Hola a todos, espero que se estén divirtiendo con su tarea examen pero bueno, mientras vamos a continuar ya con el último tema que estarán viendo conmigo del caso discreto este obedece a un tema que se llama tabla de decrementos múltiples ¿sale? Entonces la tabla de decrementos múltiples digamos que es una especie de generalización de la tabla de mortalidad. En la tabla de mortalidad nosotros estudiamos un grupo cerrado de personas y cómo se extinguía éste conforme pasaba el tiempo.
Solo por una causa, pues la mortalidad. En la tabla de decrementos múltiples, pues estudiamos nuevamente un grupo cerrado de personas y cómo se extingue éste al pasar el tiempo. diferentes causas, no nada más por una sola, sino por muchas. Entonces, este tema no es complejo desde el punto de vista que es... Si uno conoce lo que se conoce como tasas de decremento simples, pues nada más uno suma las probabilidades de tasas de decremento simples y obtiene uno la probabilidad de que una persona deje el grupo por cualquiera de las causas que estamos analizando.
Sé que hasta aquí no me estoy dando a entender, pero lo que les quiero decir es que muchas veces la información no viene pulcra o la información de las diferentes tasas proviene de diferentes fuentes de información. Entonces, como todo actuario o todo estadista, pues es necesario que se ponga en contacto con la persona que está en la situación. necesario hacer una limpieza de los datos para después trabajar con ellos entonces realmente lo que se ve en el tema de tabla de incrementos múltiples es justo cuál es ese método de ajuste que están utilizando los actuarios para limpiar la información y posteriormente hacer la tabla de decrementos múltiples entonces para uno de los dos métodos de ajuste que es el método continuo existe un método continuo y un método discreto, es necesario dominar un tema que es el que a continuación voy a dar en la clase del día de hoy entonces, para ver la tabla de decrementos múltiples voy a hacer un pequeño gran paréntesis y un importante paréntesis, para el tema de Gompertz Mayhem Este tema ya lo vimos los que llevaron actoriales uno conmigo, no me entretengo mucho Pueden buscar la biografía de estos dos personajes ahí en internet Pero bueno, vamos entonces a ver de qué se trata este tema de Wumpers y Mayhem entonces pues bueno, como en otras ocasiones vamos a partir de un gráfico hipotético, en donde aquí en el eje de las X, voy a poner la edad del la persona y en el eje de las 10 voy a poner el número de personas vivas a esa edad nuevamente aquí voy a poner la edad X y aquí voy a poner el infinito actorial donde ya todo se murió y por aquí si me permiten voy a poner la edad X más N, entonces ahí espero que le echen un suma al video porque lo estoy haciendo un poco con letra pequeña y por ende vamos a imaginarnos que tenemos pues por aquí las observaciones que nosotros tenemos de nuestra tabla tabla de mortalidad, la que les dejé al principio del curso. Entonces, si ustedes se dan cuenta, al principio del curso vimos una tabla de mortalidad y nosotros sabíamos el número de personas vivas de edad exacta X.
Es decir, nosotros conocíamos esta función de sobrevivencia de manera discreta, conocíamos estos puntos. Entonces, el reto que se planteó Wompert es cómo encontrar una función continua que pasara por todo todos estos puntos o emular a pasar por todos estos puntos, algo así como ¿qué forma tiene esta función que intenta pasar por todos los puntos de la tabla de mortalidad que yo tengo de manera discreta? Entonces, ustedes van a ver en su curso de estadística, voy a hacer un paréntesis sobre el paréntesis, como actuarios, muchas formas de ajustar funciones a las observaciones que ustedes tienen en términos de los datos que hayan recolectado. La más común es un tema que van a soñar y que de hecho es el pan de cada día de casi todos los actuarios y que de hecho es lo que le da nacimiento a la inteligencia artificial y machine learning para encontrar patrones, pues es lo que se conoce como regresión lineal. Entonces, el término regresión lineal surge de...
de un análisis que se hizo de personas, de familias que tenían estaturas altas y estudiaban a los descendientes de estas familias y pues hicieron, digamos que, varias observaciones con diferentes familias. Entonces en el eje de las X, en este ejemplo para explicarles de donde surge el término regresión lineal en el eje de las Y tenemos la estatura de las personas y en el eje de las X el número de familias por así decirlos entonces lo que se dieron cuenta es que las personas que eran de estatura alta Sus descendientes empezaban a tener estaturas más bajas, no sé, por acá tenía la familia número uno. Y su estatura era alta, pues sus próximos descendientes tendrían a tener una estatura más baja.
