक्स क्यूब प्लस इसमें आपको याद करने वाली चीजें है इसलिए मैं रिवाइस करा रहा हूं डिवाइब एक्स क्यूब का डिफरेंशेंट फ्री बाहर आएगा और पार एक कम हो जाएगी इसी पार एक्स का इसी पार एक्स लॉग एक्स का वन बाई एक्स को कोशिक एक्स का पोशिक एक्स का होगा कोशिक एक्स कॉट एक्स और साथ में क्या लगेगा माइनस हो गया है नेक्स्ट क्वेश्चन देखो, अपने स्ट्राइट करो, y is equals to 6x square plus 1 by root x plus 2 to the power x plus cos x, अब आपसे का इसको डिफिनिशियर करो, तो आप लगा दो, dy बटे dx, इस equals to, 2 बाहर आजाएगा, 6, 2's are 12, x ही पार 1 कम हो जाएगी, तो वन अपन रूट x को वन अपन x की पावर हाफ और इसको पर ले आओंगा तो क्या बन जाएगा x की पार minus 1 by 2 लिख सकते हैं कि नहीं तो x की पार minus 1 by 2 के लिए, minus 1 by 2 बाहर आया, x की पार minus 1 by 2 minus 1, तो कितनी हो जाएगी, minus 1 by 2 minus 1, माइनस 3 by 2, तो कितना हम लिख सकते हैं, माइनस half into x की पार, माइनस 3 by 2, फिर plus 2 की पावर x, तो 2 की पावर x, log 2, ये e की पावर x जैसा है, e की पावर x, log ही, और log ही कितना बनता है, 2 की पावर x, log 2, cos x का differentiation, cos x गंड़ा गंड़ा, तो साथ में minus, तो ये ता हमारा addition हो या subtraction हो अलग terms को अलग differentiate करना है ठीक है जूस पी बानू केरम रंबानू बंजानी लाइफ बहुत बढ़िया अब आए एलजेब्राउफ डिफरेंशेशन में हम मल्टिप्लिकेशन पर जो की सवाल सबसे आदा मिलेगा आपको मालों से क्वेश्चन दे रखा है कि y is equals to e की पावर x है अब आपको एक्स का डिफरेंटेशन पता है वन साइन एक्स का पता है कॉस एक्स यह दोनों मिला दिया है तो क्या तो बच्चों इसको हम बोलते हैं यूवी मेथड नोट में उताल ले यूवी मेथड तो हम बोलेंगे वाई इस इक्वल्स टू यूवी अब uv method का तरीका क्या है dy बट डी x is equal to u dv बट डी x plus v du बट डी x मतलब पहले U को बाहर करो और V को differentiate करो, फिर V को बाहर करो और U को differentiate करो, example पर समझाते हैं, dy बटे dx, पहले x को बाहर लिख लो, और sin x को differentiate करो, कितना आएगा, cos x, plus, अब sin x को बाहर करो, और x को differentiate करो, कितना आएगा, 1, U V method, अगला question लेते हैं, y is equals to x square e की power x हमें निकालना है दोनों में से किसी एक को बाहर ले लो किसी को भी ले सकते हैं तो मैंने एक्स स्क्वेयर को बाहर ले लिया और एकी पार एक्स का डिफरेंटेशन कितना होता है एकी पार एक्स प्लस अब इस बार किसको बाहर ले एकी पार एक्स को बाहर लिया एक्स स्क्वेयर को डिफरेंशिएट करो एक्स क्वेश्चन क्या होगा टू एक्स की पार वन बाहर आएगा की पारे कम हो जाएगी, that is the answer, चलो, अगला question कुछ कर देखाओ, y is equals to, y is equals to cos x, x कौन सा method है?

