Overview
In dieser Vorlesung wurden die geometrische Summenformel sowie die binomische Summenformel hergeleitet und anhand von Beispielen und dem Pascalschen Dreieck erläutert.
Geometrische Summenformel
- Die geometrische Summe von k = 0 bis n über q^k lautet: (1 - q^(n+1)) / (1 - q) für q ≠ 1.
- Summe wird als S abgekürzt: S = 1 + q + q² + ... + q^n.
- Multipliziert man S mit q, entsteht: qS = q + q² + ... + q^(n+1).
- Subtraktion S - qS ergibt: 1 - q^(n+1).
- Ausklammern: S(1 - q) = 1 - q^(n+1).
- Teilen durch 1 - q liefert die Summenformel.
Binomische Summenformel
- Allgemeine Form: (a + b)^n = Summe k = 0 bis n von (n über k)·a^(n-k)·b^k.
- (n über k) ist der Binomialkoeffizient: n! / (k!·(n-k)!).
- Beispiel: 4 über 2 = 6, indem man 4!/(2! ·2!) rechnet.
- Binomialkoeffizient zählt k-elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge.
- Beispiel: Aus {A, B, C, D} gibt es genau 6 zweielementige Teilmengen.
- Beim Rechnen mit Fakultäten ist erst die Klammer auszuwerten.
Pascalsches Dreieck
- Konstruktion: Außen Einsen, innen werden Zahlen durch Addition der beiden darüberstehenden gebildet.
- Zeile entspricht n, Diagonale entspricht k.
- Binomialkoeffizienten können direkt abgelesen werden.
- Für kleine n praktisch, aber für große n ungeeignet.
Anwendung der binomischen Summenformel
- Beispiel (a + b)^3: Entspricht 1·a³ + 3·a²b + 3·ab² + 1·b³.
- Potenzen von a gehen herunter, von b herauf; Binomialkoeffizienten aus dritter Zeile des Pascalschen Dreiecks.
Key Terms & Definitions
- Geometrische Summenformel — Formel zur Summe einer Potenzreihe der Form q^k.
- Binomialkoeffizient (n über k) — Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge, berechnet als n!/(k!·(n-k)!).
- Fakultät (n!) — Produkt aller natürlichen Zahlen bis n.
- Pascalsches Dreieck — Dreiecksanordnung, mit der Binomialkoeffizienten grafisch dargestellt werden.
Action Items / Next Steps
- Üben: Berechne eigene Beispiele mit der geometrischen und binomischen Summenformel.
- Vertiefe das Verständnis des Pascalschen Dreiecks mit weiteren Zeilen und Diagonalen.