Y por acá tenía una familia con estatura baja, sus descendientes tendrían a tener una estatura más alta. Esto se hizo para varias familias, las estoy ordenando de mayor a menor estatura. Y entonces empezaron a ver que...
Las personas de mayor estatura empezaban a tener descendencia con estatura más baja y los de estatura más baja empezaban a tener ascendencia de estatura más alta, más o menos así. Entonces, aquí es de donde surge el término regresión, porque conforme pasaba el tiempo, que aquí si quieren voy a poner mejor, para que se entienda mejor el tiempo, se dieron cuenta que... Conforme pasaba el tiempo Las estaturas tendían a regresar En este caso a un promedio dado A un promedio de estatura Este efecto de regresar Fue el que le dio nacimiento Al término de regresión lineal Y es aquí en donde Pues este... empezaron a ver que existían varios fenómenos por los cuales se pueden explicar mediante una regresión lineal en este caso se dieron cuenta que las personas de estatura baja sus descendencias empezaban a tener estatura más alta y los de estatura más alta empezaban a tener descendencia de menor estatura, de tal manera que conforme pasaba el tiempo tendían a la misma estatura todos. Sin embargo, se utilizó o se utiliza mucho, por ejemplo, para temas...
por así decirlo, económicos, ¿no? Entonces, por ejemplo, si yo aquí en el eje de las X pongo los ingresos de una familia y aquí los egresos o los gastos, ¿sale? Aquí tengo una familia que gana poco, aquí tengo una familia que gana mucho y aquí voy a tener las personas que gastan mucho y aquí las personas que gastan poco. Entonces empezamos a analizar, por ejemplo, aquí tenemos una persona que gana, no sé, poco, una familia que gana, pues sus ingresos son bajos, quizás su nivel de gasto sea este y quizás una persona que tiene ingresos altos, pues su nivel de gasto pudiera ser alto, ¿no? Entonces por aquí tenemos una familia con ingresos más o menos medios, entonces podemos suponer que su nivel de gasto es esto.
De tal manera que si nosotros empezamos a llenar esto con observaciones de familias, todos estos son puntos de observaciones de familias, entonces sale... cada punto se... y sí, encuentran casos raros en donde hay gente que no sé, este...
no sé, gana esta cantidad pero su gasto es este, ¿no? o sea, es decir, por alguna razón gasta más de lo que gana, ¿no? entonces evidentemente está sobreviviendo del crédito, por ejemplo, ¿no?
o personas como esta una persona que gane mucho pero cuyo gasto a lo mejor sea este no lo sé, entonces pareciera ser que está ahorrando o está destinando su dinero pero entonces se da este número de puntos entonces este número de puntos pareciera ser que se ajusta a una re... recta y entonces ahí es donde viene también el término regresión lineal por la parte de la recta regresión lineal en donde están viendo que hay una relación lineal entre los ingresos y los gastos es decir una familia entre más ingresos tiene más dinero gasta ok entonces este así es Como de hecho funciona la inteligencia artificial y el machine learning, empiezan a encontrar este tipo de patrones de tal manera que varían una situación y el robot infiere el valor restante. Prácticamente la mayoría de los modelos que ustedes van a hacer como actuarios y en general están basados en estos conceptos de regresión lineal y aquí va a estar el pan de cada día para ustedes.
Sin embargo, existen otro tipo de fenómenos. que no necesariamente son lineales, por ejemplo a lo mejor aquí estoy poniendo algún fenómeno, el que ustedes quieran, no sé, el que ustedes se quieran imaginar y en esta nube de puntos, perdón no se alcanzó a ver, en esta nube de puntos que acabo de poner, pues claramente no es una función lineal la que asocia los dos fenómenos, el fenómeno 1 versus el fenómeno 2 entonces realmente pues podría ser una, este es una regresión lineal, ya no lo puse algo así como ya igual a este beta 0 más beta 1 x este para cada observación y más un error y no que es lo que ven ahí y aquí a lo mejor pudiese una función de gravedad el beta 0 más beta 1 x1 más beta 2 x cuadrada, es decir es una regresión cuadrada, una regresión polinomio grado 2 y así etc. ¿Qué les quiero decir con esto? Es que el tema que se enfrenta...