UV method पहले एक को बाहर निकालो, दूसरे को differentiate करो, थे दूसरे को बाहर निकालो पहले को differentiate करो, इसको हम बोलते हैं UV method of multiplication या product method of differentiation सवाल सौल solve हो जाए अपना काम बन जाए अपना paper निकल जाए अपना concept समझ में आ जाए अपने पूरी प्रदेश को इतना ही काफी है जैसे माल लो हम अगला सवाल ले लेते हैं यही पे, एक और सवाल कर लो, चलो करके दिखाओ, दो नमर तो होगा नहीं, चौथा नमर होगा कम से कम, ठीक है चलो नमर तो ऐसे भी चला गया, y is equals to x cube, x cube sin x, च ठीक है, तो क्या किया, dy by dx is equals to, x cube को बाहर ले लिया, sin x का differentiation cos x plus, इस बार sin x को बाहर ले लिया, अब x cube का differentiation 3x square, आगे answer, तो ये हमारा था uv method of multiplication, एक को बाहर रखो, दूसरे को differentiate करो, दूसरे को बाहर रखो, पहले को differentiate करो, अच्छा, अब बच्चों बात करते हैं, y is equals to sin x बटे x की, मालिज ऐसा सवाल आजाए, sin x बटे x, इसको हम बनते हैं बच्चों, U बराबर V मेथड, U बटे V मेथड, तो कई बच्चे इसने दिमाग लगा रहे हैं कि सर एक स्कूप पर ले जाएंगे, एक पी पार माइनस वन लिख लेंगे, और U V मेथड से काम बन जाएगा, बहुत बढ़िया बन तो जाएगा, पर मालो नी DU बटे DX minus U DV बटे DX note करना पड़ेगा यह formula इस बार definitely note करना पड़ेगा इतना intelligent इतना मेधावी इतना तेज इतना खुंखार इतना हुशियार कोई नहीं है y is equal to u बटे v है तो dy बटे dx क्या हो जाएगा नीचे कर लो v का square ठीक है, फिर v बाहर, du बटे dx, इसको differentiate करो, उपर वाले को, minus, उपर वाला बाहर, और नीचे वाले को differentiate, तो इसमें एक बात याद रखनी यही होता है कि किसको रखें किसको रखें example लेते हैं यह example लाओ solve के dy बटे dx तो नीचे वाले को square कर लिया x square अब x को बाहर लो और sin x को differentiate करो sin x का definition cos x बीच में लगेगा minus अब sin x को बाहर लो और x को differentiate करो x का definition 1 this is the answer ठीक है अगला question लो, खुद से करो, y is equals to y is equals to y is equals to x square plus 1 divided by x cube चला ऐसा सवाल मिल गया हमको दी वाई बटेल डी एक्स तो नीचे वाले का स्क्वेर करो तो एक्स क्यूब का स्क्वेर करेंगे तो एक्स की पावर सिक्स फिर यहां पर लिखो एक्स क्यूब और इसको डिफरेंशेट करो कू अब इस पूरे को ये पूरा क्या है तुमारा यू और ये क्या है वी तो तुमने लिखा वी का स्क्वेर फिर वी को बाहर लिया और ये क अब क्या करना है, यू को बाहर लेना है, तो इसको बाहर लिया, x square plus 1 बाहर हुआ, अब, वी को differentiate करना है, मतलब x cube को differentiate करेंगे 3x square अब इस��ो solve कर लेंगे आंसर होगा, बोले समझ में आ रहा है, चलिए एक और सवाल करिये इसी पे, वी बटे यू मेथड पे एक सवाल और करिये, ठोड़ा सा वी बटे यू, यू बटे वी, सबको थोड़ा से दिखत होता है इसमें, ठीक है, पहली बार, अगर आपको हो रहा है तो इसमें को डिवाइडेड बाई साइन एक्स चलिए यहां भी चेंज कर लेते हैं यहां लेते हैं एक्स ठीक है अब मेरे पास यह सवाल है आइए सबसे पहले हमें क्या करना है वी का स्क्वेर करना है यह रहा वी और यह पूरा क्या बन गया मेरा यू तो डी वाई बटे डी एक्स तो वी का स्क्वेर किया तो एक्स स्क्वेर वी को बाहर रखा इसको differentiate करेंगे पूरे को x square का differentiation 2x x cube का differentiation 3x square 2x का differentiation 2 क्योंकि x का differentiation 1 होता है minus लगाएगा फिर क्या करना है u को बाहर करना है मतलब इस पूरे को बाहर करना है x square plus x cube plus 2x को बाहर किया u को बाहर करना है और db by dx यानि इसको definition करना है अब इसको आप solve कर लेंगे and that will be the answer तो ये था बच्चों, U बटे, V method, V को square करो, फिर V को उपर रखो, DU by DX, फिर minus U, DB by DX, तो ये कुछ rules थे, जिनकी हमदद से, हम differentiation के अच्छे question को solve कर सकते हैं, बढ़िया सवा कर दिया जाए, क्या कहते हैं आप, यही तो बात है आप कुछ कहते नहीं, और मैं कहता रहता हूँ, ठीक है, तो, चलिए, खतम कर देते हैं, एक concept वारे हमारा, last concept जो हमारे differentiation में बच गया है, वो है chain rule, although concept तो बहुत देर सारे, हमेशा मैं बोलता हूँ, कहीं ख अब इसको आप कैसे differentiate करोगे? बोलो बोलो कैसे करोगे इसको differentiate? अब दिमाग लग रहा है यार ये कैसे हो सकता है? अगर मैं लिखता y is equal to x square plus 1 तुम तुरिंड differentiate करके मुझको answer बता लेते x square का differentiation 2x 1 contact notation 0 answer आगे था अब क्या करें अब क्या करें chain rule अब क्या करें अब क्या करें?

