Schauen wir uns den Beweis der geometrischen Summenformel an, die wir uns im letzten Video angeschaut haben. Ich habe sie hier nochmal aufgeschrieben. Die geometrische Summenformel lautet die Summe von k gleich 0 bis n über q hoch k ist gleich 1 minus q hoch n plus plus 1 durch 1 minus q für den Fall q ungleich 1. Beispiele hatten wir uns angeschaut und jetzt kommen wir zur Herleitung. Wir versuchen es so ähnlich wie der kleine Gauss. Klappt nicht so ganz, aber vielleicht Also ähnlich zumindest.
Zunächst einmal kürzen wir nämlich die Summe wieder als Groß S ab. Das können wir übernehmen, die Idee, und schreiben sie uns einfach mal aus. Das heißt 1 plus q plus q² plus q hoch 3 und so weiter bis q hoch n.
Wenn wir jetzt hier anfangen, das rückwärts aufzuaddieren, dann wird das nicht so funktionieren, weil wir haben hier diese Potenzen. Das klappt nicht so richtig, aber mit Potenzen, da kann man auf eine andere Idee kommen, und zwar Potenzen entstehen ja durch Produkte. Wenn ich diese Summe einfach mal mit q multipliziere, kann ich sie leicht abwandeln, sodass sie aber immer noch an vielen Stellen identisch ist mit der vorherigen Summe. Und zwar rechne ich einfach mal q mal s, dann sehe ich, kommt ja raus, q plus q². plus q hoch 3 und so weiter bis q hoch n plus 1. Das heißt, hier kommen ja wieder fast alle Teile vor, wie oben in der Summe.
Damit kann ich doch was anfangen. Ich subtrahiere nämlich einfach mal die Summe minus q mal s. Dann nochmal lang aufgeschrieben hier. Einmal s ist ja 1 plus q plus q Quadrat und so weiter bis plus q hoch n. Minus q plus q Quadrat plus und so weiter plus q hoch n plus q hoch n plus 1. Und wenn ich die beiden Sachen jetzt voneinander subtrahiere, dann fällt mir auf, ich kann hier schön einiges wegstreichen.
q und q fällt weg, q² wird durch q² gelöscht und so weiter, bis sogar q hoch n auch selbst wieder durch q hoch n gelöscht wird. Das einzige, was übrig bleibt hier, ist also die 1 da vorne minus q hoch n plus 1. Das habe ich in die nächste Zeile geschrieben. Aus dem s minus q mal s kann ich schön das s ausklammern, weil an dem s bin ich ja letztendlich interessiert, also klammere ich das aus, dann habe ich da stehen s mal 1 minus q ist gleich 1 minus q hoch n plus 1 und jetzt brauche ich nur noch durch 1 minus q teilen, was ich darf, weil wir ja q ungleich 1 festgelegt hatten und dann kriege ich genau die Summenformel raus, die wir oben stehen haben.
Und so können wir auch nachvollziehen, warum die gilt und dass sie vor allen Dingen gilt und richtig ist. Kommen wir zur nächsten Summenformel, der binomischen. Die kennen Sie sicherlich zumindest in den Grundlagen schon aus der Schule, nämlich die zweite binomische Summenformel a plus b in Klammern zum Quadrat oder a minus b in Klammern zum Quadrat. Wir wollen die hier in allgemeiner Form uns angucken, das heißt a plus b hoch n. Die schreibt sich dann wie folgt auf, die Summe von k gleich 0 bis n.
Dann kommt jetzt was, was ich gleich erkläre. Die eine oder andere hat das sicherlich schon in der Schule gehabt, nämlich n über k, der Binomialkoeffizient, mal a hoch n minus k mal b hoch k. Um das jetzt hier ausschreiben zu können und damit was anfangen zu können, müssen wir erst mal verstehen, was dieser Ausdruck ist.
Das ist kein Vektor, sondern das ist in diesem Fall n über k, liest man das. Das ist der Binomial. Koeffizient, also klar, warum die Formel binomische Formel heißt, haben wir hier direkten Zusammenhang zum Binomialkoeffizienten und man rechnet den aus, indem man n Fakultät geteilt durch k Fakultät mal n minus k Fakultät, beides im Nenner, ausrechnet.
Eine Interpretation, die Sie in der Stochastik lernen werden, ist, wie viele k elementige Teilmengen lassen sich aus. n-elementiger Menge ziehen. Sie werden dann noch Anwendungen zu machen, das gehört auch wieder zum Urnenmodell, wenn man Ziehungen durchführen möchte.
Für uns an der Stelle reicht das aus, das heißt also, wir machen einfach mal ein Beispiel, 4 über 2 rechnet sich aus 4 Fakultät geteilt durch 2 Fakultät mal 4 minus 2 Fakultät. Hier ist wichtig zu beachten, Fakultät ist keine Sache, die ich einfach auseinanderziehen kann. Also ich kann nicht aus 4 minus 2 Fakultät sowas machen wie 4 Fakultät minus 2 Fakultät. Das ist nicht richtig. Das können Sie auch sich an einfachen Beispielen selbst zeigen, dass das nicht stimmen kann.