Gompers, se da cuenta que no se parece a ninguna de las funciones conocidas como puede ser una regresión lineal, una regresión parabólica un polinomio de grado, lo que ustedes quieran, lo que asemeja a la función de sobrevivencia de un grupo de personas que tiene de X hasta X, es decir, esta forma no le encuentra alguna forma conocida como para asignarle una función que pase por todos estos puntos. entonces sea aquí donde radica la importancia de Gompers porque Gompers es el primero en hacerte este mismo cuestionar y es la primer persona en el mundo que decide utilizar las matemáticas o la estadística si ustedes lo quieren ver pero más bien lo van a decir las matemáticas a un problema de mortalidad y entonces vamos a ver como es que lo hizo Gompers para resolver este problema ok, bueno para esto este... creo que se trago un poco el video para esto este vamos a partir de una nueva función que no vimos cuando estábamos viendo el tema de tabla de mortalidad y fue a propósito no esta nueva función la voy a definir como n m y este minúscula pero grande de x y éste se conoce como tasa central de mortalidad sale tasa central de mortalidad la tasa central de mortalidad n m de x se define como N de X, que son las defunciones ocurridas entre X y X más N, dividido entre los años persona vividos. ¿Ok? Entonces, vamos a analizar esta expresión de la tasa central de mortalidad en su definición, y vamos viendo a qué llegamos.
Para eso, pues voy a recurrir nuevamente a la gráfica que tengo aquí. Aquí tengo las L de X persona vivas, y aquí tengo las L de X más N persona vivas, que en términos de representación... representación de la tasa central de mortalidad, pues serían las defunciones ocurridas en este intervalo de tiempo, entre los años persona vividos, es decir, entre el área que hay en este rectángulo, que son los años persona vividos que ya vimos en la parte de matemáticas actuariales 1, ok? Entonces, sobre esto, vamos a imaginar qué pasa si el n lo empezamos a hacer Pues chiquito, aquí tengo x y aquí tengo x más n, es decir, aquí hay n años, ¿sale? ahí hay n años ¿qué pasa si estos n años los empiezo a hacer chiquitos?
entonces para esto va a requerir de su imaginación este, aquí tengo el edx más n, el edx más n vamos a hacerlo pequeñito, es decir, vamos a empujarlo que se parezca lo más que se pueda a x, entonces este, al haber recorrido el edx más n para acá, pues obtengo uno nuevo una nueva barra ¿sale? y voy a hacer un zoom voy a hacer un zoom Voy a hacer un zoom en esta parte. ¿Sale?
Entonces me voy a llevar para acá el zoom. Y lo voy a poner por acá. Esta sería esta raya que sería LDX. Esta sería este LDX.
Y por aquí viene la otra barra. Que sería esta que acabo de recorrer. Que ahora si ustedes me permiten lo voy a llamar LDX más H.
¿Por qué le pongo H? Porque estoy haciendo tan chiquito esto. Que H lo voy a utilizar como el valor. Este, la distancia entre LDX y el siguiente valor.
valor, este, para que vean a donde llego, entonces por aquí vendría esta raya que está por acá, vendría siendo esta que está por acá, con alguna ligera inclinación, una vez hecho esto, vuelvo a recorrer esta barra vuelvo a recorrer esta barra la vuelvo a hacer pequeña y de tal manera que ahora me queda de este lado y le vuelvo a hacer un zoom sale entonces vuelvo a hacer el zoom este entonces por acá queda nuevamente esta barra es esta barra y pongo esta barra que tengo aquí de este lado entonces aquí nuevamente tengo L de X y nuevamente aquí tengo L de X más H entonces vuelvo a recorrer esto, es decir ya están ustedes viendo que estoy haciendo tender a H a 0 es decir lo haciendo tan pequeño y entonces ahora tengo un nuevo zoom aquí nuevamente tengo L de X y así tengo LDX más H si ustedes me permiten aquí voy a poner puntos suspensivos de todos los zooms que he hecho de tal manera que va a llegar un momento en que la barra de arriba, es decir esta barra, ya literalmente hay 90 grados aquí y 90 grados acá ¿Sale? De tal manera que entonces los años persona vividos, cuando h es muy pequeño, ¿sale? Entonces, si h es muy pequeño, si h es muy pequeño, entonces la tasa central... de mortalidad HM de X va a ser HDX entre los años persona vividos, es decir HLDX y luego entonces si H tiende a 0, si H tiende a 0 entonces H MDX va a ser igual a HDX. Y ahora, ¿quién creen que ustedes va a ser igual?
HLDX bajo este contexto de ZUMs. La base de este rectángulo ya va a ser H. Y la altura va a ser LDX. ¿Sale? Entonces, cuando H es muy pequeño, los años persona vividos, podría ser la base, que es H por LDX.