अब आप एक काम करो, आप चाहते थे कि इसके अंदर x होता, आप चाहते थे इसके अंदर x होता तो काम बन जाता, अगर इस root के अंदर x होता तो काम बन जाता, माल लोगा लिखा होता y is equal to under root x, तो काम बन जाता, आप क्या करते हैं? आप लिखते हैं x की पार 1 by 2 फिर dy by dx निकाल लेते हैं बड़ा सांथा हाफ x की पार हाफ minus 1 तो आप चाहते थे इसके अंदर x लिखा हो, पर इसके अंदर लिखा था x square plus 1, ठीक है, तो आप अपने दिमाग में imagine करो, कि इसके अंदर x ही लिखा है, अब differentiate कर दो, तो आप मानोगे, कि x square plus 1 की पार कितनी है, आप लिखिये तो आप half को x square plus 1 को as it is रहन दो क्योंकि ये x है आप उपर लिखोगे half minus 1 ठीक है, इसके बाद chain rule है, मतलब chain की तरह चलना है, इसके बाद इस अंदर वाले term को differentiate कर दो, अंदर वाले term को, क्योंकि यह x है नहीं, तुमने सोचा यह x है, पर यह x है नहीं, तो इसको differentiate कर दो, तो x square plus 1 का differentiation, x square का एक example और लेते हैं इसी बात को समझाने के लिए मान दो लिका है y is equals to e की power 2x e की power x का answer क्या आएगा? e की power x आएगा कि नहीं?

अभी क्या लिख किया आगया है E की पावर 2X? तो DY by DX अब आप चाहोगे कि 2X की जगा दिमाग में अपने इमेजिन कर लो कि X ही लिखा है दिमाग में अपने इमेजिन कर लो कि X ही लिखा है तो dy by dx क्या होगा e की power 2x भाई जो चीज है वही आई की अब जाके इस अंदर वाले x को जिसको तुमने x माना है उसको differentiate करो तो 2x का differentiation कितना होगा 2 2x के definition कितना होगा? एक और example लेते हैं, दीमे समझ में आएगा y is equals to मालू लिखा है sin x square सबसे बढ़ीन सवाल होते हैं sin x square तो बच्चो यहाँ बात यह थी कि आप चाह रहे थे कि साइन x लिखाओ साइन x square नहीं आप ये चाहे रहे थे कि sin x लिखा होता तो आप dy by dx cos x लिख देते काम खतम हो जाता है तो ठीक है अपने मन में आप imagine कर लो कि ये sin x square नहीं sin x है तो dy by dx कितना हो जाएगा cos इसको आपने x माना है ये आपका x है इस टाइम अब अंदर जाके इस अपने बड़े वाले x जो तुमने दिमाग में imagine किया है उसको differentiate कर दो x square का differentiation कितना होगा 2x तो answer हो जाएगा 2x into cos x square पता नहीं स्कूल में इसको कैसे पढ़ाया गया टीचर ने, मैं जानता हूँ वो टी लेके, ऐसे देखें, ऐसे पढ़ाएं, पता नहीं क्यों उस तरह से पढ़ा रहे हैं टीचर, मुझे समझ में नही ठीक है, खुब variation ला रहा हूँ, log 3x square, तो क्या करेंगे अपने, dy by dx, अब तुम दिमाग में imagine कर रहे थे कि इसकी जखा पूरे की जखा क्या होता, x, तो log x का differentiation तो हमें पता है, log x का differentiation होता है, 1 by x, तो तुम लिख लो, 1 upon 3x square, और फिर इस 3x square को एक्स बटे थी एक्स स्क्वेर एक एक्स मर गया थी टू जा सिक्स तो तू बटे एक्स विल बी डिफाइन आंसर चेन रूल कि आप अंदर जा जाकर डिफरेंशिएट करते जाओ मतलब म नस्टू एक्स प्लस फोर्ट, हमसे कहा डिवाई बाई डिएक्स निकालो, आप कहो कि कैसी दुविदा है, अगर कॉस एक्स लिखके दे x square plus 2x plus 4 अब इस बड़े वाले x को differentiate करके multiply कर दो तो x square का 2x 2 का differentiation 2x x square का क्या होगा 2x 2x का differentiation 2 आएगा x का differentiation 1 और 4 constant है तो 0 तो final answer will be minus 2x plus 