Deswegen, Sie müssen erst das ausrechnen, was in der Klammer ist. Also 4 minus 2, das gibt 2. Also habe ich hier 2 Fakultät mal 2 Fakultät in Männer stehen. Ich schreibe es einmal aus, 4 Fakultät ist 1 mal 2 mal 3 mal 4, 2 Fakultät ist 1 mal 2 und das andere 2 Fakultät ist eben auch 1 mal 2. Jetzt kann ich aus dem Zähler die 1 mal 2 mit dem Nenner 1 mal 2 kürzen und es bleibt übrig 3 mal 4 durch 2, das ist einfach nur 6. Schauen wir doch mal nach, ob das inhaltlich zu dem passt, was ich behaupte, nämlich hier wird ja jetzt behauptet, dass wenn ich aus einer vierelementigen Menge zwei elementige Teilmengen ziehe, dass ich dafür sechs Möglichkeiten habe, das zu tun.
Schauen wir uns an. Und zwar habe ich ganz allgemein eine Menge mit vier Elementen genommen. Die Elemente heißen A, B, C und D. Und welche Teilmengen, zwei elementigen Teilmengen kann ich jetzt davon erzeugen?
Nun, ich kann die Teilmenge AB erzeugen, AC, AD, BC, BD und CD. Das sind die einzigen zwei elementigen Teilmengen, die ich hier erzeugen kann. Und das sind sechs Stück. Hat also anscheinend gepasst.
Vermutlich kennen Sie auch die Veranschaulichung des Binomialkoeffizienten, wenn Sie das in der Schule gemacht haben. Das geht über das Pascal'sche Dreieck. Ich behandle es an dieser Stelle noch einmal kurz.
Und zwar, das kann man ganz einfach aufstellen. Man fängt mit deiner Eins an, mit einem Dreieck aus Einsen. Und danach addiert man immer die beiden... Zahlen miteinander, die überhalb stehen, um die zu bekommen, die unterhalb in die Mitte kommt. Das heißt, 1 plus 1 gibt 2. Einsen bleiben immer außen am Rand, das ist eine Pyramide aus lauter Einsen am Rand.
Und die Mitte füllen wir nach dieser Regel auf, das heißt, die nächste Zeile würden wir bekommen, Einsen schreibe ich außen hin, 1 plus 2 gibt 3, 2 plus 1 gibt auch 3. Noch eine Zeile, 1 plus 3 ist 4, 3 plus 3 ist 6, 3 plus 1 gibt 4 und da kommt wieder eine 1 hin. Wenn Sie das in der Schule gemacht haben, werden Sie sicherlich einige Regeln dazu kennengelernt haben, wie zum Beispiel gewisse Symmetrie-Eigenschaften. Das machen wir hier aber nicht. Eventuell wird das in der einen oder anderen Mathe-Veranstaltung hier nochmal behandelt werden.
Für uns reicht jetzt einfach nur aus, dass Sie das nochmal gesehen haben. Wie holt man jetzt daraus den Binomialkoeffizienten? Nun, dazu muss man zwei Sachen wissen.
Einmal steht nämlich in der Zeile, die Zeile ist entsprechend n. Wir fangen oben bei n gleich 0 an, 1, 2, 3 und 4. Und auf der Diagonalen, das ist das Wichtige, steht das k. Das heißt, die Diagonale ist k gleich 0, die ist k gleich 1, die ist k gleich 2, k gleich 3, k gleich 4. Wenn ich also jetzt wissen möchte, was ist der Binomialkoeffizient 3 über 1, dann muss ich also in die dritte Zeile gehen und k gleich 1, die erste Diagonale, Das hier ist die erste Diagonale und da komme ich dann zu dieser 3. Oder ich möchte 4 über 2 ausrechnen, das heißt ich gehe in die vierte Zeile und nehme mir die zweite Diagonale und komme hier an die 6. Das ist gerade praktisch, wenn man die kleineren Biomarkoeffizienten ausrechnen möchte.
Bis n gleich 100 wollte ich das Pascalstreik auch nicht aufstellen. Aber für die Kleineren ist es sehr praktisch. Jetzt wollen wir aber auch mal unsere binomische Summenformel anwenden, die wir an den Anfang gestellt hatten.
Wir wissen jetzt, was der Binomialkoeffizient ist und können den ausrechnen. Und wir schauen uns das Ganze einfach mal für a plus b hoch 3 an. Das wäre dann ja die Summe von k gleich 0 bis 3 über 3 über k mal a hoch 3 minus k mal b hoch k.
Einfach nur abgeschrieben und das endet. Schreiben wir die Summe einmal zu Übungszwecken aus. Das heißt, die Binomialkoeffizienten hätten wir hier 3 über 0 mal a hoch 3 mal b hoch 0. Dann haben wir plus 3 über 1 a² b hoch 1 plus 3 über 2 a hoch 1 b² plus 3 über 3 a hoch 0 b hoch 3. Das sieht komplizierter aus, als es ist. Sie sehen einfach bei dem...
Bei den vorderen Buchstaben geht die Potenz langsam runter, 3, 2, 1, 0. Und bei den hinteren Buchstaben geht sie langsam hoch, 0, 1, 2 und 3. Während hier die Binomialkoeffizienten einfach der Reihe nach durchgehen. Das heißt, um diese ablesen zu können, schauen wir uns jetzt einfach nur in dem paschalischen Dreieck die dritte Zeile an. Hier, also die n gleich 3 Zeile meine ich. 1, 3, 3, 1 sind also die Koeffizienten. Und die muss ich nur abschreiben.
1, 3, 3, 1. Und ich habe hier b hoch 0 ist 1, deswegen weggelassen. Und dann haben wir also einmal a hoch 3 plus 3a²b plus 3ab² plus einmal b hoch 3.