Y ya de tanto ZUM cuando H es muy pequeñito. ¿Ok? Con este contexto, entonces, se define algo que nos va a quitar mucho tiempo en el curso, que es la tasa central de mortalidad que se denota como mu de X. Tasa instantánea de mortalidad, lo escribo, tasa instantánea de...
mortalidad, y la tasa instantánea de mortalidad se define como el límite cuando H es muy pequeñito, cuando H es muy pequeñito de la tasa central de mortalidad de HMDX, ok, entonces todo esto que estoy explicando de aquí para acá, lo dijo un cuate llamado Wampers, ok, entonces nada más estoy replicando su clase literalmente, o es su intento ok, entonces ya con esta definición, lo voy a dejar por aquí para que quede claro, y se vea, sale espero que ahí se ve, si ahí se ve, entonces, MUDX que es la tasa instantánea de mortalidad, se definió como como el límite cuando h tiende a ser 0 de la tasa central de mortalidad y entonces esto va a ser igual al límite cuando h tiende a ser 0 de h m de x pero h m de x aquí lo tenemos es esta expresión que tenemos aquí según gompers entonces el límite de este h de x entre h por l de x sale entonces sustituye esta tasa central de mortalidad por la que proponemos Lo pone Gompers cuando hizo h tender a 0. ¿Listo? Entonces, esto va a ser igual, ¿sale? A el límite cuando h tiende a ser 0. De h de x, pues es l de x menos l de x más h. Entre, pues h que multiplica a l de x. ¿Sale?
Y esto va a ser igual a, este, aquí voy a saltarme muchos pasos. pero para que me entiendan, o bueno, no me salto muchos pasos, esto es igual a 1 entre L de X, por el límite cuando H tiende a ser 0, de L de X menos L de X más H, entre h porque ya saque el l de x de este límite ok continuando esto va a ser igual a menos 1 entre l de x por el límite cuando h tiende a ser 0 de l de x más h menos l de x entre h es decir, este l de x lo pasé para acá y este l de x más h lo pasé para acá y con este negativo se sustenta la igualdad, entonces pasamos de este paso a este paso con este negativo y se tiene esto, y esto que está aquí ya se les hizo familiar a algo que ustedes vieron en el kinder, entonces esto va a ser igual a menos 1 entre L de X, a que es igual el límite cuando H tiende a ser 0 de L de X más H menos L de X entre H pues a la derivada de L de X respecto de X, entonces este Aquí tenemos la definición de derivada, que fue la que vieron en el kinder. Y ya por regla de la cadena, esto va a ser igual a menos la derivada del logaritmo natural de L de X respecto de X. Tengo 1 entre f de X por la derivada de f de X respecto de X.
Entonces eso es igual a menos la derivada del logaritmo natural de L de X. Y esto va a ser igual a mu de X. Entonces, así es como...
Gompers veía la tasa central de mortalidad ok, bueno, continuando como x es este, voy a escribirlo aquí como x es variable muda ¿Sale? Entonces pues µ de y va a ser igual a menos la derivada del logaritmo natural de L de y respecto de y. Es decir, de aquí para acá lo único que hice fue cambiar x por y.
y nuestra misión ahora de aquí va a ser despejar LDY, porque yo necesito saber que función tiene LDX, cual es su forma matemática de LDX, entonces pues aquí vamos a intentar despejar este ldl de ye ok entonces cómo es que despejamos esto pues vamos a tener que utilizar ecuaciones diferenciales pero que ya todos hayan cruzado cruzado y espero que estén pues los físicos o los no ser los matemáticos este no me juzgan por lo que voy a hacer pero les juro por el osito bimbo que si no es que me creen lo pueden ustedes validar en su curso de ecuaciones diferenciales, pero nuestra intención es despejar a L de Y, el problema es que aquí tiene una derivada, entonces vamos a ver cómo es que se resuelve esto con ecuaciones diferenciales primero que nada, pues mu de Y aquí es donde les digo que se van a burlar, pero este D de Y que está dividiendo guiño guiño, lo voy a pasar multiplicando Guiño, guiño, ¿no? Acuérdense que esto lo vieron ustedes en su curso de ecuaciones diferenciales, si no es que lo van a ver, solo créanme. Y esto va a ser igual a la derivada del logaritmo natural de L de Y. ¿Sale?
Y este negativo lo voy a pasar de este lado. Entonces, este que estaba negativo lo voy a pasar de este lado. ¿Ok?