2 multiplied by sin x square plus 2x plus 4 ठीक है जैसे मैं लेते हैं वाई इस इक्वल्स टू वाई इक्वल अब यह अगर वन बाई एक ही अंडर रूट एक्स होता तो आप आसानी सॉल्व कर सकते हैं देखो इसको आप पहले भी क्या लिख लो इसको आप लिख लो वाई इस इक्वल्स ट� माइनस हाफ बाहर आएगा x square plus x plus 1 पावर कितनी हो जाएगी माइनस हाफ माइनस वन माइनस हाफ बाहर आया इस पूरे को x माल लिया ना तो x की पार माइनस हाफ तो माइनस हाफ x की पार माइनस हाफ minus 1, वही, x t par n का definition क्या है, n x t par n minus 1, वही लगा दिया, आप पूरे को आपने x1 है तो अब इसको उठा के differentiate कर दो तो x square का differentiation 2x x का जो भी चीज़ है उसको डिफरेंशिएट करके multiply करना है, सोचना नहीं है, जो भी चीज़ है, उसको differentiate करके, जो भी चीज़ है, उसको differentiate करके, multiply करना है, मतलब अंदर जाओ, जो भी चीज़ तुम्हें लग रहे है, यह काश x होती है, उसको x मान लो, तुम्हें लग रहा था, काश यह x होता, मान लो x cos x का differentiation minus sin x और फिर उस चीज़ को differentiate कर दो तो x की पार minus half होता तो minus half x की पार minus half minus one differentiate कर दो chain rule ठीक है इसका जो traditional तरीका है पर इसको पढ़ाने का वह है कि पहलें टी मानों फिर दी वाइड इन इतना समय नहीं है हमारे पास ठीक है वालो इस पर टू एक्स अ हमारे पास सवाल ऐसा आ गया y is equal to sine of e की power 2x अब दो तीन function मिले हुए हैं तो dy by dx is equal to आप चाह रहे थे ये पूरा x होता तो मान लो तो साइम का differentiation हो जाएगा cos e की power 2x अब इसको अंदर वाले को डिफनिशिएट करो क्योंकि यह x है नहीं पूरा यह तो e की पार 2x है तो E की power 2X का definition क्या होगा E की power 2X का definition होगा E की power 2X इसमें भी आपने सोचा कि E की power X होता तब ही तो E की power पावर x आता, पर असल में क्या है e की पावर 2x, तो e की पावर 2x आया, अब 2x का differentiation क्या होगा, 2, so this will be the answer, तो बच्चों इस तरह से chain rule में अंदर जाते हैं, although यह last वाला सवाल मैंने थोड़ा सा बढ़ा दिया, बढ़ता जाएगा practice के साथ सद, इस तरह के सवाल आपके chain rule of differentiation म चैनल को लें और आपके पास प्रश्न पर प्रश् मालो बच्चों y is equals to कोई function लिखा है x square plus x plus 1 कोई भी function है ठीक है या x square minus x plus 1 कोई भी function है मैंने लिखा ला dy by dx कितना होगा 2x minus 1 x का definition 1 और 1 का definition 0 मैंने कहा dy by dx की value कहाँ पर 0 है dy by dx की value कहाँ पर 0 है तो 2x minus 1 की value 0 रखी 2x is equals to 1 x की value 1 by 2 बच्चों अगर dy by dx 0 है ये मान लो कोई function है ये मानने कोई function है मुझे ये बताओ कहाँ पे dy by dx 0 है अगर आप भूल गए हो बातें तो असलियत में dy by dx क्या था slow भूल गए क्या divide by dx क्या था slope और slope का मतलब क्या था time फिका दिवाई बाई दी एक जीरो है, मतलब स्लोब जीरो है, मतलब टैन थीटा जीरो है, मतलब थीटा जीरो है, मुझे यह बताओ किस जगह पर दिवाई बाई दी एक जीरो हो सकता है, यहाँ पर, न, यहाँ पर, यस, यह वो जगह है जहाँ पर दि वो कैसा बने है? horizontal, this is very important horizontal tangent का मतलब ही होता है कि dy by dx 0 अब बताओ कहाँ पे slope 0 दिख रही, कहाँ पे tangent horizontal है?