Entonces, espero me hayan creído que esto se puede, lo van a ver en su curso de ecuaciones diferenciales. Listo. Entonces, continuando, este, pues...
lo que sigue es despejar L de Y, para despejar L de Y vamos a recurrir a lo siguiente, entonces menos la integral de 0 a X de MIO de Y de Y va a ser igual a la integral de 0 a X de la derivada del logaritmo natural de L de Y, entonces lo único que hice fue integrar en ambos lados de la igualdad con los índices de 0 a X, ok, entonces no hice absolutamente nada, esto va a ser igual a pues aquí la derivada se va con la integral y entonces me queda logaritmo natural de L de Y Ajá, evaluado entre 0 y x, ¿sale? Aquí es lleno, por si no se alcanza a ver. Y esto va a ser igual al logaritmo natural, este, de L de x, ajá, menos el logaritmo natural de L de 0, ¿sale?
Y esto es por propiedades de los logaritmos, va a ser igual al logaritmo natural de L de x entre L de 0, ¿ok? Entonces, acabamos de encontrar que el logaritmo natural de L de x entre... entre L de 0, es igual a menos la integral de 0 a X de mu de Y de Y, ¿sale?
Aplicamos exponencial en ambos lados de la igualdad, ¿sale? Entonces tengo E a la logaritmo natural de L de X entre L de 0, va a ser igual a E a menos la integral de 0 a X de mu de Y de Y, ¿sale? Y luego esto va a ser igual, ajá, este... por, como ustedes ya saben, esta con esta se eliminan y entonces esto va a ser igual a L de X entre L de 0 ¿sale?
y entonces ahora si vamos a despejar L de X y luego entonces L de X va a ser igual a L de 0 por e a menos la integral de 0 a x de mu de y de y, ¿sale? entonces, este de hecho, bueno si me permiten la voy a escribir de nuevo chido por si no se entiende, pero aquí despejamos de esta igualdad LDX, la escribo de nuevo porque a lo mejor ahí en mi letra no es muy buena, ¿no? Pero la escribo de nuevo, LDX va a ser igual a L de 0 por E a menos la integral de 0 a X de mu de Y de Y, ¿sale?
Espero que hoy se haya visto mejor. Esta última expresión se conoce como ecuación fundamental de la ciencia actuarial. Y esta es la ecuación más importante que ustedes tienen que dominar como actuarios.
Entonces, noten ustedes que la forma de L de X, pues para nada se parece a algo lineal, para nada se parece a algo parabólico, para nada se parece a un polinomio de lo que ustedes quieran imaginarse. Vean ustedes la forma matemática, según Gompertz, de la función L de X que pasa por todos los puntos discretos de la tabla de mortalidad. ¿Verdad que no se lo hubieran imaginado que sería de esta forma?
Entonces, esta ecuación es bien importante porque es la que le da el nacimiento a la carrera de actuaría, porque por primera vez las matemáticas son usadas para resolver un tema de mortalidad, dándole este nacimiento a la parte del cálculo actuarial. Entonces es por eso que ustedes como actuarios es bien importante que al menos sepan cómo y de dónde salió la ecuación fundamental de la ciencia actuarial. De hecho, es un tema que la mayoría de los actuarios que estamos en la docencia nos gusta impartir porque nos hace ver de dónde salió todo este tema del cálculo actuarial.
Que fue, insisto, por primera vez en la vida. Las matemáticas son usadas para un tema de explicar un fenómeno de mortalidad, repito, dándole nacimiento a la actuaría. Entonces, pues bueno, ya saben de dónde viene la carrera, viene me parece que de Inglaterra, Benjamín Gómez será de ahí. Entonces, pues esta es la primera pregunta que viene en su examen.
presencial guiño guiño ya saben en donde les voy a preguntar justo que ustedes sepan de donde viene la ecuación fundamental de la ciencia actuarial entonces la pregunta del examen pues es la que acabamos de ver aquí pero es suponiendo que h m de x para un h muy pequeño Entonces demuestre que L de X es igual a L de 0 por Y a menos la integral de 0X de MIU de Y. Es decir, la ecuación fundamental de la ciencia actuarial. Ok, y pues ustedes, si por favor les dejo de tarea moral que como actuarios en verdad sepan todo este desarrollo de cómo fue que Comperts encontró la ecuación fundamental de la ciencia actuarial.
Entonces pues hasta aquí dejo la clase, ya no me dio tiempo continuar porque ahora lo que vamos a ver la clase siguiente es, ok, si está muy chido esto. esto y todo, pero a que es igual la tasa instantánea de mortalidad, para que se sustituya en la ecuación fundamental de la ciencia sectorial, y llegar a una forma matemática un poco más entendible, entonces pues bueno, hasta aquí dejo la clase, es la primer pregunta de su siguiente examen, y pues muchas gracias y hasta luego.