ए, इस जगह पर यहाँ पे बन रहा है horizontal? इस जगह पर तो यहाँ पर dy by dx की value कितनी है? 0, या तो यहाँ पे 0 मतलब जिस जगह पर y की value सबसे जादा है या जिस जगह पर y की value सबसे कम है देखो इस जगह का घ्यान से देखो तो y की value कैसी है minimum इस जगह पर देखो तो y की value कैसी है maximum तो जहाँ पे y minimum होता है या जहाँ पे y maximum होता है वहाँ पे dy by dx 0 होता है यह concept भी अपने दिमाग में डाल लो कि जहाँ पे y की value maximum होगी या जहाँ पे y की value minimum होगी वहाँ पे dy by dx 0 मतलब x is equal to half रखने पे या तो y की value maximum आएगी या तो y की value minimum आएगी कि मतलब अगर हमें कोई बोलता है कि आप बताओ कि वह कहां पर मैक्सिमा या मैक्सिमम अभी समझ लो या वह कहां minimum हो रहा है तो आप dy by dx is equal to 0 करके check कर लेना x की वो value मिल जाएगी x की x की x की वो value मिल जाएगी जिस पे या तो y maximum होगा, या तो y minimum होगा, आपके दिमाग में सवाल है, मुझे पता है कि कैसे पता चलेगा कब maximum, क दिमे समझ में आएगा ये भी बात बताई जाएगी अभी मैंने इतना बताया कि dy by dx 0 का मतलब होता है कि tangent जो बनेगा वो horizontal मतलब y maximum अगर हम से पूछता कि ये ग्राफ, ये function, ये expression कहाँ पे maximum होगा, तो आप बोलोगे ये x is equal to half पे या तो maximum होगा, या तो minimum होगा, उस जगह पे maximum minimum होता है जहाँ पे dy by dx की value कितनी आजाए, 0 आजाए, ठीक है, कर लेते हैं जिससे पता चल जाए कि maximum minimum कैसे पता चल जाए तो माल लीजिए हमें दे रखा है y is equals to x cube बटे 3 plus 5x x2 बटेटू प्लस 6x हमसे कहा है आप x की वो values बताईए जिन पे y की value या तो maximum है या तो minimum है और आप exactly बताईए भाईया कि x की किस value पे y maximum है x की किस value पे y minimum है दोनों पूछ लिया आप exact कहाँ पे x की value पे y maximum कहाँ पे minimum तो maximum minimum का सवाल आते ही पहले आप dy by dx को कितना कर दो 0 कर दो तो इसको आप differentiate करोगे, x3 by 3 का differentiation होगा, 1 by 3 as it is लिखा रहेगा, constant है, x3 by 3, x की power 1 कम हो जाएगी, x2, plus 5 by 2 को as it is लिखा रहें दो, x2 का differentiation होगा, 2, x की power 1, 6x में 6 as it is लिखा रहेगा, प्रश्निशन होता है 1 and this will be equal to 0 3 ने 3 को मारा, 2 ने 2 को मारा तो बचा x square plus 5x plus 6 is equal to 0 so this is a quadratic equation so x square plus क्या लिख ले? 2x plus 3x plus 6 is equal to 0 लिख सकते हैं?

2, 3 जा 6 यहां से x common, x plus 2 plus 3 common, x plus 2 is equal to 0 x plus 2 common लिया, क्या बचा? x plus 3 इस इक्वल्स टू जीरो सो यहां से कह सकते हैं इधर एक्स प्लस टू जीरो और एक्स प्लस ट्री जीरो तो या तो x की value minus 2 है या तो x की value minus 3 है, तो x is equals to minus 2 पे maximum या minimum होगा, x is equals to minus 3 पे maximum या minimum, x की उन value पे maximum minimum होता है, जिनके लिए dy by dx की value 0 हो, तो क्या करो, differentiate करो, dy by dx को 0 रखा, दिवाई बाई डी एक जीरो देखा, एक्स की दो वैलूज पे डीवाई बाई डी एक जीरो हो रहा है, माइनस टू पे और माइनस थी पे, तब हमें पता चलना है कि किस पे मैक्सिमम, किस पे मिनिमम, तो अब मैं last आपको rule बता रहा हूँ note करना पड़ेगा ये भी dy by dx is equals to 0 का 2 मतलब होता है या तो maximum value है या तो minimum value है चेक करने के लिए आप निकालो d2y by dx square अब ये क्या चीज है sir इसको फिर से differentiate कर दो, dy by dx को फिर से differentiate कर दो, ये जो भी answer आया है, ये क्या है, what is all this, this is dy by dx, dy by dx को फिर से differentiate कर दो x के respect में, और check करो कि value positive y या negative y, positive y की तो minimum होगा, negative y की तो maximum होगा, बड़ा चोटा सा रूल है, इसको आप डब्बे में बनाये हैं, आप कॉपी में उताल लें क्या करना है पहले divide by dx को 0 करना है उससे x की values आएंगी अब check करना है कि वो maximum की value है कि minimum की मैक्सिमम की वैलू है की? मिनिमम की तो आप क्या निकाल लो?

D2Y by DX2 मतलब इसको फिरिसे डिफरेंशिट कर दो फिरिसे डिफरेंशिट कर दो किस के respect में? x के respect में अब चेक कर लो कि इसकी value positive है कि negative है नतीजा आपके सामने होगा आईए है तो हमारे पास दो वैल्यूज है एक्स माइनस टू है या एक्स माइनस थी है यहीं लिख लेते हैं या तो एक्स की minus 2 है या तो x की value minus 2 है dy by dx की value हमें मिल चुकी है which is x square plus 5x plus 6 यहाँ तो differentiate करोगे यह किया हुआ तो हमने dy by dx की value है x square plus 5x plus 6 अब आप क्या करो इसको फिर से differentiate कर दो x के respect में यानि dy by dx को फिर से differentiate कर दिया with respect to x इस पूरी quantity को फिर से differentiate कर दिया with respect to x D यानि इसका differentiation with respect to x तो D दो बार हो गया तो क्या बन जाएगा D2y और नीचे क्या DX square लिखने का तरीका है यानि DY by DX को दूसरी बार जब differentiate करते हैं तो लिखते हैं उसको d2y by dx square इसको differentiation करो x square का differentiation 2x x2 का differentiation 2x पक्का है सबको 5x का differentiation plus 5 6 का differentiation 0 तो d2y by dx2 की जो value है वो है 2x plus 5 अब d2y by dx2 अगर positive है तो minimum अगर negative है तो maximum कहाँ पे x की values पे x की दो values चेक करनी है minus 2 यहाँ पे रखो एक बार minus 2 एक बार minus 3 दोनों रखके आए चेक करते हैं एक बार x की value minus 2, x की value minus 3, minus 2 रखा, minus 2, तो किसकी value चेक करनी है, d2y बटे dx square, तो 2 into minus 2 plus 5, minus 4 plus 5, कितना असर आया, 1 मतलब d2y by dx square कैसा है? positive.

मतलब यहाँ पे क्या है? minimum. तो x is equal to minus 2 पे y की value कैसी होने वाली है? minimum.

क्या इसके perfect सबूत मिल चुके हैं बिल्कुल? पहला सबूत था dy by dx की value कितनी है? 0. कब? जब x की value minus 2 है. दूसरा d2y by dx square की value कैसी आ रही है positive positive मतलब यहाँ पे आओ, d2y by dx square की value चेक करो, x is equal to minus 3 पे, तो 2 into minus 3 plus 5, minus 6 plus 5, answer आया minus 1, मतलब d2y by dx square negative, मतलब ये कैसी value है, maximum, तो y की value maximum हो रही है, कब x is equal to minus 3 के लिए, सबूफ क्या है, dy by dx कितना आ रहा, 0, और d2y by dx square कैसा आ रहा, कैसा आ रहा, कैसा आ रहा, कैसा आ रहा, negative, तो negative पे maximum, positive पे minimum, तो मेरे ख्याल से आज की class में, आपको जरूर होगी इन कंसेप्स को रिवाइज करने के लिए साथ में कायोमेटिक भी चलेगा और केमिस्ट्री भी आने वाला है और वेस्ट पढ़ाई करते रहे हैं

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